2023高考科學(xué)復(fù)習(xí)解決方案-數(shù)學(xué)(內(nèi)參版) 第八章 8 . 3 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

8.3空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

S核心素養(yǎng)概說（教師獨(dú)具內(nèi)容）

1.借助長方體，在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象

出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義，了解以下基本事實(shí)和定理：

基本事實(shí)1：過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)

平面內(nèi).

基本事實(shí)3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條

過該點(diǎn)的公共直線.

基本事實(shí)4:平行于同一條直線的兩條直線平行.

定理：如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

2.理解兩條異面直線所成角的概念.

3.重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).

?考試要求（教師獨(dú)具內(nèi)容）

1.本考點(diǎn)屬于高考常考內(nèi)容，命題的關(guān)注點(diǎn)在于幾何體中線面位置關(guān)系的判

斷，幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及異面直線所成角的求解方法，其中異面直線所成的角

是高考的熱點(diǎn).

2.平面的基本性質(zhì)，點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系是高考主要考查的知識(shí)

點(diǎn)，題型多為選擇題或填空題，也可能在大題中間接考查.

念核心知識(shí)導(dǎo)圖（教師獨(dú)具內(nèi)容）

您5年考頻統(tǒng)計(jì)(教師獨(dú)具內(nèi)容)

5年考情

零點(diǎn)分值題型難度核心素養(yǎng)

寺照示例與向關(guān)我考點(diǎn)

平面於本性點(diǎn)在平面內(nèi)的鹵線與直線在視線年

2020全國IB行.文1912解答密中

版的應(yīng)用劉定平行的判定邏輯推理

白線與在線位置

2021新島為11卷?10關(guān)系的判斷，有

空向中點(diǎn),直

2019全國||糖.理7.文7級(jí)，平面位置關(guān)真線，平面故學(xué)運(yùn)算

線,平面位置5選擇超中

2019全國皿卷.理8.文8系的判斷.平面的位置關(guān)系直觀想貌

關(guān)系的判斷

2017|密?文6與半血位置關(guān)系

的判斷

2021全國乙套.理5.文10

異面在線所2018全國||春.理9.文9求異面H線所成空間幾何體選界也數(shù)學(xué)運(yùn)切

5中

成的角2017全國H卷.理10的角的結(jié)構(gòu)特征填空題

2017全國ID卷.即16

:基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān)

O知識(shí)梳理

1.平面的基本性質(zhì)

(1)基本事實(shí)

文字語言圖形語言符號(hào)語言作用

A,B,C三點(diǎn)

過回不在一條

不共線今有且①確定平面；

直線上的三個(gè)

基本事實(shí)1只有一個(gè)平面②證明點(diǎn)、線

點(diǎn)，有且只有ZZZ7

a,使Aea,B共面

一個(gè)平面

€a,C€a

基本事實(shí)2如果一條直線//AGl,B￡l,A①檢驗(yàn)一個(gè)面

上的因兩個(gè)點(diǎn)€a,BE1是否為平面；

在一個(gè)平面ua②判斷直線是

內(nèi)，那么這條否在平面內(nèi)；

直線在這個(gè)平③證明點(diǎn)在平

面內(nèi)面內(nèi)

續(xù)表

文字語言圖形語言符號(hào)語言作用

①判斷兩個(gè)平面

如果兩個(gè)不重是否相交；

合的平面有一②判斷點(diǎn)是否在

PGa,且PW夕

個(gè)公共點(diǎn)，那直線上；

基本事實(shí)3/^\/=aD4=/,且

么它們有且只③證明點(diǎn)共線和

P0

有因一條過該線共點(diǎn)；

點(diǎn)的公共直線④尋找兩個(gè)平面

的交線

(2)三個(gè)推論

推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；

推論2:經(jīng)過兩條因相交直線,有且只有一個(gè)平面；

推論3:經(jīng)過兩條因平行直線,有且只有一個(gè)平面.

2.空間中兩條直線的位置關(guān)系

(1)位置關(guān)系分類

rj相交直線：在同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

位置關(guān)系〈共面直線［平行直線：在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)

、異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)

⑵基本事實(shí)4和定理

①基本事實(shí)4:平行于同一條直線的兩條直線睥行.

②定理：如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角因相等或

互補(bǔ).

