（人教A版）2021年新高二數(shù)學暑假講義-第七講 冪函數(shù)和二次函數(shù)

第七講幕函數(shù)和二次函數(shù)

【基礎(chǔ)知識】

1.幕函數(shù)

⑴備函數(shù)的定義

一般地，形如y=Y的函數(shù)稱為幕函數(shù),其中x是自變量，a為常數(shù).

⑵常見的5種事函數(shù)的圖象

(3)基函數(shù)的性質(zhì)

①基函數(shù)在(0,十8)上都有定義；

②當a>0時，基函數(shù)的圖象都過點(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上單調(diào)遞增;

③當a<0時，曙函數(shù)的圖象都過點(1,1),且在(0,+8)上單調(diào)遞減.

2.二次函數(shù)

⑴二次函數(shù)解析式的三種形式：

一般式：

頂點式：.*x)=a(x—/n)2+〃(aW0),頂點坐標為(〃?，〃).

零點式：./U)=a(x—xi)(x—X2)(aW0),x\,X2為_/U)的零點.

(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

函數(shù)y=axL+bx+c(a>0)y=aj2+bx+c(a<0)

圖象

(拋物線)

定義域R

Aac-b11(4ac-/

-8.

值域[4a，+叼1'4a」

b

對稱軸x=一五

(b_Aac—b1y

頂點「2屋4a)

坐標

奇偶性當8=0時是偶函數(shù)，當匕#0時是非奇非偶函數(shù)

(bl(-8,%

在上是減函數(shù)；在上是增函數(shù)；

1,2a」

單調(diào)性

V+63,+￡

在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)

【考點剖析】

考點一幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)

【典例1-1】（2021?河南高三月考（文））已知&=3.939,6=3.938,c=3.83-9,J=3.838?則。，b,

c,d的大小關(guān)系為（）

A.d<c<b<aB.d<b<c<a

C.b>d>c>aD.b<c<d<a

【答案】B

【詳解】

構(gòu)造函數(shù)_/（x）=也，則/（“=匕9，

XX

當xe（e,+oo）時，/,（x）<0,

故在（e,e）上單調(diào)遞減,

所以/（3.9）</（3.8）,

所以即3.81n3.9<3.91n3.8，

3.93.8

所以In3.9"<In38*9,

所以39s<38”；

因為y=%3-8在（0,+紇）上單調(diào)遞增，

所以3.8"<3.93,，

同理3.83<3.93,9,

所以3.8相<3.938<3.839<3.93-9，

即d</?<c<a.

【典例1-2】(2020?全國高三專題練習)若/(工)=(1。82根+1)/用為幕函數(shù)，則，(3))

【詳解】

山題意10g2"2+1=1，

解得ZM=1,

所以/(X)=X2，

所以/(3)=9

故選：C.

【跟蹤訓練1】(2020?四川眉山市?仁壽一中高三月考(文))己知/-~-(?>1).函數(shù)g(x)為幕

函數(shù)且過點則函數(shù)〃(x)=〃x>g(x)的圖象大致為

【答案】A

【詳解】

因為函數(shù)g(x)為基函數(shù)，所以設(shè)g(x)=xa,則g]￡|=]￡|=2,a=-l所以函數(shù)g(x)=g.由已知

f(x}=a+1(a>l),/(-x)=-/(x),故f(x)為奇函數(shù)，且函數(shù)g(x)=L為奇函數(shù)，則函數(shù)

ax-1x

〃(x)=/(x)-g(x)為偶函數(shù)，排除B,D.又X->O時,y(X)->+oo,^(x)->-K)o,〃(%)—+<?,故選

A.

【跟蹤訓練2】(2021?新疆阿勒泰地區(qū)?布爾津縣高級中學高三三模(理))已知a=/,/,=3",c=?",

下列說法正確的是()

A.b>a>cB.b>c>a

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

【詳解】

解：??,基函數(shù)y=x"在(0,+8)上單調(diào)遞增，又3<%，

:.3X<乃"，即8<c,

構(gòu)造f(x)=l^,則/8)=上3,當xe(e,+?)時，rU)<0;

XX

/(X)在(e,+8)上單調(diào)遞減，

?二3v萬,

In3\n7r,…

--->----，U|nJn7In3>3In4，

371

**-In3">In萬3,

3”>，即b>。,

綜上，c>h>a,

故選：D.

