高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練74正態(tài)分布

七十四正態(tài)分布(時間:45分鐘分值:95分)【基礎(chǔ)落實練】1.(5分)已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1),若P(ξ≤1)=0.84,則P(1≤ξ≤0)等于()A.0.34 B.0.68 C.0.15 D.0.07【解析】選A.由題意得P(ξ>1)=1P(ξ≤1)=10.84=0.16,所以P(1≤ξ≤0)=12×(10.16×2)=0.342.(5分)(2023·貴州八校聯(lián)考)設(shè)隨機變量X~N(2,4),若P(X>a+2)=P(X<2a3),則實數(shù)a的值為 ()A.1 B.53 C.5 D.【解析】選B.因為P(X>a+2)=P(X<2a3),所以由正態(tài)曲線的對稱性知a+2+2a-32=2,3.(5分)若隨機變量X服從正態(tài)分布N(5,1),則P(6≤X≤7)≈ ()附:若X~N(μ,σ2),則P(μσ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.A.0.1359 B.0.3413C.0.4472 D.1【解析】選A.依題設(shè),得P(4≤X≤6)≈0.6827,P(3≤X≤7)≈0.9545,所以P(6≤X≤7)≈12×(0.95450.6827)=0.1359【加練備選】某天文館開館后的1個月內(nèi)每天的游客人數(shù)X服從正態(tài)分布N(2000,4900),則在此期間的某一天,該館的游客人數(shù)不超過2210的概率為()(參考數(shù)據(jù):若X~N(μ,σ2),則P(μσ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)A.0.99865 B.0.9973C.0.9772 D.0.00135【解析】選A.因為該天文館開館后1個月內(nèi)每天的游客人數(shù)X服從正態(tài)分布N(2000,4900),所以P(1790≤X≤2210)=P(20003×70≤X≤2000+3×70)≈0.9973,所以P(X>2210)≈12×(10.9973)=0.00135,所以P(X≤2210)≈10.00135=0.998654.(5分)某校有1000人參加某次模擬考試,其中數(shù)學(xué)考試成績近似服從正態(tài)分布N(105,σ2)(σ>0),試卷滿分150分,統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀(高于120分)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的15,則此次數(shù)學(xué)考試成績在90分到105分之間的人數(shù)約為 (A.150 B.200 C.300 D.400【解析】選C.因為P(X<90)=P(X>120)=15P(90≤X≤120)=115×2=35,所以P(90≤X≤105)=所以此次數(shù)學(xué)考試成績在90分到105分之間的人數(shù)約為1000×310=3005.(5分)(2023·濟南模擬)已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),若函數(shù)f(x)=P(x≤ξ≤x+1)為偶函數(shù),則μ= ()A.12 B.0 C.12 D【解析】選C.因為函數(shù)f(x)=P(x≤ξ≤x+1)為偶函數(shù),則f(x)=f(x),所以P(x≤ξ≤x+1)=P(x≤ξ≤x+1),所以μ=-x+x6.(5分)(多選題)(2023·哈爾濱模擬)某市有甲、乙兩個工廠生產(chǎn)同一型號的汽車零件,零件的尺寸分別記為X,Y,已知X,Y均服從正態(tài)分布,X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),其正態(tài)曲線如圖所示,A.甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的均值等于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的均值B.甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的均值小于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的均值C.甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性D.甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性低于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性【解析】選AC.X,Y均服從正態(tài)分布,X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,結(jié)合正態(tài)密度函數(shù)的圖象可知,μ1=μ2,σ1<σ2,故甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的均值等于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的均值,故A正確,B錯誤;甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性,故C正確,D錯誤.7.(5分)(2023·南京模擬)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N2,σ2,=3PX>5,則P-1≤X【解析】因為X~N2,σ2,P-1≤X≤2=P2≤又因為P-1≤X≤2=3所以PX≥2=P2≤X≤5+PX>5=4P所以PX>5=0.125,所以P2≤X≤5=0.50.所以P-1≤X≤5=0答案:0.758.(5分)某種品牌攝像頭的使用壽命ξ(單位:年)服從正態(tài)分布,且使用壽命不少于2年的概率為0.8,使用壽命不少于6年的概率為0.2.某校在大門口同時安裝了兩個該品牌的攝像頭,則在4年內(nèi)這兩個攝像頭都能正常工作的概率為________.

