黑龍江省哈爾濱六中2025屆數(shù)學高一上期末經(jīng)典模擬試題含解析

黑龍江省哈爾濱六中2025屆數(shù)學高一上期末經(jīng)典模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知函數(shù)若曲線與直線的交點中，相鄰交點的距離的最小值為，則的最小正周期為A. B.C. D.2．已知函數(shù)，則（）A. B.C. D.13．已知函數(shù)，下列區(qū)間中包含零點的區(qū)間是（）A. B.C. D.4．“”是“函數(shù)在內單調遞增”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要5．已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6．已知角的終邊經(jīng)過點，則（）A. B.C. D.7．方程的實數(shù)根大約所在的區(qū)間是A. B.C. D.8．已知實數(shù)滿足，則函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（）A. B.C. D.9．下列區(qū)間中，函數(shù)f（x）=|ln（2-x）|在其上為增函數(shù)的是（）A. B.C. D.10．已知函數(shù)，則的圖像大致是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)的最大值為，且圖像的兩條相鄰對稱軸之間的距離為，求：（1）函數(shù)的解析式；（2）當，求函數(shù)的單調遞減區(qū)間12．當時，函數(shù)取得最大值，則_______________13．已知函數(shù)，那么_________.14．中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點生活或配合其他民俗活動的民間藝術.現(xiàn)有兩名剪紙藝人創(chuàng)作甲、乙兩種作品，他們在一天中的工作情況如圖所示，其中點Ai的橫、縱坐標分別為第i名藝人上午創(chuàng)作的甲作品數(shù)和乙作品數(shù)，點Bi的橫、縱坐標分別為第i名藝人下午創(chuàng)作的甲作品數(shù)和乙作品數(shù)，i=1，①該天上午第1名藝人創(chuàng)作的甲作品數(shù)比乙作品數(shù)少；②該天下午第1名藝人創(chuàng)作的乙作品數(shù)比第2名藝人創(chuàng)作的乙作品數(shù)少；③該天第1名藝人創(chuàng)作的作品總數(shù)比第2名藝人創(chuàng)作的作品總數(shù)少；④該天第2名藝人創(chuàng)作的作品總數(shù)比第1名藝人創(chuàng)作的作品總數(shù)少.其中所有正確結論序號是___________.15．寫出一個在區(qū)間上單調遞增冪函數(shù)：______16．已知是R上的奇函數(shù)，且當時，，則的值為___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某廠家擬在年舉行某產(chǎn)品的促銷活動，經(jīng)調查，該產(chǎn)品的年銷售量（即該產(chǎn)品的年產(chǎn)量）（單位：萬件）與年促銷費（單位：萬元）滿足（為常數(shù)），如果不舉行促銷活動，該產(chǎn)品的年銷售量是萬件，已知年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為萬元，每生產(chǎn)萬件該產(chǎn)品需要再投入萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費用）.（1）將年該產(chǎn)品的利潤（單位：萬元）表示為年促銷費用的函數(shù)；（2）該廠家年的促銷費用為多少萬元時，廠家的利潤最大？18．已知函數(shù).（1）判斷在區(qū)間上的單調性，并用定義證明；（2）判斷的奇偶性，并求在區(qū)間上的值域.19．設在區(qū)間單調，且都有（1）求的解析式；（2）用“五點法”作出在的簡圖，并寫出函數(shù)在的所有零點之和.20．，，且，，且為偶函數(shù)（1）求；（2）求滿足，的的集合21．