【跟蹤訓練3】(2021?江西高三其他模擬(文))已知函數(shù)>=一以〃+〃一1是惠函數(shù)，直線

n4-1

〃比一改+2=0(m>0,〃>0)過點(a,b),則----的取值范圍是()

/%+1

兒(一捫朋B.(L3)C.圉D,加

【答案】D

【詳解】

由y=-ax"+/?—l是哥函數(shù)，知：a=-l,b=l,又(。,6)在皿一〃3+2=0上,

|I4__|

Am+n=2^即〃=2一相＞0,貝U------=--------=----------1且0＜相＜2,

m+1m+\m+1

〃+1e(1,3).

m+1

考點二二次函數(shù)的解析式

【典例2-1】(2021.全國高三其他模擬(文))已知/(x)為二次函數(shù)，且/(%)=爐+/(力—1,則〃x)=

()

A.—2x+1B.x"4-2x+1

C.2X2-2X+1D.2X2+2X-1

【答案】B

【詳解】

設(shè)/(x)="2+區(qū)+《4w0),則/=(x)=2or+b,

由/(x)=x2+，(力-1可得or2+bx+c=x1+2or+(/?-l),

a=l{a=\

所以，＜h=2a,解得＜。=2,因此，/(x)=x2+2x4-1.

c-b-\[c=l

故選：B.

【典例2?2】(2020?麻城市第二中學高三月考(文))已知二次函數(shù)y=ax2+法+1的圖象的對稱軸是尤=1,

并且通過點P(T,7),則凡。的值分別是()

A.2,4B.-2,4C.2,-4D.—2,—4

【答案】C

【詳解】

,**y=ax2+Z?x+1圖象的對稱軸是x=l,

2a

又圖象過點P（T7）,...a—匕+1=7,即a—Z?=6②，

聯(lián)立①②解得a=2,b=4

故選：C.

【跟蹤訓練1】（2017.銅梁一中高三月考（文））如果二次函數(shù)^=/+云+1的圖象的對稱軸是x=l,

并且通過點4—1,7）,則（）

A.a=2,b=4B.a=2,b=—4C.a=-2,b=4D.a=—2,b=—4

【答案】B

【詳解】

_2=i

由題得｛2a,解之得a=2,b=-4.

7=a-Z?+1

【跟蹤訓練2】（2020?山東高三專題練習）已知二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為（1,1）,且過點（2,2）,則該二

次函數(shù)的解析式為（）

A.y=x2+1B.y=+1

C.y=+1D.y=（%-1）'—1

【答案】C

【詳解】

設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x—lp+1,

將（2,2）代入上式，2=a（2—iy+l得a=I,

所以y=（x—l）2+]

【跟蹤訓練3】（2020?全國高三其他模擬（文））已知二次函數(shù)/（0=/+瓜+0,且“X+2）是偶函數(shù),

若滿足了（2—。）＞/（4）,則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.（-2,2）B.（―00,—2）U（2,+℃）

C.由〃的范圍決定D.由b,c的范圍共同決定

【答案】B

【詳解】

2)是偶函數(shù)，

/(-x+2)=/(x+2),.■.函數(shù)/(x)關(guān)于x=2對?稱，

:.—=2b=-4,/(x)=x--4x+c,

/(2—?)>/(4)=>(2—a)2-4(2-a)+c>c=>a>2或a<-2,

故選：B.

考點三二次函數(shù)的圖象及應(yīng)用

【典例3-1】(2020.全國高三其他模擬)函數(shù)/@)=以2+瓜+?4。0)和函數(shù)g(x)=c.r(x)(其中

【答案】B

【詳解】

易知/'(%)=2以+人，則g(x)=2acx+Z?c.

