江西省宜春市上高二中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考試題 數(shù)學(xué)含答案

江西省宜春市上高二中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考試題數(shù)學(xué)2026屆高二年級第一次月考數(shù)學(xué)試卷--2026屆高二年級第一次月考數(shù)學(xué)試卷--屆高二年級第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．空間直角坐標系中，點到坐標平面的距離為（

）A．2 B． C．3 D．42.若m，n，l為三條不同的直線，，為兩個不重合的平面，則下列命題正確的是（

）A．如果，，則B．如果，，，，則C．如果，，則D．如果，，，則3．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．4．將表面積為36π的圓錐沿母線將其側(cè)面展開，得到一個圓心角為的扇形，則該圓錐的軸截面的面積為（

）A． B． C． D．5．在三棱錐中，已知，是線段的中點，則（

）A． B．C． D．6．大數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了一個公式：，是虛數(shù)單位，為自然對數(shù)的底數(shù).此公式被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)此公式，（

）（注：底數(shù)是正實數(shù)的實數(shù)指數(shù)冪的運算律適用于復(fù)數(shù)指數(shù)冪的運算）A．1B．C．iD．如圖，在三棱柱中，底面ABC，，點D是棱上的點，，若截面分這個棱柱為兩部分，則這兩部分的體積比為（

）A．1:2 B．4:5 C．4:9 D．5:78.已知是面積為等邊三角形，其頂點均在球的表面上，當(dāng)點在球的表面上運動時，三棱錐的體積的最大值為，則球的表面積為（）A. B. C. D.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選項，每選對一個得3分；若只有3個正確選項，每選對一個得2分）9．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．的最小值為 D．的最大值為410．下列有關(guān)復(fù)數(shù)的說法正確的是（）A.若是關(guān)于的方程的一個根，則B.若，則點的集合所構(gòu)成的圖形的面積為C.若是復(fù)數(shù)，則一定有D.若，則11．如圖，已知正方體的棱長為，則下列選項中正確的有（

）異面直線與的夾角的正弦值為B．二面角的平面角的正切值為C．四棱錐的外接球體積為D．三棱錐與三棱錐體積相等三、填空題（本題共3小題，每小題5分,共15分）12.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程的虛數(shù)根是(寫出一個即可)13．已知點、，C為線段AB上一點，若，則點C的坐標為．14.已知正四棱臺的上底面與下底面的邊長之比為1:2,其內(nèi)切球的半徑為1,則該正四棱臺的側(cè)面積為四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.本小題13分已知直三棱柱中，，點D是AB的中點．（1）求證：平面；（2）若底面ABC邊長為2的正三角形，，求三棱錐的體積．16.本小題15分已知復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)（是的共軛復(fù)數(shù)）.(1)設(shè)復(fù)數(shù)，求；(2)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，求實數(shù)的取值范圍.17.本小題15分如圖，在正四棱錐中，底面是邊長為的正方形，與的交于點，，是邊上靠近的三等分點．