已知實數(shù)，定義域為的函數(shù)是偶函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)（Ⅰ）求實數(shù)值；（Ⅱ）判斷該函數(shù)在上的單調性并用定義證明；（Ⅲ）是否存在實數(shù)，使得對任意的，不等式恒成立．若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】將函數(shù)化簡，根據(jù)曲線y＝f（x）與直線y＝1的交點中，相鄰交點的距離的最小值為，即ωx2kπ或ωx2kπ，k∈Z，建立關系，可得ω的值，即得f（x）的最小正周期【詳解】解：函數(shù)f（x）＝cosωx+sinωx，ω＞0，x∈R化簡可得：f（x）sin（ωx）∵曲線y＝f（x）與直線y＝1的相交，即ωx2kπ或ωx2kπ，k∈Z，∴（）+2kπ＝ω（x2﹣x1），令k＝0，∴x2﹣x1，解得：ω∴y＝f（x）的最小正周期T，故選D【點睛】本題考查了和差公式、三角函數(shù)的圖象與性質、三角函數(shù)的方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題2、D【解析】由分段函數(shù)定義計算【詳解】，所以故選：D3、C【解析】根據(jù)函數(shù)零點的存在性定理，求得，即可得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)，易得函數(shù)為單調遞減函數(shù)，又由，所以，根據(jù)零點的存在定理，可得零點的區(qū)間是.故選：C.4、A【解析】由函數(shù)在內單調遞增得，進而根據(jù)充分，必要條件判斷即可.【詳解】解：因為函數(shù)在內單調遞增，所以，因為是的真子集，所以“”是“函數(shù)在內單調遞增”的充分而不必要條件故選：A5、A【解析】先由在區(qū)間上單調遞增，求出的取值范圍，再根據(jù)充分條件，必要條件的定義即可判斷.【詳解】解：的對稱軸為：，若在上單調遞增，則，即，在區(qū)間上單調遞增，反之，在區(qū)間上單調遞增，，故“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調遞增”的充分不必要條件.故選：A.6、C【解析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，求出，再利用二倍角公式計算可得.【詳解】解：因為角的終邊經(jīng)過點，所以，所以故選：C7、C【解析】方程的根轉化為函數(shù)的零點，判斷函數(shù)的連續(xù)性以及單調性，然后利用零點存在性定理推出結果即可【詳解】方程的根就是的零點，函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，是增函數(shù)，又，，所以，方程根屬于故選C【點睛】本題考查函數(shù)零點存在性定理的應用，考查計算能力8、B【解析】由已知可得，結合零點存在定理可判斷零點所在區(qū)間.【詳解】由已知得，所以，又，，，，所以零點所在區(qū)間為，故選：B.9、D【解析】函數(shù)定義域為當時，是減函數(shù)；當時，是增函數(shù)；故選D10、C【解析】判斷函數(shù)的奇偶性，再利用時，函數(shù)值的符號即可求解.【詳解】由，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除B、D.當，則，所以，，所以，排除A.故選：C二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、（1）；（2）和【解析】（1）根據(jù)降冪公式與輔助角公式化簡函數(shù)解析式，然后由題意求解，從而求解出解析式；（2）根據(jù)（1）中的解析式，利用整體法代入化簡計算函數(shù)的單調減區(qū)間，再由，給賦值，求出單調減區(qū)間.【小問1詳解】化簡函數(shù)解析式得，因為圖像的兩條相鄰對稱軸之間的距離為，即，且函數(shù)最大值為，所以且，得，所以函數(shù)解析式為.【小問2詳解】由（1）得，，得，因為，所以函數(shù)的單調減區(qū)間為和12、【解析】利用三角恒等變換化簡函數(shù)，根據(jù)正弦型函數(shù)的最值解得，利用誘導公式求解即可.【詳解】解析：當時，取得最大值（其中），∴，即，∴故答案為：-3.13、3【解析】首先根據(jù)分段函數(shù)求的值，再求的值.【詳解】，所以.