山東省泰安市新泰市紫光實驗中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中學(xué)情檢測數(shù)學(xué)試題

2024-2025學(xué)年度期中學(xué)情檢測高三數(shù)學(xué)試題

一、選擇題1．如圖,圓O的半徑為1,劣弧的長為,則陰影部分的面積為()A. B. C. D.2．北宋數(shù)學(xué)家沈括在酒館看見一層層壘起的酒壇,想求這些酒壇的總數(shù),經(jīng)過反復(fù)嘗試,終于得出了長方臺形垛積的求和公式.如圖,由大小相同的小球堆成的一個長方臺形垛積,第一層有個小球,第二層有個小球,第三層有..........依此類推,最底層有個小球,共有n層.現(xiàn)有一個由小球堆成的長方臺形垛積,共7層,小球總個數(shù)為168,則該垛積的第一層的小球個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.43．《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月日織九匹三丈．”其意思為：現(xiàn)有一善于織布的女子，從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布，第1天織了5尺布，現(xiàn)在一月（按30天計算）共織390尺布，記該女子一月中的第n天所織布的尺數(shù)為，則的值為（

）A．55 B．52 C．39 D．264．已知函數(shù),將的圖象向左平移個單位長度,所得圖象關(guān)于原點對稱,則的圖象的對稱軸可以為()A. B. C. D.5．笛卡爾是法國著名的數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家、物理學(xué)家，他發(fā)明了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)工具之一——坐標(biāo)系，將幾何與代數(shù)相結(jié)合，創(chuàng)立了解析幾何.相傳，52歲時，窮困潦倒的笛卡爾戀上了18歲的瑞典公主克里斯蒂娜，后遭驅(qū)逐，在寄給公主的最后一封信里，僅有短短的一個方程：，拿信的公主早已淚眼婆娑，原來該方程的圖形是一顆愛心的形狀.這就是著名的“心形線”故事.某同學(xué)利用幾何畫板，將函數(shù)，畫在同一坐標(biāo)系中，得到了如圖曲線.觀察圖形，當(dāng)時，的導(dǎo)函數(shù)的圖像為()A. B.C. D.6．已知向量，滿足，，則()A. B. C.3 D.47．已知點，拋物線的焦點為F，射線FA與拋物線C相交于點M，與其準(zhǔn)線相交于點N.若，則()A. B. C.2 D.48．記為數(shù)列的前n項和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則()A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件二、多項選擇題9．已知，是函數(shù)的兩個零點，且的最小值是，則()A.在上單調(diào)遞增B.的圖象關(guān)于直線對稱C.的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到D.在上僅有1個零點10．已知函數(shù),則()A.B.C.在上為增函數(shù)D.函數(shù)在上有且只有2個零點11．下列選項正確的是()A.函數(shù)的最小正周期是B.若是第一象限角,則C.函數(shù)的對稱中心是,D.在中,“”是“是鈍角三角形”的充要條件三、填空題12．已知函數(shù)（），若存在，使得，則的最小值為________.13．設(shè)函數(shù)，已知,，且的最小值為，則________.14．已知向量,滿足,與的夾角為，則當(dāng)實數(shù)變化時，的最小值為________.四、解答題15．記內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知,.(1)求的值;(2)若的面積為,求的周長.16．已知雙曲線的左?右焦點分別為,,E的一條漸近線方程為,過且與x軸垂直的直線與E交于P,Q兩點,且的周長為16.(1)求E的方程;(2)A,B為雙曲線E右支上兩個不同的點,線段的中垂線過點,求的取值范圍.17．已知函數(shù),.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若對于任意的,都有恒成立,求a的取值范圍.18．設(shè)銳角的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知.（1）求A;（2）若,且,求的面積.19．已知橢圓的焦距是短軸長的倍，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形周長為.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓C交于A、B兩點，與y軸交于點P，線段的垂直平分線與交于點M，與y軸交于點N，O為坐標(biāo)原點，如果，求k的值.

