北京市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試卷（含答案）2

北京市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試卷姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三總分評(píng)分一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1．已知集合A={3，4，A．{3，4，C．{x∣4≤x≤5} D．{x∣3≤x≤7}2．命題：?x>0，A．?x≤0，x2C．?x>0，x23．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間(0，A．y=x12 B．y=2?x 4．已知函數(shù)y=f(x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表所示，函數(shù)y=g(x)的圖象如圖所示，則f(g(3))的值為（）x036f(x)306A．9 B．6 C．3 D．05．有限集合M中元素的個(gè)數(shù)記作card(M)，若A，B都為有限集合，則“A∩B=A”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．設(shè)函數(shù)y=x2+2ax在區(qū)間(2A．{a∣a≥2} B．{a∣a≤2}C．{a∣a≥?2} D．{a∣a≤?2}7．下列命題中正確的是（）A．若ac2>bc2，則|a|>|b|C．若a>b，則1a<1b 8．向體積相同且高為H的花瓶中，注水注滿為止.如果注水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系式如圖所示，那么花瓶的形狀是（）A． B．C． D．9．我們知道函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)H(a，b)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x+a)?b為奇函數(shù)，則函數(shù)A．(?1，?1) B．(1，1) C．10．公園內(nèi)常設(shè)有如圖所示的護(hù)欄，柱與柱之間是一條均勻懸鏈.數(shù)學(xué)中把這種兩端固定的一條(粗細(xì)與質(zhì)量分布)均勻、柔軟的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形狀稱為懸鏈線.在恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，這類函數(shù)的表達(dá)式可以為f(x)=aex+be?x(其中aA．若a=b，則y=f(x)為奇函數(shù)B．若ab=1，則函數(shù)y=f(x)的最小值為2C．若ab>0，則方程f(x)=0沒有實(shí)數(shù)根D．若ab<0，則函數(shù)y=f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11．函數(shù)f(x)=x?2的定義域是12．不等式x?1x<013．能說明“?x∈R，ax2?ax?1≥014．設(shè)函數(shù)f(x)=2x?3，x≤aax，x>a，若當(dāng)a=5時(shí)，存在實(shí)數(shù)m，使得f(m)=0，則215．狄利克雷函數(shù)D(x)定義為：當(dāng)自變量取有理數(shù)時(shí)，函數(shù)值為1當(dāng)自變量取無理數(shù)時(shí)，函數(shù)值為0.以下關(guān)于狄利克雷函數(shù)D(x)的性質(zhì)：①D(x)的值域?yàn)閧0，②若x，y∈R③函數(shù)D(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；④不存在A(x1，其中表述正確的是.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16．已知全集U=R，集合A={（1）求A∩B和(?（2）設(shè)集合C={x∣a?1<x<a+1}，若C∩B=?17．已知指數(shù)函數(shù)y=f(x)的圖象過點(diǎn)(?2，（1）求函數(shù)f(x)的解析式（2）試比較f(?0.（3）若f(?m2+m+1)<118．已知函數(shù)f(x)=2|x|+2（1）證明：f(x)為偶函數(shù)；（2）用定義證明：f(x)在區(qū)間(1，19．剛剛結(jié)束的2023年杭州亞運(yùn)會(huì)給人們留下了深刻印象，也帶火了很多杭州特色產(chǎn)品.某小組通過對(duì)一款杭州特產(chǎn)龍井茶的某官網(wǎng)銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品在過去30天內(nèi)，銷售單價(jià)P(x)(單位：百元)與時(shí)間x(單位：天)的函數(shù)關(guān)系近似滿足P(x)=1+kx(k為常數(shù))，日銷售量Q(x)(單位：件)與時(shí)間x51015202530Q(x)180310390420400330已知第5天的日銷售收入為216百元.（1）求k的值；（2）給出以下三種函數(shù)模型(1)Q(x)=ax+b；(2)Q(x)=ax2+bx請(qǐng)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)來描述Q(x)與x的變化關(guān)系，并求出函數(shù)Q(x)的解析式；（3）記該商品在這30天內(nèi)的日銷售收入為H(x)(單位：百元)，求H(x)的最大值.20．設(shè)函數(shù)f(x)=x2+2mx+m，函數(shù)g(x)=2x+2.?x∈R，用條件（1）：f(?3)=f(1)條件（2）：?x∈R，（1）求不等式f(x)>g(x)的解集；（2）當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，關(guān)于x的不等式M(x)>m(g(x)?2)恒成立，求實(shí)數(shù)21．已知正整數(shù)集合S={a1，a2，?，an}(n≥2，n∈N)，0<a1<a（1）判斷集合A={1，2，3}和集合（2）若集合S具有性質(zhì)F4，求證：d(S)≥（3）若集合S具有性質(zhì)Fk，求n

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由題意得A∩B=4，5故答案為：B.

