MKT視角下開展高中數(shù)學“成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關性”教學的實踐

摘要：“成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關性”教學是中學數(shù)學教師課堂教學的難點與痛點，主要原因是教師對相關性系數(shù)公式一知半解，加之教學任務重、時間緊，教師不舍得花時間推導公式，導致學生對這一知識掌握不到位，運用時錯誤率較高。MKT視角下的數(shù)學教學主張教師對教學內(nèi)容有獨到的見解，并將其滲透于課堂中，這對優(yōu)化成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關性教學有重要的指導價值。MKT視角下開展高中數(shù)學“成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關性”教學要求教師深刻理解知識的發(fā)生發(fā)展過程，明晰相關性系數(shù)公式的推導過程；通過將新知識學習與舊知識聯(lián)系起來這一符合學生認知規(guī)律的教學方式，提高學生的學習興趣；結合高考真題引導學生學以致用，發(fā)展學生的數(shù)據(jù)分析與數(shù)學運算等數(shù)學學科核心素養(yǎng)。關鍵詞：成對數(shù)據(jù)；相關性系數(shù)公式；數(shù)學運算；MKT視角面向教學的數(shù)學知識（MathematicalKnowledgeforTeaching，MKT）是課堂教學的知識基礎，課堂教學的組織架構是一個常話常新的主題。從MKT的角度來看，假如教授者能夠真正把所教授的內(nèi)容知識想得明白了，是能夠產(chǎn)生教育上的見解并能自如用于課堂教學的，這個看法得到了教育數(shù)學領域學者的支持［1］。由此可知，在數(shù)學教學中，由教師的教轉變成為學生的學，事實上還需要教師的引導，教師如何引導，如何實現(xiàn)深度引導、有效引導乃至高效引導，都取決于教師對內(nèi)容知識的理解是否足夠透徹。但是，筆者對中學一線數(shù)學教師開展“成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關性”課堂教學情況調研發(fā)現(xiàn)，教師教學大多停留在“一個公式、幾道例題、大量練習”，忽視了教師自身對知識的深度理解，難以講清相關性系數(shù)的相關知識，具體表現(xiàn)為以下三個方面：一是教學時間緊張導致部分教師不愿去講解，他們認為推導公式是浪費時間；二是部分教師本身對統(tǒng)計學的相關知識掌握不全面，不明白成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關性系數(shù)的來龍去脈；三是部分教師本身不理解相關知識卻又想教授學生，越講越糊涂，最后干脆叫學生死記硬背，草草結束本節(jié)內(nèi)容的教學，導致學生囫圇吞棗，未能實現(xiàn)預期教學效果。為更深入地理解成對數(shù)據(jù)統(tǒng)計相關性的知識，進而更好地開展教學，筆者對比人教A版、人教B版、北師大版、滬教版等七個不同版本教材中成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關性的內(nèi)容安排情況，發(fā)現(xiàn)：人教B版、北師大版兩個版本的教材先編排回歸直線的內(nèi)容再編排相關性的內(nèi)容，人教A版、滬教版、蘇教版、湘教版以及鄂教版等五個版本的教材先編排相關性學習內(nèi)容再編排線性回歸直線相關知識?？梢?，回歸直線方程與相關性學習內(nèi)容的安排順序對相關性系數(shù)公式的學習理解不會有太大的影響，但是從中學數(shù)學課堂教學角度出發(fā)，理解回歸直線方程后學習相關性可以更直觀地理解相關性系數(shù)公式。文章基于人教A版數(shù)學教科書選擇性必修第三冊第八章第一節(jié)的內(nèi)容，從導學、導思兩條路徑設計樣本相關系數(shù)r=[i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2·i=1nyi-y2]公式教學。一、以溫故引學，問題驅動引思考問題1：成對數(shù)據(jù)的相關關系是怎樣的？