注：(1)自然語言：空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那

么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

(2)符號(hào)語言：如圖1,2所示，在/A08與NA'0'8'中，0AIIO'A',

OBIIO'B',則ZA0B=NA'0'B'或ZAOB+NA'0'B'=180°.

3.異面直線所成的角

(1)定義：已知兩條異面直線b,經(jīng)過空間任一點(diǎn)。分別作直線〃出b'

//"把"與。’所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).

(2)范圍：強(qiáng)國

(3)垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線

互相垂直.

(4)異面直線的判定方法：

判定定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線

是異面直線.

反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線

異面.

4.空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系

⑴空間中直線與平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)

有無數(shù)

直線“在平面。內(nèi)z=/ada個(gè)公共

點(diǎn)

直線a與平面aa沒有公

a〃a

平行共點(diǎn)、

直線a

直線

與平面afla=A

在平直線a有且只

a斜交

面外與平而有一個(gè)

a相交直線a公共點(diǎn)

與平面47aj_a

a垂直

⑵空間中兩個(gè)平面的位置關(guān)系

的課前自我鑒定

1.思考辨析(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“義”)

(1)有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面必重合.()

(2)三條兩兩相交的直線確定一個(gè)平面.()

(3)若AH,BWI,且AWa,BWa,貝lj/ua.()

(4)如果兩個(gè)不重合的平面a,夕有一條公共直線處就說平面a,4相交，記

作a04=a.()

答案(1)X(2)X(3)V(4)J

2.已知明。是異面直線，直線c平行于直線a,那么c與伙)

A.一定是異面直線

B.一定是相交直線

C.不可能是平行直線

D.不可能是相交直線

答案C

解析假設(shè)c〃仇又因?yàn)閏〃凡所以?！ǔ疬@與凡匕是異面直線矛盾，故

c與人不可能平行.

3.若直線且直線。〃平面a,則直線8與平面a的位置關(guān)系是（）

A.bua

B.bIIa

C./?ua或b//a

D.人與a相交或a或b〃a

答案D

解析由題意知，b與a的位置關(guān)系可能是b//a,b與a相交或bua.故選

D.

4.（多選）如圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，則下列說法

正確的是（）

A.與C。是異面直線

B.GH與CO相交

C.EFIICD

D.EF與AB異面

答案ABC

解析把展開圖還原成正方體，如圖所示.還原后點(diǎn)G與C重合，點(diǎn)8與尸

重合，由圖可知A,B,C正確，EF與相交，故D錯(cuò)誤.故選ABC.

I)

5.如圖，在三棱錐A—BCD中，E,F,G,"分別是棱AB,BC,CD,DA

的中點(diǎn)，貝U

(1)當(dāng)AC,8。滿足條件時(shí)，四邊形EFGH為菱形；

(2)當(dāng)AC,8。滿足條件時(shí)，四邊形EFG”為正方形.

答案(1)AC=B。(2M。=8。且4。_18。

解析由已知條件，易得四邊形EFGH為平行四邊形，且EH^

(IF?四邊形EFG”為菱形，

：.EF=EH,故AC=80.

(2),.?四邊形E/G”為正方形，」.EFuE”且EbLEH,「.47=8。且ACLBD

<>真題賞析

1.(2021.全國乙卷)在正方體ABC。-ABGOi中，P為BDi的中點(diǎn)，則直

線P8與A*所成的角為()

答案D

解析如圖，連接Al。，A\B,BC\,因?yàn)锳D\IIBC\,所以/PBC為直線

PB與A出所成的角.因?yàn)?8=BG=AiG,所以△4BG為等邊三角形.又點(diǎn)P

171

為AiG的中點(diǎn)，所以平分所以NP8G=不所以直線

7T

PB與AD\所成的角為4.故選D.

