北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊教案全冊

第一章整式的乘除

1.1同底數(shù)基的乘法

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.經(jīng)歷探索同底數(shù)幕乘法運(yùn)算性質(zhì)過程，進(jìn)一步體會幕的意義.

2.了解同底數(shù)塞乘法的運(yùn)算性質(zhì)，并能解決一些實(shí)際問題

二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)：同底數(shù)器的乘法運(yùn)算法則的推導(dǎo)過程以及相關(guān)計(jì)算

三、學(xué)習(xí)難點(diǎn)：對同底數(shù)募的乘法公式的理解和正確應(yīng)用

四、學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)

(-)預(yù)習(xí)準(zhǔn)備

預(yù)習(xí)書p2-4

(-)學(xué)習(xí)過程

1.試試看：(1)下面請同學(xué)們根據(jù)乘方的意義做下面一組題：

①②==

③a3.a4==a()

⑵根據(jù)上面的規(guī)律，請以嘉的形式直接寫出下列各題的結(jié)果：

2.猜一猜：當(dāng)m,n為正整數(shù)時(shí)候，

.二.

即am?an=(m、n都是正整數(shù))

3.同底數(shù)基的乘法法則：同底數(shù)基相乘

運(yùn)算形式：(同底、乘法)運(yùn)算方法：(底不變、指加法)

當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)幕相乘時(shí)，也具有這一性質(zhì)，用公式表示為am?an?ap=

am+n+p(m、n、p都是正整數(shù))

練習(xí)1.下面的計(jì)算是否正確？如果錯(cuò)，請?jiān)谂赃呌喺?/p>

(1).a3*a4=al2(2).m*m4=m4(3).a2*b3=ab5(4).x5+x5=2xlO

(5).3c4*2c2=5c6(6).x2*xn=x2n(7).2m*2n=2m*n

(8).b4*b4*b4=3b4

2.填空：(1)x5?()=x8(2)a?()=a6

(3)x?x3()=x7(4)xm?()=x3m

(5)x5*x()=x3?x7=x()?x6=x*x()(6)an+l*a()=a2n+l=a*a()

例L計(jì)算

(1)(x+y)3?(x+y)4(2)

(3)(4)(m是正整數(shù))

變式訓(xùn)練.計(jì)算

(1)(2)(3).

(4)(5)(a-b)(b-a)4(6)

(n是正整數(shù))

拓展.1、填空

(1)8=2x,則x=

(2)8X4=2x,則x=

(3)3X27X9=3x,則x=

2、已知am=2,an=3,求的值3、

4、已知的值。5、已知的值。

回顧小結(jié)

1.同底數(shù)基相乘法則要注重理解“同底、相乘、不變、相加”這八個(gè)字.

2.解題時(shí)要注意a的指數(shù)是L

3.解題時(shí)，是什么運(yùn)算就應(yīng)用什么法則.同底數(shù)基相乘，就應(yīng)用同底數(shù)器的乘法法則；整

式加減就要合并同類項(xiàng)，不能混淆.

4.-a2的底數(shù)a,不是-a.計(jì)算-a2?a2的結(jié)果是-(a2?a2)=-a4,而不是(-a)2+2=a4.

5.若底數(shù)是多項(xiàng)式時(shí)，要把底數(shù)看成一個(gè)整體進(jìn)行計(jì)

1.2幕的乘方與積的乘方(1)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.能說出基的乘方與積的乘方的運(yùn)算法則.

2.能正確地運(yùn)用基的乘方與積的乘方法則進(jìn)行塞的有關(guān)運(yùn)算.

二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)：會進(jìn)行幕的乘方的運(yùn)算。

三、學(xué)習(xí)難點(diǎn)：募的乘方法則的總結(jié)及運(yùn)用。

四、學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)：

(-)預(yù)習(xí)準(zhǔn)備

(1)預(yù)習(xí)書5?6頁

(2)回顧：

計(jì)算(1)(x+y)2,(x+y)3(2)x2?x2?x+x4?x

(3)(0.75a)3?(—a)4(4)x3,xnl-xn'2,x

4

(二)學(xué)習(xí)過程：

一、1、探索練習(xí)：

(62)'表示個(gè)相乘.

4表示__個(gè)—相乘.

(a2)3表示個(gè)相乘.

在這個(gè)練習(xí)中，要引學(xué)習(xí)生觀察，推測(6/與(aT的底數(shù)、指數(shù)。并用

乘方的概念解答問題。

(62)4=XXX

=(根據(jù)?-2"=小)

(33)5=XXXX

=(根據(jù)a--am=a"J")

6!表示個(gè)相乘.

(a2)?XX

=(根據(jù)a"-am=a"m)

(am)2=__X_

(根據(jù)a-a"=a").

