2025屆廣東省珠海市高三上學期開學考試數(shù)學試題(解析版)_第1頁
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文檔簡介

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省珠海市2025屆高三上學期開學考試數(shù)學試題一?選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上,1.已知全集,集合,則()A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為,,所以,故選:B.2.復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位),z的共軛復(fù)數(shù)為()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗,所以z的共軛復(fù)數(shù)為.故選:B.3.在△ABC中,D是BC上一點,滿足,M是AD的中點,若,則()A. B.1 C. D.〖答案〗C〖解析〗由題可知,,,所以有,所以,得.故選:C.4.已知點,,點是圓上任意一點,則面積的最小值為()A.6 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗兩點,B0,3,則,直線方程為,圓的圓心,半徑,點到直線的距離,因此點到直線距離的最小值為,所以面積的最小值是.故選:D.5.一個內(nèi)角為30°的直角三角形,分別以該三角形的斜邊、兩條直角邊所在直線為軸,其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成3個幾何體.這3個幾何體的體積從小到大之比為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)該直角三角形的三條邊長分別為,設(shè)三角形斜邊上的高為,則,,由題意設(shè)該3個幾何體的體積為,則,,,,所以這3個幾何體的體積從小到大之比為.故選:.6.已知函數(shù)在R上沒有零點,則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè),的圖象如圖所示,問題轉(zhuǎn)化為與函數(shù)的圖象沒有交點,所以或,解得或,故選:A.7.函數(shù),其中,其最小正周期為,則下列說法錯誤的是()A.B.函數(shù)圖象關(guān)于點對稱C.函數(shù)圖象向右移個單位后,圖象關(guān)于軸對稱,則的最小值為D.若,則函數(shù)的最大值為〖答案〗D〖解析〗由已知,所以,又,所以函數(shù)的最小正周期為π,由已知,所以,A正確;所以,因為,所以函數(shù)圖象關(guān)于點對稱,B正確,將函數(shù)圖象向右移個單位后可得函數(shù)的圖象,因為的圖象關(guān)于軸對稱,所以,又,所以的最小值為,C正確,若,則,所以,故,所以當時,函數(shù)取最大值,最大值為,D錯誤.故選:D.8.若不等式對一切恒成立,其中,e為自然對數(shù)的底數(shù),則的取值范圍是()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗法一:不等式對一切恒成立即為不等式對一切恒成立,今,則有;故不等式對一切恒成立等價于恒成立,所以為的最大值點.顯然,,否則時,,與題設(shè)矛盾.又,此時,若,存在區(qū)間,是否且,總有f'x>0,這與為的最大值點矛盾,故不成立,同理也不成立,故,則,當時,當時,f'x>0,當x∈0,+∞故在上遞增,0,+∞上遞減,符合題意;當時,當時,f'x<0當時,f'x故在上遞減,上遞增,0,+∞上遞減,而當時,,故即,故恒成立,故符合題意綜上,,因此.法二:不等式可化為,令,當時,,此時,直線恒過點0,1,故只需直線為在點0,1處的切線即可,,此時.當時,亦恒過點0,1,為使對一切x∈R恒成立,需開口向下,且在點0,1處與有公切線即可,故,此時.綜上,的取值范圍是.故選:A.二?多選題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.設(shè)A,B為隨機事件,且,是A,B發(fā)生的概率.,則下列說法正確的是()A.若A,B互斥,則B.若,則A,B相互獨立C.若A,B互斥,則A,B相互獨立D.與相等〖答案〗ABD〖解析〗對于A:若A,B互斥,根據(jù)互斥事件的概率公式,則,故A正確;對于B:由相互獨立事件的概念知,若,則事件A,B是相互獨立事件,故B正確;對于C:若A,B互斥,則A,B不一定相互獨立,例:拋擲一枚硬幣的試驗中,事件“正面朝上”,事件“反面朝上”,事件與事件互斥,但,,所以不滿足相互獨立事件的定義,故C錯誤;對于D:,,所以與相等,故D正確.