浙江省北斗星盟2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期適應(yīng)性聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

高三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1.本卷共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先解對(duì)數(shù)不等式求出集合，解一元二次不等式求出集合，再根據(jù)補(bǔ)集、交集的定義計(jì)算可得.【詳解】由，即，即，解得，所以，由，解得，所以，所以，則.故選：D2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得，再由共軛復(fù)數(shù)可知問題的結(jié)果.【詳解】由得：，即，所以，故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.故選：C.3.已知向量，，若與垂直，則等于（）A. B. C.3 D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)與垂直，可得，即可求出，再根據(jù)模的坐標(biāo)公式即可得解.【詳解】，因?yàn)榕c垂直，所以，解得，所以.故選：B4.已知數(shù)列滿足，則“為等比數(shù)列”是“（，）”的（）A.充分條件但不是必要條件 B.必要條件但不是充分條件C.充要條件 D.既不是充分條件也不是必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】若為等比數(shù)列，則，所以，，當(dāng)時(shí)，故充分性不成立；若（，），不妨令，則，又，所以，即，所以為公比為的等比數(shù)列，故必要性成立；故“為等比數(shù)列”是“（，）”的必要不充分條件.故選：B5.在對(duì)某校高三學(xué)生體質(zhì)健康狀況某個(gè)項(xiàng)目的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方差分別為15，10，由此估計(jì)樣本的方差不可能為（）A.11 B.13 C.15 D.17【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)男生體質(zhì)健康狀況的平均數(shù)為，女生的平均數(shù)為，總體的平均數(shù)為，方差為，結(jié)合方差的公式，分析選項(xiàng)，即可求解.【詳解】設(shè)男生體質(zhì)健康狀況的平均數(shù)為，女生的平均數(shù)為，總體的平均數(shù)為，方差為，則，，結(jié)合選項(xiàng)，可得A項(xiàng)不符合.故選：A.6.若，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用和差角公式展開，即可得到，再兩邊同除，最后結(jié)合兩角和的正切公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，即，即，兩邊同除可得，所以故選：C7.如圖，假定兩點(diǎn)P，Q以相同的初速度運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)Q沿直線CD做勻速運(yùn)動(dòng)，；點(diǎn)P沿線段AB（長(zhǎng)度為單位）運(yùn)動(dòng)，它在任何一點(diǎn)的速度值等于它尚未經(jīng)過的距離．令P與Q同時(shí)分別從A，C出發(fā)，定義x為y的納皮爾對(duì)數(shù)，用現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號(hào)表示x與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系就是，當(dāng)點(diǎn)P從線段AB靠近A的三等分點(diǎn)移動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，經(jīng)過的時(shí)間為（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】易知，它們的初速度相等，故點(diǎn)的速度為，然后可以根據(jù)，求出在中點(diǎn)、三等分點(diǎn)時(shí)的，則點(diǎn)移動(dòng)的距離可求，結(jié)合速度、時(shí)間可求．【詳解】解：由題意，點(diǎn)初始速度即為點(diǎn)的速度．當(dāng)在靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)：，解得：，當(dāng)在中點(diǎn)時(shí)：，解得：，所以經(jīng)過的時(shí)間為：．故選：D．8.設(shè)雙曲線：（，）的左焦點(diǎn)為，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，結(jié)合已知條件和雙曲線的定義求得，利用余弦定理列方程，解方程求得，由此求得離心率.【詳解】如圖，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接，.由雙曲線的對(duì)稱性可得：，，則四邊形是平行四邊形，又因?yàn)?，則，設(shè)，由雙曲線的定義可得：，在中，由余弦定理可得：所以，整理可得：，解得：或（舍去），則，，在中，由余弦定理可得：所以，整理可得：，所以.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為 B.的圖象關(guān)于對(duì)稱C.在上單調(diào)遞減 D.當(dāng)時(shí)，【答案】BCD【解析】【分析】由，可判定A不正確；由，可判定B正確；設(shè)，得到，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，可判定C正確、D正確.【詳解】對(duì)于A中，由，所以A不正確；對(duì)于B中，由，可得函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，所以B正確；對(duì)于C中，設(shè)，可得，則，當(dāng)時(shí)，可得，則，又由，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，可得函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以C正確；對(duì)于D中，當(dāng)時(shí)，可得，則，又由，在為遞減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以D正確.故選：BCD.10.