八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)提升練習(xí)02-全練版：13.4　課題學(xué)習(xí)　最短路徑問(wèn)題

第十三章軸對(duì)稱13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1利用軸對(duì)稱知識(shí)解決最短路徑問(wèn)題1.【教材變式·P85問(wèn)題1】如圖,A,B兩個(gè)小鎮(zhèn)在河流的同側(cè),隨著居民用水量的增加,現(xiàn)需要在河邊l上修建一個(gè)自來(lái)水廠P,分別向兩個(gè)小鎮(zhèn)供水,下列圖形中所用水管最短的是()ABCD2.如圖所示的4×4的正方形網(wǎng)格中,有A、B兩點(diǎn),在直線a上求一點(diǎn)P,使PA+PB最短,則點(diǎn)P應(yīng)選在()A.C點(diǎn)B.D點(diǎn)C.E點(diǎn)D.F點(diǎn)3.(2021遼寧大連六校聯(lián)考)如圖,OA、OB分別是線段MC、MD的垂直平分線,MD=5cm,MC=7cm,CD=10cm,一只小螞蟻從點(diǎn)M出發(fā)爬到OA上任意一點(diǎn)E,再爬到OB上任意一點(diǎn)F,然后爬回M點(diǎn)處,則小螞蟻爬行的路徑最短為.

知識(shí)點(diǎn)2利用平移解決造橋選址問(wèn)題4.如圖所示,在一條河的兩岸有兩個(gè)村莊,現(xiàn)要在河上建一座橋,橋的方向與河垂直,設(shè)河的寬度不變,試問(wèn):橋架在何處,才能使從A到B的距離最短?5.如圖所示,在P、Q兩村之間有兩條河,且兩條河的寬度相同,從P村到Q村,要經(jīng)過(guò)兩座大橋EF、MN.現(xiàn)在要設(shè)計(jì)一條道路,并在兩條河上分別架這兩座垂直于河岸的大橋,問(wèn):如何設(shè)計(jì)這兩座大橋EF、MN的位置,使由P村到Q村的路程最短?(要求在圖上標(biāo)出道路和大橋的位置)能力提升全練6.(2022黑龍江齊齊哈爾期末,10,★★☆)如圖,在△ABC中,直線l垂直平分AB分別交CB、AB于點(diǎn)D、E,點(diǎn)F為直線l上任意一點(diǎn),AC=3,CB=4,則△ACF周長(zhǎng)的最小值是()A.4B.6C.7D.107.(2018天津中考,11,★★☆)如圖,在正方形ABCD中,E,F分別為AD,BC的中點(diǎn),P為對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則下列線段的長(zhǎng)等于AP+EP最小值的是()A.ABB.DEC.BDD.AF8.(2021青海西寧中考改編,17,★★☆)如圖,△ABC是等邊三角形,N是AB的中點(diǎn),AD是BC邊上的中線,M是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接BM,MN,當(dāng)BM+MN的值最小時(shí),∠MBN的度數(shù)是.

9.(2020青海西寧中考改編,18,★★☆)如圖,在等腰△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在BC邊上,連接AD,且CD=5,AD=13,直線EF是腰AC的垂直平分線,若點(diǎn)M在EF上運(yùn)動(dòng),則△CDM周長(zhǎng)的最小值為.

10.【新考法】(2023福建福州模擬,15,)如圖,在五邊形ABCDE中,∠BAE=136°,∠B=∠E=90°,在BC,DE上分別找一點(diǎn)M,N,使得△AMN的周長(zhǎng)最小,此時(shí)∠AMN+∠ANM的度數(shù)為.

素養(yǎng)探究全練11.【運(yùn)算能力】已知:M、N分別是∠AOB的邊OA、OB上的定點(diǎn).(1)如圖1,若∠O=∠OMN,過(guò)M作射線MD∥OB,點(diǎn)C是射線MD上一動(dòng)點(diǎn),∠MNC的平分線NE交射線OA于E點(diǎn),試探究∠MEN與∠MCN的數(shù)量關(guān)系;(2)如圖2,若P是線段ON上一動(dòng)點(diǎn),Q是射線MA上一動(dòng)點(diǎn),∠AOB=20°,當(dāng)MP+PQ+QN取得最小值時(shí),求∠OPM+∠OQN的值.圖1圖2備用圖

