2024-2025學(xué)年上海市黃浦區(qū)敬業(yè)中學(xué)高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年上海市黃浦區(qū)敬業(yè)中學(xué)高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知a、b∈R，若a<b，則(

)A.a<2b B.a3<b3 C.2.關(guān)于直線(xiàn)l，m及平面α，β，下列命題中正確的是(

)A.若l//α，α∩β=m，則l//m B.若l//α，m//α，則l//m

C.若l⊥α，m//α，則l⊥m D.若l//α，m⊥l，則m⊥α3.“x=π4+kπ(k∈Z)”是“tanx=1”成立的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，值域?yàn)锳，函數(shù)f(x)具有下列性質(zhì)：

(1)若x，y∈D，則f(x)f(y)∈A；(2)若x，y∈D，則f(x)+f(y)∈A.下列結(jié)論正確的是(

)

①存在x∈D，使得f(x)=20212020；

②對(duì)任意x∈D，都有A.①②都正確 B.①正確、②不正確

C.②正確、①不正確 D.①②都不正確二、填空題：本題共12小題，共54分。5.若集合A={x|x?1<2,x∈R}，則A∩N=______．6.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足iz?1=12(i為虛數(shù)單位)7.已知圓C：x2+y2=r2與直線(xiàn)3x?4y+10=08.已知拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)與雙曲線(xiàn)：x27?y29.在二項(xiàng)式(x2?2x)5的展開(kāi)式中，10.已知一個(gè)圓柱的高為1，底面半徑為3，則它的側(cè)面積的大小為_(kāi)_____．11.若α為第四象限角，且sinα=?13，則tanα的值是______．12.函數(shù)f(x)=sinπ213.如圖，在△ABC中，若AB=AC=3，cos∠BAC=12，DC=2BD，則14.若甲、乙兩人從6門(mén)課程中各選修3門(mén)，則甲、乙所選修的課程中至少有1門(mén)相同的選法種數(shù)為_(kāi)_____．15.設(shè)a>0，函數(shù)f(x)=x+2(1?x)cos(ax)，x∈(0,1)，若函數(shù)y=2x?1與y=f(x)的圖像有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍是______．16.已知a∈R，若存在定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：

①對(duì)任意x0∈R，f(x0)∈{x|x=x0k,k∈N?}，三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題14分)

如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD//BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線(xiàn)段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn)．

(1)證明：MN//平面PAB；

(2)求直線(xiàn)AN與平面PMN所成角的正弦值．

18.(本小題14分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a=3，b=2c．

(1)若A=2π3，求△ABC的面積；

(2)若2sinB?sinC=1，求sinA19.(本小題14分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，離心率為32，左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線(xiàn)交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，且△MF2N的周長(zhǎng)為8．

20.(本小題18分)

已知函數(shù)f(x)=ax+a?1x2+a，其中a是常數(shù)．

(1)若a>0，判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并說(shuō)明理由；

(2)若a≥1，且函數(shù)f(x)在(1,+∞)嚴(yán)格單調(diào)減，求實(shí)數(shù)a的最大值；

(3)若f(1)=12，且不等式f(21.(本小題18分)

若函數(shù)y=f(x)，x∈R的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)，x∈R是以T(T≠0)為周期的函數(shù)，則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)，x∈R具有“T性質(zhì)”．

(1)試判斷函數(shù)y=x2和y=sinx是否具有“2π性質(zhì)”，并說(shuō)明理由；

(2)已知函數(shù)y=?(x)，其中?(x)=ax2+bx+2sinbx(0<b<3)具有“π性質(zhì)”，求函數(shù)y=?(x)在[0,π]上的極小值點(diǎn)；

(3)若函數(shù)y=f(x)，x∈R具有“T性質(zhì)”，且存在實(shí)數(shù)M>0使得對(duì)任意x∈R都有|f(x)|<M成立，求證：y=f(x)，x∈R為周期函數(shù)．

(可用結(jié)論：若函數(shù)y=f(x)，x∈R的導(dǎo)函數(shù)滿(mǎn)足f′(x)=0，x∈R，則f(x)=C(參考答案1.B

2.C

3.C

4.A

5.{0,1,2}

6.1+2i

7.2

8.y29.?80

10.211.?12.[3,π]

13.?314.380

15.(2π16.(?∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)

