2023-2024學年莆田市重點中學高三下期中試題

2022-2023學年莆田市重點中學高三下期中試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若為虛數(shù)單位，則復數(shù)，則在復平面內(nèi)對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知函數(shù)（，）的一個零點是，函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線，則當取得最小值時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．（） B．（）C．（） D．（）3．已知直線，，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積是()A． B． C． D．5．已知全集，函數(shù)的定義域為，集合，則下列結論正確的是A． B．C． D．6．已知直線過圓的圓心，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知a＞b＞0，c＞1，則下列各式成立的是（）A．sina＞sinb B．ca＞cb C．a(chǎn)c＜bc D．8．在原點附近的部分圖象大概是（）A． B．C． D．9．已知函數(shù)，其中，記函數(shù)滿足條件：為事件，則事件發(fā)生的概率為A． B．C． D．10．若集合，則（）A． B．C． D．11．不等式組表示的平面區(qū)域為，則（）A．， B．，C．， D．，12．如圖是來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊，直角邊.已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為，記，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標系中，圓.已知過原點且相互垂直的兩條直線和，其中與圓相交于，兩點，與圓相切于點.若，則直線的斜率為_____________.14．已知復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則的模為_______________.15．的展開式中的常數(shù)項為_______．16．設、、、、是表面積為的球的球面上五點，四邊形為正方形，則四棱錐體積的最大值為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品，每件產(chǎn)品不合格的概率均為，現(xiàn)工廠為提高產(chǎn)品聲譽，要求在交付用戶前每件產(chǎn)品都通過合格檢驗，已知該工廠的檢驗儀器一次最多可檢驗件該產(chǎn)品，且每件產(chǎn)品檢驗合格與否相互獨立．若每件產(chǎn)品均檢驗一次，所需檢驗費用較多，該工廠提出以下檢驗方案：將產(chǎn)品每個一組進行分組檢驗，如果某一組產(chǎn)品檢驗合格，則說明該組內(nèi)產(chǎn)品均合格，若檢驗不合格，則說明該組內(nèi)有不合格產(chǎn)品，再對該組內(nèi)每一件產(chǎn)品單獨進行檢驗，如此，每一組產(chǎn)品只需檢驗次或次．設該工廠生產(chǎn)件該產(chǎn)品，記每件產(chǎn)品的平均檢驗次數(shù)為．（1）求的分布列及其期望；（2）（i）試說明，當越小時，該方案越合理，即所需平均檢驗次數(shù)越少；（ii）當時，求使該方案最合理時的值及件該產(chǎn)品的平均檢驗次數(shù)．18．（12分）手工藝是一種生活態(tài)度和對傳統(tǒng)的堅持，在我國有很多手工藝品制作村落，村民的手工技藝世代相傳，有些村落制造出的手工藝品不僅全國聞名，還大量遠銷海外.近年來某手工藝品村制作的手工藝品在國外備受歡迎，該村村民成立了手工藝品外銷合作社，為嚴把質(zhì)量關，合作社對村民制作的每件手工藝品都請3位行家進行質(zhì)量把關，質(zhì)量把關程序如下：（i）若一件手工藝品3位行家都認為質(zhì)量過關，則該手工藝品質(zhì)量為A級；（ii）若僅有1位行家認為質(zhì)量不過關，再由另外2位行家進行第二次質(zhì)量把關，若第二次質(zhì)量把關這2位行家都認為質(zhì)量過關，則該手工藝品質(zhì)量為B級，若第二次質(zhì)量把關這2位行家中有1位或2位認為質(zhì)量不過關，則該手工藝品質(zhì)量為C級；（iii）若有2位或3位行家認為質(zhì)量不過關，則該手工藝品質(zhì)量為D級.已知每一次質(zhì)量把關中一件手工藝品被1位行家認為質(zhì)量不過關的概率為，且各手工藝品質(zhì)量是否過關相互獨立.（1）求一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率；（2）若一件手工藝品質(zhì)量為A，B，C級均可外銷，且利潤分別為900元，600元，300元，質(zhì)量為D級不能外銷，利潤記為100元.①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件；②記1件手工藝品的利潤為X元，求X的分布列與期望.19．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是梯形．BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，，（Ⅰ）證明；AC⊥BP；（Ⅱ）求直線AD與平面APC所成角的正弦值．20．（12分）如圖，已知正方形所在平面與梯形所在平面垂直，BM∥AN，，，．（1）證明：平面；（2）求點N到平面CDM的距離．21．（12分）以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程是，直線和直線的極坐標方程分別是（）和（），其中（）.（1）寫出曲線的直角坐標方程；（2）設直線和直線分別與曲線交于除極點的另外點，，求的面積最小值.22．（10分）己知點，分別是橢圓的上頂點和左焦點，若與圓相切于點，且點是線段靠近點的三等分點.求橢圓的標準方程；直線與橢圓只有一個公共點，且點在第二象限，過坐標原點且與垂直的直線與圓相交于，兩點，求面積的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