(1)設(shè)，，，用，，表示向量；(2)在如圖的空間直角坐標系中，求向量的坐標．18.(本小題17分)如圖,為圓柱O0'的軸截面，是圓柱上異于AD,BC的母線.(1)證明:平面:(2)若，當(dāng)三棱錐的體積最大時，求二面角的正弦值.19.(本小題17分)圖1所示，在矩形中，，，點為上一點，，現(xiàn)將沿折起，將點折到點位置，使得點在平面的投影落在線段上，得到如圖2所示的空間幾何體．（1）在線段上是否存在點，使得平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.（2）求二面角的大?。?026屆高二年級第一次月考數(shù)學(xué)試卷答案題號12345678答案CCABDDDA題號91011答案ACABDACD13.14.181．C【分析】由空間直角坐標系中點的坐標的定義即可求解.【詳解】空間直角坐標系中，點到坐標平面的距離即為豎坐標3.故選：C2【答案】C【詳解】A：當(dāng)時，才能由，，得到，所以本選項命題是假命題；B：只有當(dāng)，時才能由，，得到，所以本選項命題是假命題；C：根據(jù)面面平行的性質(zhì)可知本選項命題是真命題；D：因為，，，所以直線m，n沒有交點，因此m，n可以平行也可以異面，所以本選項命題是假命題，故選：C3．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則及共軛復(fù)數(shù)的概念求得復(fù)數(shù).【詳解】，∴，故選：A.4．B【詳解】如圖所示，設(shè)此圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長為l.則πr2+πrl＝36π，化為：r2+rl＝36，2πr＝l?，可得l＝3r.解得：r＝3，l＝9，h6.該圓錐的軸截面的面積S?2r?h＝rh＝3×618.故選：B.D【詳解】連接，因為是線段的中點，所以因為，所以所以故選：D6．D【詳解】因為，所以，故選：D.7．D【詳解】不妨令，且上下底面等邊三角形，又底面ABC，易知為直三棱柱，即側(cè)面為矩形，所以三棱柱體積，而，故，所以，故，所以.故選：D8【答案】A【解析】【分析】作出圖形，結(jié)合圖形知，當(dāng)點P與球心O以及△ABC外接圓圓心M三點共線且P與△ABC外接圓圓心位于球心的異側(cè)時，三棱錐的體積取得最大值，結(jié)合三棱錐的體積求出三棱錐的高h，并注意到此時該三棱錐為正三棱錐，利用,求出球O的半徑R，最后利用球體的表面積公式可求出答案．【詳解】如圖所示，設(shè)點M為外接圓的圓心，當(dāng)點三點共線時，且分別位于點的異側(cè)時，三棱錐的體積取得最大值.因為的面積為，所以邊長為3，由于三棱錐的體積的最大值為，得，易知SM⊥平面ABC，則三棱錐為正三棱錐，的外接圓直徑為，所以,設(shè)球O的半徑為R，則,解得,所以球的表面積為.故選：A9．AC【詳解】對于A，若，且，則存在唯一實數(shù)使得，即，則，解得，故A正確；對于B，若，則，即，化簡得，因為，所以無實數(shù)解，故B錯誤；對于CD，，故當(dāng)時，取得最小值為，無最大值，故C正確，D錯誤.故選：AC.10在A中，若點Z的坐標為，則，所以，整理得，所以，解得，所以，故A正確；B中，記，則所以，圓的面積為，圓的面積為，所以點的集合所構(gòu)成的圖形的面積為，故B正確.C：當(dāng)，則，而，顯然不成立，錯誤；D：令，，則，故，又，，則，所以，正確.11ACD【詳解】對于A，∵，中，就是異面直線所成的角，，則，A正確；對于B，連接交于點O，連接，

∵平面ABCD，BD平面ABCD，∴BD，又BD⊥AO，，平面，∴BD⊥平面∵平面，∴BD⊥，∴為二面角的平面角，在中，，B不正確；對于C，∵正方體外接球的半徑，∴正方體的外接球體積為，C正確；對于D，∵，三棱錐的高與三棱錐的高相等，底面積，故三棱錐與三棱錐體積相等，D正確.故選：ACD.13．【詳解】，，得，，即點的坐標為.故答案為：.14.1815.【答案】（1）證明見解析（2）1【解析】（1）連接交于點E，連接DE∵四邊形是矩形，∴E為的中點，又∵D是AB的中點，∴，又∵平面，平面，∴面．（2）∵，D是AB的中點，∴，又∵面ABC，面ABC，∴．又∵面，面，，∴面，∴CD為三棱錐的高，，又∵，，∴，，∴三棱錐的體積．16【答案】(1).(2)【詳解】（1）解：因為，則，所以，為純虛數(shù)，所以，，解得.解：，因此，.（2）解：因為，則，因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限，則，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.17．(1)；(2).【詳解】（1）