2025屆廣東省珠海市高三上學期開學考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省珠海市2025屆高三上學期開學考試數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上，1.已知全集，集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，，所以，故選：B.2.復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），z的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，所以z的共軛復(fù)數(shù)為.故選:B.3.在△ABC中，D是BC上一點，滿足，M是AD的中點，若，則（）A. B.1 C. D.〖答案〗C〖解析〗由題可知，，,所以有，所以，得.故選：C.4.已知點，，點是圓上任意一點，則面積的最小值為（）A.6 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗兩點，B0,3，則，直線方程為，圓的圓心，半徑，點到直線的距離，因此點到直線距離的最小值為，所以面積的最小值是.故選：D.5.一個內(nèi)角為30°的直角三角形，分別以該三角形的斜邊、兩條直角邊所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成3個幾何體．這3個幾何體的體積從小到大之比為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)該直角三角形的三條邊長分別為，設(shè)三角形斜邊上的高為，則，，由題意設(shè)該3個幾何體的體積為，則，，，，所以這3個幾何體的體積從小到大之比為.故選：.6.已知函數(shù)在R上沒有零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，的圖象如圖所示，問題轉(zhuǎn)化為與函數(shù)的圖象沒有交點，所以或,解得或,故選：A.7.函數(shù)，其中，其最小正周期為，則下列說法錯誤的是（）A.B.函數(shù)圖象關(guān)于點對稱C.函數(shù)圖象向右移個單位后，圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值為D.若，則函數(shù)的最大值為〖答案〗D〖解析〗由已知，所以，又，所以函數(shù)的最小正周期為π，由已知，所以，A正確；所以，因為，所以函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，B正確，將函數(shù)圖象向右移個單位后可得函數(shù)的圖象，因為的圖象關(guān)于軸對稱，所以，又，所以的最小值為，C正確，若，則，所以，故，所以當時，函數(shù)取最大值，最大值為，D錯誤.故選：D.8.若不等式對一切恒成立，其中，e為自然對數(shù)的底數(shù)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗法一：不等式對一切恒成立即為不等式對一切恒成立，今，則有；故不等式對一切恒成立等價于恒成立，所以為的最大值點.顯然，，否則時，，與題設(shè)矛盾.又，此時，若，存在區(qū)間，是否且，總有f'x>0，這與為的最大值點矛盾，故不成立，同理也不成立，故，則，當時，當時，f'x>0，當x∈0,+∞故在上遞增，0,+∞上遞減，符合題意；當時，當時，f'x<0當時，f'x故在上遞減，上遞增，0,+∞上遞減，而當時，，故即，故恒成立，故符合題意綜上，，因此.法二：不等式可化為，令，當時，，此時，直線恒過點0,1，故只需直線為在點0,1處的切線即可，，此時.當時，亦恒過點0,1，為使對一切x∈R恒成立，需開口向下，且在點0,1處與有公切線即可，故，此時.綜上，的取值范圍是.故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設(shè)A，B為隨機事件，且，是A，B發(fā)生的概率．，則下列說法正確的是（）A.若A，B互斥，則B.若，則A，B相互獨立C.若A，B互斥，則A，B相互獨立D.與相等〖答案〗ABD〖解析〗對于A：若A，B互斥，根據(jù)互斥事件的概率公式，則，故A正確；對于B：由相互獨立事件的概念知，若，則事件A，B是相互獨立事件，故B正確；對于C：若A，B互斥，則A，B不一定相互獨立，例：拋擲一枚硬幣的試驗中，事件“正面朝上”，事件“反面朝上”，事件與事件互斥，但，，所以不滿足相互獨立事件的定義，故C錯誤；對于D：，，所以與相等，故D正確.故選：ABD.10.設(shè)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的圖象與圓有且只有兩個公共點B.