我們知道，函數(shù)關系是一種確定性關系，然而在現(xiàn)實世界中，兩個變量之間有關系，但是又未達到確定性的函數(shù)關系，比如人的體重與身高的關系，身高并不是決定體重的唯一因素，那么像這樣“兩個變量有關系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度”，我們將這種關系稱為相關關系。追問：如何直觀描述相關關系的成對樣本數(shù)據(jù)？類似于用直方圖描述單個變量樣本數(shù)據(jù)的分布特征，我們可以用直角坐標系中的點表示數(shù)據(jù)，從而直觀地展示成對樣本數(shù)據(jù)的變化特征，由這些點組成的統(tǒng)計圖叫作散點圖。【設計意圖】從學生的已有認知切入，通過簡潔且與學生息息相關的情境，引導學生形象直觀地理解數(shù)據(jù)間的相關關系；接著通過追問，引導學生借助圖形語言直觀呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，自然生成散點圖的概念。此時，教師可以引進教材的案例，引導學生以小組討論的方式探究正相關、負相關的內(nèi)涵。正相關（Positivecorrelation），是指兩個變量變動方向相同，一個變量由大到小或由小到大變化時，另一個變量亦由大到小或由小到大變化（如圖1所示）。負相關（Negativecorrelation），是指兩個變量變動方向相反，一個變量由大到小或由小到大變化時，另一個變量反而由小到大或由大到小變化（如圖2所示）。[圖1][圖2]探究發(fā)現(xiàn)：正相關時散點的橫縱坐標變化情況一致，負相關時散點的橫縱坐標變化情況相反。問題2：樣本相關系數(shù)是什么？通過觀察散點圖中成對樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，我們可以大致推斷兩個變量是否存在相關關系、是正相關還是負相關、是線性相關還是非線性相關等。散點圖雖然直觀，但無法準確地反映成對樣本數(shù)據(jù)的相關程度，也就無法量化兩個變量之間相關程度的大小。能否像引入均值、方差等數(shù)字特征分析單個變量數(shù)據(jù)那樣，引入一個適當?shù)摹皵?shù)字特征”？樣本相關系數(shù)就是一個適當?shù)摹皵?shù)字特征”。追問：如何對成對樣本數(shù)據(jù)的相關程度進行定量分析？【設計意圖】散點圖可以直觀展示數(shù)據(jù)分布規(guī)律，讓學生體會數(shù)形結合、轉化思想對研究數(shù)學問題的重要價值。再由散點圖難以準確描述數(shù)據(jù)之間的相關程度這一現(xiàn)實問題出發(fā)，用追問引導學生結合已學過的統(tǒng)計學知識進行定量分析，發(fā)展學生數(shù)據(jù)分析數(shù)學學科核心素養(yǎng)。二、公式推導深化理解，提升分析運算能力基于不少教師在教學成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關性公式推導存在困難的現(xiàn)狀，筆者設計了由“數(shù)據(jù)中心化”“引進統(tǒng)計量”“數(shù)據(jù)標準化”“公式的生成”“取值的范圍”等五環(huán)節(jié)構成的相關系數(shù)公式推導教學，具體教學活動如下?；顒?：數(shù)據(jù)中心化——將成對樣本數(shù)據(jù)以（x，y）為零點進行平移將原始的成對樣本數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）繪制成散點圖，發(fā)現(xiàn)這些散點分布規(guī)律不明顯，將數(shù)據(jù)以（x，y）為零點進行平移，其中x=[x1+x2+…+xnn]，y=[y1+y2+…+ynn]，我們稱這一過程為數(shù)據(jù)中心化。平移后的成對樣本數(shù)據(jù)為（x1-x，y1-y），（x2-x，y2-y），…，（xn-x，yn-y），繪制散點圖如圖3所示，這時的散點大多數(shù)分布在第一、三象限，同時可以發(fā)現(xiàn)這些散點是正相關關系?！驹O計意圖】學生一開始接觸的圖1、圖2中的散點較為集中，數(shù)據(jù)之間的關系比較清晰，此時教師呈現(xiàn)數(shù)據(jù)關系不明顯的如圖3所示的散點圖，造成認知沖突，激發(fā)學生深入探究的興趣，從而順利引出數(shù)據(jù)中心化這一數(shù)據(jù)處理方法?；顒?：引進統(tǒng)計量——刻畫平移后的散點橫、縱坐標正負情況我們知道兩個數(shù)m、n：若m、n同號，則mn＞0；若m、n異號，則mn＜0。以圖3為例，由此我們得到啟發(fā)：平移后的散點大多數(shù)分布在第一、三象限，散點的橫、縱坐標同號。