第1章直角三角形的邊角關(guān)系 同步單元達(dá)標(biāo)測試題 2024-2025學(xué)年北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊

2024-2025學(xué)年北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊《第1章直角三角形的邊角關(guān)系》同步單元達(dá)標(biāo)測試題（附答案）一、單選題（滿分30分）1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，則tanA的值為（A．35 B．45 C．432．在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=15,sinA=13A．5 B．102 C．45 D．3．如果銳角α的正切值是32A．30°<α<45° B．45°<α<60° C．α=60° D．α=30°4．在△ABC中，若2cosA?22+A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形5．cos30°?sin45°A．12 B．13 C．1 6．若tanA=0.1890，利用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算∠A的度數(shù)，下列按鍵順序正確的是（

）A．

B．

C．

D．

7．如圖，在△ABC中，∠A=30°，AC=23，tanB=32，則

A．2+23 B．3+3 C．48．如圖所示，在矩形ABCD中，BC=2AB，點(diǎn)M，N分別在邊BC，AD上．連接MN，將四邊形CMND沿MN翻折，點(diǎn)C，D分別落在點(diǎn)A，E處．則tan∠AMN的值是（

A．2 B．2 C．3 D．59．如圖，一艘船由A港沿北偏東60°方向航行10?km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10?km至C港．則A，A．102km B．52km C．10．兩建筑物的水平距離為a米，從A點(diǎn)測得D點(diǎn)的俯角為α，測得C點(diǎn)的俯角為β，則較低建筑物CD的高為（

）A．a(chǎn)米 B．a(chǎn)tanα米 C．a(chǎn)tanβ米二、填空題（滿分30分）11．如果α是銳角，sinα=cos44°，那么α的大小為12．已知tanα=2，則2sinα+13．在正方形ABCD中，點(diǎn)E在直線BC上，AB=6，tan∠AEB=3.則CE的長為14．如圖，在△ABC中，AD是邊BC上的高，BC=17，AD=9，cos∠BAD=35，則線段15．如圖，在△ABC中，sinB=13，tanC=22，AB=3，則AC的長為16．如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD=60°，AB=4，AD=5．則AC的長的值為．17．等腰△ABC中，AB=AC，tan∠ABC=34，D為AB的中點(diǎn)，BE⊥BC交射線CD于E，若BC=8，則線段BE18．無人機(jī)在實(shí)際生活中的應(yīng)用越來越廣泛．如圖所示，某人利用無人機(jī)測量大樓的高度BC，無人機(jī)在空中點(diǎn)P處，測得點(diǎn)P距地面上點(diǎn)A為80米，點(diǎn)A處的俯角為60°，樓頂C點(diǎn)處的俯角為30°，已知點(diǎn)A與大樓的距離AB為70米（點(diǎn)A，B，C，P在同一平面內(nèi)），則大樓的高度BC為（結(jié)果保留根號）．

19．如圖，甲船從A處向正北方向的C島航行，同時，乙船在C島正東方向80海里的D處向正東方向航行，此時甲船觀察到乙船在北偏東45°方向，甲船正北方向航行30海里后在B處觀察到乙船在北偏東70°方向的E處，則乙船向正東方向航行了海里．（精確到1海里，參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，20．如圖，在Rt△ABO中，AO=2，將△ABO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至△A′B′O的位置，且A′是OB的中點(diǎn)，B三、解答題（滿分60分）21．計(jì)算：(1)3(2)2sin22．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為線段BC的中點(diǎn)，AD=2(1)求AB的長；(2)求sin∠EDC23．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)y=kx（k為常數(shù)且k≠0）上有一點(diǎn)A(?3,m)，且與直線y=?2x+4交于另一點(diǎn)