(a"')"=X*…XX

=(根據(jù)a--am=a"ra)

即(am，)n=(其中m、n都是正整數(shù))

通過上面的探索活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)了什么？

事的乘方，底數(shù)(指數(shù)

2、例題精講

類型一募的乘方的計(jì)算

例1計(jì)算

⑴(5')3⑵一(才)3⑶[(一。)吁(4)[(a+6)2「

隨堂練習(xí)

]_

(1)(a4)3+"；(2)[(-2)3]2.(3)[-(a+A)1]3

類型二哥的乘方公式的逆用

例1已知a*=2,a,=3,求/+，；ax+3y

隨堂練習(xí)

(1)已知a"=2,H=3,求a"”

(2)如果9'=32，求x的值

隨堂練習(xí)

已知：8嘆43=2”,求“

類型三事的乘方與同底數(shù)塞的乘法的綜合應(yīng)用

例1計(jì)算下列各題

(225

D(?)-a⑵(一a)2?J

(3)x?x?x+(—x)'+(-x")2(4)(a—b)2(b—a)

3、當(dāng)堂測評

填空題：

(1)(n?2)5=；—[(一；尸]2=；[―(a+b)213=

(2)[-(-x)512?(-x2)3=；(xm)3?(-x3)2=.

(3)(-4)3?(a")5?(aI")5=；-(x-y)2?(y-x)3=.

(4)x12—(x3)'----'=(x6)

(5)A—(若/"=3,則產(chǎn)=

(6)已知2"=勿,2'=〃,求8*+'的值（用加、〃表示）.

判斷題

(1)a'aJZa'o()

(2)(s3)=x6'()

(3)(—3)2?(—3)—3)6=—即()

(4)x3+y3=(x+y)3()

(5)[(m—n)；']'—[(m—n)2]6=0()

4、拓展：

1、計(jì)算5(P3)4?(-P2)3+2[(-P)2]4?(-P5)

2若

、(x2)n=x8,貝Um=____________.

3若3m212

、[(x)]=x,則m=一

4若

、xm-x2m=2,求X%的值。

5、若a2n=3,求（a3n）4的值。

6、已知am=2,an=3,求a2m+3n的值.

回顧小結(jié)：1.幕的乘方（am）"=（m、"都是正整數(shù)）.

2.語言敘述：________________

3.累的乘方的運(yùn)算及綜合運(yùn)用。

1.2塞的乘方與積的乘方（2）

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.能說出事的乘方與積的乘方的運(yùn)算法則.

2.能正確地運(yùn)用幕的乘方與積的乘方法則進(jìn)行幕的有關(guān)運(yùn)算

二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)：積的乘方的運(yùn)算。

三、學(xué)習(xí)難點(diǎn)：正確區(qū)別基的乘方與積的乘方的異同。

四、學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)：

(-)預(yù)習(xí)準(zhǔn)備

(1)預(yù)習(xí)書7?8頁

(2)回顧：

1、計(jì)算下列各式：

(1)X'?廠=--------(2)--------------(3)尤6+%6=-----------------

(4)一%,X=(5)(~"X)，(-'%)=(5)3父?x+x?x=

(7)(丁)3=----------(8)—(廠)5=----------(9))3,=----------

33242n3

(10)-(m)-(W)=(11)(X)=

2、下列各式正確的是()

(A)(B)?2-?3=?6(c)x?+J?=*5(口)/=/

(二)學(xué)習(xí)過程：

探索練習(xí)：

1竹省23x53=_________x___________=________=(x____，

?L、V|:

2、計(jì)算：2隈5'=----------------4------------------F--------------F(——><——f

3、計(jì)算：2匕*5口=-----------><----------三--------F(——￥——J2

從上面的計(jì)算中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

4、猜一猜填空：⑴(3x5)4=3。-5一⑵(3x5),"=3-5-

(3)("3"="一’,〃—'你能推出它的結(jié)果嗎？

結(jié)論：

例題精講

類型一積的乘方的計(jì)算

例1計(jì)算

nc1

(1)(2b)；(2)(-4x/)2(3)一(一一ab『(4)[-2(a-b)315.

2

隨堂練習(xí)

(1)(3x3)6(2)(-x3y)2(3)(-yxy2)2(4)[-3(n—而2]3.

類型二募的乘方、積的乘方、同底數(shù)毫相乘、整式的加減混合運(yùn)算

例2計(jì)算

(1)E-(-x)5]2-(-x2)3(2)(cnd'-')2(c2dy

(3)(x+y)3(2x+2y)2(3x+3y)2(4)(-3a3)2?a3+(-a)2?o7-(5o3)3

隨堂練習(xí)

(1)(a2nl)2?(“/2)3(2)(-X4)2-2(?)3?x?X+(-3X)3?x5

(3)[(a+/>.)2]3,[(a+Z>)3]4

類型三逆用積的乘方法則

例1計(jì)算(1)82M4X0.1252004；(2)(-8)2005X0.125W，.

隨堂練習(xí)

2O40

O.25X2_32003.(-1)2002+1

32

類型四積的乘方在生活中的應(yīng)用

4

例1地球可以近似的看做是球體，如果用V、r分別代表球的體積和半徑，那么1/=-不汽

3

地球的半徑約為6xl()3千米，它的體積大約是多少立方千米？

隨堂練習(xí)

(1)一個(gè)正方體棱長是3XIO?mm,它的體積是多少mm?

(2)如果太陽也可以看作是球體，它的半徑是地球的1。2倍，那么太陽的體積約是多少立

方千米呢？

當(dāng)堂測評

一、判斷題

1.(xy)3="3()2.(2xy)3=6x3y\)3.(-3a3)2=9a6()

4.(―^)3=—x(.)5.(a“6)”=a'"6()

33

二、填空題

1.一("=,(-%3)2—?2.(-yxy2)2=.

3.81f，°=(4.(JC3)2?x5=.5.(/)"■=("')"("、x是正整

數(shù))，則》=.

