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文檔簡介
第一章整式的乘除
1.1同底數(shù)基的乘法
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.經(jīng)歷探索同底數(shù)幕乘法運(yùn)算性質(zhì)過程,進(jìn)一步體會幕的意義.
2.了解同底數(shù)塞乘法的運(yùn)算性質(zhì),并能解決一些實(shí)際問題
二、學(xué)習(xí)重點(diǎn):同底數(shù)器的乘法運(yùn)算法則的推導(dǎo)過程以及相關(guān)計(jì)算
三、學(xué)習(xí)難點(diǎn):對同底數(shù)募的乘法公式的理解和正確應(yīng)用
四、學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)
(-)預(yù)習(xí)準(zhǔn)備
預(yù)習(xí)書p2-4
(-)學(xué)習(xí)過程
1.試試看:(1)下面請同學(xué)們根據(jù)乘方的意義做下面一組題:
①②==
③a3.a4==a()
⑵根據(jù)上面的規(guī)律,請以嘉的形式直接寫出下列各題的結(jié)果:
2.猜一猜:當(dāng)m,n為正整數(shù)時(shí)候,
.二.
即am?an=(m、n都是正整數(shù))
3.同底數(shù)基的乘法法則:同底數(shù)基相乘
運(yùn)算形式:(同底、乘法)運(yùn)算方法:(底不變、指加法)
當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)幕相乘時(shí),也具有這一性質(zhì),用公式表示為am?an?ap=
am+n+p(m、n、p都是正整數(shù))
練習(xí)1.下面的計(jì)算是否正確?如果錯(cuò),請?jiān)谂赃呌喺?/p>
(1).a3*a4=al2(2).m*m4=m4(3).a2*b3=ab5(4).x5+x5=2xlO
(5).3c4*2c2=5c6(6).x2*xn=x2n(7).2m*2n=2m*n
(8).b4*b4*b4=3b4
2.填空:(1)x5?()=x8(2)a?()=a6
(3)x?x3()=x7(4)xm?()=x3m
(5)x5*x()=x3?x7=x()?x6=x*x()(6)an+l*a()=a2n+l=a*a()
例L計(jì)算
(1)(x+y)3?(x+y)4(2)
(3)(4)(m是正整數(shù))
變式訓(xùn)練.計(jì)算
(1)(2)(3).
(4)(5)(a-b)(b-a)4(6)
(n是正整數(shù))
拓展.1、填空
(1)8=2x,則x=
(2)8X4=2x,則x=
(3)3X27X9=3x,則x=
2、已知am=2,an=3,求的值3、
4、已知的值。5、已知的值。
回顧小結(jié)
1.同底數(shù)基相乘法則要注重理解“同底、相乘、不變、相加”這八個(gè)字.
2.解題時(shí)要注意a的指數(shù)是L
3.解題時(shí),是什么運(yùn)算就應(yīng)用什么法則.同底數(shù)基相乘,就應(yīng)用同底數(shù)器的乘法法則;整
式加減就要合并同類項(xiàng),不能混淆.
4.-a2的底數(shù)a,不是-a.計(jì)算-a2?a2的結(jié)果是-(a2?a2)=-a4,而不是(-a)2+2=a4.
5.若底數(shù)是多項(xiàng)式時(shí),要把底數(shù)看成一個(gè)整體進(jìn)行計(jì)
1.2幕的乘方與積的乘方(1)
一、學(xué)習(xí)目標(biāo):1.能說出基的乘方與積的乘方的運(yùn)算法則.
2.能正確地運(yùn)用基的乘方與積的乘方法則進(jìn)行塞的有關(guān)運(yùn)算.
二、學(xué)習(xí)重點(diǎn):會進(jìn)行幕的乘方的運(yùn)算。
三、學(xué)習(xí)難點(diǎn):募的乘方法則的總結(jié)及運(yùn)用。
四、學(xué)習(xí)設(shè)計(jì):
(-)預(yù)習(xí)準(zhǔn)備
(1)預(yù)習(xí)書5?6頁
(2)回顧:
計(jì)算(1)(x+y)2,(x+y)3(2)x2?x2?x+x4?x
(3)(0.75a)3?(—a)4(4)x3,xnl-xn'2,x
4
(二)學(xué)習(xí)過程:
一、1、探索練習(xí):
(62)'表示個(gè)相乘.
4表示__個(gè)—相乘.
(a2)3表示個(gè)相乘.
在這個(gè)練習(xí)中,要引學(xué)習(xí)生觀察,推測(6/與(aT的底數(shù)、指數(shù)。并用
乘方的概念解答問題。
(62)4=XXX
=(根據(jù)?-2"=小)
(33)5=XXXX
=(根據(jù)a--am=a"J")
6!表示個(gè)相乘.
(a2)?XX
=(根據(jù)a"-am=a"m)
(am)2=__X_
(根據(jù)a-a"=a").
(a"')"=X*…XX
=(根據(jù)a--am=a"ra)
即(am,)n=(其中m、n都是正整數(shù))
通過上面的探索活動(dòng),發(fā)現(xiàn)了什么?