2.（多選）（2021.新高考H卷）如圖，在正方體中，。為底面的中心，P為所在

棱的中點(diǎn)，M,N為正方體的頂點(diǎn).則滿足MNLOP的是（）

答案BC

解析設(shè)正方體的棱長為2,對于A,如圖1所示，連接AC,則MN〃AC,

故NPOC或其補(bǔ)角為異面直線OP,MN所成的角，在直角三角形OPC中，/PCO

=90°,則/POCW90。，故MMLOP不成立，故A錯(cuò)誤；對于B,如圖2所示，

取的中點(diǎn)為。，連接P。，OQ,貝IJPQLMN,OQIITD,由正方體SBCN—

MAOT可得TD_L平面SNTM,故OQJ?平面SNTM,又MNu平面SNTM,所以

OQ_LMN,而OQCPQ=Q,所以MNL平面OPQ,而OPu平面OPQ,故MN_LOP,

故B正確；對于C,如圖3,連接8。，貝由B的判斷可得OPJ_BD,

故。PLMN,故C正確；對于D,如圖4,取AO的中點(diǎn)Q,AB的中點(diǎn)K,連接

AC,PQ,OQ,PK,OK,AO,貝AC//MN,因?yàn)镺P=PC,故PQ//AC,故PQ//MN,

所以NQPO或其補(bǔ)角為異面直線OP,MN所成的角，因?yàn)檎襟w的棱長為2,故

PQ=^AC=y]2,OQ=qAO2+AG=、2+l=小,OP=y/PK2+OK2=y）4+1=

小，。。2＜尸。2+。尸，故NQP。不是直角，故。p,MN不垂直，故D錯(cuò)誤.故

選BC.

圖4

3.（2020?全國III卷）如圖,在長方體ABCD-4BG出中，點(diǎn)E,3分別在棱

DD\,BBi上,R2DE=EDi,3F=2F8i.證明:

⑴當(dāng)A5=BC時(shí),EF1AC；

⑵點(diǎn)Ci在平面AEF內(nèi).

證明（1）連接班”.?在長方體ABCD-AiBC。中，平面ABC。，AC

u平面ABCD,

■.ACIBBi.

■：AB=BC,二四邊形ABC。為正方形，

：.AC1BD.

BB\DBD=B,BB\,BOu平面

??.AC1平面BBUD

?」EFu平面：.EF1AC.

⑵在CC\上取點(diǎn)M使得CM=2MCi,

連接。M,MF,EC\,

■：D\E=2ED,DD\IICCi,DD\=CCi,

：.ED=MC\,EDUMC\.

，四邊形DMCiE為平行四邊形，

：.DMIIEC\.

???在長方體ABCD-AIBGDI中，

BF=2FBi,CM=2MCi,

：.MFIICB,MF=CB,

又DA//CB,DA=CB,

：.MFIIDA,MF=DA,

，四邊形MFAD為平行四邊形,

：.DMIIAF,：.EC\IIAF.

，點(diǎn)Ci在平面AEF內(nèi).

:核心素養(yǎng)例析

一、基礎(chǔ)知識(shí)鞏固

考點(diǎn)1平面基本性質(zhì)的應(yīng)用

例1如圖，平面平面A8CD,四邊形與ABC。都是直角梯形,

/BAD=/FAB=90°,BC//ADBC=^AD,BEIIAF且BE=；AF,G,"分別

為M,ED的中點(diǎn).求證：

(1)四邊形BCHG是平行四邊形；

(2)C,D,F,E四點(diǎn)共面.

證明(1)因?yàn)镚,“分別為桁，尸。的中點(diǎn)，所以GH〃&。且G”=%。，

y.BC//ADS.BC=^AD,

故GH〃BC且GH=BC,

所以四邊形BCHG是平行四邊形.

(2)由8E〃AF且=G是朋的中點(diǎn)，BE//GFBE=GF,

所以四邊形EFGB是平行四邊形，

所以EF〃BG.

由(1)知BG〃C”，所以EF〃CH,故EC,"/共面.又點(diǎn)。在直線尸”上,

所以C,D,F,E四點(diǎn)共面.

例2如圖所示，已知在正方體中，E,廠分別為。Ci,

CB的中點(diǎn),ACHBD=P,ACCIE尸=。.求證:

(1)0,B,F,E四點(diǎn)共面;

⑵若4c交平面。引芭于R點(diǎn)，則P,Q,R三點(diǎn)共線.

證明（1）：政是△出的中位線,

：.EFHB\D\.

在正方體ACi中,B\D\IIBD,：.EFIIBD.

.-EF,8。確定一個(gè)平面，即。，B,F,E四點(diǎn)共面.

（2）在正方體ACi中,設(shè)平面AiACCi為a,平面BDEF為夕.

???QWAQ,.?.QWa.又。

??.Q是a與4的公共點(diǎn)，同理，P是a與4的公共點(diǎn)，.?.anS=PQ.

又AiCC0=R,'ReAiC.