/、(ac>0

由①②中函數(shù)g(x)的圖象得N<0,

a<0,、b

若c<0,貝葉，c，此時/(O)=c<O,——>0,

b>0'2a

又。<0,所以的圖象開口向下，此時①②均不符合要求;

?>0..b

若c>0,則〈八，此時"0=。>0,——>0,

b<Q2a

乂a>0,所以7(x)的圖象開口向上，此時②符合要求，①不符合要求；

/、[ac<0

由③④中函數(shù)g(x)的圖象得Jbc〉0，

a<0.、b

若c>0,則〈八，此時〃0)=c>0,-->0,

0>02a

又。<0,所以/(x)的圖象開口向下，此時③符合要求，④不符合要求：

a<Q/、h

若c<0,則，此時/(0)=c<0,>0,

b>Q2a

又a>0,所以/(x)的圖象開口向上，此時③④均不符合要求.

綜上，②③符合題意，

故選：B.

【典例3-2】(2019?浙江高三專題練習)不等式加—bx+c>0的解集為{2—2<x<l},則函數(shù)

y=+Z>x+c的圖像大致為()

【答案】C

【詳解】

Y不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|-2<x<1},

-2+1=-

ah=-a

.二v—2x1=—,.*.*c=-2cl

a

八a<0

y=ax2+bx+c=ax2-ax-2a=a(x2-x-2),圖象開口向下，兩個零點為2,-1.

故選：C.

【跟蹤訓練1】(2020?六安市城南中學高三月考(文))如果函數(shù)/(0=/+笈+。對任意的實數(shù)x,都

有〃-1+%)=/(-X),那么()

A./(O)</(2)</(-2)B./(())</(-2)</(2)

C./(2)</(O)</(-2)D./(-2)</(0)</(2)

【答案】B

【詳解】

；=+bx+C對任意的實數(shù)X,都有/(-l+x)=f(-x),

函數(shù)y=/+力x+c的對稱軸方程為x=-].

?.?拋物線開口向上，稱軸方程為X=-；,%=0距離X=-；最近，x=2距離X=-；最遠，

,-./(0)</(-2)</(2).

【跟蹤訓練2】(2019?江西省信豐中學高三月考(文))已知函數(shù)/(x)=(尤一a)(x-。)(其中份的圖

象如圖所示，則函數(shù)g(x)=a'+。的圖象是()

【答案】c

【詳解】

由函數(shù)的圖象可知,一1<。<0,a>l,則g(x)=a*+b為增函數(shù),g(0)=l+6>0,g(x)過定點(0,1+b),

故選：C.

【跟蹤訓練3】(2020?通遼第五中學高三月考(文))已知函數(shù)/(x)=In|x|,g(x)=mx2,若方程

/(幻一8。)=0在％6(7,-1]31,小)有四個不同的解，則加的取值范圍為()

A.(0,—)B.(—,+co)C.(0,—)D.(―,+°0)

【答案】A

【詳解】

因為函數(shù)/(%)=也岡，g(x)=g2都是偶函數(shù),

所以方程)(X)—g(X)=0在》?-00,-11[1,”)有四個不同的解，

只需在口,”)上，=Inx,g⑺=荷的圖象在兩個不同的交點,

〃2<0不合題意,

當機>0時，如2>0,當/(x)=lnx>0nx>l,

即交點橫坐標在[1,”)上,

假定兩函數(shù)的圖象在點P(XO,y0)處相切，

即兩函數(shù)的圖象在點P(x0,y0)處有相同的切線,

則有g(shù)'(x)=2/叫/'(x)=L則有2m/=上,解得片=，一

x/2m

則有g(shù)(%)=*=g,/(xo)=ln/=ln工」，

2m22m

可得，=J_]n」一，則有「一二e,解得加=」-

222m2m2e

因為加越小開口越大，

所以要使得/(x)，g(x)在[1,”)匕恰有兩個不同的交點,

則。的取值范圍為(0,，

此時，/(x)=lnN，g(x)=/ra?的圖象在卜jp+oo)四個不同的交點,

方程/(x)-g(x)=0在X?YO,-1]U[L”)有四個不同的解,

所以。的取值范圍是(0,，)

故選：A.