利用散點的橫、縱坐標是否同號，可以構造一個量Lxy=[1n]［（x1-x）（y1-y）+（x2-x）（y2-y）+…+（xn-x）（yn-y）］。一般情形下，Lxy＞0表明成對樣本數(shù)據(jù)正相關；Lxy＜0表明成對樣本數(shù)據(jù)負相關?！驹O計意圖】數(shù)據(jù)中心化之后得到圖3，是從圖的角度厘清數(shù)據(jù)之間的相關性。引進統(tǒng)計量構建Lxy是從數(shù)的角度呈現(xiàn)數(shù)據(jù)的關系。從學生已有的知識與經(jīng)驗出發(fā)，由圖到數(shù)展開探究，符合學生的認知規(guī)律，學習過程自然且流暢?；顒?：數(shù)據(jù)“標準化”——對成對樣本數(shù)據(jù)進行“標準化”處理因Lxy的大小會受到單位的影響，如縱坐標單位不變，橫坐標單位由米變成厘米，結果Lxy就擴大了100倍，為消除單位的影響，我們可以對成對樣本數(shù)據(jù)進行“標準化”處理。于是，教師自然地提出問題——如何將成對數(shù)據(jù)“標準化”？教師首先帶領學生回顧向量的“單位化”：將[a]化為同向的單位向量，即在[a]基礎上除以其模長得到與[a]同向的單位向量[aa]。其次，在統(tǒng)計學中，若一組數(shù)據(jù)的均值為0、方差為1，則說明這組數(shù)據(jù)相對穩(wěn)定。下面我們以橫坐標為例子進行解析。將平移后的成對樣本數(shù)據(jù)的散點橫坐標[u]=（x1-x，x2-x，…，xn-x）化為單位向量：[uu]=[1x1-x2+x2-x2+…+xn-x2]（x1-x，x2-x，…，xn-x），即[uu]=（[x1-xi=1nxi-x2]，[x2-xi=1nxi-x2]，…，[xn-xi=1nxi-x2]）。我們由此可得到新的數(shù)據(jù)[x1-xi=1nxi-x2]，[x2-xi=1nxi-x2]，…，[xn-xi=1nxi-x2]的平均數(shù)為0；要想實現(xiàn)方差為1，還需將每一個新數(shù)據(jù)分母構造成為[1ni=1nxi-x2]，則新數(shù)據(jù)成為[xi-x1ni=1nxi-x2]（其中i=1，2，…，n）。同理，將平移后的成對樣本數(shù)據(jù)的散點縱坐標記[v]=（y1-[y]，y2-[y]，…，yn-[y]）化為單位向量：[vv]=（[y1-yi=1nyi-y2]，[y2-yi=1nyi-y2]，…，[yn-yi=1nyi-y2]），同樣可得新數(shù)據(jù)[y1-yi=1nyi-y2]，[y2-yi=1nyi-y2]，…，[yn-yi=1nyi-y2]的平均數(shù)為0；要想實現(xiàn)方差為1，還需將每一個新數(shù)據(jù)的分母構造成為[1ni=1nyi-y2]，則新數(shù)據(jù)成為[yi-y1ni=1nyi-y2]（其中i=1，2，…，n）。將[xi-x1ni=1nxi-x2]與[yi-y1ni=1nyi-y2]作積得到[xi-x1ni=1nxi-x2]·[yi-y1ni=1nyi-y2]，由此[xi-xyi-y1ni=1nxi-x21ni=1nyi-y2]（n=1，2，…，n）達到“標準化”。我們記sx=[1ni=1nxi-x2]，sy=[1ni=1nyi-y2]，所以“標準化”后的坐標為（[x1-xsx]，[y1-ysy]），（[x2-xsx]，[y2-ysy]），…，（[xn-xsx]，[yn-ysy]），為了方便起見，我們將它們分別記為（x1[′]，y1[′]），（x2[′]，y2[′]），…，（xn[′]，yn[′]）?！驹O計意圖】學生很是欣喜地用上活動2中構造出的量Lxy，教師在教材例子的基礎上進行變式訓練，改變其中一個變量的單位，讓學生在活動3中開展小組計算，不僅可以發(fā)展學生的數(shù)學運算與數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，還能培養(yǎng)學生的團隊協(xié)作意識。學生最終形成共識：數(shù)據(jù)需要標準化。“什么是標準化”“如何標準化”問題串自然生成，教師引導學生利用舊知過渡到新知識的學習?；顒?：公式的生成——樣本相關系數(shù)公式自然形成仿照Lxy的構造，可以得到r=[1n]（x1[′]y1[′]+x2[′]y2[′]+…+[xn′][yn′]）=[1n][i=1nxi-xyi-y1ni=1nx1-x21ni=1ny1-y2]=[i=1nxi-xyi-yi=1nx1-x2i=1ny1-y2]。我們稱r為變量x和變量y的樣本相關系數(shù)。