湖南省永州市雙牌縣二中2025屆數學高二上期末達標檢測模擬試題含解析

湖南省永州市雙牌縣二中2025屆數學高二上期末達標檢測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知圓錐的表面積為，且它的側面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的體積為（）A. B.C. D.2．北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A.3699塊 B.3474塊C.3402塊 D.3339塊3．已知函數的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數的圖象如圖所示，則該函數的圖象是（）A. B.C. D.4．過點，的直線的斜率等于2，則的值為（）A.0 B.1C.3 D.45．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點P是橢圓上一點且的最大值為，則橢圓離心率為（）A. B.C. D.6．正四棱錐中，，則直線與平面所成角的正弦值為A. B.C. D.7．某地為響應總書記關于生態(tài)文明建設的號召，大力開展“青山綠水”工程，造福于民，擬對該地某湖泊進行治理，在治理前，需測量該湖泊的相關數據.如圖所示，測得角∠A＝23°，∠C＝120°，米，則A，B間的直線距離約為（參考數據）（）A.60米 B.120米C.150米 D.300米8．若，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.9．已知函數的圖象如圖所示，則其導函數的圖象大致形狀為（）A. B.C. D.10．圓心在x軸上且過點的圓與y軸相切，則該圓的方程是（）A. B.C. D.11．已知數列的前項和滿足，記數列的前項和為，.則使得的值為（）A. B.C. D.12．“趙爽弦圖”是我國古代數學的瑰寶，如圖所示，它是由四個全等的直角三角形和一個正方形構成.現用4種不同的顏色（4種顏色全部使用）給這5個區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，每個區(qū)域只涂一種顏色，則不同的涂色方案有（）A.24種 B.48種C.72種 D.96種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．橢圓與雙曲線有公共焦點，設橢圓與雙曲線在第一象限內交于點，橢圓與雙曲線的離心率分別為為坐標原點，，則的取值范圍是___________.14．在一村莊正西方向處有一臺風中心，它正向東北方向移動，移動速度的大小為，距臺風中心以內的地區(qū)將受到影響，若臺風中心的這種移動趨勢不變，則村莊所在地大約有_______小時會受到臺風的影響．（參考數據：）15．如圖，設正方形ABCD與正方形ABEF的邊長都為1，若平面ABCD，則異面直線AC與BF所成角的大小為______16．已知曲線，則以下結論正確的是______.①曲線C關于點對稱；②曲線C關于y軸對稱；③曲線C被x軸所截得的弦長為2；④曲線C上的點到原點距離都不超過2.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，，.（1）求點C到平面的距離；（2）線段上是否存在點F，使與平面所成角正弦值為，若存在，求出，若不存在，說明理由.18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面，底面是邊長為2的正方形，，F，G分別是，的中點（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的大小19．（12分）已知命題p：實數x滿足（其中）；命題q：實數x滿足（1）若，為真命題，求實數x的取值范圍；（2）若p是q的充分條件，求實數的取值范圍20．（12分）在實驗室中，研究某種動物是否患有某種傳染疾病，需要對其血液進行檢驗．現有份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：一是逐份檢驗，則需要檢驗n次；二是混合檢驗，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，如果檢驗結果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了；如果檢驗結果為陽性，為了明確這k份究竟哪些為陽性，就需要對它們再次取樣逐份檢驗，那么這k份血液的檢驗次數共為次．