清華大學中學生標準學術(shù)能力診斷性測試2025屆數(shù)學高二上期末教學質(zhì)量檢測模擬試題含解析

清華大學中學生標準學術(shù)能力診斷性測試2025屆數(shù)學高二上期末教學質(zhì)量檢測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若隨機事件滿足，，，則事件與的關(guān)系是（）A.互斥 B.相互獨立C.互為對立 D.互斥且獨立2．已知雙曲線的左焦點為，，為雙曲線的左、右頂點，漸近線上的一點滿足，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.3．已知數(shù)列滿足，在任意相鄰兩項與(k＝1，2，…)之間插入個2，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列．記為數(shù)列的前n項和，則的值為（）A.162 B.163C.164 D.1654．已知向量，，則等于（）A. B.C. D.5．命題“存在，”的否定是（）A.存在， B.存在，C.對任意， D.對任意，6．函數(shù)y=的最大值為Ae-1 B.eC.e2 D.7．為發(fā)揮我市“示范性高中”的輻射帶動作用，促進教育的均衡發(fā)展，共享優(yōu)質(zhì)教育資源．現(xiàn)分派我市“示范性高中”的5名教師到，，三所薄弱學校支教，開展送教下鄉(xiāng)活動，每所學校至少分派一人，其中教師甲不能到學校，則不同分派方案的種數(shù)是（）A.150 B.136C.124 D.1008．函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大值等于（）A.2 B.3C.5 D.69．已知圓的圓心在x軸上，半徑為1，且過點，圓：，則圓，的公共弦長為A. B.C. D.210．饕餮紋是青銅器上常見的花紋之一，最早見于長江中下游地區(qū)的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．將青銅器中的饕餮紋的一部分畫到方格紙上，如圖所示，每個小方格的邊長為一個單位長度，有一點從點出發(fā)，每次向右或向下跳一個單位長度，且向右或向下跳是等可能的，那么點經(jīng)過3次跳動后恰好是沿著饕餮紋的路線到達點的概率為（）A. B.C. D.11．2013年9月7日，總書記在哈薩克斯坦納扎爾巴耶夫大學發(fā)表演講在談到環(huán)境保護問題時提出“綠水青山就是金山銀山”這一科學論新．某市為了改善當?shù)厣鷳B(tài)環(huán)境，2014年投入資金160萬元，以后每年投入資金比上一年增加20萬元，從2021年開始每年投入資金比上一年增加10%，到2025屆底該市生態(tài)環(huán)境建設投資總額大約為（）（其中，，）A.2559萬元 B.2969萬元C.3005萬元 D.3040萬元12．已知，若是函數(shù)一個零點，則的值為()A.0 B.C.1 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，向量，若，則實數(shù)的值為________.14．已知雙曲線：，斜率為的直線與E的左右兩支分別交于A，B兩點，點P的坐標為，直線AP交E于另一點C，直線BP交E于另一點D．若直線CD的斜率為，則E的離心率為___________15．直線與直線平行，則m的值是__________16．__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）記是等差數(shù)列的前項和，若.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求使成立的的最小值.18．（12分）已知拋物線的準線方程是.（Ⅰ）求拋物線方程；（Ⅱ）設直線與拋物線相交于，兩點，為坐標原點，證明：.19．（12分）已知函數(shù)，是的一個極值點.（1）求b的值；（2）當時，求函數(shù)的最大值.20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面，底面是邊長為2的正方形，，F(xiàn)，G分別是，的中點（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的大小21．（12分）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{}的前4項和為15，且.（1）求{}的通項公式；（2）若，記數(shù)列{}前n項和為，求.22．（10分）已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：對任意正整數(shù)n，

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】利用獨立事件，互斥事件和對立事件的定義判斷即可【詳解】解：因為，，又因為，所以有，所以事件與相互獨立，不互斥也不對立故選：B.2、C【解析】由雙曲線的漸近線方程和兩點的距離公式，求得點的坐標和，在中，利用余弦定理，求得的關(guān)系式，再由離心率公式，計算即可求解.【詳解】由題意，雙曲線，可得，設在漸近線上，且點在第一象限內(nèi)，由，解得，即點，所以，在中，由余弦定理可得，可得，即，所以雙曲線離心率為.故選：C.【點睛】求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.3、C【解析】確定數(shù)列的前70項含有的前6項和64個2，從而求出前70項和.【詳解】，其中之間插入2個2，之間插入4個2，之間插入8個2，之間插入16個2，之間插入32個2，之間插入64個2，由于，，故數(shù)列的前70項含有的前6項和64個2，故故選：C4、C【解析】根據(jù)題意，結(jié)合空間向量的坐標運算，即可求解.【詳解】由，，得，因此.故選：C.5、D【解析】特稱命題的否定：將存在改任意并否定原結(jié)論，即可知正確答案.【詳解】由特稱命題的否定為全稱命題，知：原命題的否定為：對任意，.故選：D6、A【解析】,所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以函數(shù)的最大值為時，y==故選A點睛：研究函數(shù)最值主要根據(jù)導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，找到最值，分式求導公式要記熟7、D【解析】對甲所在組的人數(shù)分類討論即得解.【詳解】當甲一個人去一個學校時，有種；當甲所在的學校有兩個老師時，有種；當甲所在的學校有三個老師時，有種；所以共有28+48+24=100種.