這樣便利用成對樣本數(shù)據(jù)構造了樣本相關系數(shù)r。樣本相關系數(shù)r是一個描述成對樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，它的正負性可以反映成對樣本數(shù)據(jù)的變化特征。當r＞0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關。這時，當其中一個數(shù)據(jù)的值變小時，另一個數(shù)據(jù)的值通常也變?。划斊渲幸粋€數(shù)據(jù)的值變大時，另一個數(shù)據(jù)的值通常也變大。當r＜0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)負相關。這時，當其中一個數(shù)據(jù)的值變小時，另一個數(shù)據(jù)的值通常會變大；當其中一個數(shù)據(jù)的值變大時，另一個數(shù)據(jù)的值通常會變小?！驹O計意圖】結合教材中的表述，引導學生明晰公式中的各個量表示的意義。活動5：取值的范圍——探究成對數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)取值范圍為了解樣本相關系數(shù)r的大小與成對樣本數(shù)據(jù)相關程度之間的內(nèi)在聯(lián)系，需探究r的取值范圍。由不等式ab≤[a2+b22]可得，[r]=

[1n][i=1nxi-xsxyi-ysy]≤[1n][i=1nxi-xsx2+yi-ysy22]=[1ni=1nxi-xsx2+1ni=1nyi-ysy22]=[1n×i=1nxi-x21ni=1nxi-x2+1n×i=1nyi-y21ni=1nyi-y22=1]。所以[r]≤1，-1≤r≤1。另外，結合r=[1n]（x1[′]y1[′]+x2[′]y2[′]+…+xn[′]yn[′]），可從向量數(shù)量積的知識[a]·[b]=[a][b]cos[θ]出發(fā)，若[a]=（x1，x2，…，xn），[b]=（y1，y2，…，yn），從而有cos[θ]=[x1y1+x2y2+…+xnyni=1nxi2i=1nyi2]。不難發(fā)現(xiàn)，前述對成對數(shù)據(jù)進行標準化處理后構造了兩個n維向量，可用兩個向量的數(shù)量積表示r。記xi[′]=[x1-x1ni=1nxi-x2]，yi[′]=[y1-y1ni=1nyi-y2]（i=1，2，…，n），從“標準化”的成對數(shù)據(jù)（x1[′]，y1[′]），（x2[′]，y2[′]），…，（xn[′]，yn[′]）中可得第一分量構成n維向量[x′]=（x1[′]，x2[′]，…，xn[′]），第二分量構成n維向量[y′]=（y1[′]，y2[′]，…，yn[′]），不難計算[x′]=[n]，[y′]=[n]。又因為r=[1n]（x1[′]y1[′]+x2[′]y2[′]+…+xn[′]yn[′]），所以可得r=[1n][x′]·[y′]=[1n][x′]·[y′]cos[θ]=cos[θ]，又-1≤cos[θ]≤1，即-1≤r≤1。【設計意圖】面對新知識時，如果學生原有的認知結構中缺乏能與新知識產(chǎn)生聯(lián)系、有助于同化新知識的內(nèi)容，教師就需要在教學新知識前為學生呈現(xiàn)具有引導性的材料，以達到溫故知新的教學效果，比如，得到樣本相關系數(shù)公式r=[i=1nxi-xyi-yi=1nx1-x2i=1ny1-y2]后，學生自主變形，得到便于計算的式子r=[i=1nxiyi-nx·yi=1nxi2-nx2i=1nyi2-ny2]。三、舉一反三悟思想，學以致用強基礎學完某一知識后，就要思考如何運用這些知識解決實際問題。在教學中，教師不妨通過高考真題讓學生感受所學公式的作用。回顧近幾年高考數(shù)學真題，針對樣本相關性系數(shù)的考查逐漸活躍在概率統(tǒng)計解答題中，例如，2022年全國乙卷理科卷、2020年新課標Ⅱ卷、2016年全國Ⅲ卷（理科）等試卷都直接考查了相關性系數(shù)公式的應用，教師可以將這些高考真題用作課堂練習題，讓學生在解決問題中鞏固所學。練習題1（2022年全國乙卷理科，第19題）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山。為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：m2）和材積量（單位：m3），得到如下數(shù)據(jù)：并計算得[i=110xi2=0.038，][i=110yi2=1.6158，][i=110xiyi][=0.2474]。