清單05分式（23個考點梳理題型解讀核心素養(yǎng)提升中考聚焦）（原卷版）

清單05分式（23個考點梳理+題型解讀+核心素養(yǎng)提升+中考聚焦）【知識導圖】【知識清單】考點一．科學記數(shù)法—表示較小的數(shù)用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．【規(guī)律方法】用科學記數(shù)法表示有理數(shù)x的規(guī)律x的取值范圍表示方法a的取值n的取值|x|≥10a×10n1≤|a|＜10整數(shù)的位數(shù)﹣1|x|＜1a×10﹣n第一位非零數(shù)字前所有0的個數(shù)（含小數(shù)點前的0）1．（2022秋?肇慶期末）奧密克戎是一種新型冠狀病毒，它的直徑約為60～140納米（1納米＝0.000000001米）．其中“140納米”用科學記數(shù)法表示為（）A．1.4×10﹣11米 B．1.4×10﹣7米 C．14×10﹣8米 D．0.14×10﹣10米考點二．分式的定義（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．（2）因為0不能做除數(shù)，所以分式的分母不能為0．（3）分式是兩個整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分數(shù)線可以理解為除號，還兼有括號的作用．（4）分式的分母必須含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即從形式上看是的形式，從本質(zhì)上看分母必須含有字母，同時，分母不等于零，且只看初始狀態(tài)，不要化簡．（5）分式是一種表達形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一種除法運算，而不能稱之為分式，但如果用負指數(shù)次冪表示的某些代數(shù)式如（a+b）﹣2，y﹣1，則為分式，因為y﹣1＝僅是一種數(shù)學上的規(guī)定，而非一種運算形式．2．（2022秋?望城區(qū)期末）下列式子中，是分式的是（）A．﹣3x B． C． D．3．（2022秋?高邑縣期末）如圖，甲、乙、丙、丁四人手中各有一個圓形卡片，則卡片中的式子是分式的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個考點三．分式有意義的條件（1）分式有意義的條件是分母不等于零．（2）分式無意義的條件是分母等于零．（3）分式的值為正數(shù)的條件是分子、分母同號．（4）分式的值為負數(shù)的條件是分子、分母異號．4．（2023秋?崆峒區(qū)期末）分式有意義，x的取值范圍是（）A．x≠0 B．x≠﹣2 C．x≥0 D．x≥﹣25．（2023秋?喀什市期末）若分式有意義，則x．考點四．分式的值為零的條件分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不為零”這個條件不能少．6．（2023春?宣漢縣期末）已知分式的值為0，那么x的值為（）A．0 B．﹣1 C．1 D．±17．（2023秋?崆峒區(qū)期末）若分式的值為0，則x的值等于．考點五．分式的值分式求值歷來是各級考試中出現(xiàn)頻率較高的題型，而條件分式求值是較難的一種題型，在解答時應從已知條件和所求問題的特點出發(fā)，通過適當?shù)淖冃?、轉(zhuǎn)化，才能發(fā)現(xiàn)解題的捷徑．8．（2023春?開江縣校級期末）若y＝，則的值為（）A． B．﹣1 C． D．9．（2023春?清苑區(qū)期末）如圖，若，則表示的值的點落在（）A．段① B．段② C．段③ D．段④考點六．分式的基本性質(zhì)（1）分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變．（2）分式中的符號法則：分子、分母、分式本身同時改變兩處的符號，分式的值不變．【方法技巧】利用分式的基本性質(zhì)可解決的問題1．分式中的系數(shù)化整問題：當分子、分母的系數(shù)為分數(shù)或小數(shù)時，應用分數(shù)的性質(zhì)將分式的分子、分母中的系數(shù)化為整數(shù)．2．解決分式中的變號問題：分式的分子、分母及分式本身的三個符號，改變其中的任何兩個，分式的值不變，注意分子、分母是多項式時，分子、分母應為一個整體，改變符號是指改變分子、分母中各項的符號．3．處理分式中的恒等變形問題：分式的約分、通分都是利用分式的基本性質(zhì)變形的．10．（2022秋?劍閣縣期末）在分式中，若將x、y都擴大為原來的2倍，則所得分式的值（）A．不變 B．是原來的2倍 C．是原來的4倍 D．無法確定11．（2022秋?海陽市期末）下列各式中，與分式的值相等的是（）A． B． C． D．考點七．約分（1）約分的定義：約去分式的分子與分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分．（2）確定公因式要分為系數(shù)、字母、字母的指數(shù)來分別確定．①分式約分的結(jié)果可能是最簡分式，也可能是整式．②當分子與分母含有負號時，一般把負號提到分式本身的前面．③約分時，分子與分母都必須是乘積式，如果是多項式的，必須先分解因式．（3）規(guī)律方法總結(jié)：由約分的概念可知，要首先將分子、分母轉(zhuǎn)化為乘積的形式，再找出分子、分母的最大公因式并約去，注意不要忽視數(shù)字系數(shù)的約分．12．（2022秋?