：.REa,且RG夕，：.REPQ,

.■■P,Q,R三點(diǎn)共線.

，追蹤練習(xí)，1.如圖是正方體或四面體，P,Q,R,S分別是所在棱的中點(diǎn),

則這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是（）

答案D

解析A,B,C中，PSIIQR,四點(diǎn)共面，D中四點(diǎn)不共面.

2.（多選）給出以下說法，其中正確的是（）

A.不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線

B.若點(diǎn)A,B,C,。共面，點(diǎn)A,B,C,E共面，則點(diǎn)A,B,C,D,E

共面

C.若直線a,〃共面，直線a,c共面，則直線仇C共面

D.過直線外一點(diǎn)和直線上三點(diǎn)的三條直線共面

答案AD

解析在A中，假設(shè)其中有三點(diǎn)共線，則該直線和直線外的另一點(diǎn)確定一個(gè)

平面，這與四點(diǎn)不共面矛盾，故其中任意三點(diǎn)不共線，所以A正確；在B中，如

圖，兩個(gè)相交平面有三個(gè)公共點(diǎn)A,B,C,且點(diǎn)A,B,C,。共面，點(diǎn)A,B,C,

E共面，但點(diǎn)A,B,C,D,E不共面，B不正確；C顯然不正確；在D中，過

直線與直線外一點(diǎn)可確定一個(gè)平面，設(shè)為a,因此這三條直線都在平面a內(nèi)，即

三條直線共面，D正確.

3.如圖，在空間四邊形ABC。中，E,尸分別是A3和BC上的點(diǎn)，G,“分

別是C。和A。上的點(diǎn).若E"與FG相交于點(diǎn)K.

求證：EH,BD,對三條直線相交于同一點(diǎn).

證明因?yàn)镵WE",E”u平面A3。，

所以KG平面AB。，同理Kd平面CB。，

而平面ABOn平面CBD=BD,

因止匕KdBD,所以EH,BD,EG三條直線相交于同一點(diǎn).

【方法點(diǎn)撥

1.證明點(diǎn)共線問題的常用方法

(1)基本事實(shí)法：先找出兩個(gè)平面，然后證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn),

再根據(jù)基本事實(shí)3證明這些點(diǎn)都在交線上.

(2)同一法：選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其余點(diǎn)也在該直線上.

2.證明線共點(diǎn)問題的方法

證明若干線共點(diǎn)的基本思路是先找出兩條直線的交點(diǎn)，再證明其他直線都經(jīng)

過該點(diǎn).而證明直線過該點(diǎn)的方法是證明點(diǎn)是以該直線為交線的兩個(gè)平面的公共

點(diǎn).

3.證明點(diǎn)、直線共面問題的常用方法

納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi).

輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面a,再證明其余元素確定平面夕,

最后證明平面a,4重合.

考點(diǎn)2空間兩條直線位置關(guān)系的判斷

例3如圖，點(diǎn)P,Q,R,S分別在正方體的四條棱上，并且是所在棱的中

點(diǎn)，則直線與RS是異面直線的圖是（）

答案C

解析A中PQ〃RS,B中PQ〃RS,C中P。與為異面直線，D中PQ與

RS相交.故選C.

例4已知在長方體ABCD-AIBGQI中，M,N分別是長方形出與

長方形的中心，則下列說法正確的是（）

A.直線MN與直線48是異面直線

B.直線與直線。。相交

C.直線MN與直線AC是異面直線

D.直線MN與直線4C平行

答案C

解析如圖，因?yàn)镸,N分別是長方形4BC1OI與長方形3CGB的中心，

所以M,N分別是4G,3。的中點(diǎn)，所以直線MN與直線43平行，所以A錯(cuò)

誤；

因?yàn)橹本€MN經(jīng)過平面BBiDiD內(nèi)一點(diǎn)M,且點(diǎn)M不在直線DDi上，所以直

線MN與直線0n是異面直線，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)橹本€MN經(jīng)過平面內(nèi)一

點(diǎn)M且點(diǎn)N不在直線AG上，所以直線MN與直線AG是異面直線，所以C正

確；因?yàn)橹本€MN經(jīng)過平面AC。內(nèi)一點(diǎn)且點(diǎn)M不在直線4C上，所以直

線MN與直線4c是異面直線，所以D錯(cuò)誤.