6.(-0.25)"X4"=.(-0.125)M0X8201=

4、拓展：

(1)已知n為正整數(shù)，且、2"=4.求(3x'")2_13(x2)2n的值.

(2)已知x"=5,y"=3,求(xy)2n的值

(3)若m為正整數(shù)，且X?m=3,求(3x3m)2—13J2)2m的值.

回顧小結(jié)：

1.積的乘方(ab)"=(〃為正整數(shù))

2.語言敘述：______________________________________

3.積的乘方的推廣(abc)"="是正整數(shù)).

1.3同底數(shù)嘉的除法

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

了解同底數(shù)幕的除法的運(yùn)算性質(zhì)，并能解決一些實(shí)際問題

二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)：會進(jìn)行同底數(shù)幕的除法運(yùn)算。

三、學(xué)習(xí)難點(diǎn)：同底數(shù)幕的除法法則的總結(jié)及運(yùn)用

(-)預(yù)習(xí)準(zhǔn)備

(1)預(yù)習(xí)書p9-13

(2)思考：0指數(shù)哥和負(fù)指數(shù)嘉有沒有限制條件？

(3)預(yù)習(xí)作業(yè)：

1.(1)28X28=(2)52X53=(3)102X105=(4)a3?a3=

2.(1)2164-28=(2)5s+53=(3)107H-105=(4)a64-a3=

學(xué)習(xí)過程

上述運(yùn)算能否發(fā)現(xiàn)商與除數(shù)、被除數(shù)有什么關(guān)系？

得出：同底數(shù)基相除，底數(shù)，指數(shù).

即：am4-an=(。H0,m,n都是正整數(shù)，并且m>n)

練.習(xí):

(1)(2)(-X)54-(-x)2=(3)/+=y

(4)b2m+2^b2=(5)(x—y)9+(x-y丫=(6)(-ab)54-(ab)2=

(7)(加一〃)8+(〃一m)3=(8)_y3,“-3+y”，+i=

提問：在公式中要求m,n都是正整數(shù)，并且m>n,但如果m=n或m<n呢？

計(jì)算：324-321034-103am4-am(aWO)

72nm

32+32=1=Itf^-io3==優(yōu),+葭=L=(a/0)

32-----------------------a'n------

324-32=3(>=3<>lO^lO^lO(>=10(>am4-am=a(>=a<>'(a

#0)

于是規(guī)定：a°=l(aWO)BP：任何非0的數(shù)的0次幕都等于1

最終結(jié)論：同底數(shù)基相除：am^an=am-n(a^O,m、n都是正整數(shù)，且m>n)

想一想：10000二1()4,16=24

1000=10(),8=2()

100=10(),4=2()

10=10(),2=2()

.猜一猜:：1=10(),1=2()

0.1=10().-=2()

2

0.01=10()-=2()

4

0.001=10()-=2()

8

負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的意義：a-p=—(。/0,p為正整數(shù))或。一0=(,尸(。工0,p

apa

為正整數(shù))

例1用小數(shù)或分?jǐn)?shù)分別表示下列各數(shù)：

(1)10-=(2)7°x8"=

(3)1.6XW4=____________________________

練習(xí)：

1.下冽J計(jì)算中有無錯(cuò)誤，有的請改正

⑴4°-i-a~~a5(2)a5a^a=a5

(3)(—ii)5+(—a)，—(x~(4)3°=3

2.若(2a-3〃)°=1成立，貝la/滿足什么條件？3.若(2x—5)°無意義，求尤的值

7

4.若10'=-,10v=49，則102'-'等于？5.若3'=a,3'=人，求的32*7的值

4

6.用小數(shù)或分?jǐn)?shù)表示下列各數(shù):

(2)3-2=(3)4乜=

(4)(焉[=(5)4.2xICT、(6)0.25_3-

7.(1)若2=白則x=⑵若(一2)、=(—2);(-2片則-一

(4)若(g)=[,貝卜=

(3)若0.0000003=3Xl(y,則％=

拓展：

8.計(jì)算：(―3產(chǎn)田+[27*(—3)2"](n為正整數(shù))9.已知(X—1廣2=1,求整數(shù)x的值。

回顧小結(jié)：同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。

1.4整式的乘法(1)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解并掌握單項(xiàng)式的乘法法則，能夠熟練地進(jìn)行單項(xiàng)式的乘法計(jì)算

二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)：單項(xiàng)式乘法法則及其應(yīng)用

三、學(xué)習(xí)難點(diǎn)：理解運(yùn)算法則及其探索過程

(-)預(yù)習(xí)準(zhǔn)備

(1)預(yù)習(xí)書P14-15

(2)思考：單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘可細(xì)化為幾個(gè)步驟？

(3)預(yù)習(xí)作業(yè):

1.下列單項(xiàng)式各是幾次單項(xiàng)式？它們的系數(shù)各是什么？

8x；-2a2bc；xy；-t2；；yvt4；-10xy2z3.