舒蘭市期末）下列約分正確的是（）A． B． C． D．13．（2023春?遂寧期末）如果一個分式的分子或分母可以因式分解，且這個分式不可約分，那么我們稱這個分式為“和諧分式”，下列分式中是和諧分式的是（）A． B． C． D．考點八．通分（1）通分的定義：把幾個異分母的分式分別化為與原來的分式相等的同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分．（2）通分的關(guān)鍵是確定最簡公分母．①最簡公分母的系數(shù)取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)．②最簡公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次冪的積．（3）規(guī)律方法總結(jié)：通分時若各分式的分母還能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最簡公分母，最簡公分母的系數(shù)為各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)，因式為各分母中相同因式的最高次冪，各分母中不相同的因式都要作為最簡公分母中的因式，要防止遺漏因式．14．（2022秋?澧縣期末）分式的分母經(jīng)過通分后變成2（a﹣b）2（a+b），那么分子應變?yōu)椋ǎ〢．6a（a﹣b）2（a+b） B．2（a﹣b） C．6a（a﹣b） D．6a（a+b）考點九．最簡分式最簡分式的定義：一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫最簡分式．和分數(shù)不能化簡一樣，叫最簡分數(shù)．15．（2022秋?匯川區(qū)期末）下列各分式中，是最簡分式的是（）A． B． C． D．16．（2023春?連州市期末）下列各分式中是最簡分式的是（）A． B． C． D．考點十．最簡公分母（1）最簡公分母的定義：通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母．（2）一般方法：①如果各分母都是單項式，那么最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次冪，所有不同字母都寫在積里．②如果各分母都是多項式，就可以將各個分母因式分解，取各分母數(shù)字系數(shù)的最小公倍數(shù)，凡出現(xiàn)的字母（或含字母的整式）為底數(shù)的冪的因式都要取最高次冪．17．（2022秋?匯川區(qū)期末）分式與的最簡公分母是（）A．3abc B．a(chǎn)3b3c3 C．3a3b2c D．a(chǎn)3b2c18．（2022秋?江漢區(qū)校級期末）下列說法錯誤的是（）A．當x＝2時，分式無意義 B．當x＞5時，分式的值為正數(shù) C．當分式時，m＝±3 D．分式與的最簡公分母是3ab2考點十一．分式的乘除法（1）分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母．（2）分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘．（3）分式的乘方法則：把分子、分母分別乘方．（4）分式的乘、除、乘方混合運算．運算順序應先把各個分式進行乘方運算，再進行分式的乘除運算，即“先乘方，再乘除”．（5）規(guī)律方法總結(jié)：①分式乘除法的運算，歸根到底是乘法的運算，當分子和分母是多項式時，一般應先進行因式分解，再約分．②整式和分式進行運算時，可以把整式看成分母為1的分式．③做分式乘除混合運算時，要注意運算順序，乘除法是同級運算，要嚴格按照由左到右的順序進行運算，切不可打亂這個運算順序．19．（2023秋?喀什市期末）化簡的結(jié)果是（）A．m B． C．﹣m D．﹣20．（2023春?鯉城區(qū)校級期中）計算：?的結(jié)果是（）A． B． C． D．考點十二．分式的加減法（1）同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減．（2）異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個分式化成分母相同的分式，叫做通分，經(jīng)過通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減．說明：①分式的通分必須注意整個分子和整個分母，分母是多項式時，必須先分解因式，分子是多項式時，要把分母所乘的相同式子與這個多項式相乘，而不能只同其中某一項相乘．②通分是和約分是相反的一種變換．約分是把分子和分母的所有公因式約去，將分式化為較簡單的形式；通分是分別把每一個分式的分子分母同乘以相同的因式，使幾個較簡單的分式變成分母相同的較復雜的形式．約分是對一個分式而言的；通分則是對兩個或兩個以上的分式來說的．21．（2022秋?冠縣期末）由值的正負可以比較與的大小，下列正確的是（）A．當c＝﹣3時， B．當c＝0時， C．當c＜﹣3時， D．當c＜0時，22．（2022秋?淄川區(qū)期末）已知分式化簡后的結(jié)果在數(shù)軸上對應的點位于原點左側(cè)，則x的值可以是（）A．4 B．5 C．6 D．7考點十三．分式的混合運算（1）分式的混合運算，要注意運算順序，式與數(shù)有相同的混合運算順序；先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的．