存在無數(shù)個等腰三角形ABD，其三個頂點都在函數(shù)的圖象上C.存在無數(shù)個菱形ABCD，其四個頂點都在函數(shù)的圖象上D.存在唯一的正方形ABCD，其四個頂點都在函數(shù)的圖象上〖答案〗ABC〖解析〗對于選項A，令，當時，f'x>0當x∈-1,1時，f'x<0，則函數(shù)在，1,+∞又，，函數(shù)y=fx的圖象與圓得圖象如圖所示：故函數(shù)y=fx的圖象與圓有且只有兩個公共點，故A正確；對于選項B、C，由于函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于坐標原點成中心對稱，過點作直線交的圖象于、兩點，過點作的垂線交的圖象于、兩點，則為等腰三角形，四邊形為菱形，當線段繞點轉(zhuǎn)動時，仍為等腰三角形，四邊形仍為菱形，故選項B、C均正確；對于選項D：由于，故要使得正方形存在，則為等腰直角三角形，顯然，當時，，點在函數(shù)圖象外側(cè)，則，此時，利用極限思想，當時，，此時；當時，，此時；如圖所示，故至少存在兩個正方形，故D錯誤.故選：ABC.11.中國結(jié)是一種手工編織工藝品，其外觀對稱精致，符合中國傳統(tǒng)裝飾的習俗和審美觀念，中國結(jié)有著復(fù)雜曼妙的曲線，其中的八字結(jié)對應(yīng)著數(shù)學曲線中的雙紐線.已知在平面直角坐標系中，到兩定點，距離之積為常數(shù)的點的軌跡C是雙紐線.若是曲線C上一點，則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線C的圖象關(guān)于原點對稱B.曲線C經(jīng)過5個整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）C.曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過3D.曲線C上有且僅有3個點P滿足〖答案〗AC〖解析〗對于選項A：化簡得到：，將代入可得，所以曲線.把代入得，所以，曲線的圖象關(guān)于原點對稱，故A正確；對于選項B：令解得，即：曲線經(jīng)過，結(jié)合圖象，得.今，得，令，得，因此，結(jié)合圖象曲線只能經(jīng)過3個整點.故B錯誤；對于選項C：可得，所以曲線上任意一點到坐標原點的距離，即：都不超過3，故C正確；對于選項D：點滿足，則在垂直平分線上，則，設(shè)，則，，故只有原點滿足，故D錯誤.故選：.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.直線與曲線相切，則______．〖答案〗〖解析〗設(shè)切點坐標為，由于，所以切線的斜率為：，所以曲線在處的切線方程為：，即，所以，.13.已知點P在雙曲線上，，分別是雙曲線C的左、右焦點，若的面積為45，則______．〖答案〗25〖解析〗設(shè)P在雙曲線右支上，則，由余弦定理得，所以，又，所以，解得，結(jié)合，則，，又，故，故.14.甲、乙兩班參加了同一學科的考試，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成績?yōu)?2分，方差為90分；乙班的平均成績?yōu)?0分，方差為60分．那么甲、乙兩班全部90名學生的平均成績是______分，方差是______分．〖答案〗80〖解析〗甲、乙兩班全部90名學生的平均成績?yōu)榉郑讲顬?四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.在中，角，，的對邊分別為，b，其中，，且．（1）求的值；（2）若的外接圓半徑為5，求面積的最大值．解：（1）由題意得，，由正弦定理可知，，在中，因為，，所以，即，因為，所以，所以，又，所以；（2）由正弦定理，因為，，所以，，由，得，由基本不等式可知，，所以，當且僅當時等號成立，所以，所以面積的最大值為.16.如圖，三棱柱中，側(cè)面底面，，，點是棱的中點．（1）證明：；（2）求面與面夾角的正切值．（1）證明：因為三棱柱中，故四邊形為菱形，又因，點是棱的中點，故，又側(cè)面底面，側(cè)面底面，側(cè)面，所以底面，又底面，故.（2）解：因，，故為直角三角形，故，如圖分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，則A0,0,0，，，由（1）可知，，，故，，則，由題意平面的一個法向量為設(shè)平面的一個法向量為n=x,y,z則即，令，則，，則，設(shè)面與面夾角為，則，故，面與面夾角的正切值為.17.已知橢圓的左、右焦點分別為，，且，點在橢圓上，直線．（1）若直線與橢圓有兩個公共點，求實數(shù)的取值范圍；（2）當時，記直線與軸，軸分別交于兩點，為橢圓上兩動點，求的最大值．