首先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值將復數(shù)化為，求出，再利用復數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】，，則在復平面內(nèi)對應的點的坐標為，位于第二象限.故選：B【點睛】本題考查了復數(shù)的幾何意義、共軛復數(shù)的概念、特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎題.2．B【解析】

根據(jù)函數(shù)的一個零點是，得出，再根據(jù)是對稱軸，得出，求出的最小值與對應的，寫出即可求出其單調(diào)增區(qū)間.【詳解】依題意得，，即，解得或（其中，）.①又，即（其中）.②由①②得或，即或（其中，，），因此的最小值為.因為，所以（）.又，所以，所以，令（），則（）.因此，當取得最小值時，的單調(diào)遞增區(qū)間是（）.故選：B【點睛】此題考查三角函數(shù)的對稱軸和對稱點，在對稱軸處取得最值，對稱點處函數(shù)值為零，屬于較易題目.3．C【解析】

先得出兩直線平行的充要條件，根據(jù)小范圍可推導出大范圍，可得到答案.【詳解】直線，，的充要條件是，當a=2時，化簡后發(fā)現(xiàn)兩直線是重合的，故舍去，最終a=-1.因此得到“”是“”的充分必要條件.故答案為C.【點睛】判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系．4．D【解析】

根據(jù)三視圖判斷出幾何體為正四棱錐，由此計算出幾何體的表面積.【詳解】根據(jù)三視圖可知，該幾何體為正四棱錐.底面積為.側面的高為，所以側面積為.所以該幾何體的表面積是.故選：D【點睛】本小題主要考查由三視圖判斷原圖，考查錐體表面積的計算，屬于基礎題.5．A【解析】

求函數(shù)定義域得集合M，N后，再判斷．【詳解】由題意，，∴．故選A．【點睛】本題考查集合的運算，解題關鍵是確定集合中的元素．確定集合的元素時要注意代表元形式，集合是函數(shù)的定義域，還是函數(shù)的值域，是不等式的解集還是曲線上的點集，都由代表元決定．6．D【解析】

圓心坐標為，代入直線方程，再由乘1法和基本不等式，展開計算即可得到所求最小值．【詳解】圓的圓心為，由題意可得，即，，，則，當且僅當且即時取等號，故選：．【點睛】本題考查最值的求法，注意運用乘1法和基本不等式，注意滿足的條件：一正二定三等，同時考查直線與圓的關系，考查運算能力，屬于基礎題．7．B【解析】

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性逐項判斷即可【詳解】對A,由正弦函數(shù)的單調(diào)性知sina與sinb大小不確定，故錯誤；對B,因為y＝cx為增函數(shù)，且a＞b，所以ca＞cb，正確對C,因為y＝xc為增函數(shù),故，錯誤；對D,因為在為減函數(shù)，故，錯誤故選B．【點睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎題．8．A【解析】

分析函數(shù)的奇偶性，以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號，結合排除法可得出正確選項.【詳解】令，可得，即函數(shù)的定義域為，定義域關于原點對稱，，則函數(shù)為奇函數(shù)，排除C、D選項；當時，，，則，排除B選項.故選：A.【點睛】本題考查利用函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，一般要分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點以及函數(shù)值符號，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.9．D【解析】

由得，分別以為橫縱坐標建立如圖所示平面直角坐標系，由圖可知，.10．A【解析】

先確定集合中的元素，然后由交集定義求解．【詳解】，.故選：A．【點睛】本題考查求集合的交集運算，掌握交集定義是解題關鍵．11．D【解析】

根據(jù)題意，分析不等式組的幾何意義，可得其表示的平面區(qū)域，設，分析的幾何意義，可得的最小值，據(jù)此分析選項即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，不等式組其表示的平面區(qū)域如圖所示，其中，，

設，則，的幾何意義為直線在軸上的截距的2倍，

由圖可得：當過點時，直線在軸上的截距最大，即，當過點原點時，直線在軸上的截距最小，即，故AB錯誤；

設，則的幾何意義為點與點連線的斜率，由圖可得最大可到無窮大，最小可到無窮小，故C錯誤，D正確；故選：D.【點睛】本題考查本題考查二元一次不等式的性質(zhì)以及應用，關鍵是對目標函數(shù)幾何意義的認識，屬于基礎題.12．D【解析】

由半圓面積之比，可求出兩個直角邊的長度之比，從而可知，結合同角三角函數(shù)的基本關系，即可求出，由二倍角公式即可求出.【詳解】解：由題意知，以為直徑的半圓面積，以為直徑的半圓面積，則，即.由，得，所以.故選:D.【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關系，考查了二倍角公式.本題的關鍵是由面積比求出角的正切值.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