（1）估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關系數(shù)（精確到0.01）；（3）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2。已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比。利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值。附：相關系數(shù)r=[i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2i=1nyi-y2]，[1.896][≈]1.377。本題雖然附上了樣本相關系數(shù)公式，但是解題時不能直接套用已知數(shù)據(jù)進行解答。為了簡化計算，首先需要對公式進行變形——將第（1）問中的結果代入計算即可。r=[i=110xi-xyi-yi=110xi-x2i=110yi-y2]=[i=110xiyi-10x·yi=110xi2-10x2i=110yi2-10y2]=[0.2474-10×0.06×0.39（0.038-10×0.062）（1.6158-10×0.392）]=[0.01340.0001896][≈][0.01340.01377][≈]0.97，則r[≈]0.97。在日常的教學中，教師應注意公式中各個量所表示的意義以及公式的推導，進而才能使學生深刻理解所學知識，不斷培養(yǎng)解決問題的能力，從而能在解決具體問題時正確運用所學知識。練習題2（2020年新課標Ⅱ卷，第18題）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加。為調查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調查得到樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，20），其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動物的數(shù)量，并計算得[i=120xi=60]，[i=120yi=1200]，[i=120（xi-x）2=80]，[i=120（yi-y）2=9000]，[i=120（xi-x）][（yi-y）][=800]。（1）求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值（這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；（2）求樣本（xi，yi）（i=1，2，…，20）的相關系數(shù)（精確到0.01）；（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大。為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由。附：相關系數(shù)r=[i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2i=1nyi-y2]，[2][≈]1.414。由第（1）問可以求得相關平均數(shù)，結合題中已知條件直接代入題尾附的公式中進行計算即可得到相關系數(shù)r=[i=120xi-xyi-yi=120xi-x2i=120yi-y2]=[80080×9000]=[223][≈]0.94。該題難度不大，主要考查學生的數(shù)學運算能力。雖然題目難度不大，但是當年考生的得分率并不是很高，說明考生對公式的理解不到位，還不能熟練準確運用公式。為此，教師在教學中應指導學生將相關知識進行比較學習，力求能夠恰到好處地運用公式進行計算求解。練習題3（2016年全國Ⅲ卷理科，第18題）下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖。（Ⅰ）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數(shù)加以說明；（Ⅱ）建立y關于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預測2016年我國生活垃圾無害化處理量。參考數(shù)據(jù)：[i=17yi]=9.32，[i=17tiyi]=40.17，[i=17yi-y2]=0.5