事的乘方,底數(shù)(指數(shù)
2、例題精講
類型一募的乘方的計(jì)算
例1計(jì)算
⑴(5')3⑵一(才)3⑶[(一。)吁(4)[(a+6)2「
隨堂練習(xí)
]_
(1)(a4)3+";(2)[(-2)3]2.(3)[-(a+A)1]3
類型二哥的乘方公式的逆用
例1已知a*=2,a,=3,求/+,;ax+3y
隨堂練習(xí)
(1)已知a"=2,H=3,求a"”
(2)如果9'=32,求x的值
隨堂練習(xí)
已知:8嘆43=2”,求“
類型三事的乘方與同底數(shù)塞的乘法的綜合應(yīng)用
例1計(jì)算下列各題
(225
D(?)-a⑵(一a)2?J
(3)x?x?x+(—x)'+(-x")2(4)(a—b)2(b—a)
3、當(dāng)堂測評
填空題:
(1)(n?2)5=;—[(一;尸]2=;[―(a+b)213=
(2)[-(-x)512?(-x2)3=;(xm)3?(-x3)2=.
(3)(-4)3?(a")5?(aI")5=;-(x-y)2?(y-x)3=.
(4)x12—(x3)'----'=(x6)
(5)A—(若/"=3,則產(chǎn)=
(6)已知2"=勿,2'=〃,求8*+'的值(用加、〃表示).
判斷題
(1)a'aJZa'o()
(2)(s3)=x6'()
(3)(—3)2?(—3)—3)6=—即()
(4)x3+y3=(x+y)3()
(5)[(m—n);']'—[(m—n)2]6=0()
4、拓展:
1、計(jì)算5(P3)4?(-P2)3+2[(-P)2]4?(-P5)
2若
、(x2)n=x8,貝Um=____________.
3若3m212
、[(x)]=x,則m=一
4若
、xm-x2m=2,求X%的值。
5、若a2n=3,求(a3n)4的值。
6、已知am=2,an=3,求a2m+3n的值.
回顧小結(jié):1.幕的乘方(am)"=(m、"都是正整數(shù)).
2.語言敘述:________________
3.累的乘方的運(yùn)算及綜合運(yùn)用。
1.2塞的乘方與積的乘方(2)
一、學(xué)習(xí)目標(biāo):1.能說出事的乘方與積的乘方的運(yùn)算法則.
2.能正確地運(yùn)用幕的乘方與積的乘方法則進(jìn)行幕的有關(guān)運(yùn)算
二、學(xué)習(xí)重點(diǎn):積的乘方的運(yùn)算。
三、學(xué)習(xí)難點(diǎn):正確區(qū)別基的乘方與積的乘方的異同。
四、學(xué)習(xí)設(shè)計(jì):
(-)預(yù)習(xí)準(zhǔn)備
(1)預(yù)習(xí)書7?8頁
(2)回顧:
1、計(jì)算下列各式:
(1)X'?廠=--------(2)--------------(3)尤6+%6=-----------------
(4)一%,X=(5)(~"X),(-'%)=(5)3父?x+x?x=
(7)(丁)3=----------(8)—(廠)5=----------(9))3,=----------
33242n3
(10)-(m)-(W)=(11)(X)=
2、下列各式正確的是()
(A)(B)?2-?3=?6(c)x?+J?=*5(口)/=/
(二)學(xué)習(xí)過程:
探索練習(xí):
1竹省23x53=_________x___________=________=(x____,
?L、V|:
2、計(jì)算:2隈5'=----------------4------------------F--------------F(——><——f
3、計(jì)算:2匕*5口=-----------><----------三--------F(——¥——J2
從上面的計(jì)算中,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?
4、猜一猜填空:⑴(3x5)4=3。-5一⑵(3x5),"=3-5-
(3)("3"="一’,〃—'你能推出它的結(jié)果嗎?
結(jié)論:
例題精講
類型一積的乘方的計(jì)算
例1計(jì)算
nc1
(1)(2b);(2)(-4x/)2(3)一(一一ab『(4)[-2(a-b)315.
2
隨堂練習(xí)
(1)(3x3)6(2)(-x3y)2(3)(-yxy2)2(4)[-3(n—而2]3.
類型二募的乘方、積的乘方、同底數(shù)毫相乘、整式的加減混合運(yùn)算
例2計(jì)算
(1)E-(-x)5]2-(-x2)3(2)(cnd'-')2(c2dy
(3)(x+y)3(2x+2y)2(3x+3y)2(4)(-3a3)2?a3+(-a)2?o7-(5o3)3
隨堂練習(xí)
(1)(a2nl)2?(“/2)3(2)(-X4)2-2(?)3?x?X+(-3X)3?x5
(3)[(a+/>.)2]3,[(a+Z>)3]4
類型三逆用積的乘方法則
例1計(jì)算(1)82M4X0.1252004;(2)(-8)2005X0.125W,.
隨堂練習(xí)
2O40
O.25X2_32003.(-1)2002+1
32
類型四積的乘方在生活中的應(yīng)用
4
例1地球可以近似的看做是球體,如果用V、r分別代表球的體積和半徑,那么1/=-不汽
3
地球的半徑約為6xl()3千米,它的體積大約是多少立方千米?
隨堂練習(xí)
(1)一個(gè)正方體棱長是3XIO?mm,它的體積是多少mm?
(2)如果太陽也可以看作是球體,它的半徑是地球的1。2倍,那么太陽的體積約是多少立
方千米呢?
當(dāng)堂測評
一、判斷題
1.(xy)3="3()2.(2xy)3=6x3y\)3.(-3a3)2=9a6()
4.(―^)3=—x(.)5.(a“6)”=a'"6()
33
二、填空題
1.一("=,(-%3)2—?2.(-yxy2)2=.
3.81f,°=(4.(JC3)2?x5=.5.(/)"■=("')"("、x是正整
數(shù)),則》=.