設：，：，利用點到直線的距離，列出式子，求出的值即可.【詳解】解：由圓，可知圓心，半徑為.設直線：，則：，圓心到直線的距離為，，.圓心到直線的距離為半徑，即，并根據(jù)垂徑定理的應用，可列式得到，解得.故答案為：.【點睛】本題主要考查點到直線的距離公式的運用，并結合圓的方程，垂徑定理的基本知識，屬于中檔題.14．【解析】

利用復數(shù)模的計算公式求解即可.【詳解】解：由，得，所以.故答案為：.【點睛】本題考查復數(shù)模的求法，屬于基礎題.15．【解析】

寫出展開式的通項公式，考慮當?shù)闹笖?shù)為零時，對應的值即為常數(shù)項.【詳解】的展開式通項公式為：，令，所以，所以常數(shù)項為.

故答案為：.【點睛】本題考查二項展開式中指定項系數(shù)的求解，難度較易.解答問題的關鍵是，能通過展開式通項公式分析常數(shù)項對應的取值.16．【解析】

根據(jù)球的表面積求得球的半徑，設球心到四棱錐底面的距離為，求得四棱錐的表達式，利用基本不等式求得體積的最大值.【詳解】由已知可得球的半徑，設球心到四棱錐底面的距離為，棱錐的高為，底面邊長為，的體積，當且僅當時等號成立.故答案為：【點睛】本小題主要考查球的表面積有關計算，考查球的內(nèi)接四棱錐體積的最值的求法，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析，（2）（i）見解析（ii）時平均檢驗次數(shù)最少，約為594次．【解析】

（1）由題意可得，的可能取值為和，分別求出其概率即可求出分布列，進而可求出期望.（2）（i）由記，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可證出；記，當且取最小值時，該方案最合理，對進行賦值即可求解.【詳解】（1）由題，的可能取值為和，故的分布列為由記，因為，所以在上單調(diào)遞增，故越小，越小，即所需平均檢驗次數(shù)越少，該方案越合理記當且取最小值時，該方案最合理，因為，，所以時平均檢驗次數(shù)最少，約為次．【點睛】本題考查了離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望，考查了分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題.18．（1）；（2）①可能是2件；②詳見解析【解析】

（1）由一件手工藝品質(zhì)量為B級的情形，并結合相互獨立事件的概率公式，列式計算即可；（2）①先求得一件手工藝品質(zhì)量為D級的概率為，設10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是件，可知，分別令、、，可求出使得最大的整數(shù)，進而可求出10件手工藝品中不能外銷的手工藝品的最有可能件數(shù)；②分別求出一件手工藝品質(zhì)量為A、B、C、D級的概率，進而可列出X的分布列，求出期望即可.【詳解】（1）一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率為.（2）①由題意可得一件手工藝品質(zhì)量為D級的概率為，設10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是件，則，則，其中，.由得，整數(shù)不存在，由得，所以當時，，即，由得，所以當時，，所以當時，最大，即10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是2件.②由題意可知，一件手工藝品質(zhì)量為A級的概率為，一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率為，一件手工藝品質(zhì)量為C級的概率為，一件手工藝品質(zhì)量為D級的概率為，所以X的分布列為：X900600300100P則期望為.【點睛】本題考查相互獨立事件的概率計算，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題.19．（Ⅰ）見解析（Ⅱ）．【解析】

(I)取的中點,連接,通過證明平面得出;(II)以為原點建立坐標系，求出平面的法向量，通過計算與的夾角得出與平面所成角．【詳解】（I）證明：取AC的中點M，連接PM，BM，∵AB＝BC，PA＝PC，∴AC⊥BM，AC⊥PM，又BM∩PM＝M，∴AC⊥平面PBM，∵BP?平面PBM，∴AC⊥BP．（II）解：∵底面ABCD是梯形．BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，∴∠ABC＝120°，∵AB＝BC＝1，∴AC，BM，∴AC⊥CD，又AC⊥BM，∴BM∥CD．∵PA＝PC，CM，∴PM，∵PB，∴cos∠BMP，∴∠PMB＝120°，以M為原點，以MB，MC的方向為x軸，y軸的正方向，以平面ABCD在M處的垂線為z軸建立坐標系M﹣xyz，如圖所示：則A（0，，0），C（0，，0），P（，0，），D（﹣1，，0），∴（﹣1，，0），（0，，0），（，，），設平面ACP的法向量為（x，y，z），則，即，令x得（，0，1），∴cos，，∴直線AD與平面APC所成角的正弦值為|cos，|．【點睛】本題考查異面直線垂直的證明,考查直線與平面所成角的正弦值的求法,解題時要認真審題,注意向量法的合理使用,難度一般.20．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）因為正方形ABCD所在平面與梯形ABMN所在平面垂直，平面平面，，所以平面ABMN，因為平面ABMN，平面ABMN，所以，，因為，所以，因為，所以，所以，因為在直角梯形A