【分析】根據(jù)交集的定義直接求解.2．【答案】D【解析】【解答】解：命題：?x>0，x2故答案為：D.

【分析】根據(jù)命題的否定判斷選項(xiàng).3．【答案】D【解析】【解答】解：A、y=x12的定義域?yàn)閇0，+∞)，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù)，A不符合題意；

B、y=2?x在區(qū)間R上單調(diào)遞減，且不是奇函數(shù)，B不符合題意；

C、y=x+1x在區(qū)間(0，1)故答案為：D.

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性逐一判斷選項(xiàng).4．【答案】B【解析】【解答】解：由圖象知g(3)=6，∴f(g(3))=f(6)=6.故答案為：B.

【分析】由圖象得g(3)=6，進(jìn)而根據(jù)表格找f(g(3))=f(6)的值.5．【答案】A【解析】【解答】解：充分性：若A∩B=A，則A?B，∴card(A)≤card(B)，充分性成立；

必要性：若card(A)≤card(B)，假設(shè)A=1，B=2，此時(shí)card(A)=card(B)=1，滿足card(A)≤card(B)，但A∩B=?≠A，必要性不成立，∴“A∩B=A”是“故答案為：A.

【分析】根據(jù)集合之間的關(guān)系分別判斷充分性和必要性.6．【答案】C【解析】【解答】解：∵函數(shù)y=x2+2ax在區(qū)間(2，+∞)上是增函數(shù)，二次函數(shù)y=x2故答案為：C.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求解實(shí)數(shù)a的取值范圍.7．【答案】D【解析】【解答】解：A、∵ac2>bc2，所以c2>0，∴a>b，A錯(cuò)誤；

B、若a>b，c>d，假設(shè)a=c，b=d，則a?c=b?d=0，B錯(cuò)誤；

C、若a>0>b，則1a>0>1b，C錯(cuò)誤；

故答案為：D.

【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)逐一分析選項(xiàng).8．【答案】B【解析】【解答】解：根據(jù)函數(shù)圖象知：開始階段相同的高度下體積增加得快，結(jié)束階段相同的高度下體積增加得慢，∴花瓶形狀為下寬上窄的形狀，滿足題意的選項(xiàng)為B.故答案為：B.

【分析】由函數(shù)圖象知花瓶形狀為下寬上窄的形狀，對(duì)比選項(xiàng)得到答案.9．【答案】A【解析】【解答】解：∵f(x-1)--1=x-1+1x-1+1+1=x+1x故答案為：A.

【分析】由f(x-1)--110．【答案】C【解析】【解答】解：函數(shù)f(x)=aex+be?x的定義域?yàn)镽，

A，當(dāng)a=b時(shí)，f(x)=aex+ae?x，f(-x)=ae-x+aex=aex+ae?x=f(x)，∴函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；

B，當(dāng)a=b=-1，滿足ab=1，f(x)=-ex-e?x<0，B錯(cuò)誤；

C，∵ab>0，∴a，b>0或a，b<0，當(dāng)a，b>0故答案為：C.

【分析】根據(jù)選項(xiàng)的條件，結(jié)合函數(shù)的相關(guān)概念逐一判斷.11．【答案】[2【解析】【解答】解：由題意得x-2≥0，求得x≥2，∴函數(shù)f(x)=x?2的定義域是[2故答案為：[2，

【分析】由題意得x-2≥0，求出x的取值范圍即可.12．【答案】(0，1)【解析】【解答】解：由題意得x?1x<0等價(jià)于x(x-1)<0，解得0<x<1，故所求解集為(0，1).

故答案為：(0，1).13．【答案】0【解析】【解答】解：若“?x∈R，ax2?ax?1≥0”為假命題，則“?x∈R，ax2?ax?1<0”為真命題，

當(dāng)a=0時(shí)，-1<0，滿足；當(dāng)a≠0時(shí)，則a<0?=a2+4a<0，求得-4<a<0故答案為：0.

【分析】根據(jù)題意得“?x∈R，ax2?ax?1<0”為真命題，進(jìn)而分當(dāng)a=014．【答案】18；0【解析】【解答】解：第一空：當(dāng)a=5時(shí)，f(x)=2x?3，x≤55x，x>5，要使f(m)=0，則m≤5，且f(m)=2m?3=0，∴m=log23，∴22m+1=22log23×2=2log29×2=9×2=18；

第二空：∵f(x)存在最大值，當(dāng)a<0時(shí)，x≤a時(shí)，f(x)=2x?3≤2a?3<-2，x>a時(shí)，f(x)=ax在a，0和0，+∞單調(diào)遞增，沒有最大值，不滿足題意；

當(dāng)a=0故答案為：0.

