新高考一輪復習講義第28講正弦定理和余弦定理(原卷版+解析)

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第28講正弦定理和余弦定理學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎鞏固】1．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學高三開學考試）在中，，，則外接圓的半徑為（

）A．1 B． C．2 D．32．（2021·全國·高考真題（文））在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．33．（2022·全國·高三專題練習）在中，根據(jù)下列條件解三角形，則其中有兩個解的是（

）A． B．C． D．4．（2022·全國·高三專題練習）在中，內(nèi)角A，B，C所對的分別為a，b，c，下列結論錯誤的是（

）A．若a＝2，b＝2021，c＝2022，則為鈍角三角形B．若sin2A＝sin2B，則是等腰三角形C．若a：b：c＝2：3：4，則中最小的內(nèi)角為A，且D．若a＝2，，，則5．（2022·江蘇南通·模擬預測）小強計劃制作一個三角形，使得它的三條邊中線的長度分別為1，，，則（

）A．能制作一個銳角三角形 B．能制作一個直角三角形C．能制作一個鈍角三角形 D．不能制作這樣的三角形6．（2022·山東臨沂·二模）我國古代數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術”，即在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則△ABC的面積．根據(jù)此公式，若，且，則△ABC的面積為（

）A． B． C． D．7．（2022·全國·高三專題練習）在銳角中，若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2022·全國·高三專題練習）在中，三邊長滿足，則的值為（

）A． B．C． D．9．（多選）（2022·廣東·汕頭市第一中學高三階段練習）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且（

）A．若，，則B．若，，則的面積為C．若，則的最大值為D．若，則周長的取值范圍為10．（多選）（2022·山東·高三開學考試）在△中，內(nèi)角所對的邊分別為a、b、c，則下列說法正確的是（

）A．B．若，則C．D．若，且，則△為等邊三角形11．（2021·全國·高考真題（理））記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，，，則________．12．（2022·海南中學高三階段練習）已知四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，若，，.則四邊形ABCD的面積為______.13．（2022·北京·二模）已知的三個角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則能使成立的一組A，B的值是________．14．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學模擬預測）在中，P是邊上靠近B點得四等分點，，則_______，則__________．15．（2022·浙江·高考真題）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．16．（2022·全國·高考真題（理））記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長．17．（2022·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【素養(yǎng)提升】1．（2022·廣東深圳·高三階段練習）在中，，的內(nèi)切圓的面積為，則邊長度的最小值為（

）A．16 B．24 C．25 D．362．（2022·全國·模擬預測）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2022·江蘇·高郵市第一中學高三階段練習）在銳角中，角，，的對邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（2022·重慶·三模）在矩形中，，，E，F(xiàn)分別在邊AD，DC上（不包含端點）運動，且滿足，則的面積可以是（

）A．2 B． C．3 D．45．（2022·北京·測試學校四高三）在中，，其外接圓半徑，且，則___________.6．（2021·全國·高考真題）記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第28講正弦定理和余弦定理學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎鞏固】1．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學高三開學考試）在中，，，則外接圓的半徑為（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【解析】設R為外接圓的半徑，故，解得．故選：A．2．（2021·全國·高考真題（文））在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】D【解析】設，結合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.3．（2022·全國·高三專題練習）在中，根據(jù)下列條件解三角形，則其中有兩個解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A選項，，，，又，由正弦定理得：，，三角形三邊確定，此時三角形只有一解，不合題意；對于B選項，，，，由余弦定理得：，三角形三邊唯一確定，此時三角形有一解，不合題意；對于C選項，，三邊均為定值，三角形唯一確定，故選項C不合題意；對于D選項，，，，由正弦定理得：，，，，有兩解，符合題意，故選：D.4．（2022·全國·高三專題練習）在中，內(nèi)角A，B，C所對的分別為a，b，c，下列結論錯誤的是（

）A．若a＝2，b＝2021，c＝2022，則為鈍角三角形B．若sin2A＝sin2B，則是等腰三角形C．若a：b：c＝2：3：4，則中最小的內(nèi)角為A，且D．若a＝2，，，則【答案】B【解析】在中，最大的內(nèi)角為C，，故為鈍角三角形，A正確．因為sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或，故是等腰三角形或直角三角形，B錯誤．設a＝2x，b＝3x，c＝4x（x>0），中最小的內(nèi)角為A，由余弦定理知．因為，所以，故中最小的內(nèi)角為A，且，C正確．．因為0<A<π，所以或．又因為c>a，所以C>A．則不符合題意，舍去，故，D正確．故選：B.5．（2022·江蘇南通·模擬預測）小強計劃制作一個三角形，使得它的三條邊中線的長度分別為1，，，則（

