安徽省皖南地區(qū)2025屆高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考試題含解析

安徽省皖南地區(qū)2025屆高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)f(x)＝－1＋lnx，對?x0，f(x)≥0成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A(－∞，2] B.[2，＋∞)C.(－∞，1] D.[1，＋∞)2．有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為A. B.C. D.3．如圖，在正方體中，是側面內一動點，若到直線與直線的距離相等，則動點的軌跡所在的曲線是（）A.直線 B.圓C.雙曲線 D.拋物線4．下列命題錯誤的是（）A，B.命題“”的否定是“”C.設，則“且”是“”的必要不充分條件D.設，則“”是“”的必要不充分條件5．已知等差數(shù)列中，、是的兩根，則（）A B.C. D.6．設是等比數(shù)列，則“對于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴格遞增數(shù)列”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．已知雙曲線的右焦點為F,雙曲線C的右支上有一點P滿是(點O為坐標原點),那么雙曲線C的離心率為()A. B.C. D.8．（一）單項選擇函數(shù)在處的導數(shù)等于（）A.0 B.C.1 D.e9．函數(shù)直線與的圖象相交于A、B兩點，則的最小值為（）A.3 B.C. D.10．拋物線的焦點到準線的距離（）A.4 B.C.2 D.11．氣象臺正南方向的一臺風中心，正向北偏東30°方向移動，移動速度為，距臺風中心以內的地區(qū)都將受到影響，若臺風中心的這種移動趨勢不變，氣象臺所在地受到臺風影響持續(xù)時間大約是（）A. B.C. D.12．已知等比數(shù)列的公比為q，且，則“”是“是遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，若，則______14．雙曲線的一條漸近線的一個方向向量為，則______（寫出一個即可）15．已知數(shù)列滿足，則其通項公式_______16．已知橢圓：的左右焦點分別為，為橢圓上的一點，與橢圓交于.若△的內切圓與線段在其中點處相切，與切于，則橢圓的離心率為_______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知在等差數(shù)列中，，（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和18．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調遞減區(qū)間；（2）在中，角，，所對的邊分別為，，，且滿足，，求面積的最大值19．（12分）中國男子籃球職業(yè)聯(lián)賽（ChineseBasketballAssociation），簡稱中職籃（CBA），由中國國家體育總局籃球運動管理中心舉辦的男子職業(yè)籃球賽事，旨在全面提高中國籃球運動水平，其中誕生了姚明、王治郅、易建聯(lián)、朱芳雨等球星．該比賽分為常規(guī)賽和季后賽．由于新冠疫情關系，某年聯(lián)賽采用賽會制：所有球隊集中在同一個地方比賽，分兩個階段進行，每個階段采用循環(huán)賽，分主場比賽和客場比賽，積分排名前8球隊進入季后賽．下表是A隊在常規(guī)賽60場比賽中的比賽結果記錄表．階段比賽場數(shù)主場場數(shù)獲勝場數(shù)主場獲勝場數(shù)第一階段30152010第二階段30152515（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，完成下面列聯(lián)表：A隊勝A隊負合計主場5客場20合計60（2）根據(jù)（1）中列聯(lián)表，判斷是否有90%的把握認為比賽的“主客場”與“勝負”之間有關？附：．0.1000.0500.025k2.7063.8415.02420．（12分）如圖，在四棱錐S?ABCD中，已知四邊形ABCD是邊長為的正方形，點S在底面ABCD上的射影為底面ABCD的中心點O，點P在棱SD上，且△SAC的面積為1（1）若點P是SD的中點，求證：平面SCD⊥平面PAC；（2）在棱SD上是否存在一點P使得二面角P?AC?D的余弦值為？