6.(-0.25)"X4"=.(-0.125)M0X8201=
4、拓展:
(1)已知n為正整數(shù),且、2"=4.求(3x'")2_13(x2)2n的值.
(2)已知x"=5,y"=3,求(xy)2n的值
(3)若m為正整數(shù),且X?m=3,求(3x3m)2—13J2)2m的值.
回顧小結(jié):
1.積的乘方(ab)"=(〃為正整數(shù))
2.語言敘述:______________________________________
3.積的乘方的推廣(abc)"="是正整數(shù)).
1.3同底數(shù)嘉的除法
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)
了解同底數(shù)幕的除法的運(yùn)算性質(zhì),并能解決一些實(shí)際問題
二、學(xué)習(xí)重點(diǎn):會進(jìn)行同底數(shù)幕的除法運(yùn)算。
三、學(xué)習(xí)難點(diǎn):同底數(shù)幕的除法法則的總結(jié)及運(yùn)用
(-)預(yù)習(xí)準(zhǔn)備
(1)預(yù)習(xí)書p9-13
(2)思考:0指數(shù)哥和負(fù)指數(shù)嘉有沒有限制條件?
(3)預(yù)習(xí)作業(yè):
1.(1)28X28=(2)52X53=(3)102X105=(4)a3?a3=
2.(1)2164-28=(2)5s+53=(3)107H-105=(4)a64-a3=
學(xué)習(xí)過程
上述運(yùn)算能否發(fā)現(xiàn)商與除數(shù)、被除數(shù)有什么關(guān)系?
得出:同底數(shù)基相除,底數(shù),指數(shù).
即:am4-an=(。H0,m,n都是正整數(shù),并且m>n)
練.習(xí):
(1)(2)(-X)54-(-x)2=(3)/+=y
(4)b2m+2^b2=(5)(x—y)9+(x-y丫=(6)(-ab)54-(ab)2=
(7)(加一〃)8+(〃一m)3=(8)_y3,“-3+y”,+i=
提問:在公式中要求m,n都是正整數(shù),并且m>n,但如果m=n或m<n呢?
計(jì)算:324-321034-103am4-am(aWO)
72nm
32+32=1=Itf^-io3==優(yōu),+葭=L=(a/0)
32-----------------------a'n------
324-32=3(>=3<>lO^lO^lO(>=10(>am4-am=a(>=a<>'(a
#0)
于是規(guī)定:a°=l(aWO)BP:任何非0的數(shù)的0次幕都等于1
最終結(jié)論:同底數(shù)基相除:am^an=am-n(a^O,m、n都是正整數(shù),且m>n)
想一想:10000二1()4,16=24
1000=10(),8=2()
100=10(),4=2()
10=10(),2=2()
.猜一猜::1=10(),1=2()
0.1=10().-=2()
2
0.01=10()-=2()
4
0.001=10()-=2()
8
負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的意義:a-p=—(。/0,p為正整數(shù))或。一0=(,尸(。工0,p
apa
為正整數(shù))
例1用小數(shù)或分?jǐn)?shù)分別表示下列各數(shù):
(1)10-=(2)7°x8"=
(3)1.6XW4=____________________________
練習(xí):
1.下冽J計(jì)算中有無錯(cuò)誤,有的請改正
⑴4°-i-a~~a5(2)a5a^a=a5
(3)(—ii)5+(—a),—(x~(4)3°=3
2.若(2a-3〃)°=1成立,貝la/滿足什么條件?3.若(2x—5)°無意義,求尤的值
7
4.若10'=-,10v=49,則102'-'等于?5.若3'=a,3'=人,求的32*7的值
4
6.用小數(shù)或分?jǐn)?shù)表示下列各數(shù):
(2)3-2=(3)4乜=
(4)(焉[=(5)4.2xICT、(6)0.25_3-
7.(1)若2=白則x=⑵若(一2)、=(—2);(-2片則-一
(4)若(g)=[,貝卜=
(3)若0.0000003=3Xl(y,則%=
拓展:
8.計(jì)算:(―3產(chǎn)田+[27*(—3)2"](n為正整數(shù))9.已知(X—1廣2=1,求整數(shù)x的值。
回顧小結(jié):同底數(shù)幕相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減。
1.4整式的乘法(1)
一、學(xué)習(xí)目標(biāo):理解并掌握單項(xiàng)式的乘法法則,能夠熟練地進(jìn)行單項(xiàng)式的乘法計(jì)算
二、學(xué)習(xí)重點(diǎn):單項(xiàng)式乘法法則及其應(yīng)用
三、學(xué)習(xí)難點(diǎn):理解運(yùn)算法則及其探索過程
(-)預(yù)習(xí)準(zhǔn)備
(1)預(yù)習(xí)書P14-15
(2)思考:單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘可細(xì)化為幾個(gè)步驟?
(3)預(yù)習(xí)作業(yè):
1.下列單項(xiàng)式各是幾次單項(xiàng)式?它們的系數(shù)各是什么?
8x;-2a2bc;xy;-t2;;yvt4;-10xy2z3.
次數(shù):
系數(shù):
2.下列代數(shù)式中,哪些是單項(xiàng)式?哪些不是?