答案全解全析基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練1.B作A點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A',在直線l上任取一點(diǎn)P,連接AP,BP,A'P,A'B,由對(duì)稱性可知,AP=A'P,∴AP+BP=A'P+BP≥A'B,∴當(dāng)A'、P、B三點(diǎn)共線時(shí),AP+BP的值最小,故選B.2.A如圖,點(diǎn)A'是點(diǎn)A關(guān)于直線a的對(duì)稱點(diǎn),連接A'B,則A'B與直線a的交點(diǎn)即為點(diǎn)P,此時(shí)PA+PB最短,∵A'B與直線a交于點(diǎn)C,∴點(diǎn)P應(yīng)選在C點(diǎn).故選A.3.答案10cm解析由題意可知當(dāng)E為CD與OA的交點(diǎn),F為CD與OB的交點(diǎn)時(shí),小螞蟻爬行的路徑最短,∵OA、OB分別是線段MC、MD的垂直平分線,∴ME=CE,MF=DF,∴小螞蟻爬行的路徑最短=CD=10cm.4.解析如圖,作BB'垂直于河岸GH,且BB'等于河寬,連接AB',與河岸EF交于P,將PB'沿與河垂直的方向平移,得到DB,連接PD,則PD∥BB'且PD=BB'.利用平移可知PB'=BD.根據(jù)“兩點(diǎn)之間,線段最短”,可知路徑A→P→D→B最短.故橋架在PD處符合題意.5.解析如圖所示.(1)過(guò)點(diǎn)P作PA⊥l1,垂足為A,過(guò)點(diǎn)Q作QB⊥l3,垂足為B;(2)分別在PA和QB上截取PC=QD=河的寬度;(3)連接CD,分別交l2和l4于點(diǎn)E和M;(4)過(guò)點(diǎn)E和M分別作l1和l3的垂線,垂足分別為F和N;(5)連接PF和QN,則路線P→F→E→M→N→Q就是滿足題意的最短路線.能力提升全練6.C∵直線l垂直平分AB,∴A,B關(guān)于直線l對(duì)稱,∴F與D點(diǎn)重合時(shí),AF+CF的值最小,最小值為BC的長(zhǎng),∴AF+CF的最小值為4,∴△ACF周長(zhǎng)的最小值=(AF+CF)的最小值+AC=BC+AC=4+3=7,故選C.7.D如圖,連接CP,CE,由軸對(duì)稱可得△ADP≌△CDP,∴AP=CP,∴AP+PE=CP+PE,∴當(dāng)點(diǎn)E,P,C在同一條直線上時(shí),AP+PE有最小值,最小值為CE的長(zhǎng),由AB=CD,∠ABF=∠CDE=90°,BF=DE,可得△ABF≌△CDE,∴AF=CE,∴AP+EP的最小值等于線段AF的長(zhǎng),故選D.8.答案30°解析如圖,連接CM,CN,∵△ABC是等邊三角形,AD是BC邊上的中線,∴AD⊥BC,BD=CD,∴AD垂直平分BC,∴BM=CM,∴BM+MN=CM+MN,即當(dāng)C、M、N三點(diǎn)共線時(shí),BM+MN有最小值,最小值為CN的長(zhǎng),∵△ABC是等邊三角形,點(diǎn)N是AB的中點(diǎn),∴CN平分∠ACB,∴∠NCB=30°,即∠MCB=30°,∵M(jìn)C=MB,∴∠MBC=∠MCB=30°,∴∠MBN=60°-30°=30°.9.答案18解析如圖,連接AM,∵EF垂直平分線段AC,∴MA=MC,∴DM+MC=AM+MD,∴當(dāng)點(diǎn)A、D、M共線時(shí),DM+MC的值最小,最小值為AD的長(zhǎng),∴DM+MC的最小值為13,∴△CDM周長(zhǎng)的最小值=13+5=18,故答案為18.10.答案88°解析如圖,作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)P,關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)Q,連接PQ,與BC相交于點(diǎn)M,與DE相交于點(diǎn)N,則AM=PM,AN=QN,∴∠P=∠PAM,∠Q=∠QAN,△AMN的周長(zhǎng)=AM+MN+AN=PM+MN+QN=PQ,∴△AMN周長(zhǎng)的最小值為PQ的長(zhǎng)度,∵∠BAE=136°,∴∠P+∠Q=180°-136°=44°,∵∠AMN=∠P+∠PAM=2∠P,∠ANM=∠Q+∠QAN=2∠Q,∴∠AMN+∠ANM=2(∠P+∠Q)=2×44°=88°.素養(yǎng)探究全練11.解析(1)設(shè)∠O=∠OMN=α,∴∠MNB=2α,∵M(jìn)D∥OB,∴∠AMD=∠O=α,∵NE平分∠MNC,∴∠MNE=∠ENC,設(shè)∠MNE=∠ENC=β,∴∠CNB=2α-2β,∵M(jìn)D∥OB,∴∠MCN=∠CNB=2α-2β,∵∠EMC+∠MEN=∠ENC+∠MCN,∴α+∠MEN=β+2α-2β,∴∠MEN=α-β,∴2∠MEN=∠MCN.(2)作M點(diǎn)關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M',N點(diǎn)關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N',連接M'N',與OB、OA分別交于點(diǎn)P、點(diǎn)Q,連接O