次數(shù)：

系數(shù)：

2.下列代數(shù)式中，哪些是單項(xiàng)式？哪些不是？

134ab221

-2x；ab；1+x；---；-y；6x2--x+7.

xr5

3.(1)(-a5)5=(2)(-a2b)3=

(3)(-2a)2(-3a2)3=(4)(—yn)2yn4=

(二)學(xué)習(xí)過程：

整式包括單項(xiàng)式和多項(xiàng)式，從這節(jié)課起我們研究整式的乘法，先學(xué)習(xí)單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式

例L利用乘法交換律、結(jié)合律以及前面所學(xué)的'幕的運(yùn)算性質(zhì)，計(jì)算下列單項(xiàng)式乘以單

項(xiàng)式：

(1)2x2y?3xy2(2)4a2*5?(-3a^bx)

解：原式=()()()解：原式=()()()()

單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的乘法法則：單項(xiàng)式相乘，把它的系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一

個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式

注意：法則實(shí)際分為三點(diǎn)：

(1)①系數(shù)相乘——有理數(shù)的乘法；此時(shí)應(yīng)先確定結(jié)果的符號，再把系數(shù)的絕對值相乘

②相同字母相乘——同底數(shù)基的乘法；(容易將系數(shù)相乘與相同字母指數(shù)相加混淆)

③只在一個(gè)單項(xiàng)式中含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式，不能丟掉這個(gè)

因式.

(2)不論幾個(gè)單項(xiàng)式相乘，都可以用這個(gè)法則.

⑶單項(xiàng)式相乘的結(jié)果仍是單項(xiàng)式.

例1計(jì)算：

(1)(-5a2b3)(-3a)=(2)(2x)3(-5x2y)=

(4)(-3ab)(-a2c心?6ab(c2)3=

注意：先做乘方，再做單項(xiàng)式相乘.

練習(xí)：1.判斷：

單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，結(jié)果一定是單項(xiàng)式()

兩個(gè)單項(xiàng)式相乘，積的系數(shù)是兩個(gè)單項(xiàng)式系數(shù)的積()

兩個(gè)單項(xiàng)式相乘，積的次數(shù)是兩個(gè)單項(xiàng)式次數(shù)的積()

兩個(gè)單項(xiàng)式相乘，每一個(gè)因式所含的字母都在結(jié)果里出現(xiàn)()

2.計(jì)算：

⑴(292).(：.)(2)(-2a2/).(_3。)

八一九)

⑶(4x10)5x(5x101)(4)(—32).(25

231

⑸(一鏟2歷，.(一^。5).(］加0)(6)0.4x2y-(—xy)2-(-2x)3-xy3

拓展：

3.已知am=2,an=3,^(a3m+n)2的值4.求證：52-32n+i.2t3n能被13整除

5.若［.與=/比求m+〃的值o

回顧小結(jié)：單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)、相同字母的基分別相乘，其余字母連

同他的指數(shù)不變，作為積的因式。

1.4整式的乘法(2)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

經(jīng)歷探索整式的乘法運(yùn)算法則的過程，會進(jìn)行簡單的整式的乘法運(yùn)算

二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)：整式的乘法運(yùn)算

三、學(xué)習(xí)難點(diǎn)：推測整式乘法的運(yùn)算法則

(-)預(yù)習(xí)準(zhǔn)備

(1)預(yù)習(xí)書pl6-17

(2)思考：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘最容易出錯(cuò)的是哪點(diǎn)？

(3)預(yù)習(xí)作業(yè):

(1)-m2-m2=(2)(xy)3\xy)2=

(3)2(ab-3)=(4)(2xy2).3yx=

(5)(—2a3b)(—6ab6c)=(6)—3(ab2c+2bc—c)=

(二)學(xué)習(xí)過程：

1.我們本單元學(xué)習(xí)整式的乘法，整式包括什么？

2.什么是多項(xiàng)式？怎么理解多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)和次數(shù)？

整式乘法除了我們上節(jié)課學(xué)習(xí)的單項(xiàng).式乘以單項(xiàng)式外，還應(yīng)該有單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，今

天將學(xué)習(xí)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘

做一做：

如圖所示，公園中有一塊長mx米、寬y米的空地，根據(jù)需要

在兩邊各留下寬為a米、b米的兩條小路，其余部分種植花草，

求種植花草部分的面積.

(1)你是怎樣列式表示.種植花草部分的面積的?是否有不同的

表示方法？其中包含了什么運(yùn)算？

方法一：可以先表示出種植花草部分的長與寬，由此得到種植花草部分面積為

方法二；可以用總面積減去兩條小路的面積，得到種植花草部分面積為_________________

由上面的探索，我們得到了_________________________________

上面等式從左到右運(yùn)用了乘法分配律，將單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：就是根據(jù)分配律用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)再把所得的積相加

例1計(jì)算：

(1)(―12xy2—1Ox2y+2ly3)(-6xj3)(2)(—2a~),(a/?+方~)—5a(a~b—cih~)

練習(xí)：1.判斷題：

⑴3a3?5a3=15a3()

(2)6ah?Jab=42ab

⑶3/?(2/-2/)=6/—

(4)—x2(2y2—xy)=—2xy2—x3y()

2.計(jì)算題：

⑴"%"+2")⑵y2(5丁一丁2)⑶2a(-2ab+—ab^)

⑷—)(5)3xVy-x/+x2)(6)2ab(人-卜力。

(7)(x3)2-2X3[X3-X(2X2-1)](8)x"(2x"2—3x1+1)

拓展：

3.已知有理數(shù)a、b、c滿足|a—b—3|+(b+1)2+|c—1|=0,求(—3ab),(a2c—6b2c)的

值。

4.己知：2x?(xn+2)=2xn+1-4,求x的值。

5.若a，(3an-2am+4ak)=3a9—2a6+4a4,求一3k2(n3mk+2km2)的值。

回顧小結(jié)：單項(xiàng)式和多項(xiàng)式相乘，就是根據(jù)分配律用單項(xiàng)式去多乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所