134ab221
-2x;ab;1+x;---;-y;6x2--x+7.
xr5
3.(1)(-a5)5=(2)(-a2b)3=
(3)(-2a)2(-3a2)3=(4)(—yn)2yn4=
(二)學(xué)習(xí)過程:
整式包括單項(xiàng)式和多項(xiàng)式,從這節(jié)課起我們研究整式的乘法,先學(xué)習(xí)單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式
例L利用乘法交換律、結(jié)合律以及前面所學(xué)的'幕的運(yùn)算性質(zhì),計(jì)算下列單項(xiàng)式乘以單
項(xiàng)式:
(1)2x2y?3xy2(2)4a2*5?(-3a^bx)
解:原式=()()()解:原式=()()()()
單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的乘法法則:單項(xiàng)式相乘,把它的系數(shù)、相同字母分別相乘,對于只在一
個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母,則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式
注意:法則實(shí)際分為三點(diǎn):
(1)①系數(shù)相乘——有理數(shù)的乘法;此時(shí)應(yīng)先確定結(jié)果的符號,再把系數(shù)的絕對值相乘
②相同字母相乘——同底數(shù)基的乘法;(容易將系數(shù)相乘與相同字母指數(shù)相加混淆)
③只在一個(gè)單項(xiàng)式中含有的字母,連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式,不能丟掉這個(gè)
因式.
(2)不論幾個(gè)單項(xiàng)式相乘,都可以用這個(gè)法則.
⑶單項(xiàng)式相乘的結(jié)果仍是單項(xiàng)式.
例1計(jì)算:
(1)(-5a2b3)(-3a)=(2)(2x)3(-5x2y)=
(4)(-3ab)(-a2c心?6ab(c2)3=
注意:先做乘方,再做單項(xiàng)式相乘.
練習(xí):1.判斷:
單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式,結(jié)果一定是單項(xiàng)式()
兩個(gè)單項(xiàng)式相乘,積的系數(shù)是兩個(gè)單項(xiàng)式系數(shù)的積()
兩個(gè)單項(xiàng)式相乘,積的次數(shù)是兩個(gè)單項(xiàng)式次數(shù)的積()
兩個(gè)單項(xiàng)式相乘,每一個(gè)因式所含的字母都在結(jié)果里出現(xiàn)()
2.計(jì)算:
⑴(292).(:.)(2)(-2a2/).(_3。)
八一九)
⑶(4x10)5x(5x101)(4)(—32).(25
231
⑸(一鏟2歷,.(一^。5).(]加0)(6)0.4x2y-(—xy)2-(-2x)3-xy3
拓展:
3.已知am=2,an=3,^(a3m+n)2的值4.求證:52-32n+i.2t3n能被13整除
5.若[.與=/比求m+〃的值o
回顧小結(jié):單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘,把他們的系數(shù)、相同字母的基分別相乘,其余字母連
同他的指數(shù)不變,作為積的因式。
1.4整式的乘法(2)
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)
經(jīng)歷探索整式的乘法運(yùn)算法則的過程,會進(jìn)行簡單的整式的乘法運(yùn)算
二、學(xué)習(xí)重點(diǎn):整式的乘法運(yùn)算
三、學(xué)習(xí)難點(diǎn):推測整式乘法的運(yùn)算法則
(-)預(yù)習(xí)準(zhǔn)備
(1)預(yù)習(xí)書pl6-17
(2)思考:單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘最容易出錯(cuò)的是哪點(diǎn)?
(3)預(yù)習(xí)作業(yè):
(1)-m2-m2=(2)(xy)3\xy)2=
(3)2(ab-3)=(4)(2xy2).3yx=
(5)(—2a3b)(—6ab6c)=(6)—3(ab2c+2bc—c)=
(二)學(xué)習(xí)過程:
1.我們本單元學(xué)習(xí)整式的乘法,整式包括什么?
2.什么是多項(xiàng)式?怎么理解多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)和次數(shù)?
整式乘法除了我們上節(jié)課學(xué)習(xí)的單項(xiàng).式乘以單項(xiàng)式外,還應(yīng)該有單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式,今
天將學(xué)習(xí)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘
做一做:
如圖所示,公園中有一塊長mx米、寬y米的空地,根據(jù)需要
在兩邊各留下寬為a米、b米的兩條小路,其余部分種植花草,
求種植花草部分的面積.
(1)你是怎樣列式表示.種植花草部分的面積的?是否有不同的
表示方法?其中包含了什么運(yùn)算?
方法一:可以先表示出種植花草部分的長與寬,由此得到種植花草部分面積為
方法二;可以用總面積減去兩條小路的面積,得到種植花草部分面積為_________________
由上面的探索,我們得到了_________________________________
上面等式從左到右運(yùn)用了乘法分配律,將單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式
單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘:就是根據(jù)分配律用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)再把所得的積相加
例1計(jì)算:
(1)(―12xy2—1Ox2y+2ly3)(-6xj3)(2)(—2a~),(a/?+方~)—5a(a~b—cih~)
練習(xí):1.判斷題:
⑴3a3?5a3=15a3()
(2)6ah?Jab=42ab
⑶3/?(2/-2/)=6/—
(4)—x2(2y2—xy)=—2xy2—x3y()
2.計(jì)算題:
⑴"%"+2")⑵y2(5丁一丁2)⑶2a(-2ab+—ab^)
⑷—)(5)3xVy-x/+x2)(6)2ab(人-卜力。
(7)(x3)2-2X3[X3-X(2X2-1)](8)x"(2x"2—3x1+1)
拓展:
3.已知有理數(shù)a、b、c滿足|a—b—3|+(b+1)2+|c—1|=0,求(—3ab),(a2c—6b2c)的
值。
4.己知:2x?(xn+2)=2xn+1-4,求x的值。
5.若a,(3an-2am+4ak)=3a9—2a6+4a4,求一3k2(n3mk+2km2)的值。
回顧小結(jié):單項(xiàng)式和多項(xiàng)式相乘,就是根據(jù)分配律用單項(xiàng)式去多乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所
得的積相加。
1.4整式的乘法(3)
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解多項(xiàng)式乘法的法則,并會進(jìn)行多項(xiàng)式乘法的運(yùn)算
二、學(xué)習(xí)重點(diǎn):多項(xiàng)式乘法的運(yùn)算
三、學(xué)習(xí)難點(diǎn):探索多項(xiàng)式乘法的法則,注意多項(xiàng)式乘法的運(yùn)算中“漏項(xiàng)”、“符號”的問
題
(一)預(yù)習(xí)準(zhǔn)備
(1)預(yù)習(xí)書pl8T9
(2)思考:如何避免“漏項(xiàng)”?