已知，，是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的三個(gè)事件，且，，下列說法正確的是（）A.若與互斥，則與不相互獨(dú)立B.若與相互獨(dú)立，則與不互斥C.若，且，則與相互獨(dú)立D.若，則，，兩兩獨(dú)立【答案】ABC【解析】【分析】由互斥事件和相互獨(dú)立事件的概念對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】對(duì)于A，若與互斥，則與不能同時(shí)發(fā)生，即，因?yàn)楸硎九c都不發(fā)生，則的對(duì)立事件為與至少有一個(gè)發(fā)生，所以，而，所以，因?yàn)樗裕纱丝芍?，與不相互獨(dú)立，故A正確；對(duì)于B，若與相互獨(dú)立，則，因?yàn)椋?，所以，則，所以與不互斥，故B正確；對(duì)于C，若，因，因?yàn)椋瑒t有，所以與相互獨(dú)立，故C正確；對(duì)于D，拋擲一枚質(zhì)地均均的骰子，事件表示出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為，事件表示出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)，事件表示出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)，事件表示出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為，，滿足，事件表示出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為，但則，不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)滿足，其中，，則（）A.當(dāng)時(shí)，則的最小值為B.過點(diǎn)在平面內(nèi)一定可以作無數(shù)條直線與垂直C.若與所成的角為，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線D.當(dāng)，時(shí)，正方體經(jīng)過點(diǎn)、、的截面面積的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)A，將平面展開到與同一平面，由兩點(diǎn)間線段最短得解；對(duì)B，當(dāng)在時(shí)，過點(diǎn)只能作一條直線與垂直，可判斷；對(duì)CD，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)在線段上，如圖，將三角形與矩形沿展成平面圖形如下所示，則線段即為的最小值，利用余弦定理可知，所以，即的最小值為，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)在時(shí)，過點(diǎn)在平面內(nèi)只可以作一條直線與垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，以D為原點(diǎn)，分別以為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，得，，整理得，為雙曲線方程，故C正確．對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng),正方體經(jīng)過點(diǎn)、、的截面為平行四邊形，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，，，所以點(diǎn)到直線的距離為，于是當(dāng)時(shí)，的面積取最小值，此時(shí)截面面積為；當(dāng)或時(shí)，的面積取最大值，此時(shí)截面面積為，所以正方體經(jīng)過點(diǎn)、、的截面面積的取值范圍為，故D正確．故選：ACD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：立體幾何中與動(dòng)點(diǎn)軌跡有關(guān)的題目歸根到底還是對(duì)點(diǎn)線面關(guān)系的認(rèn)知，其中更多涉及了平行和垂直的一些證明方法，在此類問題中要么很容易的看出動(dòng)點(diǎn)符合什么樣的軌跡(定義)，要么通過計(jì)算(建系)求出具體的軌跡表達(dá)式，和解析幾何中的軌跡問題并沒有太大區(qū)別，所求的軌跡一般有四種，即線段型，平面型，二次曲線型，球型.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)為______.【答案】280【解析】【分析】先由二項(xiàng)式系數(shù)和為128，求出，再求出展開式的通項(xiàng)，令，即可得出答案.【詳解】展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，解得：，所以展開式的通項(xiàng)為：，令，解得：，所以展開式中的系數(shù)為：.故答案為：280.13.已知圓：和圓：，過圓上一動(dòng)點(diǎn)作圓的切線，交圓于，兩點(diǎn)，當(dāng)（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積最大時(shí)，滿足條件的切線方程為______.（寫出一條即可）【答案】或或（寫出一條即可）【解析】【分析】由圓的弦長(zhǎng)公式求出，再利用三角形面積公式求出面積最大時(shí)的，然后由圓心到直線的距離分別等于半徑列方程組，解出即可.【詳解】設(shè)圓的圓心，半徑；圓的圓心，半徑；設(shè)到直線的距離為，則，，則，所以當(dāng)時(shí)，的面積最大，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，滿足題意，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)：，則由題意可得，①化簡(jiǎn)可得，即或，代入①可解得或，所以滿足條件的切線方程為或或，故答案為：或或.（寫出一條即可）14.已知函數(shù)，，對(duì)任意，存在使得不等式成立，則滿足條件的的最大整數(shù)為______.【答案】【解析】【分析】依題意存在使得，參變分離可得，令，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，求出，則，即可求出的最大整數(shù).【詳解】依題意對(duì)任意，且有，因?yàn)榇嬖谑沟貌坏仁匠闪?，所以存在使得，即，令，，則，令，，則在上單調(diào)遞增，且，，所以使得，即，，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，因?yàn)?，所以，所以，依題意，又為整數(shù)，所以，所以的最大值為.