考點四二次函數(shù)的性質(zhì)

【典例3-1】(2021.安徽高三其他模擬(理))定義在xe[0,2]的單調(diào)函數(shù)/(X)對任意xw[0,l]恒有

/(l-x)+/(l+x)=0,且xe[0,l]時，/(x)=x2-/nr+2/n-l,則實數(shù)，"的取值范圍是()

A.[0,2]B.(9,0]U[2,+oo)C.(-<x),-2ju[0,+oo)D.R

【答案】B

【詳解】

由/(I-X)+f(1+X)=0,可知函數(shù)f(x)關(guān)于點(1,0)中心對稱.

因為對任意的xe[0,2],f(x)是單調(diào)函數(shù)，所以xw[0,l)時，〃0=%2—皿+2機-1是單調(diào)的，而二次

函數(shù)開口向上，對稱軸為工=—,

2

故當絲21時，即加22,./")在XG[0,1]時是單調(diào)遞減的，根據(jù)對稱性可知，函數(shù)f(x)在(1,2]上也是單

調(diào)遞減的，又由/(1)=〃，22>0,知/1(x)在xw[0,2]上是單調(diào)遞減的；

當令<0,即加<0，〃x)在xe[0,l]時是單調(diào)遞增的，根據(jù)對稱性可知，函數(shù)/(x)在(1,2]上也是單調(diào)

遞增的，又由/(l)=〃?W0,知/(x)在xe[0,2]上是單調(diào)遞增的.

綜上可得，實數(shù)，”的取值范圍是(F,0]U[2,+8).

【典例3-2】(2021.全國高三月考(理))設(shè)/(x)=e2-a,g(x)=/〃(x+a)(awR),若不等式

/(g(x))-g(/(x))>0恒成立，則。的取值范圍為()

A.[0,1]B.(1,-KO)C.[-U]D.(^0,1]

【答案】B

【詳解】

令y=/(g(x))_g(/(x))(x>_a),根據(jù)題意得

y=e如("*")—a—=(x+a)2—a-2x=A：2+(2a-2)x+〃2—a>0恒成立，即丫而>0成立，因為函

數(shù)y=f+(2a-2)x+a2一。(%>一。)的對稱軸為*=1一。>一々，所以函數(shù)的最小值

Vmin=(1—。)+(2a—2)(1—a)+a?一a=a-1>0>解得a>1.

故選：B.

【跟蹤訓練1】(2021.全國高三專題練習(文))在同一直角坐標系中，指數(shù)函數(shù)y=,二次函數(shù)

=。工一法的圖象可能是(

y2)

【答案】B

【詳解】

指數(shù)函數(shù)丁=圖象位于X軸上方，據(jù)此可區(qū)分兩函數(shù)圖象.二次函數(shù)丁=融2一"=（姓一切工，有零

X,

點2,0.A,B選項中，指數(shù)函數(shù)yI在R上單調(diào)遞增，故2>1,故A錯誤、B正確.C,D選項

a?a

中，指數(shù)函數(shù)y=在R上單調(diào)遞減，故0<2<1,故c,D錯誤.

）a

故選：B

2x2-8ax+5(x<1)

【跟蹤訓練2】（2021?山西運城市?高三其他模擬（理））函數(shù)/（%）=<,"在xwR內(nèi)單

log“x(x>1)

調(diào)遞減，則a的取值范圍是（）

￡7

A.B.C.D.

°4p12,8

【答案】C

【詳解】

2x2—8ax+5(x<1)

解:因為函數(shù)y（x）=<在xeR內(nèi)單調(diào)遞減,

logux(x>l)

-^>1

417

所以《，解得

loga1W2-8。+5

17

所以〃的取值范圍為

2o

故選：C

【跟蹤訓練3】(2021?陜西安康市?高三月考(理))已知函數(shù)/(x)=一_3加，則“機>2”是"/(X)<0

對XG[1,3]恒成立”的()

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【詳解】

/(l)=2-4m<0,

若/(x)<0對xe[l,3]恒成立，則</⑶=18-6，〃<。解得機>3,

｛m\m>3｝是｛m\m>2｝的真子集，所以“加>2”是“/(x)<0對xe[1,3]恒成立”的必要不充分條件.