故選:ABD.10.設(shè),則下列說法正確的是()A.函數(shù)的圖象與圓有且只有兩個公共點B.存在無數(shù)個等腰三角形ABD,其三個頂點都在函數(shù)的圖象上C.存在無數(shù)個菱形ABCD,其四個頂點都在函數(shù)的圖象上D.存在唯一的正方形ABCD,其四個頂點都在函數(shù)的圖象上〖答案〗ABC〖解析〗對于選項A,令,當時,f'x>0當x∈-1,1時,f'x<0,則函數(shù)在,1,+∞又,,函數(shù)y=fx的圖象與圓得圖象如圖所示:故函數(shù)y=fx的圖象與圓有且只有兩個公共點,故A正確;對于選項B、C,由于函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于坐標原點成中心對稱,過點作直線交的圖象于、兩點,過點作的垂線交的圖象于、兩點,則為等腰三角形,四邊形為菱形,當線段繞點轉(zhuǎn)動時,仍為等腰三角形,四邊形仍為菱形,故選項B、C均正確;對于選項D:由于,故要使得正方形存在,則為等腰直角三角形,顯然,當時,,點在函數(shù)圖象外側(cè),則,此時,利用極限思想,當時,,此時;當時,,此時;如圖所示,故至少存在兩個正方形,故D錯誤.故選:ABC.11.中國結(jié)是一種手工編織工藝品,其外觀對稱精致,符合中國傳統(tǒng)裝飾的習俗和審美觀念,中國結(jié)有著復(fù)雜曼妙的曲線,其中的八字結(jié)對應(yīng)著數(shù)學曲線中的雙紐線.已知在平面直角坐標系中,到兩定點,距離之積為常數(shù)的點的軌跡C是雙紐線.若是曲線C上一點,則下列結(jié)論正確的是()A.曲線C的圖象關(guān)于原點對稱B.曲線C經(jīng)過5個整點(橫、縱坐標均為整數(shù)的點)C.曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過3D.曲線C上有且僅有3個點P滿足〖答案〗AC〖解析〗對于選項A:化簡得到:,將代入可得,所以曲線.把代入得,所以,曲線的圖象關(guān)于原點對稱,故A正確;對于選項B:令解得,即:曲線經(jīng)過,結(jié)合圖象,得.今,得,令,得,因此,結(jié)合圖象曲線只能經(jīng)過3個整點.故B錯誤;對于選項C:可得,所以曲線上任意一點到坐標原點的距離,即:都不超過3,故C正確;對于選項D:點滿足,則在垂直平分線上,則,設(shè),則,,故只有原點滿足,故D錯誤.故選:.三?填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.直線與曲線相切,則______.〖答案〗〖解析〗設(shè)切點坐標為,由于,所以切線的斜率為:,所以曲線在處的切線方程為:,即,所以,.13.已知點P在雙曲線上,,分別是雙曲線C的左、右焦點,若的面積為45,則______.〖答案〗25〖解析〗設(shè)P在雙曲線右支上,則,由余弦定理得,所以,又,所以,解得,結(jié)合,則,,又,故,故.14.甲、乙兩班參加了同一學科的考試,其中甲班50人,乙班40人.甲班的平均成績?yōu)?2分,方差為90分;乙班的平均成績?yōu)?0分,方差為60分.那么甲、乙兩班全部90名學生的平均成績是______分,方差是______分.〖答案〗80〖解析〗甲、乙兩班全部90名學生的平均成績?yōu)榉郑讲顬?四?解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.在中,角,,的對邊分別為,b,其中,,且.(1)求的值;(2)若的外接圓半徑為5,求面積的最大值.解:(1)由題意得,,由正弦定理可知,,在中,因為,,所以,即,因為,所以,所以,又,所以;(2)由正弦定理,因為,,所以,,由,得,由基本不等式可知,,所以,當且僅當時等號成立,所以,所以面積的最大值為.16.如圖,三棱柱中,側(cè)面底面,,,點是棱的中點.(1)證明:;(2)求面與面夾角的正切值.(1)證明:因為三棱柱中,故四邊形為菱形,又因,點是棱的中點,故,又側(cè)面底面,側(cè)面底面,側(cè)面,所以底面,又底面,故.(2)解:因,,故為直角三角形,故,如圖分別以,,為,,軸建立空間直角坐標系,則A0,0,0,,,由(1)可知,,,故,,則,由題意平面的一個法向量為設(shè)平面的一個法向量為n=x,y,z則即,令,則,,則,設(shè)面與面夾角為,則,故,面與面夾角的正切值為.17.已知橢圓的左、右焦點分別為,,且,點在橢圓上,直線.(1)若直線與橢圓有兩個公共點,求實數(shù)的取值范圍;(2)當時,記直線與軸,軸分別交于兩點,為橢圓上兩動點,求的最大值.