參考答案1．答案：B解析：因為劣弧的長為,所以.則,,所以陰影部分的面積為.故選:B2．答案：B解析：設(shè)各層的小球個數(shù)為數(shù)列,由題意得,,,,因為,可得,,,,則,因為前7層小球總個數(shù)為168,所以,即,解得或（舍去）,所以,可得,即該垛積的第一層的小球個數(shù)為2個.故選：B.3．答案：B解析：因為從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布，所以該女子每天織的布構(gòu)成一個等差數(shù)列，其中所以．故選：B4．答案：D解析：由題意可得的圖象關(guān)于點對稱,即對任意,有,取,可得,即.故,令,,可得的圖象的對稱軸為,,故選：D.5．答案：A解析：根據(jù)和的解析式可知和均為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對稱，當(dāng)時，，設(shè)y，則，此時對應(yīng)的圖像是題干中圖像在第一部分的半圓，時，對應(yīng)題干中的圖像在第四象限的部分，該部分圖像單調(diào)遞增，故的值恒為正，即圖像始終在x軸上方，故排除選項BC；且該部分圖像的切線斜率先減小后增大，故的值先減小后增大，由此對應(yīng)的只有A圖像滿足.故選：A.6．答案：A解析：因為,所以,所以,故選:A.7．答案：C解析：如圖，，過點M作準(zhǔn)線的垂線MK，垂足為K，則，又，所以，則，即直線FA的斜率是，解得.故選C.8．答案：C解析：若為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則，所以，所以，所以，為常數(shù)，所以為等差數(shù)列，即甲乙；若為等差數(shù)列，設(shè)其公差為t，則，所以，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，也滿足上式，所以，所以，為常數(shù)，所以為等差數(shù)列，即甲乙，所以甲是乙的充要條件，故選C.9．答案：ABD解析：由題意可知，函數(shù)的最小正周期，，.對于A，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，故A正確；對于B，，的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，，僅當(dāng)，即時，，故D正確.故選ABD.10．答案：ABD解析：由題意得函數(shù)的最小正周期為,所以成立,A項正確;因為,所以是的最小值,所以直線是圖像的一條對稱軸,所以成立,B項正確;當(dāng)時,,當(dāng)時,為減函數(shù),C項錯誤;由題意知在有兩個不等實根,設(shè),由函數(shù),的圖像,易知與直線有兩個不同的交點,D項正確.故選ABD項.11．答案：AB解析：對A：最小正周期是,故A正確;對B：若是第一象限角,則是第一或第三象限角,所以,故B正確;對C：令,故C錯誤;對D：在中,由知,又由,則有或,所以C或B為鈍角,滿足充分性,而是鈍角三角形,A為鈍角,則有,不滿足必要性,故D錯誤.故選：AB.12．答案：/解析：.因為存在，，使得，所以，解得.故答案為：13．答案：1解析：由題意知圖象可由，的圖象將x軸下方部分翻折到x軸上方得到，故的周期為，又,，則的最小值為函數(shù)周期的二分之一，即,即,，故答案為：114．答案：解析：如圖，設(shè),，當(dāng)時，取得最小值，過B作，即取得最小值為，因為與的夾角為，所以,,，所以.故答案為：15．答案：(1)(2)5解析：(1)根據(jù)題意由余弦定理可得,又可得,即可得,所以,可得,由正弦定理可得;(2)易知,解得,即;由(1)中可得,所以的周長為.16．答案：(1);(2).解析：(1)將代入,得,所以,所以,所以由題得,,所以雙曲線E的方程為.(2)由題意可知直線斜率存在且,設(shè),,,設(shè)的中點為M.由消去y并整理得,,則,即,,,,于是點為,,.由中垂線知,所以,解得：.所以由A,B在雙曲線的右支上可得：,且,且或,綜上即,又,所以.因為,所以,故,所以,所以.所以.17．答案：(1)答案見解析(2)解析：(1)對求導(dǎo),可得,令,即,即,當(dāng)時,恒成立,在R上單調(diào)遞增;當(dāng)時,,,,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增;綜上,當(dāng)時,的單調(diào)遞增區(qū)間為R;當(dāng)時,的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)因為對于任意的,都有恒成立,對求導(dǎo),可得,令,即,即,①當(dāng)時,,則在單調(diào)遞增,,符合題意;②當(dāng)時,,則,則,在單調(diào)遞增,,符合題意;③當(dāng)時,,則,當(dāng)時,,則在單調(diào)遞減,當(dāng)時,,則在單調(diào)遞增,所以,令,,則,所以在上單調(diào)遞減,所以,不合題意;綜上所述,.18．答案：（1）（2）解析：（1）由