17.(1)證明：由已知得AM=2取BP的中點(diǎn)T，連接AT，TN．由N為PC的中點(diǎn)知TN//BC，TN=1又AD//BC，故TN//AM，TN=AM，所以四邊形AMNT為平行四邊形，所以MN/?/AT．因?yàn)锳T?平面PAB，MN?平面PAB，所以MN/?/平面PAB．(2)解：取BC的中點(diǎn)E，連接AE.由AB=AC得AE⊥BC，從而AE⊥AD，且AE=AB2?BE2=AB2?BC22=5.以PM=0,2,?4，PN=設(shè)n=(x,y,z)為平面PMN則n?PM=0,于是直線(xiàn)AN與平面PMN所成角的正弦值為|cos

18.解：(1)∵cosA=b2+c2?a22bc=?12，

∴c2=97，

∴S△ABC=12bcsinA=c2sinA=97×32=9314；

(2)∵b=2c，由正弦定理可得sinB=2sinC，

∵2sinB?sinC=119.解：(Ⅰ)由題得：ca=32，4a=8，∴a=2，c=3．

又b2=a2?c2=1，

∴橢圓C的方程為x24+y2=1；

(Ⅱ)設(shè)直線(xiàn)MN的方程為x=ty?3，聯(lián)立x=ty?3x24+y2

20.解：(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=xx2+1是奇函數(shù)，

當(dāng)a>0且a≠1時(shí)，f(1)=2a?1a+1,f(?1)=?1a+1，

f(1)≠f(?1)，且f(1)+f(?1)≠0，此時(shí)f(x)是非奇非偶函數(shù)．

(2)因?yàn)閍≥1，且函數(shù)f(x)在(1,+∞)嚴(yán)格單調(diào)減，

所以f′(x)=a(x2+a)?2x(ax+a?1)(a+x2)2<0在(1,+∞)上恒成立，

即ax2?2(1?a)x?a2>0在(1,+∞)上恒成立，

當(dāng)a=1時(shí)，x2?1>0(1,+∞)上恒成立，

a>1，二次函數(shù)y=ax2?2(1?a)x?a2開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸x=1?aa<0，

只需a+2(a?1)≥a2，即1<a≤2，

綜上，1≤a≤2，

因此a的最大值為2．

(3)f(1)=2a?11+a=12，因此a=1，f(x)=xx2+1，

易得f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)=1+x2?2x2(1+x2)2=1?x2(1+x2)2，

令f′(x)>0，可得?1<x<1，令f′(x)<0，可得x>1或x<?1，21.解：(1)f(x)=x2不具有“2π性質(zhì)”，

理由是：f′(x)=2x，f′(2π)?f′(0)=4π≠0，即f′(2π)≠f′(0)；

g(x)=sinx具有“2π性質(zhì)”，

理由是：g′(x)=cosx，g′(x+2π)=g′(x)．

(2)法一：?(x)=ax2+bx+2sinbx(0<b<3)，則?′(x)=2ax+b+2bcosbx(0<b<3)，

由?′(x+π)=?′(x)可得，cosbx?cosb(x+π)=aπb對(duì)x∈R恒成立．

令x=0，得1?cosbπ=aπb

①；令x=πb，得?1+cosbπ=aπb

②．

①+②得，2aπb=0，因此a=0，從而cosbx=cos(bx+bπ)恒成立，

∴bπ=2kπ，即有b=2k，k∈Zx[0,π(2π(?′(x)+0?0+?(x)↗極大值↘極小值↗函數(shù)?(x)在[0,π]的極小值點(diǎn)為2π3．

法二：?′(x)=2ax+b+2bcosbx(0<b<3)，

由?′(x+π)=?′(x)，可得cosbx?cosb(x+π)=aπb，

所以cos[(bx+bπ2)?bπ2]?cos[(bx+bπ2)+bπ2]=aπb，

即cos(bx+bπ2)cosbπ2+sin(bx+x[0,π(2π(?′(x)+0?0+?(x)↗極大值↘極小值↗函數(shù)?(x)在[0,π]的極小值點(diǎn)為2π3．

證明：(3)令?(x)=f(x+T)?f(x)，

∵y=f(x)，x∈R具有“T”性質(zhì)，

∴?′(x)=f′(x+T)?f′(x)=0，

∴?(x)=c=f(x+T)?f(x)(c為常數(shù))，

法一：

①若c=0，f(x)是以T為周期的周期函數(shù)；

②若c>0，由f(nT)=f(0)+nc，

當(dāng)n≥M?f(0)c時(shí)，f(nT)=f(0)+nc≥f(0)+M?f(0)=M，這與|f(x)|<M矛盾，舍去；

③若c<0，由f(nT)=f(0)+nc，

當(dāng)n≤M?f(0)c時(shí)，f(nT)=f(0)+nc≥f(0)+M?f(0)=M，這與|f(x)|<M矛盾，舍去．

綜上，c=0.f(x+T)?f(x)=0，所以f(x)是周期