(3)預(yù)習(xí)作業(yè):
3
(1)(一3孫)3=_________(2)(~~x3y)2=
(3)(—2x107)4=(4)(_x).(_x)2=
(5)—a2?(—a),=(6)—,)5=
(7)(—a~y-i/5=(8)(—2/〃)3y5bdf=
125、,,、
(9)—2x(2x"-3x—1)(10)(z---^+-y-—)(-6-ry)
(二)學(xué)習(xí)過程:
如圖,計(jì)算此長方形的面積有幾種方法?如何計(jì)算?
方法1:s=_________________________________
方袪2:S=_________________________________
方法3:S=_________________________________
方法4:S=_________________________________
由此得到:(m+b)(a+n)==
運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行解釋,請將其中的一個(gè)多,項(xiàng)式看作一個(gè)整體,再運(yùn)用單項(xiàng)式與多項(xiàng)式
相乘的方法進(jìn)行計(jì)算
(把(a+n)看作一個(gè)整體)
(m+b)(a+n)=
多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘:先用一個(gè)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的,再把所得的積
例1計(jì)算:(1)(1一x)(0.6-X)(2)(2x+y)(x-y)
⑶d"(4)(—2x-5產(chǎn)
注意:(1)用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)依次去乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng),不要漏乘,在沒有合
并同類項(xiàng)之前,兩個(gè)多項(xiàng)式相乘展開后的項(xiàng)數(shù)應(yīng)是原來兩個(gè)多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)之積。
(2)多項(xiàng)式里的每一項(xiàng)都包含前面的符號,兩項(xiàng)相乘時(shí)先判斷積的符號,再寫成代數(shù)
和形式。
(3)展開后若有同類項(xiàng)必須合并,化成最簡形式。
例2計(jì)算,
(l)(x+2)(y+3)—(x+l)(y—2)(2)礦(a+1)~—2(〃—1)3+2)
練習(xí):
(1)(x+2)(x+3)(2)(。-4)(。+1)(3)(y-g)(y+g)
(4)(—21+1)~(5)(―3%+y)(—3%—y)(6)(x-2)(r+2x)+(x+2)(x?-2x)
1.(x—5)(x+20)=x1+mx-\-n則m=,n=
2.若(x+a)(x+Z?)=%2—乙,則k的值為()
(A)a+b(B)—a—b(C)a—b(D)b—a
3.已知(2x-Q)(5X+2)=1Ox2-6x+Z?則a=b=
拓展:
4.在+〃x+8與-3x+q的積中不含工3與x項(xiàng),求p、q的值
回顧小結(jié):多項(xiàng)式和多項(xiàng)式相乘,先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把
所得的積相加。
1.5平方差公式(1)
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)
會推導(dǎo)平方差公式,并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的計(jì)算
二、學(xué)習(xí)重點(diǎn):掌握平方差公式的特點(diǎn),能熟練運(yùn)用公式
三、學(xué)習(xí)難點(diǎn):理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征,靈活應(yīng)用平方差公式
四、學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)
(一)、預(yù)習(xí)準(zhǔn)備
1、預(yù)習(xí)書p20-21
2、思考:能運(yùn)用平方差公式的多項(xiàng)式相乘有什么特點(diǎn).?
3、預(yù)習(xí)作業(yè):
(1)(x+2)(x—2)(2)(m+3)(m-3)(3)(-x+y)(-x-y)
(4)(l+3a,l-3a)(5)(x+5),Xx-5y)(6)(2x+l)(2x-l)
(二)、學(xué)習(xí)過程
以上習(xí)題都是求兩數(shù)和與兩數(shù)差的積,大家應(yīng)該不難發(fā)現(xiàn)它們的規(guī)律.用公式可以表示為:
(。+刈4—乃=-我們稱它為平方差公式
平方差公式的推導(dǎo)
(a.+b)(a—b)=(多項(xiàng)式乘法法則)=(合并同類項(xiàng))
即:兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差
平方差公式結(jié)構(gòu)特征:
①左邊是兩個(gè)二頂式相乘,這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同,另一項(xiàng)互為相反數(shù);
②右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差。即用相同項(xiàng).的平方減去相反項(xiàng)的平方
例1計(jì)算:
(l)(-2x+3)(3+2x)(2)(3Z?+2?)(2a-3Z?)(3)(T。一l)(Ta+I)
變式訓(xùn)練:1、用平方差公式計(jì)算:
(1)(-x--y)(-x+-y);(2)(-2/n2-7)(7-2m2);
23-23'
2.(2008?金華)如.果x+y=-4,x-y=8,那么代數(shù)式/一y?的值為
注意:(1)公式的字母久6可以表示數(shù),也可以表示單項(xiàng)式、多項(xiàng)式;
(2)要符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能運(yùn)用平方差公式
例2.下列各式都能用平方差公式嗎?