解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為，則，故，而在橢圓上，故，故，故橢圓方程為：，由可得，故即即.（2）當時，直線，故，由題設(shè)可得為位于直線的兩側(cè)，不妨設(shè)在直線上方，在直線的下方，當過的直線與直線平行且與橢圓相切時，到直線的距離最大及的面積最大，當過的直線與直線平行且與橢圓相切時，到直線的距離最大及的面積最大，由（1）可得相切時即，當時，切點的橫坐標為，切點坐標為，在直線上方，此時到的距離為，當時，切點的橫坐標為，切點坐標為，在直線下方；此時到的距離為，又，故18.設(shè)函數(shù)，.（1）試判斷f'（2）證明：對任意，有，當且僅當時等號成立.（3）已知，證明：（其中）（1）解：，令，，，，故f'x在0,1（2）證明：令，則.又在0,1上單調(diào)遞増，當時，；當時，；當時，；所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取最小值，即，從而，即.（3）證明：，要證，只需證，即證.（*）顯然，當時，不等式（*）中等號成立.令，由（2）可知：成立，即：成立，即：而成立，從而成立.19.對于數(shù)列an，若存在常數(shù)，，使得對任意的正整數(shù)，恒有成立，則稱數(shù)列an是從第項起的周期為的周期數(shù)列．當時，稱數(shù)列an為純周期數(shù)列；當時，稱數(shù)列an為混周期數(shù)列．記x為不超過的最大整數(shù)，設(shè)各項均為正整數(shù)的數(shù)列an滿足：.（1）若對任意正整數(shù)都有，請寫出三個滿足條件的的值；（2）若數(shù)列an是純周期數(shù)列，請寫出滿足條件的的表達式，并說明理由；（3）證明：不論為何值，總存在使得．（1）解：因為對任意整數(shù)都有，所以取，則，不符合題意；取，，，此時，數(shù)列為常數(shù)列；取，，，不符合題意；取，，，，此時，數(shù)列的通項公式為；取，，，，此時，數(shù)列的通項公式為；所以滿足條件的三個的值為,,；（2）解：取，，，此時數(shù)列為常數(shù)列，為純周期數(shù)列；取，則，，此時數(shù)列的通項公式為，為混周期數(shù)列；取，，，此時，數(shù)列為常數(shù)列，為純周期數(shù)列；取，，，，此時數(shù)列的通項公式為，為混周期數(shù)列；取，，，，此時，數(shù)列的通項公式為，為混周期數(shù)列；取，，，，此時，數(shù)列的通項公式為，為混周期數(shù)列；取，，，此時，數(shù)列為常數(shù)列，為純周期數(shù)列；根據(jù)上述計算得出猜想，當時，數(shù)列為常數(shù)列也純周期數(shù)列，下面進行驗證：當時，，，，此時數(shù)列為常數(shù)列，也是純周期數(shù)列；（3）證明：首先，根據(jù)（2）的分析，發(fā)現(xiàn)當時，數(shù)列為常數(shù)列，也是純周期數(shù)列，滿足題意；接下來證明，當時，也存在使得；因為，所以只需要證明數(shù)列中始終存在值為1的項即可，當時，顯然存在值為1的項，當時，有或，若為偶數(shù)，則，若為奇數(shù)時，則，，所以，所以無論為奇數(shù)還是偶數(shù)，均有；特別的，當為奇數(shù)時，且，類似的，可得：無論為奇數(shù)還是偶數(shù)，均有；特別的，當為奇數(shù)時，且；所以無論無論為奇數(shù)還是偶數(shù)，均有；若，則恒為奇數(shù)且，于是，假設(shè)數(shù)列的且，所以，恒奇數(shù)且，由于中僅有有限個正整數(shù)，故數(shù)列從某項起恒為常數(shù)；設(shè)為第一個值為的項，而，故，這與“是第一個值為的項”相矛盾，所以，數(shù)列除第一項外，還存在不屬于區(qū)間的項，假設(shè)這些不屬于區(qū)間的項全部屬于區(qū)間，那么也會出現(xiàn)類似的矛盾，所以，數(shù)列除第一項外，存在不屬于區(qū)間和的項，以此類推，數(shù)列一定存在小于值為的正整數(shù)的項，即存在值為的項，得證.廣東省珠海市2025屆高三上學期開學考試數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上，1.已知全集，集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，，所以，故選：B.2.復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），z的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，所以z的共軛復(fù)數(shù)為.故選:B.3.在△ABC中，D是BC上一點，滿足，M是AD的中點，若，則（）A. B.1 C. D.〖答案〗C〖解析〗由題可知，，,所以有，所以，得.故選：C.4.