高考真題與模擬訓(xùn)練專題練習(xí)專題03指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)(原卷版+解析)

專題3指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)第一部分真題分類一、單選題1．（2021·全國(guó)高考真題（文））青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測(cè)量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（）（）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.62．（2021·全國(guó)高考真題（理））設(shè)，，．則（）A． B． C． D．3．（2021·全國(guó)高考真題（文））下列函數(shù)中最小值為4的是（）A． B．C． D．4．（2020·海南高考真題）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．（2020·全國(guó)高考真題（理））已知55<84，134<85．設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則（）A．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b6．（2020·全國(guó)高考真題（文））Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I()=0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為（）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．697．（2020·全國(guó)高考真題（理））若，則（）A． B． C． D．8．（2020·全國(guó)高考真題（理））設(shè)函數(shù)，則f(x)（）A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減9．在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽(yáng)的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為()A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10．已知，則（）A． B． C． D．11．設(shè)，，則（）A． B．C． D．二、填空題12．已知常數(shù)，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，．若，則______．13．已知，若冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在上遞減，則____．第二部分模擬訓(xùn)練一、單選題1．設(shè)，是的前項(xiàng)和.若是遞增數(shù)列，且對(duì)任意，存在，使得.則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．若實(shí)數(shù)，滿足，，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，若，則（）A． B． C． D．4．函數(shù)（且）與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則函數(shù)與二次函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖像可能是（）A． B． C．D．5．設(shè)函數(shù)，若互不相等的實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，設(shè)方程的四個(gè)不等實(shí)根從小到大依次為，，，，則下列判斷中錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．二、填空題7．已知函數(shù)，是函數(shù)的反函數(shù)，若的圖象過點(diǎn)，則的值為.8．已知函數(shù)則___________．9．若函數(shù)，滿足：，均有，成立，則稱“與關(guān)于分離”.已知函數(shù)與（，且）關(guān)于分離，則a的取值范圍是________.10．已知n∈N*,，，，其中表示這個(gè)數(shù)中最大的數(shù)．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意的n∈N*恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是______．三、解答題11．已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）若為R上的偶函數(shù)，且關(guān)于x的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.12．已知，其中是常數(shù).(1)若是奇函數(shù)，求的值；(2)求證：的圖像上不存在兩點(diǎn)，使得直線平行于軸.13．已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記，是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，求的最小值.14．已知函數(shù)(1)求函數(shù)的反函數(shù)；(2)試問:函數(shù)的圖象上是否存在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，若存在，求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；(3)若方程的三個(gè)實(shí)數(shù)根滿足:，且，求實(shí)數(shù)的值．專題3指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)第一部分真題分類一、單選題1．（2021·全國(guó)高考真題（文））青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測(cè)量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（）（）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6【答案】C【解析】由，當(dāng)時(shí)，，則.故選：C.2．（2021·全國(guó)高考真題（理））設(shè)，，．則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】,所以;下面比較與的大小關(guān)系.記,則,，由于所以當(dāng)0<x<2時(shí)，,即,,所以在上單調(diào)遞增，所以,即,即;令,則,,由于，在x>0時(shí),,所以,即函數(shù)在[0,+∞)上單調(diào)遞減，所以,即,即b<c;綜上，,故選：B.3．（2021·全國(guó)高考真題（文））下列函數(shù)中最小值為4的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，A不符合題意；對(duì)于B，因?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，等號(hào)取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，而，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，C符合題意；對(duì)于D，，函數(shù)定義域?yàn)?，而且，如?dāng)，，D不符合題意．故選：C．4．（2020·海南高考真題）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得或所以的定義域?yàn)橐驗(yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增所以在上單調(diào)遞增所以故選：D5．（2020·全國(guó)高考真題（理））已知55<84，134<85．設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則（）A．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b【答案】A【解析】由題意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.綜上所述，.故選：A.6．（2020·全國(guó)高考真題（文））Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I()=0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為（）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．69【答案】C【解析】，所以，則，所以，，解得.故選：C.7．（2020·全國(guó)高考真題（理））若，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得：，令，為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，為上的增函數(shù)，，，，，則A正確，B錯(cuò)誤；與的大小不確定，故CD無法確定.故選：A.8．