寒假作業(yè)13全等三角形的基本模型（14道經(jīng)典題型4道中考真題）（原卷版）-2024年八年級數(shù)學寒假培優(yōu)練（人教版）

限時練習：40min完成時間：月日天氣：寒假作業(yè)13全等三角形的基本模型全等三角形在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學生必須掌握的一塊內容，本課時就全等三角形中的六類基本模型（倍長中線模型、截長補短模型、一線三等角（K字）模型、手拉手（旋轉）模型、半角模型、對角互補模型）進行專項訓練，方便同學們熟練掌握.1．如圖，在中，AB＝AC＝9，點E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C． D．2．如圖，在中，，，將繞點A順時針方向旋轉60°到的位置，連接，則的度數(shù)為（

）A．15° B．20° C．30° D．45°3．如圖，在中，，，D，E是斜邊上的兩點，且，若，，，則與的面積之和為（

）A．36 B．21 C．30 D．224．如圖，中，點為的中點，，，，則的面積是______．5．如圖，與有一條公共邊AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，則∠BAD=________．（用含有x的代數(shù)式表示）6．如圖，在中，，分別過點B，C作過點A的直線的垂線BD，CE，垂足分別為D，E．若，求DE的長．7．如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，點D是線段BC的中點，∠EDF=120°，把∠EDF繞點D旋轉，使∠EDF的兩邊分別與線段AB、AC交于點E、F．（1）當DF⊥AC時，求證：BE=CF；（2）在旋轉過程中，BE+CF是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.8．如圖，點為等邊外一點，，，點，分別在和上，且，，，則的邊長為______．9．如圖，在中，，平分．（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，若，求的度數(shù)；（3）如圖3，若，求證：．10．已知CD是經(jīng)過∠BCA的頂點C的一條直線，CA＝CB，E，F(xiàn)是直線CD上兩點，∠BEC＝∠CFA＝∠α．（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA的內部，∠BCD＞∠ACD．①如圖1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，寫出BE，EF，AF間的等量關系：．②如圖2，∠α與∠BCA具有怎樣的數(shù)量關系，能使①中的結論仍然成立？寫出∠α與∠BCA的數(shù)量關系．（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的結論是否成立？若成立，進行證明；若不成立，寫出新結論并進行證明．11．綜合與實踐：（1）如圖1，在正方形ABCD中，點M，N分別在AD，CD上，若∠MBN＝45°，則線段MN，AM，CN的等量關系為．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點M，N分別在AD，CD上，若∠MBN＝∠ABC，試探索線段MN，AM，CN有怎樣的等量關系？請寫出猜想，并給予證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點M，N分別在DA，CD的延長線上，若∠MBN＝∠ABC，則線段MN，AM，CN的等量關系為．12．【教材呈現(xiàn)】下面是某版本教材的內容：如圖，在中，D是邊BC的中點，過點C畫直線CE，使，交AD的延長線于點E，求證：.證明：∵，（已知）∴，，（兩直線平行，內錯角相等）在與中，∵，（已證），，（已知）∴，∴．（全等三角形的對應邊相等）（1）【方法應用】如圖①，在中，，，則BC邊上的中線AD長度的取值范圍是______．（2）【猜想證明】如圖②，在四邊形ABCD中，，點E是BC的中點，若AE是的平分線，試猜想線段AB、AD、DC之間的等量關系，并證明你的猜想；（3）【拓展延伸】如圖③，已知，點E是BC的中點，點D在線段AE上，，若，，求出線段DF的長．13．閱讀下面的證明過程：如圖1，、和都是直角三角形，其中，且直角頂點都在直線l上，求證：．證明：由題意，，,∴．在和中，，∴．像這種“在一條直線上有三個直角頂點”的幾何圖形，我們一般稱其為“一線三垂直”圖形，隨著幾何學習的深入，我們還將對這類圖形有更深入的探索．請結合以上閱讀，解決下列問題：(1)如圖2，在中，，，過點A作直線，于點D，于點E，探索，，之間的等量關系，并證明你的結論．(2)如圖3，和都是等腰直角三角形，，，，且點E在上，連接，求證：．(3)如圖4，在一款名為超級瑪麗的游戲中，瑪麗到達一個高為12米的高臺A，利用旗桿頂部的繩索，劃過到達與高臺A水平距離為18米，高為4米的矮臺B，請寫出旗桿的高度是_____．（不必書寫解題過程）14．綜合運用：閱讀下面材料，小明遇到這樣一個問題：如圖1，在中，平分，．求證：.小明通過思考發(fā)現(xiàn)，可以通過“截長、補短”兩種方法解決問題：方法一：如圖2，在上截取，使得，連接，可以證得，并得到等腰三角形，進而解決問題．方法二：如圖3，延長到點E，使得，連接，可以得到等腰三角形，并可以證得，進而解決問題．(1)根據(jù)閱讀材料，任選一種方法（圖2或圖3）證明：；(2)如圖4，在中，E是上一點，，，于E，探究之間的等量關系，并證明．15．（2023·四川遂寧·中考真題改編）如圖，以的邊，為腰分別向外作等腰直角、，連接，，，過點A的直線分別交線段,于點,，以下說法：①當時，；②；③當直線時，點為線段的中點．正確的有．(填序號)16．（2023·重慶·中考真題）如圖，在中，，，點D為上一點，連接．過點B作于點E，過點C作交的延長線于點F．若，，則的長度為．17．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，正方形中，點，分別在，上，且，與相交于點．(1)求證：≌；(2)求的大?。?8．（2023·黑龍江齊齊哈爾·中考真題改編）綜合與實踐數(shù)學模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學應用的基本途徑．通過探究圖形的變化規(guī)律，再結合其他數(shù)學知識的內在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學經(jīng)驗，并將其運用到更廣闊的數(shù)學天地．(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在和中，，，，連接，，延長交于點．則與的數(shù)量關系：_