得的積相加。

1.4整式的乘法(3)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解多項(xiàng)式乘法的法則，并會進(jìn)行多項(xiàng)式乘法的運(yùn)算

二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)：多項(xiàng)式乘法的運(yùn)算

三、學(xué)習(xí)難點(diǎn)：探索多項(xiàng)式乘法的法則，注意多項(xiàng)式乘法的運(yùn)算中“漏項(xiàng)”、“符號”的問

題

(一)預(yù)習(xí)準(zhǔn)備

(1)預(yù)習(xí)書pl8T9

(2)思考：如何避免“漏項(xiàng)”？

(3)預(yù)習(xí)作業(yè):

3

(1)(一3孫)3=_________(2)(~~x3y)2=

(3)(—2x107)4=(4)(_x).(_x)2=

(5)—a2?(—a)，=(6)—,)5=

(7)(—a~y-i/5=(8)(—2/〃)3y5bdf=

125、，，、

(9)—2x(2x"-3x—1)(10)(z---^+-y-—)(-6-ry)

(二)學(xué)習(xí)過程:

如圖，計(jì)算此長方形的面積有幾種方法？如何計(jì)算?

方法1：s=_________________________________

方袪2：S=_________________________________

方法3：S=_________________________________

方法4：S=_________________________________

由此得到：(m+b)(a+n)==

運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行解釋，請將其中的一個(gè)多,項(xiàng)式看作一個(gè)整體，再運(yùn)用單項(xiàng)式與多項(xiàng)式

相乘的方法進(jìn)行計(jì)算

(把(a+n)看作一個(gè)整體)

(m+b)(a+n)=

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：先用一個(gè)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的，再把所得的積

例1計(jì)算：(1)(1一x)(0.6-X)(2)(2x+y)(x-y)

⑶d"(4)(—2x-5產(chǎn)

注意：(1)用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)依次去乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，不要漏乘，在沒有合

并同類項(xiàng)之前，兩個(gè)多項(xiàng)式相乘展開后的項(xiàng)數(shù)應(yīng)是原來兩個(gè)多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)之積。

(2)多項(xiàng)式里的每一項(xiàng)都包含前面的符號，兩項(xiàng)相乘時(shí)先判斷積的符號，再寫成代數(shù)

和形式。

(3)展開后若有同類項(xiàng)必須合并，化成最簡形式。

例2計(jì)算，

(l)(x+2)(y+3)—(x+l)(y—2)(2)礦(a+1)~—2(〃—1)3+2)

練習(xí)：

(1)(x+2)(x+3)(2)(。-4)(。+1)(3)(y-g)(y+g)

(4)(—21+1)~(5)(―3%+y)(—3%—y)(6)(x-2)(r+2x)+(x+2)(x?-2x)

1.(x—5)(x+20)=x1+mx-\-n則m=,n=

2.若(x+a)(x+Z?)=%2—乙,則k的值為()

(A)a+b(B)—a—b(C)a—b(D)b—a

3.已知(2x-Q)(5X+2)=1Ox2-6x+Z?則a=b=

拓展：

4.在+〃x+8與-3x+q的積中不含工3與x項(xiàng)，求p、q的值

回顧小結(jié)：多項(xiàng)式和多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把

所得的積相加。

1.5平方差公式(1)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

會推導(dǎo)平方差公式，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的計(jì)算

二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)：掌握平方差公式的特點(diǎn)，能熟練運(yùn)用公式

三、學(xué)習(xí)難點(diǎn)：理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，靈活應(yīng)用平方差公式

四、學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)

(一)、預(yù)習(xí)準(zhǔn)備

1、預(yù)習(xí)書p20-21

2、思考：能運(yùn)用平方差公式的多項(xiàng)式相乘有什么特點(diǎn).？

3、預(yù)習(xí)作業(yè)：

(1)(x+2)(x—2)(2)(m+3)(m-3)(3)(-x+y)(-x-y)

(4)(l+3a，l-3a)(5)(x+5)，Xx-5y)(6)(2x+l)(2x-l)

(二)、學(xué)習(xí)過程

以上習(xí)題都是求兩數(shù)和與兩數(shù)差的積，大家應(yīng)該不難發(fā)現(xiàn)它們的規(guī)律.用公式可以表示為：

(。+刈4—乃=-我們稱它為平方差公式

平方差公式的推導(dǎo)

(a.+b)(a—b)=(多項(xiàng)式乘法法則)=(合并同類項(xiàng))

即：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差

平方差公式結(jié)構(gòu)特征：

①左邊是兩個(gè)二頂式相乘，這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；

②右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差。即用相同項(xiàng).的平方減去相反項(xiàng)的平方

例1計(jì)算：

(l)(-2x+3)(3+2x)(2)(3Z?+2?)(2a-3Z?)(3)(T。一l)(Ta+I)

變式訓(xùn)練：1、用平方差公式計(jì)算:

(1)(-x--y)(-x+-y)；(2)(-2/n2-7)(7-2m2)；

23-23'

2.(2008?金華)如.果x+y=-4,x-y=8,那么代數(shù)式/一y?的值為

注意：(1)公式的字母久6可以表示數(shù)，也可以表示單項(xiàng)式、多項(xiàng)式;

(2)要符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能運(yùn)用平方差公式

例2.下列各式都能用平方差公式嗎？

(1)(a+h\a—c)(2)(x+y)(—y+x)(3)(—m—zi)(m+n)

(4)(-?+3)(-a-3)(5)(?+3)(-?-3)(6)(-a-3)(?-3)

(7)(2a+3b)(2a-3b)(8)(-2a+3b)(2a-3b)

(9)(—2Q+3/?)(—2d+3b)(10)(一2a—3b)(2a—3b)

(11)(ab-3x-Z?)