故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為存在使得，即.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有線段，已知點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，……，點(diǎn)是線段（，）上靠近的三等分點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，，求的通項(xiàng)公式.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得進(jìn)而證得，即可證得數(shù)列是等比數(shù)列；（2）根據(jù)題意，求得，求得，結(jié)合累加法，得到時(shí)，，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【小問1詳解】解：由題意得所以，可得，又由，所以所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.【小問2詳解】解：因?yàn)?，，所以，因?yàn)閿?shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以時(shí)，.由累加法可得時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.16.在四棱錐中，，，，，、分別為直線，上的動(dòng)點(diǎn).（1）若異面直線與所成的角為，判斷與是否具有垂直關(guān)系并說明理由；（2）若，，求直線與平面所成角的最大值.【答案】（1）答案見解析，理由見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，即可說明，則（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成的角，分和兩種情況討論，利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面的法向量，利用空間向量法求出線面角的正弦值，即可求出線面角的最大值.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成的角，①當(dāng)時(shí)，中，，，由余弦定理可知，所以，所以，所以，又，，，平面，所以平面，又平面，所以.②當(dāng)，假設(shè)，則由①有平面，因?yàn)槠矫?，所以，，這與相矛盾，故此時(shí)與不垂直.綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，與不垂直.【小問2詳解】由，點(diǎn)是中點(diǎn)，可得，從而由可得，又，所以，即，因?yàn)?，由?）有，所以，所以兩兩互相垂直，故可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.故，，，，.因?yàn)?，設(shè)平面的法向量為，則有設(shè)，則，又，所以有令，則，故平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則，令，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取“＝”）.又，所以.綜上所述，直線與平面所成角的最大值為.17.將除顏色外完全相同的紅球2個(gè)、白球3個(gè)放入一盲盒（一種具有隨機(jī)屬性的玩具盒子），現(xiàn)從中不放回取球.（1）若每次取一個(gè)球，求：（?。┣皟纱尉〉郊t球的概率；（ⅱ）第2次取到紅球的概率；（2）若從中取出兩個(gè)球，已知其中一個(gè)球?yàn)榧t球，求：（ⅰ）另一個(gè)也為紅球的概率；（ⅱ）若你現(xiàn)在可以選擇從剩下的球中隨機(jī)取一個(gè)球來替換另一個(gè)球，如果從提高取到紅球的可能性出發(fā)，你是選擇換還是不換？試說明理由.【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）（2）（?。?；（ⅱ）選擇交換，理由見解析【解析】【分析】（1）不放回取球可以用條件概率公式的變式公式來計(jì)算，即：，第2次取到紅球可由兩互斥事件計(jì)算得到，即；（2）條件概率公式：，其中有一個(gè)球?yàn)榧t球，又等價(jià)轉(zhuǎn)化到對(duì)立事件來求概率，即可求出結(jié)果，對(duì)于是否交換，只需要比較兩種情形的概率就可以得到判斷.【小問1詳解】記事件（）為第次取到紅球，事件（）為第次取到白球.（ⅰ）前兩次均取到紅球即為事件，.（ⅱ）.【小問2詳解】（ⅰ）事件：其中有一個(gè)球?yàn)榧t球的“對(duì)立事件”為：兩個(gè)球均為白球，即為事件，，所以在一個(gè)球?yàn)榧t球的前提下另一個(gè)球也為紅球的概率.（ⅱ）若不換：在取到的一個(gè)球?yàn)榧t球的前提下取到的另一個(gè)球也為紅球的概率記為；若換：換后取到紅球的概率記為；由于，所以交換后摸到紅球的概率更大，選擇交換.18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，為動(dòng)點(diǎn)，滿足.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）已知過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，，連接，.（?。┯浿本€，的斜率分別為，，求證：為定值；（ⅱ）直線，與直線分別交于，兩點(diǎn)，求最小值.【答案】（1）（2）（?。┳C明見解析；（ⅱ）【解析】【分析】（1）由雙曲線的定義求解即可；（2）（ⅰ）設(shè)直線：，變形可得，兩式聯(lián)立，設(shè)，可知，是方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系即可得出答案.（ⅱ）設(shè)直線：與聯(lián)立求出，同理求出，由此表示出，由基本不等式求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所以根?jù)雙曲線的定義可知點(diǎn)的軌跡為以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線，由，，得，，所以的方程為.【小問2詳解】（?。┰O(shè)直線：（）因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，所以.變形可得，即所以整理得（*）設(shè)，則（*）式除以得此時(shí)，是方程的兩根，所以，所以，得證.（ⅱ）設(shè)直線：，由，可得；設(shè)直線：，同理可得；.由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)直線：與聯(lián)立求出，同理求出，由此表示出，由基本不等式求解即可.19.莫比烏斯