（2）最后結(jié)果分子、分母要進行約分，注意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．（3）分式的混合運算，一般按常規(guī)運算順序，但有時應先根據(jù)題目的特點，運用乘法的運算律進行靈活運算．【規(guī)律方法】分式的混合運算順序及注意問題1．注意運算順序：分式的混合運算，先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的．2．注意化簡結(jié)果：運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．分子、分母中有公因式的要進行約分化為最簡分式或整式．3．注意運算律的應用：分式的混合運算，一般按常規(guī)運算順序，但有時應先根據(jù)題目的特點，運用乘法的運算律運算，會簡化運算過程．23．（2022秋?韓城市期末）下列計算正確的是（）A． B． C． D．24．（2022秋?河北期末）若m≠n，則下列分式化簡正確的是（）A． B． C． D．考點十四．分式的化簡求值先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應的值代入求出分式的值．在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡．化簡的最后結(jié)果分子、分母要進行約分，注意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．【規(guī)律方法】分式化簡求值時需注意的問題1．化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值．化簡時不能跨度太大，而缺少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當…時，原式＝…”．2．代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法．解題時可根據(jù)題目的具體條件選擇合適的方法．當未知數(shù)的值沒有明確給出時，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數(shù)不能為0．25．（2022秋?新市區(qū)校級期末）先化簡，再求值：，其中a＝5．26．（2023秋?崆峒區(qū)期末）先化簡：，再從﹣3，1，2中選取一個合適的數(shù)作為x的值代入求值．考點十五．負整數(shù)指數(shù)冪負整數(shù)指數(shù)冪：a﹣p＝（a≠0，p為正整數(shù)）注意：①a≠0；②計算負整數(shù)指數(shù)冪時，一定要根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪的意義計算，避免出現(xiàn)（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的錯誤．③當?shù)讛?shù)是分數(shù)時，只要把分子、分母顛倒，負指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù)．④在混合運算中，始終要注意運算的順序．27．（2023春?信都區(qū)期末）2﹣3的值是（）A．﹣6 B．﹣8 C． D．﹣28．（2022秋?金灣區(qū)期末）計算：（﹣3）﹣2+（﹣）0＝．考點十六．列代數(shù)式（分式）（1）定義：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式．（2）列代數(shù)式五點注意：①仔細辨別詞義．②分清數(shù)量關(guān)系．③注意運算順序．④規(guī)范書寫格式．⑤正確進行代換．注意代數(shù)式的正確書寫：出現(xiàn)除號的時候，用分數(shù)線代替．29．（2023春?皇姑區(qū)期末）甲從A地到B地要走m小時，乙從B地到A地要走n小時，若甲、乙二人同時從A、B兩地出發(fā)，經(jīng)過幾小時相遇（）A．（m+n）小時 B．小時 C．小時 D．小時30．（2023春?金寨縣期末）一項工程，甲單獨做需m小時完成，若與乙合作20小時可以完成，則乙單獨完成需要的時間是（）A．小時 B．小時 C．小時 D．小時考點十七．分式方程的定義分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．判斷一個方程是否為分式方程主要是看這個方程的分母中是否含有未知數(shù)．31．（2022秋?西豐縣期末）下列方程中，是分式方程的是（）A．+＝1 B．x+＝2 C．2x＝x﹣5 D．x﹣4y＝1考點十八．分式方程的解求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解．注意：在解方程的過程中因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．32．（2023秋?南關(guān)區(qū)期末）若關(guān)于x的分式方程+1＝的解為非負數(shù)，則m的取值范圍是（）A．m≤1且m≠﹣1 B．m≥﹣1且m≠1 C．m＜1且m≠﹣1 D．m＞﹣1且m≠1考點十九．解分式方程（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結(jié)論．（2）解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應如下檢驗：①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程時，一定要檢驗．