沈陽市重點中學2025屆高二上數(shù)學期末達標檢測試題含解析

沈陽市重點中學2025屆高二上數(shù)學期末達標檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知實數(shù)成等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為（）A. B.2C.或2 D.或2．已知動直線的傾斜角的取值范圍是，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.3．在等差數(shù)列中，若，則的值為（）A. B.C. D.4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值是（）A. B.C. D.5．設異面直線、的方向向量分別為，，則異面直線與所成角的大小為（）A. B.C. D.6．命題“存在，”的否定是（）A.存在， B.存在，C.對任意， D.對任意，7．在等比數(shù)列中，，公比，則（）A. B.6C. D.28．設是等比數(shù)列，則“對于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴格遞增數(shù)列”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，則m的取值范圍（）A. B.C. D.10．已知命題對任意，總有；是方程的根則下列命題為真命題的是A. B.C. D.11．用數(shù)學歸納法證明時，第一步應驗證不等式（）A. B.C. D.12．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為的正方形，若，且，則的長為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點F為，過點F的直線交該拋物線的準線于點A，與該拋物線的一個交點為B，且，則______14．已知圓C，直線l：，若圓C上恰有四個點到直線l的距離都等于1.則b的取值范圍為___.15．以正方體的對角線的交點為坐標原點O建立右手系的空間直角坐標系，其中，，，則點的坐標為______16．已知某農(nóng)場某植物高度，且，如果這個農(nóng)場有這種植物10000棵，試估計該農(nóng)場這種植物高度在區(qū)間上的棵數(shù)為______.參考數(shù)據(jù)：若，則，，.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐的底面是正方形，平面平面，E為的中點（1）若，證明：；（2）求直線與平面所成角的余弦值的取值范圍18．（12分）已知函數(shù)，.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若在區(qū)間上有唯一的零點.（ⅰ）求的取值范圍；（ⅱ）證明：.19．（12分）為了解某城中村居民收入情況，小明利用周末時間對該地在崗居民月收入進行了抽樣調(diào)查，并將調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)直方圖估算：（1）在該地隨機調(diào)查一位在崗居民，該居民收入在區(qū)間內(nèi)的概率；（2）該地區(qū)在崗居民月收入的平均數(shù)和中位數(shù)；20．（12分）閱讀本題后面有待完善的問題，在下列三個條件：①，②，③中選擇一個作為條件，補充在題中橫線處，使問題完善，并解答你構造的問題.（如果選擇多個關系并分別解答，在不出現(xiàn)邏輯混亂的情況下，按照第一個解答給分）.問題：已知命題，，命題___________，若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）如圖，已知圓臺下底面圓的直徑為，是圓上異于、的點，是圓臺上底面圓上的點，且平面平面，，，、分別是、的中點.（1）證明：平面；（2）若直線上平面且過點，試問直線上是否存在點，使直線與平面所成的角和平面與平面的夾角相等？若存在，求出點的所有可能位置；若不存在，請說明理由.22．（10分）在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，平面，，是的中點.（1）若為線段的中點，證明：平面；（2）線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求的長，若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)成等比數(shù)列求得，再根據(jù)離心率計算公式即可求得結果.【詳解】因為實數(shù)成等比數(shù)列，故可得，解得或；當時，表示焦點在軸上的橢圓，此時；當時，表示焦點在軸上的雙曲線，此時.故選：C.2、B【解析】根據(jù)傾斜角與斜率的關系可得，即可求m的范圍.【詳解】由題設知：直線斜率范圍為，即，可得.故選：B.3、C【解析】利用等差數(shù)列性質(zhì)可求得，由可求得結果.【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)知：，，解得：；又，.故選：C.4、C【解析】按照程序框圖的流程進行計算.【詳解】，故輸出S的值為.故選：C5、C【解析】利用空間向量夾角的公式直接求解.【詳解】，，，.由異面直線所成角的范圍為，故異面直線與所成的角為.故選：C6、D【解析】特稱命題的否定：將存在改任意并否定原結論，即可知正確答案.【詳解】由特稱命題的否定為全稱命題，知：原命題的否定為：對任意，.故選：D7、D【解析】利用等比數(shù)列的通項公式求解【詳解】由等比數(shù)列的通項公式得：.故選：D8、C【解析】根據(jù)嚴格遞增數(shù)列定義可判斷必要性，分類討論可判斷充分性.【詳解】若是嚴格遞增數(shù)列，顯然，所以“對于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴格遞增數(shù)列”必要條件；對任意的正整數(shù)n都成立，所以中不可能同時含正項和負項，，即，或，即，當時，有，即，是嚴格遞增數(shù)列，當時，有，即，是嚴格遞增數(shù)列，所以“對于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴格遞增數(shù)列”充分條件故選：C9、B【解析】用函數(shù)單調(diào)性確定參數(shù)，使用參數(shù)分離法即可.