假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的．且每份樣本是陽性結果的概率為（1）假設有5份血液樣本，其中只有2份血液樣本為陽性，若采用逐份檢驗方式，求恰好經過3次檢驗就能把陽性樣本全部檢測出來的概率；（2）假設有4份血液樣本，現有以下兩種方案：方案一：4個樣本混合在一起檢驗；方案二：4個樣本平均分為兩組，分別混合在一起檢驗若檢驗次數的期望值越小，則方案越優(yōu)現將該4份血液樣本進行檢驗，試比較以上兩個方案中哪個更優(yōu)？21．（12分）已知橢圓C：經過點，且離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在⊙O：，使得⊙O的任意切線l與橢圓交于A，B兩點，都有．若存在，求出r的值，并求此時△AOB的面積S的取值范圍；若不存在，請說明理由22．（10分）已知等比數列的前項和為，且.（1）求數列的通項公式；（2）令，求數列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】設圓錐的半徑為，母線長，根據已知條件求出、的值，可求得該圓錐的高，利用錐體的體積公式可求得結果.【詳解】設圓錐的半徑為，母線長，因為側面展開圖是一個半圓，則，即，又圓錐的表面積為，則，解得，，則圓錐的高，所以圓錐的體積，故選：D.2、C【解析】第n環(huán)天石心塊數為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項，9為公差的等差數列，設為的前n項和，由題意可得，解方程即可得到n，進一步得到.【詳解】設第n環(huán)天石心塊數為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項，9為公差的等差數列，，設為的前n項和，則第一層、第二層、第三層的塊數分別為，因為下層比中層多729塊，所以，即即，解得，所以.故選：C【點晴】本題主要考查等差數列前n項和有關的計算問題，考查學生數學運算能力，是一道容易題.3、A【解析】利用導數與函數的單調性之間的關系及導數的幾何意義即得.【詳解】由函數f(x)的導函數y＝f′(x)的圖像自左至右是先減后增，可知函數y＝f(x)圖像的切線的斜率自左至右先減小后增大，且，在處的切線的斜率為0，故BCD錯誤，A正確.故選：A.4、A【解析】利用斜率公式即求.【詳解】由題可得，∴.故選：A5、A【解析】根據橢圓的定義可得，從而得到，則，其中，再根據對勾函數的性質求出，即可得到方程，從求出橢圓的離心率；【詳解】解：依題意，所以，又，所以，因為在上單調遞減，所以當時函數取得最大值，即，即所以，即，所以，解得或（舍去）故選：A6、C【解析】建立合適的空間直角坐標系，求出和平面的法向量，直線與平面所成角的正弦值即為與的夾角的余弦值的絕對值，利用夾角公式求出即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系.有圖知，由題得、、、.，，.設平面的一個法向量，則，，令，得，，.設直線與平面所成的角為，則.故選：C.【點睛】本題考查線面角的求解，利用向量法可簡化分析過程，直接用計算的方式解決問題，是基礎題.7、C【解析】應用正弦定理有，結合已知條件即可求A，B間的直線距離.【詳解】由題設，，在△中，，即，所以米.故選：C8、B【解析】由題意可知且，構造函數，可得出，由函數的單調性可得出，利用導數求出函數的最小值，可得出關于的不等式，由此可解得實數的取值范圍.【詳解】因為，則且，由已知可得，構造函數，其中，，所以，函數為上的增函數，由已知，所以，，可得，構造函數，其中，則.當時，，此時函數單調遞減，當時，，此時函數單調遞增，則，所以，，解得.故選：B.9、A【解析】利用f(x)先單調遞增的速度由快到慢,再由慢到快，結合導數的幾何意義判斷即可.【詳解】由f(x)的圖象可知，函數f(x)先單調遞增的速度由快到慢,再由慢到快，由導數的幾何意義可知，先減后增，且恒大于0，故符合題意的只有選項A.故選：A.10、A【解析】根據題意設出圓的方程，列式即可求出【詳解】依題可設圓的方程為，所以，解得即圓的方程是故選：A11、B【解析】由，求得，得到，結合裂項法求和，即可求解.【詳解】數列的前項和滿足，當時，；當時，，當時，適合上式，所以，則，所以.