能否用平方差公式，最好的判斷方法是：兩個(gè)多項(xiàng)式中：兩項(xiàng)相等，兩項(xiàng)互為相反數(shù)

在平方差這個(gè)結(jié)果中誰作被減數(shù)，誰作減數(shù)，你還有什么辦法確定?

相等數(shù)的平方減去相反數(shù)的平方

變式訓(xùn)練：1、判斷

(1)(2a+b^2b-a)=4a2-b2)

(3)(3x-3x4-y)=9x2-y2)(4)(-2x-y^-2x+y)=4x2-y2()

(5)(〃+2]Q—3)—a~—6(“)(6)(x+3)(y-3)=個(gè)一9)

2、填空：

(1)(2x+3y)(2x-3y)=(2)(4a-1)()=1面-1

(3)(f-a/j-3^—?V-9(4)(+2x)(-3))=4/—9y2

'--------<7)49

拓展:

1、計(jì)算：(1)(a+/?+c)2—(a—力+c)2(2)x4-(2d+1)(2X2-1)-(X-+2)(?+4)

2.先化簡再求值(x+y)(x—+的值，其中x=5,y=2

3.(1)若一)？=12,x+y=6,貝卜一y二

(2)已知(2Q+2Z?+1)(2Q+2Z?-1)=63,則。+匕=

回顧小結(jié)：熟記平方差公式，會用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算。

1.5平方差公式(2)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.進(jìn)一步使學(xué)生掌握平方差公式，讓學(xué)生理解公式數(shù)學(xué)表達(dá)式與文字表達(dá)式在應(yīng)用上的差

異

二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)：公式的應(yīng)用及推廣

三、學(xué)習(xí)難點(diǎn)：公式的應(yīng)用及推廣

四、學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)

(-)預(yù)習(xí)準(zhǔn)備

(二)預(yù)習(xí)書p21-22

(三)思考：如何確定平方差公式中哪個(gè)是多項(xiàng)式中的和哪個(gè)是多項(xiàng)式的差？

(四)預(yù)習(xí)作業(yè)：

你能用簡便方法計(jì)算下列各題嗎？

(1)103x97(2)998x1002(3)59.8x60.2

(4)(X+3)(X-3)(X2+9)

學(xué)習(xí)設(shè)計(jì):

1、做一做：如圖，邊長為a的大正方形中有一個(gè)邊長為bb的小正方形。

(1)請表示圖中陰影部分的面積：S=

(2)小穎將陰影部分拼成了一個(gè)長方形，這個(gè)長方形的長和寬分別是

多少？

你能表示出它的面積嗎？

長=寬=S=

(3)比較1,2的結(jié)果，你能驗(yàn)證平方差公式嗎？

進(jìn)一步利用幾何圖形的面積相等驗(yàn)證了平方差公式

平方差公式中的。、b可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，在平方時(shí)，應(yīng)把單項(xiàng)式或多項(xiàng)

式加括號；學(xué)會靈活運(yùn)用平方差公式。有些式子表面上不能應(yīng)用公式，但通過適當(dāng)變形實(shí)質(zhì)

上能應(yīng)用公式.如：(x+y-z)(x-y-z)中相等的項(xiàng)有和；相反的項(xiàng)

有，因此(x+y-z)(x-y-z)=[()+y][()->1]=()2-()2

形如這類的多項(xiàng)式相乘仍然能用平方差公式

例1.計(jì)算

(1)(x+y—z)(x+y+z)(2)(Q-/?+c)(a+/7-c)

(1)題中可利用整體思想，把x+y看作一個(gè)整體，則此題中相同項(xiàng)是(x+y),相反項(xiàng)是-Z

和z；

(2)題中的每個(gè)因式都可利用加法結(jié)合律改變.形式，則a是相同項(xiàng)，相反項(xiàng)是-匕+c和人-c

變式訓(xùn)練：計(jì)算：

(l)[2a2—(?+b)(a—/?)][(<,—a)(c+a)+(b—c)(c+Z?)]；(2)(a+b+c)2—(a—b+c)2

方法小結(jié)我們在做恒等變形時(shí)，一定要仔細(xì)觀察：一是觀察式子的結(jié)構(gòu)特征，二是觀察數(shù)

量特征，看是否符合公式或是滿足某種規(guī)律，同時(shí)逆用公式可使運(yùn)算簡便。

2、知識回顧：.添括號時(shí)，如果括號前面是正號，括到括號里的各項(xiàng)都不變符號；如果括

號前面是負(fù)號，括到括號里的各項(xiàng)都改變符號

例21.在等號右邊的括號內(nèi)填上適當(dāng)?shù)捻?xiàng)：

(1)a+b-c=a+()(2)a-b+c-a-()