已知點，，點是圓上任意一點，則面積的最小值為（）A.6 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗兩點，B0,3，則，直線方程為，圓的圓心，半徑，點到直線的距離，因此點到直線距離的最小值為，所以面積的最小值是.故選：D.5.一個內(nèi)角為30°的直角三角形，分別以該三角形的斜邊、兩條直角邊所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成3個幾何體．這3個幾何體的體積從小到大之比為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)該直角三角形的三條邊長分別為，設(shè)三角形斜邊上的高為，則，，由題意設(shè)該3個幾何體的體積為，則，，，，所以這3個幾何體的體積從小到大之比為.故選：.6.已知函數(shù)在R上沒有零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，的圖象如圖所示，問題轉(zhuǎn)化為與函數(shù)的圖象沒有交點，所以或,解得或,故選：A.7.函數(shù)，其中，其最小正周期為，則下列說法錯誤的是（）A.B.函數(shù)圖象關(guān)于點對稱C.函數(shù)圖象向右移個單位后，圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值為D.若，則函數(shù)的最大值為〖答案〗D〖解析〗由已知，所以，又，所以函數(shù)的最小正周期為π，由已知，所以，A正確；所以，因為，所以函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，B正確，將函數(shù)圖象向右移個單位后可得函數(shù)的圖象，因為的圖象關(guān)于軸對稱，所以，又，所以的最小值為，C正確，若，則，所以，故，所以當時，函數(shù)取最大值，最大值為，D錯誤.故選：D.8.若不等式對一切恒成立，其中，e為自然對數(shù)的底數(shù)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗法一：不等式對一切恒成立即為不等式對一切恒成立，今，則有；故不等式對一切恒成立等價于恒成立，所以為的最大值點.顯然，，否則時，，與題設(shè)矛盾.又，此時，若，存在區(qū)間，是否且，總有f'x>0，這與為的最大值點矛盾，故不成立，同理也不成立，故，則，當時，當時，f'x>0，當x∈0,+∞故在上遞增，0,+∞上遞減，符合題意；當時，當時，f'x<0當時，f'x故在上遞減，上遞增，0,+∞上遞減，而當時，，故即，故恒成立，故符合題意綜上，，因此.法二：不等式可化為，令，當時，，此時，直線恒過點0,1，故只需直線為在點0,1處的切線即可，，此時.當時，亦恒過點0,1，為使對一切x∈R恒成立，需開口向下，且在點0,1處與有公切線即可，故，此時.綜上，的取值范圍是.故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設(shè)A，B為隨機事件，且，是A，B發(fā)生的概率．，則下列說法正確的是（）A.若A，B互斥，則B.若，則A，B相互獨立C.若A，B互斥，則A，B相互獨立D.與相等〖答案〗ABD〖解析〗對于A：若A，B互斥，根據(jù)互斥事件的概率公式，則，故A正確；對于B：由相互獨立事件的概念知，若，則事件A，B是相互獨立事件，故B正確；對于C：若A，B互斥，則A，B不一定相互獨立，例：拋擲一枚硬幣的試驗中，事件“正面朝上”，事件“反面朝上”，事件與事件互斥，但，，所以不滿足相互獨立事件的定義，故C錯誤；對于D：，，所以與相等，故D正確.故選：ABD.10.設(shè)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的圖象與圓有且只有兩個公共點B.存在無數(shù)個等腰三角形ABD，其三個頂點都在函數(shù)的圖象上C.存在無數(shù)個菱形ABCD，其四個頂點都在函數(shù)的圖象上D.存在唯一的正方形ABCD，其四個頂點都在函數(shù)的圖象上〖答案〗ABC〖解析〗對于選項A，令，當時，f'x>0當x∈-1,1時，f'x<0，則函數(shù)在，1,+∞又，，函數(shù)y=fx的圖象與圓得圖象如圖所示：故函數(shù)y=fx的圖象與圓有且只有兩個公共點，故A正確；對于選項B、C，由于函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于坐標原點成中心對稱，過點作直線交的圖象于、兩點，過點作的垂線交的圖象于、兩點，則為等腰三角形，四邊形為菱形，當線段繞點轉(zhuǎn)動時，仍為等腰三角形，四邊形仍為菱形，故選項B、C均正確；對于選項D：由于，故要使得正方形存在，則為等腰直角三角形，顯然，當時，，點在函數(shù)圖象外側(cè)，則，此時，利用極限思想，當時，，此時；當時，，此時；如圖所示，故至少存在兩個正方形，故D錯誤.