故選：B.12、B【解析】根據題意，分2步進行分析區(qū)域①、②、⑤和區(qū)域③、④的涂色方法，由分步計數原理計算可得答案.【詳解】根據題意，分2步進行分析：當區(qū)域①、②、⑤這三個區(qū)域兩兩相鄰，有種涂色的方法；當區(qū)域③、④，必須有1個區(qū)域選第4種顏色，有2種選法，選好后，剩下的區(qū)域有1種選法，則區(qū)域③、④有2種涂色方法，故共有種涂色的方法.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據橢圓和雙曲線得定義求得，再根據，可得，從而有，求出的范圍，根據，結合基本不等式即可得出答案.【詳解】解：設，則有，所以，即，又因為，所以，所以，即，則，由，得，所以，所以，則，由，得，因為，當且僅當，即時，取等號，因為，所以，所以，即，所以的取值范圍是.故答案為：.14、4【解析】結合勾股定理求得正確答案.【詳解】如圖，設村莊為A，開始臺風中心的位置為B，臺風路徑為直線，因為點A到直線的距離為，∴村莊所在地受到臺風影響的時間約為：（小時）.故答案為：本卷包括必考題和選考題兩部分．第17題～第21題為必考題，每個試題考生都必須作答第22題～第23題為選考題，考生根據要求作答15、##【解析】建立空間直角坐標系，利用空間向量法求出異面直線所成角；【詳解】解：如圖建立空間直角坐標系，則、、、，所以，，設直線與所成角為，則，因為，所以；故答案為：16、②④【解析】將x換成,將y換成,若方程不變則關于原點對稱；將x換成，曲線的方程不變則關于y軸對稱；令通過解方程即可求得被x軸所截得的弦長；利用基本不等式即可判斷出曲線C上y軸右側的點到原點距離是否不超過2，根據曲線C關于y軸對稱，即可判斷出曲線C上的點到原點距離是否都不超過2.【詳解】對于①，將x換成,將y換成,方程改變，則曲線C關于點不對稱，故①錯誤；對于②，將x換成，曲線的方程不變，則曲線C關于y軸對稱，故②正確；對于③，令得，，解得，即曲線C與x軸的交點為和，則曲線C被x軸所截得的弦長為，故③錯誤；對于④，當時，，可得，當且僅當時取等號，即，則，即曲線C上y軸右側的點到原點的距離都不超過2，此曲線關于y軸對稱，即曲線C上y軸左側的點到原點的距離也不超過2，故④正確；故答案為：②④.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）存在，1【解析】（1）由題意建立空間直角坐標系，求得平面向量的法向量和相應點的坐標，利用點面距離公式即可求得點面距離（2）假設滿足題意的點存在且滿足，由題意得到關于的方程，解方程即可確定滿足題意的點是否存在【小問1詳解】解：如圖所示，取中點，連結，，因為三角形是等腰直角三角形，所以，因為面面，面面面，所以平面，又因為，所以四邊形是矩形，可得，則，建立如圖所示的空間直角坐標系，則：據此可得，設平面的一個法向量為，則，令可得，從而，又，故求點到平面的距離【小問2詳解】解：假設存在點，，滿足題意，點在線段上，則，即：，，，，，據此可得：，，從而，，，，設與平面所成角所成的角為，則，整理可得：，解得：或（舍去）據此可知，存在滿足題意的點，點為的中點，即18、（1）證明見解析（2）【解析】(1)取中點連接，連接，證得四邊形為平行四邊形，，再證面，即可得到證明結果；（2）建立空間坐標系，求面和面的法向量，即可得到兩個面的二面角的余弦值，進而得到二面角大小.【小問1詳解】如上圖，取中點連接，連接，均為線段中點，且，又G是的中點，且且四邊形為平行四邊形為等腰直角三角形，為斜邊中點，面，面面又面.【小問2詳解】建立如圖坐標系，設面的法向量為設面的法向量為兩個法向量的夾角余弦值為：，由圖知兩個面的二面角為鈍角，故夾角為.19、（1）（2）【解析】（1）由得命題p：，然后由為真命題求解；（2）由得，再根據是的充分條件求解.小問1詳解】當時，，解得：，由為真命題，，解得；【小問2詳解】由（其中）可得，因為是的充分條件，則，解得：20、（1）（2）方案一更優(yōu)【解析】（1）分兩類，由古典概型可得;（2）分別求出兩種方案的數學期望，然后比較可知.【小問1詳解】恰好經過3次檢驗就能把陽性樣本全部檢測出來分為兩種情況：第一種：前兩次檢測中出現一次陽性一次陰性且第三次為陽性第二種：前三次檢測均陰性，所以概率為【小問2詳解】方案一：混在一起檢驗，記檢驗次數為X，則X的取值范圍是，，，方案二：每組的兩個樣本混合在一起檢驗，若結果呈陰性，則檢驗次數為1，其概率為，若結果呈陽性，則檢驗次數為3，其概率為設檢驗次數為隨機變量Y，則Y的取值范圍是，，，，，所以，方案一更優(yōu)2