解:(1)設(shè)橢圓的半焦距為,則,故,而在橢圓上,故,故,故橢圓方程為:,由可得,故即即.(2)當時,直線,故,由題設(shè)可得為位于直線的兩側(cè),不妨設(shè)在直線上方,在直線的下方,當過的直線與直線平行且與橢圓相切時,到直線的距離最大及的面積最大,當過的直線與直線平行且與橢圓相切時,到直線的距離最大及的面積最大,由(1)可得相切時即,當時,切點的橫坐標為,切點坐標為,在直線上方,此時到的距離為,當時,切點的橫坐標為,切點坐標為,在直線下方;此時到的距離為,又,故18.設(shè)函數(shù),.(1)試判斷f'(2)證明:對任意,有,當且僅當時等號成立.(3)已知,證明:(其中)(1)解:,令,,,,故f'x在0,1(2)證明:令,則.又在0,1上單調(diào)遞増,當時,;當時,;當時,;所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故在處取最小值,即,從而,即.(3)證明:,要證,只需證,即證.(*)顯然,當時,不等式(*)中等號成立.令,由(2)可知:成立,即:成立,即:而成立,從而成立.19.對于數(shù)列an,若存在常數(shù),,使得對任意的正整數(shù),恒有成立,則稱數(shù)列an是從第項起的周期為的周期數(shù)列.當時,稱數(shù)列an為純周期數(shù)列;當時,稱數(shù)列an為混周期數(shù)列.記x為不超過的最大整數(shù),設(shè)各項均為正整數(shù)的數(shù)列an滿足:.(1)若對任意正整數(shù)都有,請寫出三個滿足條件的的值;(2)若數(shù)列an是純周期數(shù)列,請寫出滿足條件的的表達式,并說明理由;(3)證明:不論為何值,總存在使得.(1)解:因為對任意整數(shù)都有,所以取,則,不符合題意;取,,,此時,數(shù)列為常數(shù)列;取,,,不符合題意;取,,,,此時,數(shù)列的通項公式為;取,,,,此時,數(shù)列的通項公式為;所以滿足條件的三個的值為,,;(2)解:取,,,此時數(shù)列為常數(shù)列,為純周期數(shù)列;取,則,,此時數(shù)列的通項公式為,為混周期數(shù)列;取,,,此時,數(shù)列為常數(shù)列,為純周期數(shù)列;取,,,,此時數(shù)列的通項公式為,為混周期數(shù)列;取,,,,此時,數(shù)列的通項公式為,為混周期數(shù)列;取,,,,此時,數(shù)列的通項公式為,為混周期數(shù)列;取,,,此時,數(shù)列為常數(shù)列,為純周期數(shù)列;根據(jù)上述計算得出猜想,當時,數(shù)列為常數(shù)列也純周期數(shù)列,下面進行驗證:當時,,,,此時數(shù)列為常數(shù)列,也是純周期數(shù)列;(3)證明:首先,根據(jù)(2)的分析,發(fā)現(xiàn)當時,數(shù)列為常數(shù)列,也是純周期數(shù)列,滿足題意;接下來證明,當時,也存在使得;因為,所以只需要證明數(shù)列中始終存在值為1的項即可,當時,顯然存在值為1的項,當時,有或,若為偶數(shù),則,若為奇數(shù)時,則,,所以,所以無論為奇數(shù)還是偶數(shù),均有;特別的,當為奇數(shù)時,且,類似的,可得:無論為奇數(shù)還是偶數(shù),均有;特別的,當為奇數(shù)時,且;所以無論無論為奇數(shù)還是偶數(shù),均有;若,則恒為奇數(shù)且,于是,假設(shè)數(shù)列的且,所以,恒奇數(shù)且,由于中僅有有限個正整數(shù),故數(shù)列從某項起恒為常數(shù);設(shè)為第一個值為的項,而,故,這與“是第一個值為的項”相矛盾,所以,數(shù)列除第一項外,還存在不屬于區(qū)間的項,假設(shè)這些不屬于區(qū)間的項全部屬于區(qū)間,那么也會出現(xiàn)類似的矛盾,所以,數(shù)列除第一項外,存在不屬于區(qū)間和的項,以此類推,數(shù)列一定存在小于值為的正整數(shù)的項,即存在值為的項,得證.廣東省珠海市2025屆高三上學期開學考試數(shù)學試題一?選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上,1.已知全集,集合,則()A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為,,所以,故選:B.2.復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位),z的共軛復(fù)數(shù)為()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗,所以z的共軛復(fù)數(shù)為.故選:B.3.