故選：D【點睛】方法點睛：排列組合常用方法有：簡單問題直接法、小數(shù)問題列舉法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、至少問題間接法、復雜問題分類法、等概率問題縮倍法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.8、B【解析】由f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，得到在[1，+∞）上，恒成立，從而解得a≤3，故a的最大值為3【詳解】解：∵f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)∴在[1，+∞）上恒成立即a≤3x2，∵x∈[1，+∞）時，3x2≥3恒成立，∴a≤3，∴a的最大值是3故選：B9、A【解析】根據(jù)題意設圓方程為:,代點即可求出,進而求出方程,兩圓方程做差即可求得公共弦所在直線方程,再利用垂徑定理去求弦長.【詳解】設圓的圓心為,則其標準方程為:,將點代入方程,解得,故方程為:,兩圓,方程作差得其公共弦所在直線方程為:,圓心到該直線的距離為,因此公共弦長為,故選:A.【點睛】本題綜合考查圓的方程及直線與圓,圓與圓位置關(guān)系,屬于中檔題.一般遇見直線與圓相交問題時,常利用垂徑定理解決問題.10、B【解析】利用古典概型的概率求解.【詳解】解：點從點出發(fā)，每次向右或向下跳一個單位長度，跳3次，則樣本空間{（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下）}，記“3次跳動后，恰好是沿著饕餮紋的路線到達點B”為事件，則{（下，下，右）}，由古典概型的概率公式可知故選：B11、B【解析】前7年投入資金可看成首項為160，公差為20的等差數(shù)列，后4年投入資金可看成首項為260，公比為1.1的等比數(shù)列，分別求和，即可求出所求【詳解】2014年投入資金160萬元，以后每年投入資金比上一年增加20萬元，成等差數(shù)列，則2020年投入資金萬元，年共7年投資總額為，從2021年開始每年投入資金比上一年增加，則從2021年到2025屆投入資金成首項為，公比為1.1，項數(shù)為4的等比數(shù)列，故從2021年到2025屆投入總資金為，故到2025屆底該市生態(tài)環(huán)境建設投資總額大約為萬元故選：12、A【解析】首先根據(jù)題意求出，然后設函數(shù)，利用以及的單調(diào)性，并結(jié)合對數(shù)運算即可求解.【詳解】由題意可知，，所以，不妨設，()，故，從而，易知在上單調(diào)遞增，故，即，從而.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】根據(jù)，由求解.【詳解】因為向量，向量，且，所以，解得，故答案為：214、【解析】分別設線段的中點，線段的中點，再利用點差法可表示出，由平行關(guān)系易知三點共線，從而利用斜率相等的關(guān)系構(gòu)造方程，代入整理可得到關(guān)系，利用雙曲線得到關(guān)于的齊次方程，進而求得離心率.【詳解】設，，線段的中點，兩式相減得：…①設，，線段的中點同理可得：…②，易知三點共線，將①②代入得：，所以，即，由題意可得，故.∴，即故答案為：15、【解析】利用直線的平行條件即得.詳解】∵直線與直線平行，∴，∴.故答案為：.16、【解析】先由題得到，再整體代入化簡即得解.【詳解】因為，所以，則故答案為【點睛】本題主要考查差角的正切公式，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）4【解析】（1）根據(jù)題意得，解方程得，進而得通項公式；（2）由題知，進而解不等式得或，再根據(jù)即可得答案.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為，由得=0,由題意知，，解得，所以d=2所以.小問2詳解】解：由（1）可得，由可得，即，解得或，因為，所以，正整數(shù)的最小值為.18、（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析【解析】（Ⅰ）利用排趨性的準線方程求出p，即可求解拋物線的方程；（Ⅱ）直線y=k（x-2）（k≠0）與拋物線聯(lián)立，通過韋達定理求解直線的斜率關(guān)系即可證明OM⊥ON試題解析：（Ⅰ）解：因為拋物線的準線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為.（Ⅱ）證明：設，.將代入，消去整理得.所以.由，，兩式相乘，得，注意到，異號，所以.所以直線與直線的斜率之積為，即.考點：直線與拋物線的位置關(guān)系；拋物線的標準方程19、（1）；（2）【解析】（1）先求出導函數(shù)，再根據(jù)x=2是的一個極值點對應x=2是導數(shù)為0的根即可求b的值；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求出函數(shù)的極值點，通過比較極值與端點值的大小從而確定出最大值.【小問1詳解】由題設，.∵x=2是的一個極值點，∴x=2是的一個根，代入解得：.經(jīng)檢驗，滿足題意.【小問2詳解】由（1）知：，則.令，解得x=1或x=2.x1(1,2)2(2,3)30﹣0+遞減遞增∵當x∈(1,2)時，即在(1,2)上單調(diào)遞減；當x∈(2,3)時，即在(2,3)上單調(diào)遞增.∴當x∈[1,3]時，函數(shù)的最大值為與中的較大者.∴函數(shù)的最大值為.20、（1）證明見解析（2）【解析】(1)取中點連接，連接，證得四邊形為平行四邊形，，再證面，即可得到證明結(jié)果；（2）建立空間坐標系，求面和面的法向量，即可得到兩個面的二面角的余弦值，進而得到二面角大小.【小問1詳解】如上圖，取中點連接，連接，均為線段中點，且，又G是的中點，且且四邊形為平行四邊形為等腰直角三角形，為斜邊中點，面，面面又面.【小問2詳解】建立如圖坐標系，設面的法向量為設面的法向量為兩個法向量的夾角余弦值為：，由圖知兩個面的二面角為鈍角，故夾角為.21、（1）（2）【解析】（1）設正項的等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意列出方程組，求得的值，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）由，結(jié)合乘公比錯位相減求和，即可求解.小問1詳解】解：設正項的等比數(shù)列的公比為，顯然不為1，因為等比數(shù)列前4項和為且，可得，解得，所以數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】解：由，所以，可得，兩式相減得，所以.22、（1）見解析（2）見解析【解析】(1)由，令，得，或，又的定義域為，討論兩