【真題演練】

1.(2021?浙江杭州市?杭州高級中學高三其他模擬)已知函數(shù)，(x)=(x-a)(x-加+X,其中

則下列不等式不成立的是()

A.—B.f(4ab)>4abC./^―<^

【答案】B

【詳解】

f(a)=a,f(b)=b,且函數(shù)/(x)是開口向上的拋物線,

如圖,

?：Q<a<b<\,:.Q<a<y[ab<Z?<1，且

呼是點C對應(yīng)的函數(shù)值，一定大于f(&萬),即/(方)<等，故A正確；

設(shè)g(x)=/(x)-x=(x-a)(x-。),

-：G<a<b<\,:.Q<a<y[ab<Z?<1?

/.g(y[ab^=f^\/ah^-yfah<0

即/(J拓)<J茄，即B不正確.

/(x)=(x-a)(x-Z?)+x=x2一(a+h-l)x+",

?cib—\

對稱軸是x=------，

2

空2與對稱軸間的距離是!，a與對稱軸間的距離是"一"+1<),8與對稱軸間的距離是

2222

b—a+11

-------〉一，

2--2

那么比較/(審]與/(a),的大小，即比較與自變量與對稱軸間的距離，離對稱軸越遠，函數(shù)值

越大，即=</(0)=人，故CD正確.

2.(2021?浙江杭州市?杭十四中高三其他模擬)已知二次函數(shù)/(x)=d+依+。(4力€/?)有兩個不同的

零點，若/(Y+Zx-1)=0有四個不同的根〈天〈%,且玉,工2，馬,匕成等差數(shù)列，則G—力不可能是

()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【詳解】

設(shè)/(%)=%2+ox+/?(4bw/?)的兩個不同零點為機,n,且

m+n=-a

所以/(m)=/5)=。，△=。2一4/?>0，且《,

mn=b

又因為/(d+2x—1)=0有四個不同的根，

所以了2+2%—1=相對應(yīng)的根為工|,工4，f+2x—1=〃對應(yīng)的根為％2，馬，

△=4+4(1+M>0Q=4+4(1+〃)>0

所以<玉+尢4=-2,<工2+工3=-2,

xx

XjX4=-l-m[23=一]一〃

所以(工4一工1)2=xj+X;一2工4%1=(工4+%)2-4工4尢]=4+4(1+機),

=X--

同理(入3_12)2^+/22X3X2=(X3+九2>4%3^2=4+4(1+71),

因為工］,々，工3，七成等差數(shù)列，

2

所以％—玉=3(X3-X2),則(%—%)2=9(X3-X2)

所以4+4(1+加)=9[4+4(1+〃)],解得〃2=16+9〃，

因為〃?>〃，所以〃2=16+9〃>〃，解得〃>一2,

、2

所以。一6=—(根+〃)一根〃=-(16+10〃)一(16+9〃)〃=-9〃2-26〃-16=-9(n+—25

H-----，

I9

79

1325

所以當〃=一，時，G-方有最大值上,

99

所以。一力不可能為3.

故選：D

“：<］，則實數(shù)。的取值范圍為（)

、

A.B.(0,1)C.(1,+?)D.

7

【答案】A

【詳解】

山得a>l或

由?<1,得”>0.

⑷

由a；<1，得0<。<1，

1<IY11

當log〃一<1,-<1,同時成立時，取交集得0<。<一,

故選：A.

?吉林高三其他模擬（理））設(shè)

4.（2019（1T，b=（1，則也b、c的大小關(guān)系為（

2j

A.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【答案】D

【詳解】

i

因為a=

15

30

，b=

156255904932768

由于在被開方數(shù)中，〃的被開方數(shù)大于c的被開方數(shù)，。的被開方數(shù)大于匕的被開方數(shù)，

故有a>c>b<

故選：D.

5.(2021.上海市青浦高級中學高三其他模擬)已知a?{-2,-I,-1,2,3},若基函數(shù)/(x)

22

=x0為奇函數(shù)，且在(0,+oo)上遞減，則a=.