【詳解】，在上是增函數(shù)，即恒成立，；設，；∴時，是增函數(shù)；時，是減函數(shù)；故時，，∴；故選：B.10、A【解析】由絕對值的意義可知命題p為真命題；由于，所以命題q為假命題；因此為假命題，為真命題，“且”字聯(lián)結的命題只有當兩命題都真時才是真命題，所以答案選A11、B【解析】取即可得到第一步應驗證不等式.【詳解】由題意得，當時，不等式為故選：B12、D【解析】由向量線性運算得，利用數(shù)量積的定義和運算律可求得，由此可求得.【詳解】由題意得：，，且，又，，，，.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】作垂直于準線，垂足為，準線與軸交于點，根據(jù)已知條件，利用幾何方法，結合拋物線的定義得到答案.【詳解】拋物線的焦點坐標，準線方程，作垂直于準線于，準線與軸交于點，則，∴.∵，∴，由拋物線的定義得，∴.故答案為：.14、【解析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，結合點到直線距離公式進行求解即可.【詳解】圓C：的半徑為3，圓心坐標為：設圓心到直線l：的距離為，要想圓C上恰有四個點到直線l的距離都等于1，只需，即，所以.故答案為：.15、【解析】根據(jù)已知點的坐標，確定出坐標系即可得【詳解】如圖，由已知得坐標系如圖所示，軸過正方形的對角線交點，軸過中點，軸過中點，因此可知坐標為故答案為：16、1359【解析】由已知求得，則，結合已知求得，乘以10000得答案【詳解】解：由，得，又，，則，估計該農(nóng)場這種植物高度在區(qū)間，上的棵數(shù)為故答案為：1359三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）取的中點F，連接．先證明，，即證平面，原題即得證；（2）分別取的中點G，H，連接，證明為直線與平面所成的角，設正方形的邊長為1，，在中，，即得解.【小問1詳解】解：取的中點F，連接因為，則為正三角形，所以因為平面平面，則平面因為平面，則．①因為四邊形為正方形，E為的中點，則，所以，從而，所以．②又平面,結合①②知，平面，所以【小問2詳解】解：分別取的中點G，H，則，又,，則，所以四邊形為平行四邊形，從而.因為，則因為平面平面，，則平面，從而，因為平面，所以平面，從而平面連接，則為直線與平面所成的角.設正方形的邊長為1，，則從而，.在中，因為當時，單調(diào)遞增，則，所以直線與平面所成角的余弦值的取值范圍是.18、（1）；（2）（?。?；（ⅱ）證明見解析.【解析】（1）求出，，利用導數(shù)的幾何意義即可求得切線方程；（2）（?。└鶕?jù)題意對參數(shù)分類討論，當時，等價轉(zhuǎn)化，且構造函數(shù)，利用零點存在定理，即可求得參數(shù)的取值范圍；（ⅱ）根據(jù)（?。┲兴蟮玫脚c的等量關系，求得并構造函數(shù)，利用導數(shù)研究其單調(diào)性和最值，則問題得證.【小問1詳解】當時，，則，故，，則曲線在點處的切線方程為.【小問2詳解】（?。┮驗椋士傻?，因為，則當時，，則，無零點，不滿足題意；當時，若在有一個零點，即在有一個零點，也即在有一個零點，又，則單調(diào)遞增，則只需，解得.綜上所述，若在區(qū)間上有唯一的零點，則；（ⅱ）由（?。┛芍粼趨^(qū)間上有唯一的零點，則，也即，則，令，則，又在都是單調(diào)增函數(shù)，故是單調(diào)增函數(shù)，又，故，則在單調(diào)遞增，則，故，即證.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)研究函數(shù)的零點以及最值；處理問題的關鍵是合理轉(zhuǎn)化函數(shù)零點問題，以及充分利用零點存在定理，熟練掌握構造函數(shù)法，屬綜合困難題.19、（1）（2）平均數(shù)為；中位數(shù)為.【解析】（1）直接根據(jù)概率和為1計算得到答案.（2）根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義直接計算得到答案.【小問1詳解】該居民收入在區(qū)間內(nèi)的概率為：【小問2詳解】居民月收入的平均數(shù)為：.第一組概率為，第二組概率為，第三組概率為，設居民月收入的中位數(shù)為，則，解得.20、【解析】分別在、和的情況下得命題對應的集合；選條件后可求得命題對應的集合；根據(jù)充分不必要條件的定義可知，分別在、和的情況下得到結果.【詳解】由得：，當時，不等式解集；當時，不等式解集為；當時，不等式解集為；是的充分不必要條件，命題對應集合是命題對應集合的真子集，即；若選條件①：由得：，；若選條件②：由得：，解得：，；若選條件③：由得：，解得：，；當時，，符合題意；當時，由知：，；當時，由知：，；綜上所述：，即實數(shù)的取值范圍為.21、（1）證明見解析；（2）存在，點與點重合.【解析】（1）證明出，利用面面垂直的性質(zhì)可證得結論成立；（2）以為坐標原點，為軸，為軸，過垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標系，易知軸在平面內(nèi)，分析可知，設點，利用空間向量法結合同角三角函數(shù)的基本關系可得出關于的方程，解出的值，即可得出結論.【小問1詳解】證明：因為為圓的一條直徑，且是圓上異于、的點，故，又因平面平面，平面平面，平面，所以平面.【小問2詳解】解：存在，理由如下：如圖，以為坐標原點，為軸，為軸，過垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標系，易知軸在平面內(nèi)，則，，，，，，由直線平面且過點，以及平面，得，設，則，，，設平面的法向量為，則則，即，取，得，易知平面的法向量，設直線與平面所成的角為，平面與平面的夾角為，則，，由，得，即，解得，所以當點與點重合時，直線與平面所成的角和平面與平面的夾角相等.22、（1）證明見解析；（2）存在點，且的長為，理由見解析.【解析】（1）取的中點為，連接，得到，結合面面平行的判定定理證得平面平面，進而得到平面；（2）以為原點，所在的直線分別為軸、軸，以垂直平面的直線為軸，建立空間直角坐