（2020·全國(guó)高考真題（理））設(shè)函數(shù)，則f(x)（）A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減【答案】D【解析】由得定義域?yàn)?，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，又，為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，D正確.故選：D.9．在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽(yáng)的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為()A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．【答案】A【解析】?jī)深w星的星等與亮度滿足,令,.故選A.10．已知，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】則．故選B．11．設(shè)，，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】.,即又即故選B.二、填空題12．已知常數(shù)，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，．若，則______．【答案】6【解析】函數(shù)f（x）=的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（p，），Q（q，）．則：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案為613．已知，若冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在上遞減，則____．【答案】-1【解析】∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，冪函數(shù)f（x）=xα為奇函數(shù)，且在（0，+∞）上遞減，∴a是奇數(shù)，且a＜0，∴a=﹣1．故答案為﹣1．第二部分模擬訓(xùn)練一、單選題1．設(shè)，是的前項(xiàng)和.若是遞增數(shù)列，且對(duì)任意，存在，使得.則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以．因?yàn)?，所以?duì)任意，存在，使得，即：對(duì)任意，存在，使得，①當(dāng)時(shí)，由題意可知：對(duì)任意，存在，成立，則成立，而，，解不等式無解．②當(dāng)時(shí)，由題意可知：對(duì)任意，存在，成立，則成立，而，，恒成立.故選：D．2．若實(shí)數(shù)，滿足，，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵實(shí)數(shù)，滿足，，，，．∴，，的大小關(guān)系為．故選B．3．已知函數(shù)，若，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題得所以故答案為D4．函數(shù)（且）與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則函數(shù)與二次函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖像可能是（）A． B． C．D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)（且）與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以，在選項(xiàng)A中，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像單調(diào)遞增，所以a>1,所以a-1>0,所以二次函數(shù)的拋物線開口向上，拋物線的對(duì)稱軸為所以選項(xiàng)A是正確的，故選A..5．設(shè)函數(shù)，若互不相等的實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】畫出函數(shù)的圖象如圖所示．不妨令，則，則．結(jié)合圖象可得，故．∴．故選：B．6．已知函數(shù)，設(shè)方程的四個(gè)不等實(shí)根從小到大依次為，，，，則下列判斷中錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故，，故正確；又，故正確；又，故正確；故選：C.二、填空題7．已知函數(shù)，是函數(shù)的反函數(shù)，若的圖象過點(diǎn)，則的值為.【答案】48．已知函數(shù)則___________．【答案】1【解析】由題意，，∴．故答案為：1．9．若函數(shù)，滿足：，均有，成立，則稱“與關(guān)于分離”.已知函數(shù)與（，且）關(guān)于分離，則a的取值范圍是________.【答案】【解析】函數(shù)與的圖象關(guān)于對(duì)稱當(dāng)與相切于上一點(diǎn)時(shí)，，即，由可得，代入（1）得所以，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，即所以，解得此時(shí)，即又因?yàn)樵酱螅膱D象越靠近軸，的圖象越靠近軸所以當(dāng)函數(shù)與關(guān)于分離時(shí)，故答案為：10．已知n∈N*,，，，其中表示這個(gè)數(shù)中最大的數(shù)．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意的n∈N*恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是______．【答案】【解析】設(shè)，即∴∴即，由與圖象可知：在第一象限n取正整數(shù)時(shí)，僅有n=3時(shí)，即∴，即實(shí)數(shù)的最大值是故答案為三、解答題11．已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）若為R上的偶函數(shù)，且關(guān)于x的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】（1），偶函數(shù)；，奇函數(shù)；，非奇非偶函數(shù)，理由見解析；（2）.【解析】（1）f（﹣x）＝2﹣x+m?2x，若f（x）是偶函數(shù)，則f（﹣x）＝f（x），即2﹣x+m?2x＝2x+m?2﹣x，所以（m﹣1）（2x﹣2﹣x）＝0對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立，所以m＝1；若f（x）是奇函數(shù)，則f（﹣x）＝﹣f（x），即2﹣x+m?2x＝﹣2x﹣m?2﹣x，所以（m+1）（2x+2﹣x）＝0對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立，所以m＝﹣1．綜上，當(dāng)m＝1時(shí)，f（x）是偶函數(shù)；當(dāng)m＝﹣1時(shí)，f（x）是奇函數(shù)；當(dāng)m≠±1時(shí)，f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．（2）f（x）0，3k2+1＞0，且2k?f（x）＞3k2+1在（﹣∞，0）上恒成立，故原不等式等價(jià)于在（﹣∞，0）上恒成立，又x∈（﹣∞，0），所以f（x）∈（2，+∞），所以，從而，即有3k2﹣4k+1≤0，因此，．12．已知，其中是常數(shù).(1)若是奇函數(shù)，求的值；(2)求證：的圖像上不存在兩點(diǎn)，使得直線平行于軸.【答案】(1).(2)見解析.【解析】(1)設(shè)定義域?yàn)椋驗(yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以對(duì)任意,有，整理得，故.此時(shí)，，為奇函數(shù).(2)若，則，若，則，若，則，設(shè)定義域內(nèi)任意，設(shè)，..當(dāng)時(shí)，總有，，得；當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，，，，得，故總有在定義域上單調(diào)遞增，所以總有在定義域上單調(diào)遞增.的圖像上不存在兩點(diǎn),使得所連的直線與軸平行.13．已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記，是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，求的最小值.【答案】（I）.（II）的最小值為100.【解析】（I）∵，，成等差數(shù)列，∴，又?jǐn)?shù)列是公比為2的等比數(shù)列，∴，解得，∴．（II）由（Ⅰ）得，∴．由，得，∴，又，∴的最小值為100.14．已知函數(shù)(1)求函數(shù)的反函數(shù)；(2)試問:函數(shù)的圖象上是否存在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，若存在，求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；(3)若方程的三個(gè)實(shí)數(shù)根滿足:，且，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）；（2）存在點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；（3）.【解析】(1)當(dāng)時(shí)，.由，得，互換，可得.當(dāng)時(shí)，.由，得，互換，可得.