【分析】第一空：代入a=5，根據(jù)函數(shù)解析式求得m=log23，進(jìn)而求22m+1的值；

第二空：分a<0，a=0和a>0討論15．【答案】①③④【解析】【解答】解：①由定義知狄利克雷函數(shù)D(x)的值域?yàn)閧0，1}，①正確；

②當(dāng)x，y為有理數(shù)時(shí)，x+y也為有理數(shù)，D(x+y)=1，D(x)=1，D(y)=1，D(x+y)<D(x)+D(y)，②錯(cuò)誤；

③當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，-x也為有理數(shù)，∴D(x)=D(-x)，當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)，-x也為無理數(shù)，∴D(x)=D(-x)，∴函數(shù)D(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，③正確；

④設(shè)x1<x2<x3，假設(shè)存在A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC為等腰直角三角形，則故答案為：①③④.

【分析】根據(jù)狄利克雷函數(shù)的定義逐一分析.16．【答案】（1）解：依題意，A={x|?UA={（2）解：集合C={x∣a?1<x<a+1}因此a+1≤2或a?1≥5，解得a≤1或a≥6，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤1或a≥6.【解析】【分析】(1)先求出結(jié)合A，再根據(jù)交集的定義求A∩B，補(bǔ)集的定義求(?UA)，并集的定義求(?U17．【答案】（1）解：設(shè)函數(shù)為f(x)=ax，則f(?2)=a?2=9（2）解：函數(shù)f(x)=(13)x故f(?0.3)>f(0)>f(0.（3）解：函數(shù)f(x)=(13)x在R故?m2+m+1>0，解得1?【解析】【分析】(1)設(shè)f(x)=ax，代入點(diǎn)(?2，9)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大??；

(3)根據(jù)指數(shù)函數(shù)單性得到18．【答案】（1）解：因?yàn)閒(x)=2對(duì)于任意x∈D，?x∈D，因?yàn)樗詅(（2）解：當(dāng)x∈(1，任取x1，x那么f(x因?yàn)?<x1<x2即f(x1)>f(x2【解析】【分析】(1)求出f(?x)判斷與f(x)關(guān)系，證明f(x)為偶函數(shù)；

(2)任取x119．【答案】（1）解：由題意得P(5)?Q(5)=(1+k5)×180=216（2）解：由表中的數(shù)據(jù)知，當(dāng)時(shí)間變化時(shí)，該商品的日銷售量有增有減，并不單調(diào)，而①，③中的函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，故只能選②，即Q(x)=ax由表中數(shù)據(jù)可得Q(5)=180，Q(10)=310，即25a+5b=180100a+10b=310，解得a=?1故Q(x)（3）解：由（1）可得P(x)=1+1依題意H(x)=P(x)Q(x)=(1+=?=?=?(x?20)2+441所以當(dāng)x=20時(shí)H(x)取得最大值，即H(x)即H(x)的最大值為441.【解析】【分析】(1)由P(5)?Q(5)=216，代入計(jì)算；

(2)首先判斷Q(x)=ax2+bx，再代入數(shù)據(jù)計(jì)算求解a，b，

(3)由H(x)=P(x)Q(x)求出H(x)20．【答案】（1）解：若選擇條件①因?yàn)閒(所以9?5m=1+3m，故m=1.所以f(因?yàn)閒(x)解得x<?1或x>1，所以不等式解集為(?∞若選擇條件②?x∈R，f(x)所以對(duì)稱軸方程為x=?1，所以x=?m=?1，故m=1.以下同條件條件①.（2）解：不論是條件①或是條件②均可以得到m=1，因?yàn)?x∈R，根據(jù)（1）中條件①的同種方法即可得到當(dāng)?1<x<1時(shí)，f(所以M(又因?yàn)楫?dāng)x∈[1，故當(dāng)x∈[1，即2m<x+1x+2因?yàn)閤+1當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立，故2m<4，即m<2.【解析】【分析】(1)選擇條件①：由f(?3)=f(1)求得m=1，進(jìn)而根據(jù)一元二次不等式解法求不等式f(x)>g(x)的解集；選擇條件②根據(jù)二次函數(shù)的最值性質(zhì)求m的值，進(jìn)而根據(jù)一元二次不等式解法求不等式f(x)>g(x)21．【答案】（1）