【答案】-1

【詳解】

因為幕函數(shù)/(x)=/為奇函數(shù)，且在(0,+<x>)上單調(diào)遞減，

所以a為負數(shù)，

因為ae]—2,—1,——,1,—,2,3,4>,

所以a=-l

【過關(guān)檢測】

1.已知實數(shù)x、0,yN0,且x+y=l,則手的最小值為(

Vs—1V5+1

22

【答案】A

【詳解】

解法一：由x+y=l得到y(tǒng)=l-則xe[0,l],

所以x+yjx2+4(l-x)2-x+-s/5%2—8%+4?

令z=%+)5%2-8x+4則z>0，

所以兩邊平方得4尤2+(2z-8)x+4-z?=0在xe[0,1]上有解,

,,8

所以A=(2z—8)2—16(4—z2)N0解得：zN—或zWO(舍去)，

8【I?知，/、A22436

z=g時，函數(shù)f(x)=4x--—x+—,

其中/a)的對稱軸為無=(,/(3=o,滿足在[01]上有零點，滿足題意,

________Q

所以X+Jf+4y2的最小值1

解法二：設(shè)y'=2y,則%+上=1,

2

如圖,作O關(guān)于直線x+上=1的對稱點M

2

y1

x284

設(shè)A/(x,y),因為《解得何

xyi5'5

—+—=1

[24

------------O

如圖所以x++「2=|P”|+1p。|=|PH\+\PM|>|MN1=|

故選：A.

/_]x<1

2.已知函數(shù)/(x)=<75".若都有/(x,)x/(w)，則實數(shù)。的取值

2x-ax+a,x>\

范圍是()

A.(0,1)B.(1,3]C.[3,4]D.(1,4]

【答案】B

【詳解】

a>\

依題意可知，函數(shù)/(幻在K上是增函數(shù)，則,=41，解得Iva?3.

4

a—1W2

3.設(shè)a>(),b>0,若/+2。=/?2+3/,,則()

A.a<bB.a>bC.2a-3bD.3a<4〃

【答案】B

【詳解】

因為。>(),所以a2+3a>a2+2a=b2+38,所以/+3。>〃+3)，

因為函數(shù)/(x)=f+3x,在(0,+8)上單調(diào)遞增，且所以a>>

故選:B

4.已知=-2x,對任意的尤|,々€[0,3].方程|/(%)-/(與)|+|/(》)一/(工2)=加在[°，3]上

有解，則的取值范圍是()

A.[0,3]B.[0,4]C.{3}D.{4}

【答案】D

【詳解】

2

v/(x)=(x-l)-l,X€[0,3],則/(X)min=-1，/Wmax=3.

要對任意的X1,e[0,3],方程|/(%)-/(%)|+|/(力一/(%2)|=〃?在[0,3]上都有解，

取/(%)=-1,/(工2)=3，

此時，任意xe[0,3],都有加=|/(X)-/(XJ|+|/(X)-/(X2)|=4,

其他用的取值，方程均無解，則加的取值范圍是{4}.

故選：D.

5.已知。，〃是區(qū)間[0,4]上的任意實數(shù)，則函數(shù)/甕)=以2一區(qū)+i在[2,+oo)上單調(diào)遞增的概率為()

137

A.-B.—C.-D.一

8888

【答案】D

【詳解】

因為。，。是區(qū)間[0,4]上的任意實數(shù)，則函數(shù)/。)=依2-法+1在[2,+oo)上單調(diào)遞增

h

所以一<24a如圖所示陰影部分：

2a

則所要求的概率為D2147

4x4-16-8

故選：D

6.已知x,yGR,且x>y,則下列說法是正確的是()

1111

A.-<—B.sinx>smyC.2V3V<2V3'VD.p3

xy*7v

【答案】C

【詳解】

,11

選項A：當x=3,y=-l時，一>一,所以選項A錯誤；

xy

JlJI

選項3：當》=萬，>=5時，sinx=sin萬=0，siny=sin—=1,所以sinxvsiny,選項8錯誤;

選項C：因為y=(1)為減函數(shù)，又因為x>y,所以<(|)，

2X2y

即上<￡-,所以2*3>'<2>3"所以選項C正確；

3v3y

i???

選項。：當時，「所以—所以選項。錯誤.

x=8,y=-l=2,9