「追蹤練;L4.（2019.全國HI卷）如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，4ECD

為正三角形，平面EC。，平面ABC。，M是線段EO的中點(diǎn)，貝女）

A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線

B.BM豐EN,且直線8M,EN是相交直線

C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線

D.BM豐EN,且直線EN是異面直線

答案B

解析如圖，取C。的中點(diǎn)￡。尸的中點(diǎn)G,連接ERFN,MG,GB,BD,

BE”?點(diǎn)N為正方形A8C0的中心，.??點(diǎn)N在8。上，且為8。的中點(diǎn).二△EC。

是正三角形，二七尸，CD；平面ECD平面ABC。，」.EFl平面A3CD.FN.

E

不妨設(shè)A8=2,貝1JFN=1,EF=?：.EN=y)FN2+=2.VEM=MD,

DG=GF,：.MGIIEF,「.MG1平面ABC。，：.MG1BG.'：MG=^EF=BG

=\ICG2+BC2=BM=y)MG2+BG2=巾.：.BM于EN.,:BM,

EN都是△OBE的中線，二8M,EN必相交.故選B.

5.（多選）（2021?新高考八省聯(lián)考）如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，則在該正

方體中（）

A.AEIICDB.CHIIBE

C.DG1BHD.BGLDE

答案BCD

解析由正方體的平面展開圖還原正方體如圖.由圖形可知，AE1CD,故A

錯(cuò)誤；因?yàn)镠E〃BC,HE=BC,所以四邊形為平行四邊形，所以CH〃BE,

故B正確；因?yàn)椤，"C,DGLBC,HCQBC=C,所以。G,平面所以

DGLBH,故C正確；因?yàn)?G〃AH,ffijDELAH,所以BGLOE,故D正確.故

選BCD.

H

【方法點(diǎn)撥

空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定.對于異面

直線，可采用：

（1）反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)

出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異面.

（2）定理:平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)B的直線是

異面直線.對于平行直線，可利用三角形（梯形）中位線的性質(zhì)、基本事實(shí)4及線

面平行與面面平行的性質(zhì)定理.對于垂直關(guān)系，往往利用線面垂直或面面垂直的

性質(zhì)來解決.

考點(diǎn)3異面直線所成的角

例5在正方體ABC。-43cbeh中，E為棱CG的中點(diǎn)，則異面直線AE與

C。所成角的正切值為（）

A.坐B,坐

C.坐D.當(dāng)

答案C

解析因?yàn)镃O〃AB,所以NEA8即為異面直線AE與CO所成的角，連接

BE,在直角三角形ABE中，設(shè)=則BE瀉a,所以tan/￡48=鬻=坐.

例6已知直三棱柱A8C—Ai3Ci中，120°,AB=2,BC=CCi=1,

則異面直線AB,與BCi所成角的余弦值為（）

A.乎B.華

「遮口近

J5u-3

答案C

解析解法一：如圖，取AB,BBi,的中點(diǎn)M,N,P,連接MN,NP,

PM,

可知ABi與BC\所成的角等于MN與NP所成的角.由題意可知BCi=V2,

ABi=&則MN=%Bi等,即=/。|=坐取8。的中點(diǎn)。，連接PQ,QM,

則可知△PQM為直角三角形.在△ABC中，AC^uA）+BCZ—ZAaBCcosAABC

=4+l—2X2XlX（—；）=7,即AC=巾,所以MQ=；AC=當(dāng)又CG=1,所以

P。=L在Rt△P。M中，可知PM='MG+P。=呼.在△PMN中,cosZPNM

MN?+NP?—PM?圖+圖-虎）遮

=2MN,NP=-------直瓦—=-V又異面直線所成角的范圍

2X2*2

為（o,,，故所求角的余弦值為千.

解法二：把直三棱柱ABC-43C補(bǔ)成直四棱柱ABC。-48GD,如圖，

連接GO,BD,

則ABi與BC\所成的角為（或其補(bǔ)角）.由題意可知BCi=也，

BD=^/22+12-2X2X1XCOS60°=小,GO=AB=小.可知BC?+g;

CiD2,

所以cosZBC1D=^=-^.

「追蹤練習(xí)」6.如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱A3C。-

AiSG"中，AAi=2AB=2,則異面直線48與AD所成角的余弦值為（）

答案D

解析連接BCi,易證BCMIADi,則NA出G或其補(bǔ)角為異面直線A\B與

所成的角.連接AC,由AB=1,A4i=2,易得4G=a,AiB=BCi=?