(1)求k與m的值；(2)過點(diǎn)A作直線l∥x軸與直線y=?2x+4交于點(diǎn)C，求sin∠OCA24．如圖，在矩形ABCD中，E為DC邊上一點(diǎn)，把△ADE沿AE翻折，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處．(1)若AB=2①求EC的長；②若P，Q分別是線段AE，AD上的動點(diǎn)，求(2)若AE?DE=2EC，記∠BAF=α，∠FAE=β，求tanα+25．【學(xué)科融合】如圖1，在反射現(xiàn)象中，反射光線，入射光線和法線都在同一個平面內(nèi)；反射光線和入射光線分別位于法線兩側(cè)；反射角r等于入射角i．這就是光的反射定律．【解決問題】阿房宮遺址被聯(lián)合國確定為世界上最大的宮殿基址，屬于世界奇跡．上天臺是阿房宮殿祭祀天神的建筑物，重現(xiàn)的上天臺，是根據(jù)有關(guān)史料營造．如圖2，小江和小海兩位同學(xué)想利用學(xué)過的知識來測量上天臺AB的高度．一天，他們帶著測量工具來到上天臺前，但由于整體規(guī)劃的原因，無法到達(dá)上天臺底部B．于是小江在地面上的點(diǎn)C處放置了一個平面鏡，小海從C處出發(fā)沿著BC方向移動，當(dāng)移動到點(diǎn)E處時，恰好在平面鏡內(nèi)看到上天臺的頂端A的像，此時，測得CE=2.4?m，小海眼睛到地面的距離DE為1.6m；然后，小江沿CB方向移動到點(diǎn)G，用測角儀測得上天臺頂端A的仰角為45°，此時，測得CG=11.5?m，測角儀的高度FG也為1.6m．已知點(diǎn)B，G，C，E在同一水平直線上，且AB,FG,DE均垂直于BE，求該上天臺的高度26．圖1是某種可調(diào)節(jié)支撐架，BC為水平固定桿，豎直固定桿AB⊥BC，活動桿AD可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，CD為液壓可伸縮支撐桿，已知AB=10cm，BC=20cm，(1)如圖2，當(dāng)活動桿AD處于水平狀態(tài)時，直接寫出可伸縮支撐桿CD的長度．（結(jié)果保留根號）(2)如圖3，當(dāng)活動桿AD繞點(diǎn)A由水平狀態(tài)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度α，且tanα=34（α為銳角），求此時可伸縮支撐桿CD的長度（結(jié)果精確到127．如圖，在菱形ABCD中，AB=5，BD為對角線．點(diǎn)E是邊AB延長線上的任意一點(diǎn)，連結(jié)DE交BC于點(diǎn)F，BG平分∠CBE交DE于點(diǎn)G．(1)求證：∠DBG=90°．(2)若BD=6，DG=2GE．①求菱形ABCD的面積．

②求tan∠BDE(3)若BE=AB，當(dāng)∠DAB的大小發(fā)生變化時0°<∠DAB<180°，在AE上找一點(diǎn)T，使GT為定值，并求出此定值．28．【問題情境】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ACB=α，點(diǎn)D在邊BC上，將線段DB繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)得到線段DE（旋轉(zhuǎn)角小于180°），連接BE,CE，以CE為底邊在其上方作等腰三角形FEC，使∠FCE=α，連接AF．【特例感知】（1）如圖1，當(dāng)α=60°時，則AF與BE的數(shù)量關(guān)系為；【嘗試探究】（2）如圖2，寫出AF與BE的數(shù)量關(guān)系（用含α的三角函數(shù)表示），并說明理由．【拓展應(yīng)用】（3）如圖4，當(dāng)α=30°，且點(diǎn)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時，若BC=47，BD=15參考答案：題號12345678910答案DAADCADAAD1．解：∵∠C=90°，AB=5，AC=4，∴BC=A∴tanA=故選：D．2．解：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°∴sinA=∵AB=15，∴BC∴BC=5，故選：A．3．解：∵tan30°=33，，tanα=32，tan45°=1而13∴tan2∴tan30°<∴30°<α<45°，故選：A．4．解：∵2∴2cosA?∴cosA=2∴∠A=45°，∠B=45°∴∠C=180°?∠A?∠B=90°．∴△ABC一定是等腰直角三角形，故選：D．5．解：cos==1．故選：C．6．解：在計(jì)算器中按下0.1890，然后找到tan?1的按鍵符號，即2ndf按下2ndf鍵，再按tan鍵，A項(xiàng)符合題意故選：A．7．解：如下圖，作CD⊥AB于D，