(1)(a+h\a—c)(2)(x+y)(—y+x)(3)(—m—zi)(m+n)
(4)(-?+3)(-a-3)(5)(?+3)(-?-3)(6)(-a-3)(?-3)
(7)(2a+3b)(2a-3b)(8)(-2a+3b)(2a-3b)
(9)(—2Q+3/?)(—2d+3b)(10)(一2a—3b)(2a—3b)
(11)(ab-3x-Z?)
能否用平方差公式,最好的判斷方法是:兩個(gè)多項(xiàng)式中:兩項(xiàng)相等,兩項(xiàng)互為相反數(shù)
在平方差這個(gè)結(jié)果中誰作被減數(shù),誰作減數(shù),你還有什么辦法確定?
相等數(shù)的平方減去相反數(shù)的平方
變式訓(xùn)練:1、判斷
(1)(2a+b^2b-a)=4a2-b2)
(3)(3x-3x4-y)=9x2-y2)(4)(-2x-y^-2x+y)=4x2-y2()
(5)(〃+2]Q—3)—a~—6(“)(6)(x+3)(y-3)=個(gè)一9)
2、填空:
(1)(2x+3y)(2x-3y)=(2)(4a-1)()=1面-1
(3)(f-a/j-3^—?V-9(4)(+2x)(-3))=4/—9y2
'--------<7)49
拓展:
1、計(jì)算:(1)(a+/?+c)2—(a—力+c)2(2)x4-(2d+1)(2X2-1)-(X-+2)(?+4)
2.先化簡再求值(x+y)(x—+的值,其中x=5,y=2
3.(1)若一)?=12,x+y=6,貝卜一y二
(2)已知(2Q+2Z?+1)(2Q+2Z?-1)=63,則。+匕=
回顧小結(jié):熟記平方差公式,會用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算。
1.5平方差公式(2)
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.進(jìn)一步使學(xué)生掌握平方差公式,讓學(xué)生理解公式數(shù)學(xué)表達(dá)式與文字表達(dá)式在應(yīng)用上的差
異
二、學(xué)習(xí)重點(diǎn):公式的應(yīng)用及推廣
三、學(xué)習(xí)難點(diǎn):公式的應(yīng)用及推廣
四、學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)
(-)預(yù)習(xí)準(zhǔn)備
(二)預(yù)習(xí)書p21-22
(三)思考:如何確定平方差公式中哪個(gè)是多項(xiàng)式中的和哪個(gè)是多項(xiàng)式的差?
(四)預(yù)習(xí)作業(yè):
你能用簡便方法計(jì)算下列各題嗎?
(1)103x97(2)998x1002(3)59.8x60.2
(4)(X+3)(X-3)(X2+9)
學(xué)習(xí)設(shè)計(jì):
1、做一做:如圖,邊長為a的大正方形中有一個(gè)邊長為bb的小正方形。
(1)請表示圖中陰影部分的面積:S=
(2)小穎將陰影部分拼成了一個(gè)長方形,這個(gè)長方形的長和寬分別是
多少?
你能表示出它的面積嗎?
長=寬=S=
(3)比較1,2的結(jié)果,你能驗(yàn)證平方差公式嗎?
進(jìn)一步利用幾何圖形的面積相等驗(yàn)證了平方差公式
平方差公式中的。、b可以是單項(xiàng)式,也可以是多項(xiàng)式,在平方時(shí),應(yīng)把單項(xiàng)式或多項(xiàng)
式加括號;學(xué)會靈活運(yùn)用平方差公式。有些式子表面上不能應(yīng)用公式,但通過適當(dāng)變形實(shí)質(zhì)
上能應(yīng)用公式.如:(x+y-z)(x-y-z)中相等的項(xiàng)有和;相反的項(xiàng)
有,因此(x+y-z)(x-y-z)=[()+y][()->1]=()2-()2
形如這類的多項(xiàng)式相乘仍然能用平方差公式
例1.計(jì)算
(1)(x+y—z)(x+y+z)(2)(Q-/?+c)(a+/7-c)
(1)題中可利用整體思想,把x+y看作一個(gè)整體,則此題中相同項(xiàng)是(x+y),相反項(xiàng)是-Z
和z;
(2)題中的每個(gè)因式都可利用加法結(jié)合律改變.形式,則a是相同項(xiàng),相反項(xiàng)是-匕+c和人-c
變式訓(xùn)練:計(jì)算:
(l)[2a2—(?+b)(a—/?)][(<,—a)(c+a)+(b—c)(c+Z?)];(2)(a+b+c)2—(a—b+c)2
方法小結(jié)我們在做恒等變形時(shí),一定要仔細(xì)觀察:一是觀察式子的結(jié)構(gòu)特征,二是觀察數(shù)
量特征,看是否符合公式或是滿足某種規(guī)律,同時(shí)逆用公式可使運(yùn)算簡便。
2、知識回顧:.添括號時(shí),如果括號前面是正號,括到括號里的各項(xiàng)都不變符號;如果括
號前面是負(fù)號,括到括號里的各項(xiàng)都改變符號
例21.在等號右邊的括號內(nèi)填上適當(dāng)?shù)捻?xiàng):
(1)a+b-c=a+()(2)a-b+c-a-()
(3)a-b-c=a-()(4)a+b+c=a-()
2.下列哪些多項(xiàng)式相乘可以用平方差公式?若可以,請用平方差公式解出
(1)(a+〃+c)(a—/?+c)(2)(a—b-c)(a+Z?—c)
(3)(a—h+c^a—b—c)(4)(a+2b+2C)(£7+2h-2c)
變式訓(xùn)練:
1、(2+l)(22+l)(24+l)(28+l)+l2
(22+42++1002)-(l2+32++992)
3、觀察下列各式:
(x-l)(x+l)=x2-l
(x—l)(x2+x+l)=尤3-1
(x—l)(x3+x2+x+l)=丁—1
根據(jù)前面的規(guī)律可得:
(x—l)(x"+x"1++X+1)=
回顧小結(jié):1.什么是平方差公式?一般兩個(gè)二項(xiàng)式相乘的積應(yīng)是幾項(xiàng)式?