在△ABC中,D是BC上一點,滿足,M是AD的中點,若,則()A. B.1 C. D.〖答案〗C〖解析〗由題可知,,,所以有,所以,得.故選:C.4.已知點,,點是圓上任意一點,則面積的最小值為()A.6 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗兩點,B0,3,則,直線方程為,圓的圓心,半徑,點到直線的距離,因此點到直線距離的最小值為,所以面積的最小值是.故選:D.5.一個內(nèi)角為30°的直角三角形,分別以該三角形的斜邊、兩條直角邊所在直線為軸,其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成3個幾何體.這3個幾何體的體積從小到大之比為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)該直角三角形的三條邊長分別為,設(shè)三角形斜邊上的高為,則,,由題意設(shè)該3個幾何體的體積為,則,,,,所以這3個幾何體的體積從小到大之比為.故選:.6.已知函數(shù)在R上沒有零點,則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè),的圖象如圖所示,問題轉(zhuǎn)化為與函數(shù)的圖象沒有交點,所以或,解得或,故選:A.7.函數(shù),其中,其最小正周期為,則下列說法錯誤的是()A.B.函數(shù)圖象關(guān)于點對稱C.函數(shù)圖象向右移個單位后,圖象關(guān)于軸對稱,則的最小值為D.若,則函數(shù)的最大值為〖答案〗D〖解析〗由已知,所以,又,所以函數(shù)的最小正周期為π,由已知,所以,A正確;所以,因為,所以函數(shù)圖象關(guān)于點對稱,B正確,將函數(shù)圖象向右移個單位后可得函數(shù)的圖象,因為的圖象關(guān)于軸對稱,所以,又,所以的最小值為,C正確,若,則,所以,故,所以當時,函數(shù)取最大值,最大值為,D錯誤.故選:D.8.若不等式對一切恒成立,其中,e為自然對數(shù)的底數(shù),則的取值范圍是()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗法一:不等式對一切恒成立即為不等式對一切恒成立,今,則有;故不等式對一切恒成立等價于恒成立,所以為的最大值點.顯然,,否則時,,與題設(shè)矛盾.又,此時,若,存在區(qū)間,是否且,總有f'x>0,這與為的最大值點矛盾,故不成立,同理也不成立,故,則,當時,當時,f'x>0,當x∈0,+∞故在上遞增,0,+∞上遞減,符合題意;當時,當時,f'x<0當時,f'x故在上遞減,上遞增,0,+∞上遞減,而當時,,故即,故恒成立,故符合題意綜上,,因此.法二:不等式可化為,令,當時,,此時,直線恒過點0,1,故只需直線為在點0,1處的切線即可,,此時.當時,亦恒過點0,1,為使對一切x∈R恒成立,需開口向下,且在點0,1處與有公切線即可,故,此時.綜上,的取值范圍是.故選:A.二?多選題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.設(shè)A,B為隨機事件,且,是A,B發(fā)生的概率.,則下列說法正確的是()A.若A,B互斥,則B.若,則A,B相互獨立C.若A,B互斥,則A,B相互獨立D.與相等〖答案〗ABD〖解析〗對于A:若A,B互斥,根據(jù)互斥事件的概率公式,則,故A正確;對于B:由相互獨立事件的概念知,若,則事件A,B是相互獨立事件,故B正確;對于C:若A,B互斥,則A,B不一定相互獨立,例:拋擲一枚硬幣的試驗中,事件“正面朝上”,事件“反面朝上”,事件與事件互斥,但,,所以不滿足相互獨立事件的定義,故C錯誤;對于D:,,所以與相等,故D正確.故選:ABD.10.設(shè),則下列說法正確的是()A.函數(shù)的圖象與圓有且只有兩個公共點B.存在無數(shù)個等腰三角形ABD,其三個頂點都在函數(shù)的圖象上C.存在無數(shù)個菱形ABCD,其四個頂點都在函數(shù)的圖象上D.存在唯一的正方形ABCD,其四個頂點都在函數(shù)的圖象上〖答案〗ABC〖解析〗對于選項A,令,當時,f'x>0當x∈-1,1時,f'x<0,則函數(shù)在,1,+∞又,,函數(shù)y=fx的圖象與圓得圖象如圖所示:故函數(shù)y=fx的圖象與圓有且只有兩個公共點,故A正確;對于選項B、C,由于函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于坐標原點成中心對稱,過點作直線交的圖象于、兩點,過點作的垂線交的圖象于、兩點,則為等腰三角形,四邊形為菱形,當線段繞點轉(zhuǎn)動時,仍為等腰三角形,四邊形仍為菱形,故選項B、C均正確;對于選項D:由于,故要使得正方形存在,則為等腰直角三角形,顯然,當時,,點在函數(shù)圖象外側(cè),則,此時,利用極限思想,當時,,此時;當時,,此時;如圖所示,故至少存在兩個正方形,故D錯誤.