在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=2∴CD=12AC=在Rt△BCD中，tan∴3∴BD=2，∴AB=AD+BD=3+2=5，故選：D．8．解：連接AC交MN于點(diǎn)F，設(shè)AB=2m，則BC=2AB=4m，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∴AC=∵將四邊形CMND沿MN翻折，點(diǎn)C，D分別落在點(diǎn)A，E處，∴點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于直線MN對稱，∴AM=CM，MN垂直平分AC，∴BM=BC?CM=4m?AM，∠AFM=90°，AF=CF=1∵AB∴2m∴AM=5∴MF=∴tan∠AMN=故選：A．9．解：由題意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°∵.∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°，∵AB=BC=10km∴AC=A故選：A．10．解：如圖，作DE⊥AB于點(diǎn)E，∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴四邊形BCDE是矩形，∴ED=BC，BE=DC，在直角△AED中，ED=BC=a，∠ADE=α，∵tan∴AE=DE?tan同理：AB=a?tan∴DC=BE=AB?AE=a?tan故選：D．11．解：∵sinα=∴α=90°?44°=46°；故答案為：46．12．解：∵sinα=∴tanα=∵tanα=2∴sinα=2∴2故答案為：5．13．解：∵在正方形ABCD中，∠B=90°，∵AB=6，tan∠AEB=3∴BE=AB當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上時，如圖1，

則CE=BC?BE=6?2=4；當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長線上時，如圖2，

則CE=BC+BE=6+2=8，故答案為：4或8．14．解：∵cos∠BAD=ADAB∴AB=15，∵AD是邊BC上的高，∴AD⊥BC，∴∠ABD=90°，∴BD=A∴CD=BC?BD=17?12=5，故答案為：5．15．解：過A作AD⊥BC，如圖所示：在Rt△ABD中，sinB=1∴AD=AB?sinB=1在Rt△ACD中，tan∴ADDC=2∴BC=BD+CD=32由勾股定理得AC=A∴S故答案為：3，3216．解：如圖，延長BC，AD交于E，∵∠B=90∴∠E=30°，∴AE=2AB=8,BE=AB·tan∵AD=5，∴DE=3，∵∠ADC=∠CDE=90∴CE=DE∴BC=BE-CE=23∴AC=A故答案為：217．解：作AF⊥BC交BC于F，交EC于G，如圖：∵等腰△ABC中，AB=AC，BC=8，∴BF=CF=1∵tan∴AF∴AF=3∵BE⊥BC，∴BE∥∴△CGF∽△CEB，∴GF∴GF=1∵D為AB的中點(diǎn)，∴BD=AD，在△BED和△AGD中，∠EBD=∠GADBD=AD∴△BED≌△AGDASA∴AG=BE，∴AF=AG+GF=BE+1解得：BE=2，故答案為：2．18．解：如圖所示：

過P作PH⊥AB于H，過C作CQ⊥PH于Q，而CB⊥AB，則四邊形CQHB是矩形，∴QH=BC，BH=CQ，由題意可得：AP=80米，∠PAH=60°，∠PCQ=30°，AB=70米，∴PH=APsin60°=80×3∴CQ=BH=70?40=30米，∴PQ=CQ?tan∴BC=QH=403大樓的高度BC為303米．故答案為：30319．解：由題意得：AB=30（海里），AC⊥CE,在Rt△ACD中，∠CAD=45°∴AC=CD∴BC=AC?AB=80?30=50（海里），在Rt△BCE中，∠CBE=70°∴CE=BC?tan∴DE=CE?CD=137.5?80=57.5≈58（海里），即乙船向正東方向航行了58海里，故答案為：5820．解：作B′H⊥x軸，∵A′是OB∴O∴OA=∴∴∠AOB=60°,∵△ABO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至△∴△ABO≌△∴∠BO∴∠∵OA=2,∴BO=∴OH=2,B∴k=2×23故答案為：421．（1）解：原式=3×=2=33（2）解：2sin=2×=1+6?=6.5．22．（1）解：∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°，∵AD=2，tan∴BD=AD∴AB=A（2）解：∵∠ABC=90°，BD⊥AC，∴∠BDC=∠ABC=90°，∴∠ABD+∠DBC=∠DBC+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，∵點(diǎn)E為線段BC的中點(diǎn)，∴DE=CE=1∴∠EDC=∠C，∴∠EDC=∠ABD，∴sin∠EDC=23．（1）解：∵點(diǎn)B(n,6)在直線y=?2x+4圖象上，∴?2n+4=6，解得n=?1，∴B(?1,6)，∵B(?1,6)在反比例函數(shù)圖象上，∴k=?6，∴反比例函數(shù)解析式為y=?6∵點(diǎn)A(?3,m)在反比例函數(shù)圖象上，∴m=?6∴m=2．（2）解：在函數(shù)y=?2x+4中，當(dāng)y=2時，x=1，∴C(1,2)，∴OC=5∴sin