故答案為：314、①②④【解析】根據(jù)點的坐標的意義結合圖形逐個分析判斷即可【詳解】對于①，由題意可知，A1的橫、縱坐標分別為第1名藝人上午創(chuàng)作的甲作品數(shù)和乙作品數(shù)，由圖可知A1的橫坐標小于縱坐標，所以該天上午第對于②，由題意可知，B1的縱坐標為第1名藝人下午創(chuàng)作的乙作品數(shù)，B2的縱坐標為第2名藝人下午創(chuàng)作的乙作品數(shù)，由圖可知B1的縱坐標小于B2的縱坐標，所以該天下午第對于③，④，由圖可知，A1,B1的橫、縱坐標之和大于A2故答案為：①②④15、x（答案不唯一）【解析】由冪函數(shù)的性質求解即可【詳解】因為冪函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，所以冪函數(shù)可以是，故答案為：（答案不唯一）16、【解析】由已知函數(shù)解析式可求，然后結合奇函數(shù)定義可求.【詳解】因為是R上的奇函數(shù)，且當時，，所以，所以故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）促銷費用投入萬元時，廠家的利潤最大.【解析】（1）由時，可構造方程求得，得到，代入利潤關于的函數(shù)中，化簡可得結果；（2）利用基本不等式可求得，由取等條件可得結果.【詳解】（1）由題意可知：當時，（萬件），，解得：，，又每件產(chǎn)品的銷售價格為，年利潤，（2）當時，（當且僅當，即時取等號），此時年利潤（萬元）；該廠家年的促銷費用投入萬元時，廠家的利潤最大，最大為萬元.18、（1）函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，證明見解析（2）函數(shù)為奇函數(shù)，在區(qū)間上的值域為【解析】（1）利用定義法證明函數(shù)單調性；（2）先得到定義域關于原點對稱，結合得到函數(shù)為奇函數(shù)，利用第一問的單調性求出在區(qū)間上的值域.【小問1詳解】在區(qū)間上單調遞增，證明如下：，，且，有.因為，，且，所以，.于是，即.故在區(qū)間上單調遞增.【小問2詳解】的定義域為.因為，所以為奇函數(shù).由（1）得在區(qū)間上單調遞增，結合奇偶性可得在區(qū)間上單調遞增.又因為，，所以在區(qū)間上的值域為.19、（1）（2）圖象見解析，所有零點之和為【解析】（1）依題意在時取最大值，在時取最小值，再根據(jù)函數(shù)在單調，即可得到，即可求出，再根據(jù)函數(shù)在取得最大值求出，即可求出函數(shù)解析式；（2）列出表格畫出函數(shù)圖象，再根據(jù)函數(shù)的對稱性求出零點和；【小問1詳解】解：依題意在時取最大值，在時取最小值，又函數(shù)在區(qū)間單調，所以，即，又，所以，由得，即，又因為，所以，，所以.【小問2詳解】解：列表如下0001所以函數(shù)圖象如下所示：由圖知的一條對稱軸為有兩個實數(shù)根，記為，則由對稱性知，所以所有實根之和為.20、（1）；（2）【解析】（1）首先利用向量數(shù)量積的坐標運算并且結合二倍角公式與兩角和的正弦公式化簡函數(shù)的解析式，可得：．由已知為偶函數(shù)知其圖象關于y軸對稱，可得：當x=0成立，從而可得，再根據(jù)θ的范圍即可得到答案（2）由（１）可得：，再結合余弦函數(shù)的圖象及性質可得：，進而結合x的取值范圍得到結果試題解析：（1）由題意可得：所以函數(shù)解析式為：；因為為偶函數(shù)，所以有：即：又因為，所以（２）由（１）可得：，因為，所以由余弦函數(shù)的圖象及性質得：，又因為，所以x的集合為考點：１．兩角和與差的正余弦公式、二倍角公式；２．向量數(shù)量積的坐標運算；３．三角函數(shù)的性質21、（Ⅰ）1；（Ⅱ）在上遞增，證明詳見解析；（Ⅲ）不存在.【解析】（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，得到恒成立，即恒成立，進而得到，即可求出結果；（Ⅱ）任取，且，根據(jù)題意，作差得到，進而可得出函數(shù)單調性；（Ⅲ）由（Ⅱ）知函數(shù)在上遞增，由函數(shù)是偶函數(shù)，所以函數(shù)在上遞減，再由題意，不等式恒成立可化為恒成立，即對任意的恒成立，根據(jù)判別式小于0，即可得出結果.【詳解】（Ⅰ）因為定義域為的函數(shù)是偶