(3)a-b-c=a-()(4)a+b+c=a-()

2.下列哪些多項(xiàng)式相乘可以用平方差公式？若可以，請用平方差公式解出

(1)(a+〃+c)(a—/?+c)(2)(a—b-c)(a+Z?—c)

(3)(a—h+c^a—b—c)(4)(a+2b+2C)(￡7+2h-2c)

變式訓(xùn)練:

1、(2+l)(22+l)(24+l)(28+l)+l2

(22+42++1002)-(l2+32++992)

3、觀察下列各式：

(x-l)(x+l)=x2-l

(x—l)(x2+x+l)=尤3-1

(x—l)(x3+x2+x+l)=丁—1

根據(jù)前面的規(guī)律可得：

(x—l)(x"+x"1++X+1)=

回顧小結(jié)：1.什么是平方差公式？一般兩個(gè)二項(xiàng)式相乘的積應(yīng)是幾項(xiàng)式?

2.平方差公式中字母4、b可以是那些形式？

3.怎樣判斷一個(gè)多項(xiàng)式的乘法問題是否可以用平方差公式?

1.6完全平方公式(2)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.會運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行一些數(shù).的簡便運(yùn)算

二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)：運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行一些數(shù)的簡便運(yùn)算

三、學(xué)習(xí)難點(diǎn)：靈活運(yùn)用平方差和完全平方公式進(jìn)行整式的簡便運(yùn)算

四、學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)

(一)預(yù)習(xí)準(zhǔn)備

(1)預(yù)習(xí)書p26-27

(2)思考:如何更簡單迅捷地進(jìn)行各種乘法公式的運(yùn)算？

(3)預(yù)習(xí)作業(yè)：1.利用完全平方公式計(jì)算

(1)982(2)2032-(3)1022(4)1972

2.計(jì)算:

(1)(x+3)2-%2(2)(ab+l)2-(ab-Y)2

(-)學(xué)習(xí)過程

平方差公式和完全平方公式的逆運(yùn)用

由(a+^Xa一人)=a?反之a(chǎn)2-h2=(a+h^a-b)

(a+by=a2±2ab+b1反之a(chǎn)2+2ab+b2=(a+Z?)2

1、填空.：

(1)a2-4=(a+2)()(2)25-x2=(5-x)()(3)m2-n2=()()

.(4)%2-64=()()(5)4加2-49=(2加一7)()

(6)a4—mA=(a2+m2)()—(a2+m2)()()

(7)若x?+4x+左=(x+2/,則k=.

(8)若/+入+9是完全平方式，則卜=

例］計(jì)算：J.(a+1)——2a+4)2.(2xy—1)~—(2xy+1)~

現(xiàn)在我們從幾何角度去解釋完全平方公式：

從圖(1)中可以看出大正方形的邊長是a+b,

它是由兩個(gè)小正方形和兩個(gè)矩形組成，所

以

8(2)

9(1)

大正方形的面積等于這四個(gè)圖形的面積之和.

貝I」s==___________________

即：_____________________________

如圖(2)中，大正方形的邊長是a,它的面積是；矩形DCGE與矩形BCHF是全等圖

形，長都是—，寬都是—，所以它們的面積都是;正方形HCGM的邊長是b,其

面積就是—；正方形AFME的邊長是,所以它的面積是.從圖中可以看

出正方形AEMF的.面積等于正方形ABCD的面積減去兩個(gè)矩形DCGE和BCHF的面積再加上

正方形HCGM的面積.也就是：(a-b)2=.這也正好符合完全平方公式.

例2.計(jì)算：

(1)(2)(a+b+c)2

變式訓(xùn)練：

(1)(a+b-3)2(2)(x-y+2)(x+y-2)

(3)(a—6—3)(。-b+3)(4)(x+5)2-(x-2)(*3)

(5)(x-2)(x+2)-(x+1)(x-3)(6)(2x-y)J4(x-y)(x+2y)

拓展：1、(1)已知x+y=4,xy=2,貝ij(x-y)2=

(2)已知(a+6)2=7,(a—6)2=3,求/+〃=,ab=

(3)不論。、匕為任意有理數(shù)，a?+〃一4"+2匕+7的值總是()

A.負(fù)數(shù)B.零C.正數(shù)D.不小于2

2、(1)已知/—3工+1=0,求彳2+4和/的值。

XX

(2)已知。一匕=3,力一。=一1,求。2+人2+。2一?！ㄒ蝗恕Ｒ?。。的值。

(3).已知X?+y2-2孫一6x+6y+9=0,求x—y的值

回顧小結(jié)

1.完全平方公式的使用：在做題過程中一定要注意符號問題和正確認(rèn)識a、b表示的意

義，它們可以是數(shù)、也可以是單項(xiàng)式，還可以是多項(xiàng)式，所以要記得添括號。

2.解題技巧：在解題之前應(yīng)注意觀察思考，選擇不同的方法會”有不同的效果，要學(xué)

會優(yōu)化選擇。

1.6完全平方公式(1)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.會推導(dǎo)完全平方公式，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的計(jì)算

2.了解完全平方公式的幾何背景

二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)：會用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算

三、學(xué)習(xí)難點(diǎn)：理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征并能靈活應(yīng)用公式進(jìn)行計(jì)算

四、學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)