若存在，求出點P的位置；若不存在，說明理由21．（12分）設數(shù)列的前項和為，已知，且（1）證明：；（2）求22．（10分）如圖，在四棱柱中，，，，四邊形為菱形，在平面ABCD內的射影O恰好為AD的中點，M為AB的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由導數(shù)求得的最小值，由最小值非負可得的范圍【詳解】定義域是，，若，則在上恒成立，單調遞增，，不合題意；若，則時，，遞減，時，，遞增，所以時，取得極小值也是最小值，由題意，解得故選：B2、A【解析】每個同學參加的情形都有3種，故兩個同學參加一組的情形有9種，而參加同一組的情形只有3種，所求的概率為p=選A3、D【解析】由到直線的距離等于到點的距離可得到直線的距離等于到點的距離，然后可得答案.【詳解】因為到直線的距離等于到點的距離，所以到直線的距離等于到點的距離，所以動點的軌跡是以為焦點、為準線的拋物線故選：D4、C【解析】根據(jù)題意，對四個選項一一進行分析，舉出例子當時，，即可判斷A選項；根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，可判斷B選項；根據(jù)充分條件和必要條件的定義，即可判斷CD選項.【詳解】解：對于A，當時，，，故A正確；對于B，根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，得“”的否定是“”，故B正確；對于C，當且時，成立；當時，卻不一定有且，如，因此“且”是“”的充分不必要條件，故C錯誤；對于D，因為當時，有可能等于0，當時，必有，所以“”是“”的必要不充分條件，故D正確.故選：C.5、B【解析】利用韋達定理結合等差中項的性質可求得的值，再結合等差中項的性質可求得結果.【詳解】對于方程，，由韋達定理可得，故，則，所以，.故選：B.6、C【解析】根據(jù)嚴格遞增數(shù)列定義可判斷必要性，分類討論可判斷充分性.【詳解】若是嚴格遞增數(shù)列，顯然，所以“對于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴格遞增數(shù)列”必要條件；對任意的正整數(shù)n都成立，所以中不可能同時含正項和負項，，即，或，即，當時，有，即，是嚴格遞增數(shù)列，當時，有，即，是嚴格遞增數(shù)列，所以“對于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴格遞增數(shù)列”充分條件故選：C7、D【解析】分析焦點三角形即可【詳解】如圖,設左焦點為,因為,所以不妨設,則離心率故選:D8、B【解析】利用導數(shù)公式求解.【詳解】因為函數(shù)，所以，所以，故選；B9、C【解析】先求出AB坐標，表示出，規(guī)定函數(shù)，其中，利用導數(shù)求最小值.【詳解】聯(lián)立解得可得點．聯(lián)立解得可得點．由題意可得解得，令，其中，∴．∴函數(shù)單調遞減；．因此，的最小值為故選：C【點睛】距離的最值求解：（1）幾何法求最值；（2）代數(shù)法：表示出距離，利用函數(shù)求最值.10、A【解析】寫出拋物線的標準方程，即可確定焦點到準線的距離.【詳解】由題設，拋物線的標準方程為，則，∴焦點到準線的距離為4.故選：A.11、D【解析】利用余弦定理進行求解即可.【詳解】如圖所示：設臺風中心為，，小時后到達點處，即，當時，氣象臺所在地受到臺風影響，由余弦定理可知：，于是有：，解得：，所以氣象臺所在地受到臺風影響持續(xù)時間大約是，故選：D12、B【解析】利用充分條件和必要條件的定義結合等比數(shù)列的性質分析判斷【詳解】當時，則，則數(shù)列為遞減數(shù)列，當是遞增數(shù)列時，，因為，所以，則可得，所以“”是“是遞增數(shù)列”的必要不充分條件，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】首先利用二項展開式的通項公式，求，再利用賦值法求系數(shù)的和以及【詳解】展開式的通項為，令，則，即，故，令，得.又，所以故故答案為：14、(答案不唯一)【解析】寫出雙曲線的漸近線方程，結合方向向量的定義求即可.【詳解】由題設，雙曲線的漸近線方程為，又是一條漸近線的一個方向向量，所以或或或，所以或.故答案為：(答案不唯一)15、【解析】構造法可得，由等比數(shù)列的定義寫出的通項公式，進而可得.【詳解】令，則，又，∴，故，而，∴是公比為，首項為，則，∴.故答案為：.16、【解析】利用橢圓及三角形內切圓的性質可得、，結合等邊三角形的性質得的大小，在△中應用余弦定理得到a、c的齊次式，即可求離心率.