24．（1）解：①∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠D=90°，CD=AB=23，BC=AD=4由折疊性質(zhì)得AF=AD=4，DE=EF，在Rt△ABF中，BF=在Rt△CEF中，F(xiàn)C=BC?BF=2，EF=DE=2由勾股定理得EC2+C解得EC=2②連接DF，根據(jù)折疊性質(zhì)得AE垂直平分DF，∵P，Q分別是線段AE，∴PD+PQ=PF+PQ，如圖，當(dāng)F、P、Q共線，且FQ⊥AD時，PD+PQ最小值，最小值為FQ的長，∵∠C=∠ADC=∠DQF=90°，∴四邊形CDQF是矩形，∴FQ=CD=23（2）解：∵∠AFE=∠ADE=∠B=∠C=90°，∴∠BAF=∠CFE=90°?∠AFB，∴△ABF∽△FCE，∴EFAF∴tanα+tan===BC設(shè)AB=CD=a，AF=AD=BC=b，DE=EF=x，∴BF=AF2∵AE?DE=2EC，∴AE=DE+2EC=x+2a?x∵AD∴b2+x由CFAB=CE∴a2即14整理，得16a4?24∴4a2=3∴tanα+25．該解：如圖，過點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)H，則FH=BG，F(xiàn)G=BH=1.6?m在△AHF中，AHHF∴AH=FH=BG．設(shè)BG=x，根據(jù)題意得，∠DCE=∠ACB，∵∠ABC=∠DEC=90°，∴△DCE∽△ACB，∴CEBC∴2.4x+11.5=1.6∴AB=AH+BH=18.2+1.6=19.8?m答：該上天臺的高度AB為19.8米．26．（1）解：過點(diǎn)C作CE⊥AD，垂足為E，由題意得：AB=CE=10cm，BC=AE=20∵AD=50cm∴ED=AD?AE=50?20=30cm在Rt△CED中，CD=∴可伸縮支撐桿CD的長度為1010（2）解：過點(diǎn)D作DF⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)F，交AD′于點(diǎn)解：由題意得：AB=FG=10cm，AG=BF，∠AGD=90°在Rt△ADG中，tan∴設(shè)DG=3xcm，則AG=4x∴AD=A∵AD=50cm∴5x=50，解得：x=10，∴AG=40cm，DG=30∴DF=DG+FG=30+10=40cm∴BF=AG=40cm∵BC=20cm∴CF=BF?BC=40?20=20cm在Rt△CFD中，CD=∴此時可伸縮支撐桿CD的長度為45cm27．（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴BC=DC，AB∥CD，∴∠BDC=∠CBD，∠BDC=∠ABD，∴∠CBD=∠ABD=12∠ABC∵BG平分∠CBE交DE于點(diǎn)G，∴∠CBG=∠EBG=12∠CBE∴∠CBD＋∴∠DBG=90°；（2）解：①如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是菱形，BD=6，∴OD=12BD=3∴∠DOC=90°，在Rt△DOC中，OC=C∴AC=2OC=8，∴S菱形即菱形ABCD的面積是24．②如圖，連接AC，分別交BD、DE于點(diǎn)O、H，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵∠DBG=90°∴BG⊥BD，∴BG∥AC，∴DHDG∴DH=HG，DG=2DH，∵DG=2GE，∴EG=DH=HG，∴DHEH∵AB∥CD，∴∠DCH=∠EAH，∠CDH=∠AEH，∴△CDH∽△AEH，∴CHAH∴CH=13AC=8∴OH=OC?CH=4?8∴tan∠BDE=（3）解：如圖，過點(diǎn)G作GT∥BC交AE于點(diǎn)T，此時GT=5理由如下：由題（1）可知，當(dāng)∠DAB的大小發(fā)生變化時，始終有BG∥AC，∴EGGH∵AB=BE=5，∴EG=GH，同理可得，OH∥BG，∴DHGH∵BO=DO，∴DH=GH=EG，∵GT∥BC，∴GT∥AD，∴△EGT∽△EDA，∴GTAD∵AD=AB=5，∴GT=528．解：（1）∵α=60°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC=BC，∵