(-)預(yù)習(xí)準(zhǔn)備

(1)預(yù)習(xí)書p23-26

(2)思考：和的平方等于平方的和嗎？

(3)預(yù)習(xí)作業(yè)：

(1)(3a-2b)(3a+2b)=(2)(3a-2b)(3a-2b)==

(3)(“+1)2=(〃+l)(〃+l)=(4)(m+2)2=

(5)(p-1)2=(/?-1)(/?-1)=(6)(m-2)2=

(7)(a+b)2—(8)(a—b)2-

(二)學(xué)習(xí)過程

觀察預(yù)習(xí)作業(yè)中(3)(4)題，結(jié)果中都有兩個(gè)數(shù)的平方和，而2口=2酬1,4根=262,

恰好是兩個(gè)數(shù)乘積的二倍.(3)、(4)與(5)、(6)比較只有一次項(xiàng)有符號之差，(7)、(8)

更具有一般性，我認(rèn)為它可以做公式用.

因此我們得到完全平方公式：

兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的，加(或減)它們的積的倍.

公式表示為：(a+b)2=(a-份2=

口訣：首平方，尾平方，兩倍乘積放中央(加減看前方，同號加異號減)

例L應(yīng)用完全平方公式計(jì)算：

(1)(Am+riy(2)(y--)2(3)(-a-b)2(4)(―2x+y)2

變式訓(xùn)練：

1.糾錯(cuò)練習(xí).指出下列各式中的錯(cuò)誤，并加以改正：

(1)(2a—1)~—2“——2a+1(2)(2a+1)"——4ci~+1(3)(—a—1)~=—cr—2a—I

2.下列各式中哪些可以運(yùn)用完全平方公式計(jì)算,把它計(jì)算出來

(1)(1+y)(-y+x)(2)(a-b^b-a)

(3)(ab—3%X—+ab)(4)(—m—n^m+it)

分析：完全平方公式和平方差公式不同：

形式不同：3±份2=/(a+b)(a-b)=a2-b2

結(jié)果不同：完全平方公式的結(jié)果是三項(xiàng)，平方差公式的結(jié)果是兩項(xiàng)

3.計(jì)算：

(1)(一1一2x)2(2)(-2x+1)2

(3)(―2m-n)(2m+n)(4)

例2.計(jì)算:

(1)(x+2y)(x-2y)(x2-4y2)；(2)(-a-3Z?)2(-a+3/?)2；

22

(3)(2x-3y+4)(2x+3y-4).

方法小結(jié)(1)當(dāng)兩個(gè)因式相同時(shí)寫成完全平方的形式；(2)先逆用積的乘方法則，再用

乘法公式進(jìn)行計(jì)算；(3)把相同的結(jié)合在一起，互為相反數(shù)的結(jié)合在一起，可構(gòu)成平方差

公式。

變式議練2.計(jì)算：

(1)(4x2-y2)[(2x+y)2+(2x-^)2]；(2)(x-y)\x+y)\x2+y2)2

(3)(x-vy-z)(x-y+z)o

1、1

拓展：1.已知Xd—=3,則廠H———

XX

11.

2.(2008?成都)已知y=§了一1,那么1/0-2取+3>2-2的值是

3、已知X?+2(相一1)移+16y2是完全平方公式，貝1卜九二

4、若=12,。+?=16,則肛二

回顧小結(jié)：

1.完全平方公式和平方差公式不同：

形式不同.

結(jié)果不同：完全平方公式的結(jié)果是三項(xiàng)，即(a±b)2=a2±2ab+b2;

平方差公式的結(jié)果是兩項(xiàng)，即(a+b).(a-b)=a2-b2.

2.解題過程中要準(zhǔn)確確定a和b,對照公式原形的兩邊，做到不丟項(xiàng)、

不弄錯(cuò)符號、2ab時(shí)不少乘2。

3.口訣：首平方，尾平方，兩倍乘積放中央，加減看前方，同加異減。

1.7整式的除法(1)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.經(jīng)歷探索整式除法法則的過程，會進(jìn)行簡單的整式除法運(yùn)算(只要求單項(xiàng)

式除以單項(xiàng)式，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，并且結(jié)果都是整式).

2.理解整式除法運(yùn)算的算理，發(fā)展有條理的思考及表達(dá)能力.

二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)：可以通過單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘法來理解單項(xiàng)式的除.法，要確實(shí)弄清單項(xiàng)式

除法的含義，會進(jìn)行單項(xiàng)式除法運(yùn)算。

三、學(xué)習(xí)難點(diǎn)：確實(shí)弄清單項(xiàng)式除法的含義，會進(jìn)行單項(xiàng)式除法運(yùn)算。

四、學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)：

(-)預(yù)習(xí)準(zhǔn)備

(1)預(yù)習(xí)書28?29頁

463

X4-X=an^an-'X4-=X

(2)回顧:1、2、3、

(4)(°T)3Ma-])

2、(1)(2)一/+(_%)2(3)。4"，+2+優(yōu)，1

3、⑴(")、(")⑵(3)(》一)')5—+(x—y)2

(-)學(xué)習(xí)過程：

1、探索練習(xí)，計(jì)算下列各題，并說明你的理由。

(])8+%2(2)[sm2n2(2m2/?)(3)(“%2c)+(3次0

2、例題精講

類型一單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的計(jì)算

例1計(jì)算：

(1)(-x2y3)-r(3x2y)；(2)(10a4b3c2)4