33．（2022秋?楊浦區(qū)期末）解方程：．考點二十．換元法解分式方程1、解數(shù)學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理．2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)．34．（2022秋?青浦區(qū)校級期末）解分式方程+＝時，設(shè)＝y(tǒng)，則原方程化為關(guān)于y的整式方程是．35．（2022秋?華容區(qū)期末）閱讀下面材料，解答后面的問題．解方程：﹣＝0．解：設(shè)y＝，則原方程化為：y﹣＝0，方程兩邊同時乘y得：y2﹣4＝0，解得：y1＝2，y2＝﹣2．經(jīng)檢驗：y1＝2，y2＝﹣2都是方程y﹣＝0的解．當y＝2時，＝2，解得：x＝﹣1；當y＝﹣2時，＝﹣2，解得：x＝．經(jīng)檢驗：x1＝﹣1或x2＝都是原分式方程的解．∴原分式方程的解為x1＝﹣1或x2＝．上述這種解分式方程的方法稱為換元法．問題：（1）若在方程﹣＝0中，設(shè)y＝，則原方程可化為：；（2）若在方程﹣＝0中，設(shè)y＝，則原方程可化為：；（3）模仿上述換元法解方程：﹣﹣1＝0．考點二十一．分式方程的增根（1）增根的定義：在分式方程變形時，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根．（2）增根的產(chǎn)生的原因：對于分式方程，當分式中，分母的值為零時，無意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件．當把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會出現(xiàn)增根．（3）檢驗增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡公分母，看最簡公分母是否為0，如果為0，則是增根；如果不是0，則是原分式方程的根．36．（2023春?蒲城縣期末）若關(guān)于x的分式方程﹣1＝有增根，則a的值為（）A．﹣3 B．3 C．2 D．﹣37．（2023春?榆陽區(qū)期末）已知關(guān)于x的方程有增根，則a的值為（）A．4 B．5 C．6 D．﹣5考點二十二．由實際問題抽象出分式方程由實際問題抽象出分式方程的關(guān)鍵是分析題意找出相等關(guān)系．（1）在確定相等關(guān)系時，一是要理解一些常用的數(shù)量關(guān)系和一些基本做法，如行程問題中的相遇問題和追擊問題，最重要的是相遇的時間相等、追擊的時間相等．（2）列分式方程解應用題要多思、細想、深思，尋求多種解法思路．38．（2023秋?蛟河市期末）某化肥廠原計劃每天生產(chǎn)化肥x噸，由于采取了新技術(shù)，每天多生產(chǎn)化肥3噸，實際生產(chǎn)180噸與原計劃生產(chǎn)120噸的時間相等，那么適合x的方程是（）A． B． C． D．39．（2023秋?蛟河市期末）小明家離學校2000米，小明平時從家到學校需要用x分鐘，今天起床晚，怕遲到，走路速度比平時快5米/分鐘，結(jié)果比平時少用了2分鐘到達學校，則根據(jù)題意可列方程．考點二十三．分式方程的應用1、列分式方程解應用題的一般步驟：設(shè)、列、解、驗、答．必須嚴格按照這5步進行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整，要寫出單位等．2、要掌握常見問題中的基本關(guān)系，如行程問題：速度＝路程時間；工作量問題：工作效率＝工作量工作時間等等．列分式方程解應用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點，要學會分析題意，提高理解能力．40．（2023春?衡山縣期末）某市開發(fā)區(qū)在一項工程招標時，接到甲、乙兩個工程隊的投標書，工程領(lǐng)導小組根據(jù)甲、乙兩隊的投標書測算，共有三種施工方案：①甲隊單獨完成這項工程，剛好如期完工；②乙隊單獨完成此項工程要比規(guī)定工期多用5天；③，剩下的工程由乙隊單獨做，也正好如期完工．某同學設(shè)規(guī)定的工期為x天，根據(jù)題意列出了方程：，則方案③中被墨水污染的部分應該是（）A．甲乙合作了4天 B．甲先做了4天 C．甲先做了工程的 D．甲乙合作了工程的41．（2023秋?喀什市期末）元旦晚會上，王老師要為她的學生及班級的六位科任老師送上賀年卡，網(wǎng)上購買賀年卡的優(yōu)惠條件是：購買50或50張以上享受團購價．王老師發(fā)現(xiàn)：零售價與團購價的比是5：4，王老師計算了一下，按計劃購買賀年卡只能享受零售價，如果比原計劃多購買6張賀年卡就能享受團購價，這樣她正好花了100元，而且比原計劃還節(jié)約10元錢；（1）賀年卡的零售價是多少？（2）班里有多少學生？【核心素養(yǎng)提升】1邏輯推理——類比分數(shù)解分式問題1．（2023上·吉林長春·八年級校聯(lián)考期末）觀察下列各式：，，，(1)由此可推測：______；(2)依照上述規(guī)律，寫出的推測過程；(3)請你猜想出能表示以上式子的一般規(guī)律，用含（表示整數(shù)）的等式表示出來，并說明理由；(4)請直接用（3）中的規(guī)律計算的值．2數(shù)學運算2．（2023上·江蘇南京·八年級南京大學附屬中學校考期末