故選:ABC.11.中國結(jié)是一種手工編織工藝品,其外觀對稱精致,符合中國傳統(tǒng)裝飾的習俗和審美觀念,中國結(jié)有著復(fù)雜曼妙的曲線,其中的八字結(jié)對應(yīng)著數(shù)學曲線中的雙紐線.已知在平面直角坐標系中,到兩定點,距離之積為常數(shù)的點的軌跡C是雙紐線.若是曲線C上一點,則下列結(jié)論正確的是()A.曲線C的圖象關(guān)于原點對稱B.曲線C經(jīng)過5個整點(橫、縱坐標均為整數(shù)的點)C.曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過3D.曲線C上有且僅有3個點P滿足〖答案〗AC〖解析〗對于選項A:化簡得到:,將代入可得,所以曲線.把代入得,所以,曲線的圖象關(guān)于原點對稱,故A正確;對于選項B:令解得,即:曲線經(jīng)過,結(jié)合圖象,得.今,得,令,得,因此,結(jié)合圖象曲線只能經(jīng)過3個整點.故B錯誤;對于選項C:可得,所以曲線上任意一點到坐標原點的距離,即:都不超過3,故C正確;對于選項D:點滿足,則在垂直平分線上,則,設(shè),則,,故只有原點滿足,故D錯誤.故選:.三?填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.直線與曲線相切,則______.〖答案〗〖解析〗設(shè)切點坐標為,由于,所以切線的斜率為:,所以曲線在處的切線方程為:,即,所以,.13.已知點P在雙曲線上,,分別是雙曲線C的左、右焦點,若的面積為45,則______.〖答案〗25〖解析〗設(shè)P在雙曲線右支上,則,由余弦定理得,所以,又,所以,解得,結(jié)合,則,,又,故,故.14.甲、乙兩班參加了同一學科的考試,其中甲班50人,乙班40人.甲班的平均成績?yōu)?2分,方差為90分;乙班的平均成績?yōu)?0分,方差為60分.那么甲、乙兩班全部90名學生的平均成績是______分,方差是______分.〖答案〗80〖解析〗甲、乙兩班全部90名學生的平均成績?yōu)榉?,方差?四?解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.在中,角,,的對邊分別為,b,其中,,且.(1)求的值;(2)若的外接圓半徑為5,求面積的最大值.解:(1)由題意得,,由正弦定理可知,,在中,因為,,所以,即,因為,所以,所以,又,所以;(2)由正弦定理,因為,,所以,,由,得,由基本不等式可知,,所以,當且僅當時等號成立,所以,所以面積的最大值為.16.如圖,三棱柱中,側(cè)面底面,,,點是棱的中點.(1)證明:;(2)求面與面夾角的正切值.(1)證明:因為三棱柱中,故四邊形為菱形,又因,點是棱的中點,故,又側(cè)面底面,側(cè)面底面,側(cè)面,所以底面,又底面,故.(2)解:因,,故為直角三角形,故,如圖分別以,,為,,軸建立空間直角坐標系,則A0,0,0,,,由(1)可知,,,故,,則,由題意平面的一個法向量為設(shè)平面的一個法向量為n=x,y,z則即,令,則,,則,設(shè)面與面夾角為,則,故,面與面夾角的正切值為.17.已知橢圓的左、右焦點分別為,,且,點在橢圓上,直線.(1)若直線與橢圓有兩個公共點,求實數(shù)的取值范圍;(2)當時,記直線與軸,軸分別交于兩點,為橢圓上兩動點,求的最大值.解:(1)設(shè)橢圓的半焦距為,則,故,而在橢圓上,故,故,故橢圓方程為:,由可得,故即即.(2)當時,直線,故,由題設(shè)可得為位于直線的兩側(cè),不妨設(shè)在直線上方,在直線的下方,當過的直線與直線平行且與橢圓相切時,到直線的距離最大及的面積最大,當過的直線與直線平行且與橢圓相切時,到直線的距離最大及的面積最大,由(1)可得相切時即,當時,切點的橫坐標為,切點坐標為,在直線上方,此時到的距離為,當時,切點的橫坐標為,切點坐標為,在直線下方;此時到的距離為,又,故18.設(shè)函數(shù),.(1)試判斷f'(2)證明:對任意,有,當且僅當時等號成立.(3)已知,證明:(其中)(1)解:,令,,,,故f'x在0,1(2)證明:令,則.又在0,1上單調(diào)遞増,當時,;當時,;當時,;所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故在處取最小值,即,從而,即.(3)證明:,要證,只

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