寒假作業(yè)13全等三角形的基本模型（14道經(jīng)典題型4道中考真題）（原卷版）-2024年八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)練（人教版）

限時(shí)練習(xí)：40min完成時(shí)間：月日天氣：寒假作業(yè)13全等三角形的基本模型全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本課時(shí)就全等三角形中的六類基本模型（倍長(zhǎng)中線模型、截長(zhǎng)補(bǔ)短模型、一線三等角（K字）模型、手拉手（旋轉(zhuǎn)）模型、半角模型、對(duì)角互補(bǔ)模型）進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練，方便同學(xué)們熟練掌握.1．如圖，在中，AB＝AC＝9，點(diǎn)E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C． D．2．如圖，在中，，，將繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°到的位置，連接，則的度數(shù)為（

）A．15° B．20° C．30° D．45°3．如圖，在中，，，D，E是斜邊上的兩點(diǎn)，且，若，，，則與的面積之和為（

）A．36 B．21 C．30 D．224．如圖，中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，則的面積是______．5．如圖，與有一條公共邊AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，則∠BAD=________．（用含有x的代數(shù)式表示）6．如圖，在中，，分別過(guò)點(diǎn)B，C作過(guò)點(diǎn)A的直線的垂線BD，CE，垂足分別為D，E．若，求DE的長(zhǎng)．7．如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，∠EDF=120°，把∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使∠EDF的兩邊分別與線段AB、AC交于點(diǎn)E、F．（1）當(dāng)DF⊥AC時(shí)，求證：BE=CF；（2）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BE+CF是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.8．如圖，點(diǎn)為等邊外一點(diǎn)，，，點(diǎn)，分別在和上，且，，，則的邊長(zhǎng)為_(kāi)_____．9．如圖，在中，，平分．（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，若，求的度數(shù)；（3）如圖3，若，求證：．10．已知CD是經(jīng)過(guò)∠BCA的頂點(diǎn)C的一條直線，CA＝CB，E，F(xiàn)是直線CD上兩點(diǎn)，∠BEC＝∠CFA＝∠α．（1）若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的內(nèi)部，∠BCD＞∠ACD．①如圖1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，寫(xiě)出BE，EF，AF間的等量關(guān)系：．②如圖2，∠α與∠BCA具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，能使①中的結(jié)論仍然成立？寫(xiě)出∠α與∠BCA的數(shù)量關(guān)系．（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的結(jié)論是否成立？若成立，進(jìn)行證明；若不成立，寫(xiě)出新結(jié)論并進(jìn)行證明．11．綜合與實(shí)踐：（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)M，N分別在AD，CD上，若∠MBN＝45°，則線段MN，AM，CN的等量關(guān)系為．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點(diǎn)M，N分別在AD，CD上，若∠MBN＝∠ABC，試探索線段MN，AM，CN有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出猜想，并給予證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點(diǎn)M，N分別在DA，CD的延長(zhǎng)線上，若∠MBN＝∠ABC，則線段MN，AM，CN的等量關(guān)系為．12．【教材呈現(xiàn)】下面是某版本教材的內(nèi)容：如圖，在中，D是邊BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C畫(huà)直線CE，使，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：.證明：∵，（已知）∴，，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）在與中，∵，（已證），，（已知）∴，∴．（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）（1）【方法應(yīng)用】如圖①，在中，，，則BC邊上的中線AD長(zhǎng)度的取值范圍是______．（2）【猜想證明】如圖②，在四邊形ABCD中，，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是的平分線，試猜想線段AB、AD、DC之間的等量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）【拓展延伸】如圖③，已知，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段AE上，，若，，求出線段DF的長(zhǎng)．13．閱讀下面的證明過(guò)程：如圖1，、和都是直角三角形，其中，且直角頂點(diǎn)都在直線l上，求證：．證明：由題意，，,∴．在和中，，∴．像這種“在一條直線上有三個(gè)直角頂點(diǎn)”的幾何圖形，我們一般稱其為“一線三垂直”圖形，隨著幾何學(xué)習(xí)的深入，我們還將對(duì)這類圖形有更深入的探索．請(qǐng)結(jié)合以上閱讀，解決下列問(wèn)題：(1)如圖2，在中，，，過(guò)點(diǎn)A作直線，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，探索，，之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(2)如圖3，和都是等腰直角三角形，，，，且點(diǎn)E在上，連接，求證：．(3)如圖4，在一款名為超級(jí)瑪麗的游戲中，瑪麗到達(dá)一個(gè)高為12米的高臺(tái)A，利用旗桿頂部的繩索，劃過(guò)到達(dá)與高臺(tái)A水平距離為18米，高為4米的矮臺(tái)B，請(qǐng)寫(xiě)出旗桿的高度是_____．（不必書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程）14．綜合運(yùn)用：閱讀下面材料，小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在中，平分，．求證：.小明通過(guò)思考發(fā)現(xiàn)，可以通過(guò)“截長(zhǎng)、補(bǔ)短”兩種方法解決問(wèn)題：方法一：如圖2，在上截取，使得，連接，可以證得，并得到等腰三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題．方法二：如圖3，延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使得，連接，可以得到等腰三角形，并可以證得，進(jìn)而解決問(wèn)題．(1)根據(jù)閱讀材料，任選一種方法（圖2或圖3）證明：；(2)如圖4，在中，E是上一點(diǎn)，，，于E，探究之間的等量關(guān)系，并證明．15．（2023·四川遂寧·中考真題改編）如圖，以的邊，為腰分別向外作等腰直角、，連接，，，過(guò)點(diǎn)A的直線分別交線段,于點(diǎn),，以下說(shuō)法：①當(dāng)時(shí)，；②；③當(dāng)直線時(shí)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．正確的有．(填序號(hào))16．（2023·重慶·中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，連接．過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若，，則的長(zhǎng)度為．17．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，正方形中，點(diǎn)，分別在，上，且，與相交于點(diǎn)．(1)求證：≌；(2)求的大?。?8．（2023·黑龍江齊齊哈爾·中考真題改編）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)模型可以用來(lái)解決一類問(wèn)題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑．通過(guò)探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．(1)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：如圖1，在和中，，，，連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．則與的數(shù)量關(guān)系：_