【詳解】由題意知：由內切圓的性質得：,由橢圓的性質,而,∴,∴由內切圓的性質得：再由橢圓的性質,得：,由此，△為等邊三角形,可得,在△中，由余弦定理得：，解得，則,故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）設的公差為，由等差數(shù)列的通項公式結合條件可得答案.（2）由（1）可得，由錯位相減法可得答案.【小問1詳解】設的公差為，由已知得且，解得，，所以的通項公式為【小問2詳解】由（1）可得，所以，所以，兩式相減得：，所以，所以18、（1）（2）【解析】（1）由三角恒等變換公式化簡，根據(jù)三角函數(shù)性質求解（2）由余弦定理與面積公式，結合基本不等式求解【小問1詳解】由己知可得，由，解得：，故的單調遞減區(qū)間是【小問2詳解】，，故，得，由余弦定理得：，得，當且僅當時等號成立，故，面積最大值為19、（1）填表見解析（2）沒有【解析】（1）由A隊在常規(guī)賽60場比賽中的比賽結果記錄表可得答案；（2）根據(jù)（1）中的列聯(lián)表，代入可得答案.【小問1詳解】（1）根據(jù)表格信息得到列聯(lián)表：A隊勝A隊負合計主場25530客場201030合計451560【小問2詳解】所以沒有90%的把握認為比賽的“主客場”與“勝負”之間有關.20、（1）證明見解析（2）存在，點P為棱SD靠近點D的三等分點【解析】（1）由的面積為1，得到，，由，點P為SD的中點，所以，同理可得，根據(jù)線面垂直的判斷定理可得平面PAC，再由面面垂直的判斷定理可得答案；（2）存在，分別以OB，OC，OS所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，假設在棱SD上存在點P，設，求出平面PAC、平面ACD的一個法向量，由二面角的向量法可得答案.【小問1詳解】因為點S在底面ABCD上的射影為O，所以平面ABCD，因為四邊形ABCD是邊長為的正方形，所以，又因為的面積為1，所以，，所以，因為，點P為SD的中點，所以，同理可得，因為，AP，平面PAC，所以平面PAC，又平面SCD，∴平面平面PAC【小問2詳解】存在，連接，由平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，又，可得兩兩垂直，分別以所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，假設在棱SD上存在點P使二面角的余弦值為，設，，，所以，，設平面PAC的一個法向量為，則，因為，，所以，令，得，，因為平面ACD的一個法向量為，所以，化簡得，解得或（舍），所以存在P點符合題意，點P為棱SD靠近點D的三等分點21、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）當時，由題可得，，兩式子相減可得，即，然后驗證當n=1時，命題成立即可；（2）通過求解數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項的和即可得到其對應前n項和的通項公式.【詳解】（1）由條件，對任意，有，因而對任意，有，兩式相減，得，即，又，所以，故對一切，（2）由（1）知，，所以，于是數(shù)列是首項，公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列是首項，公比為3的等比數(shù)列，所以，于是從而，綜上所述，.【點睛】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，求數(shù)列的通項公式，其求解過程分為三步：（1）先利用a1＝S1求出a1；（2）用n－1替換Sn中的n得到一個新的關系，利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）便可求出當n≥2時an的表達式；（3）對n＝1時的結果進行檢驗，看是否符合n≥2時an的表達式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；如果不符合，則應該分n＝1與n≥2兩段來寫．數(shù)列求和的常用方法有倒序相加法，錯位相減法，裂項相消法，分組求和法，并項求和法等，可根據(jù)通項特點進行選用.22、（1）證明見解析（2）【解析】（1）先證明，，即可證明平面；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】因為O為在平面ABCD內的射影，所以平面ABCD，因為平面ABCD，所以