5+5—244

故cosNAiBG=2xg#=5,即異面直線A歸與AD所成角的余弦值為亍

7.將正方形A8CO沿對角線AC折起，并使得平面ABC垂直于平面ACD,

則直線A3與C。所成的角為（）

A.90°B.60°

C.45°D.30°

答案B

解析如圖，取AC,BD,AD的中點(diǎn)，分別為O,M,N,連接。。，ON,

OM,OB,MN,貝JION〃CO,MNIIAB,且ON=gc。，MN=^AB,所以NONM

或其補(bǔ)角即為所求的角.

因?yàn)槠矫鍭BC垂直于平面AC。，平面ABCn平面ACO=AC,OBA.AC,所

以。8,平面AC。，所以。8，。。.設(shè)正方形邊長為2,則OB=OD=?所以B。

2,貝1JOM=53O=1.所以0N=MN=0M=1,所以△0MN是等邊三角形，Z

ONM=60°.所以直線A3與C。所成的角為60°.故選B.

方法點(diǎn)撥

1.求異面直線所成的角的三個(gè)步驟

(1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角.

(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角.

(3)三求：解三角形，求出所作的角.

2.求異面直線所成的角多采用“平移線段法”，平移的方法一般有三種類型：

利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)

形平移.

3.因?yàn)楫惷嬷本€所成的角。的取值范圍是(0,手，所以所作的角為鈍角時(shí)，

應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角.

二、核心素養(yǎng)提升

例1已知正方體ABCO-AIBICQ的棱長為也，直線AG1平面a,平面a

截此正方體所得截面中，正確的說法是()

A.截面形狀可能為四邊形

B.截面形狀可能為五邊形

C.截面面積的最大值為2小

D.截面面積的最大值為拶

答案D

解析如圖，在正方體ABC。-431。出中，AG1平面A1BO,所以平面a

與平面43。平行，平面a與正方體的截面可以是三角形、六邊形但不會(huì)是五邊

形和四邊形，當(dāng)截面為正六邊形EFNMGH時(shí)，截面面積最大，由題可知NM=

乎r

—=1,貝S正六邊形EFNMGH=6X^XlXlXsin60°=乎.故選D.

sin乙N

例2在正方體ABC。-48GDi中，M,N分別是棱DDi和88上的點(diǎn)，

MD=^DD\,NB=^BBi,那么正方體中過M,N,G的截面圖形是（）

A.三角形B.四邊形

C.五邊形D.六邊形

答案C

解析先確定截面上的已知邊與幾何體上和其共面的邊的交點(diǎn)，再確定截面

與幾何體的棱的交點(diǎn).設(shè)直線GM,CO相交于點(diǎn)P,直線GN,相交于點(diǎn)Q,

連接P0交直線于點(diǎn)E,交直線AB于點(diǎn)F,則五邊形GMEFN為所求截面圖

形.

例3如圖，正方體ABCD-ABiGD的棱長為1,E,F,G分別為棱A8,

4。，的中點(diǎn)，經(jīng)過E,F,G三點(diǎn)的平面被正方體所截，則截面圖形的面

積為（）

C.1D.2

答案B

解析如圖，分別取BC,A4i,CCi的中點(diǎn)為H,M,N,連接EH,HN,

GN,FM,ME,容易得出FG//EH,GNIIME,HNIIFM,則點(diǎn)瓦F,G,H,

M,N共面，S.FG=EH=GN=ME=HN=FM=\(^+$=*,

即經(jīng)過E,F,G三點(diǎn)的截面圖形為正六邊形E/WG尸M.連接MN,FH,且相

交于點(diǎn)。，因?yàn)镸N=AC=qy+12=表,所以O(shè)E=OH=ON=OG=OF=OM

=乎，則截面圖形的面積為gx^X^Xsin60°、6=乎.

素養(yǎng)提升

1.作截面應(yīng)遵循的三個(gè)原則

(1)過同一平面上的兩點(diǎn)可引直線；

(2)凡是相交的直線都要畫出它們的交點(diǎn)；

(3)凡是相交的平面都要畫出它們的交線.

2.作交線的兩種方法

(1)利用基本事實(shí)3作交線；

(2)利用線面平行及面面平行的判定定理去尋找線面平行及面面平行，然后根

據(jù)性質(zhì)作出交線.