2.平方差公式中字母4、b可以是那些形式?
3.怎樣判斷一個(gè)多項(xiàng)式的乘法問題是否可以用平方差公式?
1.6完全平方公式(2)
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.會運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行一些數(shù).的簡便運(yùn)算
二、學(xué)習(xí)重點(diǎn):運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行一些數(shù)的簡便運(yùn)算
三、學(xué)習(xí)難點(diǎn):靈活運(yùn)用平方差和完全平方公式進(jìn)行整式的簡便運(yùn)算
四、學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)
(一)預(yù)習(xí)準(zhǔn)備
(1)預(yù)習(xí)書p26-27
(2)思考:如何更簡單迅捷地進(jìn)行各種乘法公式的運(yùn)算?
(3)預(yù)習(xí)作業(yè):1.利用完全平方公式計(jì)算
(1)982(2)2032-(3)1022(4)1972
2.計(jì)算:
(1)(x+3)2-%2(2)(ab+l)2-(ab-Y)2
(-)學(xué)習(xí)過程
平方差公式和完全平方公式的逆運(yùn)用
由(a+^Xa一人)=a?反之a(chǎn)2-h2=(a+h^a-b)
(a+by=a2±2ab+b1反之a(chǎn)2+2ab+b2=(a+Z?)2
1、填空.:
(1)a2-4=(a+2)()(2)25-x2=(5-x)()(3)m2-n2=()()
.(4)%2-64=()()(5)4加2-49=(2加一7)()
(6)a4—mA=(a2+m2)()—(a2+m2)()()
(7)若x?+4x+左=(x+2/,則k=.
(8)若/+入+9是完全平方式,則卜=
例]計(jì)算:J.(a+1)——2a+4)2.(2xy—1)~—(2xy+1)~
現(xiàn)在我們從幾何角度去解釋完全平方公式:
從圖(1)中可以看出大正方形的邊長是a+b,
它是由兩個(gè)小正方形和兩個(gè)矩形組成,所
以
8(2)
9(1)
大正方形的面積等于這四個(gè)圖形的面積之和.
貝I」s==___________________
即:_____________________________
如圖(2)中,大正方形的邊長是a,它的面積是;矩形DCGE與矩形BCHF是全等圖
形,長都是—,寬都是—,所以它們的面積都是;正方形HCGM的邊長是b,其
面積就是—;正方形AFME的邊長是,所以它的面積是.從圖中可以看
出正方形AEMF的.面積等于正方形ABCD的面積減去兩個(gè)矩形DCGE和BCHF的面積再加上
正方形HCGM的面積.也就是:(a-b)2=.這也正好符合完全平方公式.
例2.計(jì)算:
(1)(2)(a+b+c)2
變式訓(xùn)練:
(1)(a+b-3)2(2)(x-y+2)(x+y-2)
(3)(a—6—3)(。-b+3)(4)(x+5)2-(x-2)(*3)
(5)(x-2)(x+2)-(x+1)(x-3)(6)(2x-y)J4(x-y)(x+2y)
拓展:1、(1)已知x+y=4,xy=2,貝ij(x-y)2=
(2)已知(a+6)2=7,(a—6)2=3,求/+〃=,ab=
(3)不論。、匕為任意有理數(shù),a?+〃一4"+2匕+7的值總是()
A.負(fù)數(shù)B.零C.正數(shù)D.不小于2
2、(1)已知/—3工+1=0,求彳2+4和/的值。
XX
(2)已知。一匕=3,力一。=一1,求。2+人2+。2一?!ㄒ蝗恕R?。。的值。
(3).已知X?+y2-2孫一6x+6y+9=0,求x—y的值
回顧小結(jié)
1.完全平方公式的使用:在做題過程中一定要注意符號問題和正確認(rèn)識a、b表示的意
義,它們可以是數(shù)、也可以是單項(xiàng)式,還可以是多項(xiàng)式,所以要記得添括號。
2.解題技巧:在解題之前應(yīng)注意觀察思考,選擇不同的方法會”有不同的效果,要學(xué)
會優(yōu)化選擇。
1.6完全平方公式(1)
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.會推導(dǎo)完全平方公式,并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的計(jì)算
2.了解完全平方公式的幾何背景
二、學(xué)習(xí)重點(diǎn):會用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算
三、學(xué)習(xí)難點(diǎn):理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征并能靈活應(yīng)用公式進(jìn)行計(jì)算
四、學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)
(-)預(yù)習(xí)準(zhǔn)備
(1)預(yù)習(xí)書p23-26
(2)思考:和的平方等于平方的和嗎?