故選：ABC.11.中國結(jié)是一種手工編織工藝品，其外觀對稱精致，符合中國傳統(tǒng)裝飾的習俗和審美觀念，中國結(jié)有著復(fù)雜曼妙的曲線，其中的八字結(jié)對應(yīng)著數(shù)學曲線中的雙紐線.已知在平面直角坐標系中，到兩定點，距離之積為常數(shù)的點的軌跡C是雙紐線.若是曲線C上一點，則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線C的圖象關(guān)于原點對稱B.曲線C經(jīng)過5個整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）C.曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過3D.曲線C上有且僅有3個點P滿足〖答案〗AC〖解析〗對于選項A：化簡得到：，將代入可得，所以曲線.把代入得，所以，曲線的圖象關(guān)于原點對稱，故A正確；對于選項B：令解得，即：曲線經(jīng)過，結(jié)合圖象，得.今，得，令，得，因此，結(jié)合圖象曲線只能經(jīng)過3個整點.故B錯誤；對于選項C：可得，所以曲線上任意一點到坐標原點的距離，即：都不超過3，故C正確；對于選項D：點滿足，則在垂直平分線上，則，設(shè)，則，，故只有原點滿足，故D錯誤.故選：.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.直線與曲線相切，則______．〖答案〗〖解析〗設(shè)切點坐標為，由于，所以切線的斜率為：，所以曲線在處的切線方程為：，即，所以，.13.已知點P在雙曲線上，，分別是雙曲線C的左、右焦點，若的面積為45，則______．〖答案〗25〖解析〗設(shè)P在雙曲線右支上，則，由余弦定理得，所以，又，所以，解得，結(jié)合，則，，又，故，故.14.甲、乙兩班參加了同一學科的考試，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成績?yōu)?2分，方差為90分；乙班的平均成績?yōu)?0分，方差為60分．那么甲、乙兩班全部90名學生的平均成績是______分，方差是______分．〖答案〗80〖解析〗甲、乙兩班全部90名學生的平均成績?yōu)榉?，方差?四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.在中，角，，的對邊分別為，b，其中，，且．（1）求的值；（2）若的外接圓半徑為5，求面積的最大值．解：（1）由題意得，，由正弦定理可知，，在中，因為，，所以，即，因為，所以，所以，又，所以；（2）由正弦定理，因為，，所以，，由，得，由基本不等式可知，，所以，當且僅當時等號成立，所以，所以面積的最大值為.16.如圖，三棱柱中，側(cè)面底面，，，點是棱的中點．（1）證明：；（2）求面與面夾角的正切值．（1）證明：因為三棱柱中，故四邊形為菱形，又因，點是棱的中點，故，又側(cè)面底面，側(cè)面底面，側(cè)面，所以底面，又底面，故.（2）解：因，，故為直角三角形，故，如圖分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，則A0,0,0，，，由（1）可知，，，故，，則，由題意平面的一個法向量為設(shè)平面的一個法向量為n=x,y,z則即，令，則，，則，設(shè)面與面夾角為，則，故，面與面夾角的正切值為.17.已知橢圓的左、右焦點分別為，，且，點在橢圓上，直線．（1）若直線與橢圓有兩個公共點，求實數(shù)的取值范圍；（2）當時，記直線與軸，軸分別交于兩點，為橢圓上兩動點，求的最大值．解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為，則，故，而在橢圓上，故，故，故橢圓方程為：，由可得，故即即.（2）當時，直線，故，由題設(shè)可得為位于直線的兩側(cè)，不妨設(shè)在直線上方，在直線的下方，當過的直線與直線平行且與橢圓相切時，到直線的距離最大及的面積最大，當過的直線與直線平行且與橢圓相切時，到直線的距離最大及的面積最大，由（1）可得相切時即，當時，切點的橫坐標為，切點坐標為，在直線上方，此時到的距離為，當時，切點的橫坐標為，切點坐標為，在直線下方；此時到的距離為，又，故18.設(shè)函數(shù)，.（1）試判斷f'（2）證明：對任意，有，當且僅當時等號成立.（3）已知，證明：（其中）（1）解：，令，，，，故f'x在0,1（2）證明：令，則.又在0,1上單調(diào)遞増，當時，；當時，；當時，；所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取最小值，即，從而，即.（3）證明：，要證，只