3.正方體的基本斜截面

銳角一:角形等腰三角形等邊-:角形梆形平行四邊形

(1)(2)(3)(4)(5)

菱形矩形任意五邊形任意六邊形正六邊形

(6)(7)(8)(9)(10)

橫截豎截斜截

正方體正方形矩形如圖所示

說明：正方體斜截面是不會(huì)出現(xiàn)以下幾種圖形：直角三角形、鈍角三角形、

直角梯形、正五邊形.

課時(shí)作業(yè)

一、單項(xiàng)選擇題

1.垂直于同一條直線的兩條直線的位置關(guān)系是（）

A.平行B.相交

C.異面D.A,B,C均有可能

答案D

解析如圖，在正方體AG中，?「AiA_L平面ABC。，.?.4A1AO,AiAlBC,

又」.A項(xiàng)有可能；?.?AiAl平面ABC。，」.AIAIAD.AIAIAB,又AOCA3

=A,r.B項(xiàng)有可能；?.,AiA_L平面ABC。，AiA_L平面A8iCiDi,4Cu平面ABCD,

AiDiu平面ABCD,「.AiA_L4C,A\A]_A\D\,又AC與AiZh不在同一平面內(nèi),

?..C項(xiàng)有可能.

2.（2021?山東泰安一中高三月考）如圖所示，用符號(hào)語言可表示為（）

A.aC0=IB.allp,l￡a

C.Ill3IdaD.aII[i,laa

答案D

解析題圖中面面關(guān)系、線面關(guān)系用符號(hào)語言可表示為a〃/，ka.

3.已知直線/和平面a,若/〃a,PEa,則過點(diǎn)P且平行于/的直線()

A.只有一條，不在平面a內(nèi)

B.只有一條，且在平面a內(nèi)

C.有無數(shù)條，一定在平面a內(nèi)

D.有無數(shù)條，一定不在平面a內(nèi)

答案B

解析假設(shè)過點(diǎn)P且平行于/的直線有兩條機(jī)與〃，.?.，”///且〃〃/,由平行

公理得m//n,這與兩條直線m與〃相交于點(diǎn)P相矛盾.

4.若P為兩條異面直線/,機(jī)外的任意一點(diǎn)，貝女)

A.過點(diǎn)P有且僅有一條直線與/,機(jī)都平行

B.過點(diǎn)P有且僅有一條直線與/,加都垂直

C.過點(diǎn)P有且僅有一條直線與/,機(jī)都相交

D.過點(diǎn)P有且僅有一條直線與/,〃，都異面

答案B

解析設(shè)過點(diǎn)P的直線為〃，若〃〃/,nllm,則/〃如與/,加是異面直線

矛盾，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?,〃?只有唯一的公垂線，而過點(diǎn)P與公垂線平行的直線

只有一條，故B正確；過點(diǎn)尸與直線/相交的直線，必在點(diǎn)P與直線/所確定的

平面用內(nèi).若〃z與平面夕平行，則不存在這樣的直線，故C錯(cuò)誤；設(shè)點(diǎn)P與直線

機(jī)所確定的平面為a,則a與A相交于過點(diǎn)P的直線，在a與夕外任找一點(diǎn)

則由異面直線的判定定理得，AP與直線/,〃?都異面，所以有無數(shù)條，故D錯(cuò)誤.

5.一條直線與兩條異面直線中的一條相交，則它與另一條的位置關(guān)系是

()

A.異面

B.平行

C.相交

D.可能相交、平行，也可能異面

答案D

解析一條直線與兩條異面直線中的一條相交，它與另一條的位置關(guān)系有三

種：平行、相交、異面，如下圖所示.

6.平面a以任意角度截正方體，所截得的截面圖形不可能為（）

A.等腰梯形

B.非矩形的平行四邊形

C.正五邊形

D.正六邊形

答案C

解析畫出截面圖形如圖：

C,。分別是所在棱的中點(diǎn)，四邊形A8CO為等腰梯形，故A有可能;

如圖作截面EFG",E,G分別是所在棱的中點(diǎn)，由平面與平面平行的性質(zhì)可

得EF〃GH,FGIIEH,四邊形EFG”為平行四邊形，但不是矩形，故B有可能;

經(jīng)過正方體的一個(gè)頂點(diǎn)去切正方體可得五邊形，一定不是正五邊形，故C不

可能；

六邊形的頂點(diǎn)為正方體各棱的中點(diǎn)，六邊形為正六邊形，故D有可能.故選

7.在正方體中，異面直線AC與8G所成的角為（）

答案C

解析如圖，在正方體ABCO-ABGDi中，AC//4G,異面直線AC與3。

所成的角即為4。與所成的角，而△48。為等邊三角形，故4。與

IT7T

的夾角為］,所以異面直線AC與8。所成的角為g.故選C.