(3)預(yù)習(xí)作業(yè):
(1)(3a-2b)(3a+2b)=(2)(3a-2b)(3a-2b)==
(3)(“+1)2=(〃+l)(〃+l)=(4)(m+2)2=
(5)(p-1)2=(/?-1)(/?-1)=(6)(m-2)2=
(7)(a+b)2—(8)(a—b)2-
(二)學(xué)習(xí)過程
觀察預(yù)習(xí)作業(yè)中(3)(4)題,結(jié)果中都有兩個(gè)數(shù)的平方和,而2口=2酬1,4根=262,
恰好是兩個(gè)數(shù)乘積的二倍.(3)、(4)與(5)、(6)比較只有一次項(xiàng)有符號之差,(7)、(8)
更具有一般性,我認(rèn)為它可以做公式用.
因此我們得到完全平方公式:
兩數(shù)和(或差)的平方,等于它們的,加(或減)它們的積的倍.
公式表示為:(a+b)2=(a-份2=
口訣:首平方,尾平方,兩倍乘積放中央(加減看前方,同號加異號減)
例L應(yīng)用完全平方公式計(jì)算:
(1)(Am+riy(2)(y--)2(3)(-a-b)2(4)(―2x+y)2
變式訓(xùn)練:
1.糾錯(cuò)練習(xí).指出下列各式中的錯(cuò)誤,并加以改正:
(1)(2a—1)~—2“——2a+1(2)(2a+1)"——4ci~+1(3)(—a—1)~=—cr—2a—I
2.下列各式中哪些可以運(yùn)用完全平方公式計(jì)算,把它計(jì)算出來
(1)(1+y)(-y+x)(2)(a-b^b-a)
(3)(ab—3%X—+ab)(4)(—m—n^m+it)
分析:完全平方公式和平方差公式不同:
形式不同:3±份2=/(a+b)(a-b)=a2-b2
結(jié)果不同:完全平方公式的結(jié)果是三項(xiàng),平方差公式的結(jié)果是兩項(xiàng)
3.計(jì)算:
(1)(一1一2x)2(2)(-2x+1)2
(3)(―2m-n)(2m+n)(4)
例2.計(jì)算:
(1)(x+2y)(x-2y)(x2-4y2);(2)(-a-3Z?)2(-a+3/?)2;
22
(3)(2x-3y+4)(2x+3y-4).
方法小結(jié)(1)當(dāng)兩個(gè)因式相同時(shí)寫成完全平方的形式;(2)先逆用積的乘方法則,再用
乘法公式進(jìn)行計(jì)算;(3)把相同的結(jié)合在一起,互為相反數(shù)的結(jié)合在一起,可構(gòu)成平方差
公式。
變式議練2.計(jì)算:
(1)(4x2-y2)[(2x+y)2+(2x-^)2];(2)(x-y)\x+y)\x2+y2)2
(3)(x-vy-z)(x-y+z)o
1、1
拓展:1.已知Xd—=3,則廠H———
XX
11.
2.(2008?成都)已知y=§了一1,那么1/0-2取+3>2-2的值是
3、已知X?+2(相一1)移+16y2是完全平方公式,貝1卜九二
4、若=12,。+?=16,則肛二
回顧小結(jié):
1.完全平方公式和平方差公式不同:
形式不同.
結(jié)果不同:完全平方公式的結(jié)果是三項(xiàng),即(a±b)2=a2±2ab+b2;
平方差公式的結(jié)果是兩項(xiàng),即(a+b).(a-b)=a2-b2.
2.解題過程中要準(zhǔn)確確定a和b,對照公式原形的兩邊,做到不丟項(xiàng)、
不弄錯(cuò)符號、2ab時(shí)不少乘2。
3.口訣:首平方,尾平方,兩倍乘積放中央,加減看前方,同加異減。
1.7整式的除法(1)
一、學(xué)習(xí)目標(biāo):1.經(jīng)歷探索整式除法法則的過程,會進(jìn)行簡單的整式除法運(yùn)算(只要求單項(xiàng)
式除以單項(xiàng)式,多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式,并且結(jié)果都是整式).
2.理解整式除法運(yùn)算的算理,發(fā)展有條理的思考及表達(dá)能力.
二、學(xué)習(xí)重點(diǎn):可以通過單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘法來理解單項(xiàng)式的除.法,要確實(shí)弄清單項(xiàng)式
除法的含義,會進(jìn)行單項(xiàng)式除法運(yùn)算。
三、學(xué)習(xí)難點(diǎn):確實(shí)弄清單項(xiàng)式除法的含義,會進(jìn)行單項(xiàng)式除法運(yùn)算。
四、學(xué)習(xí)設(shè)計(jì):
(-)預(yù)習(xí)準(zhǔn)備
(1)預(yù)習(xí)書28?29頁
463
X4-X=an^an-'X4-=X
(2)回顧:1、2、3、
(4)(°T)3Ma-])
2、(1)(2)一/+(_%)2(3)。4",+2+優(yōu),1
3、⑴(")、(")⑵(3)(》一)')5—+(x—y)2
(-)學(xué)習(xí)過程:
1、探索練習(xí),計(jì)算下列各題,并說明你的理由。
(])8+%2(2)[sm2n2(2m2/?)(3)(“%2c)+(3次0
2、例題精講
類型一單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的計(jì)算
例1計(jì)算:
(1)(-x2y3)-r(3x2y);(2)(10a4b3c2)4
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