）A．能制作一個銳角三角形 B．能制作一個直角三角形C．能制作一個鈍角三角形 D．不能制作這樣的三角形【答案】C【解析】設三角形的三條邊為a，b，c，設中點為D，，則，∴同理，∴，∴，，∴可以構成三角形，∴，∴為鈍角三角形，故選：C6．（2022·山東臨沂·二模）我國古代數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術”，即在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則△ABC的面積．根據(jù)此公式，若，且，則△ABC的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由正弦定理邊角互化可知化簡為，即，,，解得：，根據(jù)面積公式可知.故選：A7．（2022·全國·高三專題練習）在銳角中，若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，，，．由題，由正弦定理有，故，即，故，即，由正弦定理有，故，，又銳角，且，，，解得，，，，，，，，，的取值范圍為．故選：A．8．（2022·全國·高三專題練習）在中，三邊長滿足，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】方法一：，由正弦定理得：，，，；，，，又，，，，，，即，整理可得：，，，，，；方法二：令，，，則滿足；則可知：，；由得：，解得：或，，，，.故選：C.9．（多選）（2022·廣東·汕頭市第一中學高三階段練習）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且（

）A．若，，則B．若，，則的面積為C．若，則的最大值為D．若，則周長的取值范圍為【答案】ACD【解析】因為，所以.對于A，B，若，則，，解得，的面積，A正確，B錯誤.對于C，若，則，，當且僅當時，等號成立，所以的最大值為，C正確.對于D，若，則根據(jù)三邊關系可得即解得，則，的周長為，故周長的取值范圍為，D正確.故選：ACD10．（多選）（2022·山東·高三開學考試）在△中，內(nèi)角所對的邊分別為a、b、c，則下列說法正確的是（

）A．B．若，則C．D．若，且，則△為等邊三角形【答案】ACD【解析】A：由，根據(jù)等比的性質(zhì)有，正確；B：當時，有，錯誤；C：，而，即，由正弦定理易得，正確；D：如下圖，是單位向量，則，即、，則且平分，的夾角為，易知△為等邊三角形，正確.故選：ACD11．（2021·全國·高考真題（理））記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，，，則________．【答案】【解析】由題意，，所以，所以，解得（負值舍去）.故答案為：.12．（2022·海南中學高三階段練習）已知四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，若，，.則四邊形ABCD的面積為______.【答案】【解析】解：設，在與中，由余弦定理得，，又由于，即，解得，即得.故，∴.故答案為：.13．（2022·北京·二模）已知的三個角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則能使成立的一組A，B的值是________．【答案】（答案不唯一）【解析】由正弦定理得：，，，，，（答案不唯一）.故答案為：（答案不唯一）.14．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學模擬預測）在中，P是邊上靠近B點得四等分點，，則_______，則__________．【答案】

2

【解析】由余弦定理，得，又，得，所以，聯(lián)立，得，所以，所以.故答案為：2；.15．（2022·浙江·高考真題）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．【解】(1)由于，，則．因為，由正弦定理知，則．(2)因為，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面積．16．（2022·全國·高考真題（理））記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長．【解】(1)證明：因為，所以，所以，即，所以；(2)解：因為，由（1）得，由余弦定理可得，則，所以，故，所以，所以的周長為.17．（2022·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【解】(1)因為，即，而，所以；(2)由（1）知，，所以，而，所以，即有．所以．當且僅當時取等號，所以的最小值為．【素養(yǎng)提升】1．（2022·廣東深圳·高三階段練習）在中，，的內(nèi)切圓的面積為，則邊長度的最小值為（

）A．16 B．24 C．25 D．36【答案】A【解析】因為的內(nèi)切圓的面積為，所以的內(nèi)切圓半徑為4．設內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．因為，所以，所以．因為，所以．設內(nèi)切圓與邊切于點，由可求得，則．又因為，所以．所以．又因為，所以，即，整理得．因為，所以，當且僅當時，取得最小值．故選：A．2．（2022·全國·模擬預測）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴或（不符合題意舍去），∴，∴，設，∵是銳角三角形，∴，∴，∴，∴，令，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，∴.故選：C．3．（2022·江蘇·高郵市第一中學高三階段練習）在銳角中，角，，的對邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：在中，由余弦定理得，且的面積，由，得，化簡得，又，，聯(lián)立得，解得或（舍去），所以，因為為銳角三角形，所以，，所以，所以，所以，所以，設，其中，所以，由對勾函數(shù)單調(diào)性知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，；當時，；當時，；所以，即的取值范圍是．故選：C.4．（2022·重慶·三模）在矩形中，，，E，F(xiàn)分別在邊AD，DC上（不包含端點）運動，且滿足，則的面積可以是（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】BC【解析】如圖，以為原點，所在的直線為軸的正方向建立平面直角坐標系，設，因為，，，所以，，，由余弦定理得得，可得，當且僅當?shù)忍柍闪ⅲ?，解得，或，因為，所以，所以，因為，所以，因為，所以，所以，，而，，，，故選：BC.5．（2022·北京·測試學校四高三）在中，，其外接圓半徑，且，則___________.【答案】1【解析】因為，所以因為，所以,進而有，于是因為，所以.故答案為：16．（2021·全國·高考真題）記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【解】（1）設的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因為，所以，即．又因為，所以．（2）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應用余弦定理因為，如圖，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因為，所以，解得或，當時，（舍去）．當時，．所以．[方法二]：等面積法和三角形相似如圖，已知，則，即，而，即，故有，從而．由，即，即，即，故，即，又，所以，則．[方法三]：正弦定理、余弦定理相結合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化簡得．在中，由正