8.如圖，ABCO-AiBGOi是長方體，。是囪功的中點(diǎn)，直線AC交平面

于點(diǎn)M,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.A,M,。三點(diǎn)共線

B.M,O,Ai,A四點(diǎn)共面

C.B,Bi,0,M四點(diǎn)共面

D.A,0,C,M四點(diǎn)共面

答案C

解析連接AC,AC,則4G//AC,「.Ai,Ci,C,A四點(diǎn)共面，，AiCu

平面ACGAi,?.?MWAiC,「.MW平面ACCAi,?「MW平面ABDi,.,.點(diǎn)M在平

面ACCIAI與平面AB\D\的交線上，同理點(diǎn)。在平面ACCiAi與平面AB\D\的交

線上，

:.A,M,。三點(diǎn)共線，故A正確；VA,M,。三點(diǎn)共線，且直線與直線外

一點(diǎn)可確定一個(gè)平面，:.A,M,0,4四點(diǎn)共面，A,M,C,。四點(diǎn)共面，故B,

D正確；?.,JBBIQ平面ABiDi,OMu平面ABiOi,Bi￡平面ABiDi且3停0M,：.

881和0M是異面直線，二8B\,O,M四點(diǎn)不共面，故C錯(cuò)誤.

二、多項(xiàng)選擇題

9.如圖所示，在正方體ABCD-ABiGDi中，M,N分別為棱GOi,CC的

中點(diǎn)，則以下四個(gè)結(jié)論正確的是（）

A.直線AM與CG是相交直線

B.直線AM與3N是平行直線

C.直線BN與MB是異面直線

D.直線AM與。）是異面直線

答案CD

解析直線AM與CC\是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，故A,B

錯(cuò)誤；直線BN與M3是異面直線，直線AM與。。是異面直線，故C,D正確.

10.下列命題中正確的是（）

A.存在與兩條異面直線都平行的平面

B.過空間一點(diǎn)，一定能作一個(gè)平面與兩條異面直線都平行

C.過平面外一點(diǎn)可作無數(shù)條直線與該平面平行

D.過直線外一點(diǎn)可作無數(shù)個(gè)平面與該直線平行

答案ACD

解析將一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平移到平面外，且平移后不相交，

則這兩條直線異面且與該平面平行，故A正確；當(dāng)該點(diǎn)在其中一條直線上時(shí)，過

該點(diǎn)不可能作出平行該直線的平面，故B不正確；過棱柱上底面內(nèi)一點(diǎn)在上底面

內(nèi)可以作無數(shù)條直線都與下底面平行，故C正確；過直線外一點(diǎn)有一條直線與這

條直線平行，那么過這條平行線有無數(shù)個(gè)平面，都與已知直線平行（只有一個(gè)不平

行），故D正確.

三、填空題

H.如圖，G,H,M,N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則直線

GH,MN是異面直線的圖形有（填序號(hào)）.

答案②④

解析①中GH〃MN；②中，G,H,N三點(diǎn)共面，但ME平面GHN,因此

GH,是異面直線；③中連接GM,GMIIHN,所以直線G"與MN共面；④

中，G,M,N三點(diǎn)共面，但"生平面GMN,因此G",MN是異面直線.

12.在底面為正六邊形的六棱柱中，互相平行的面視為一組，則共有

組互相平行的面，與其中一個(gè)側(cè)面相交的面共有個(gè).

答案46

解析六棱柱的兩個(gè)底面互相平行，每個(gè)側(cè)面與其直接相對的側(cè)面平行，故

共有4組互相平行的面.六棱柱共由8個(gè)面圍成，在其余的7個(gè)面中，與某個(gè)側(cè)

面平行的面有1個(gè)，其余6個(gè)面與該側(cè)面均相交.

13.有下列四個(gè)命題：

①兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)；

②過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面；

③若空間兩條直線不相交，則這兩條直線