【解析】由題意知P(ξ≥2)=0.8,P(ξ≥6)=0.2,所以P(ξ<2)=P(ξ≥6)=0.2.所以正態(tài)曲線的對稱軸為直線x=4,即P(ξ≥4)=12,即每個攝像頭在4年內(nèi)能正常工作的概率為12,所以兩個該品牌的攝像頭在4年內(nèi)都能正常工作的概率為12×1答案:19.(10分)已知隨機變量X~N(μ,σ2),且正態(tài)密度函數(shù)在(∞,80)上是增函數(shù),在(80,+∞)上是減函數(shù),P(72≤X≤88)≈68.27%.(1)求參數(shù)μ,σ的值;(2)求P(64≤X<72).(結(jié)果精確到0.0001)參考數(shù)據(jù):P(μσ≤X≤μ+σ)≈68.27%,P(μ2σ≤X≤μ+2σ)≈95.45%,P(μ3σ≤X≤μ+3σ)≈99.73%.【解析】(1)由題意得參數(shù)μ=80.又P(72≤X≤88)≈68.27%,結(jié)合P(μσ≤X≤μ+σ)≈68.27%,可知σ=8.(2)P(μ2σ≤X≤μ+2σ)=P(64≤X≤96)≈95.45%.因為P(X<64)=P(X>96),所以P(X<64)≈12×(195.45%)=2.所以P(X≥64)≈97.725%.又P(X<72)=12×[1P(72≤X12×(168.27%)=15.所以P(X≥72)≈84.135%,所以P(64≤X<72)=P(X≥64)P(X≥72)≈13.59%.【能力提升練】10.(5分)為了解某地區(qū)高中男生的身體發(fā)育狀況,抽查了該地區(qū)1000名年齡在17.5歲至19歲的高中男生的體重情況,抽查結(jié)果表明他們的體重X(單位:kg)服從正態(tài)分布N(μ,22),且正態(tài)密度曲線如圖所示.若58.5<X≤62.5屬于正常情況,則這1000名男生中屬于正常情況的人數(shù)是 ()A.997 B.954 C.819 D.683【解析】選D.由題意,可知μ=60.5,σ=2,故P(58.5≤X≤62.5)=P(μσ≤X≤μ+σ)≈0.6827,從而屬于正常情況的人數(shù)是1000×0.6827≈683.11.(5分)在如圖所示的正方形中隨機投擲40000個點,則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布X~N(2,4)的密度曲線)的點的個數(shù)的估計值為 ()(若X~N(μ,σ2),則P(μσ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545)A.906 B.1359C.2718 D.3413【解析】選B.因為X~N(2,4),所以陰影部分的面積S=P(0≤X≤2)=12[P(6≤XP(4≤X≤0)]≈12×(0.95450.6827)=0.1359,則在正方形中隨機投擲一點,該點落在陰影內(nèi)的概率為P=0.1359412.(5分)(多選題)(2023·泰安模擬)水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術(shù)的研究、應(yīng)用與推廣,發(fā)明了“三系法”秈型雜交水稻,成功研究出“兩系法”雜交水稻,創(chuàng)建了超級雜交稻技術(shù)體系,為我國糧食安全、農(nóng)業(yè)科學(xué)發(fā)展和世界糧食供給做出了杰出貢獻.某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高,得出株高X(單位:cm)服從正態(tài)分布,其正態(tài)密度函數(shù)為f(x)=1102πe-(x-100)A.該地水稻的平均株高為100cmB.該地水稻株高的方差為10C.隨機測量一株水稻,其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大D.隨機測量一株水稻,其株高在(80,90)和在(100,110)之間的概率一樣大【解析】選AC.本題考查正態(tài)密度函數(shù)的特征以及性質(zhì)的應(yīng)用.正態(tài)密度函數(shù)為f(x)=12πσe-(x-μ)22σ2,x∈(∞,+∞),由題意知μ=100,σ2=100,所以該地水稻的平均株高為100cm,方差為100,故A正確,B錯誤;因為正態(tài)密度曲線關(guān)于直線x=100對稱,所以P(X>120)=P(X<80)>P(X>P(80<X<90),故D錯誤.13.(5分)某一部件由3個元件按如圖方式連接而成,若元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,則部件正常工作.設(shè)3個電子元件的使用壽命(單位:小時)均服從正態(tài)分布N(1000,502),且各個元件能否正常工作相互獨立,那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為________.

【解析】由題意得,3個電子元件的使用壽命服從正態(tài)分布N(1000,502),則每個元件的使用壽命超過1000小時的概率均為12,則元件1和2的使用壽命至少有一個超過1000小時的概率為112×12=34,故該部件使用壽命超過1000小時的概率為34答案:314.(10分)為應(yīng)對氣候變化,我國計劃在2030年前實現(xiàn)碳排放量到達(dá)峰值,2060年前實現(xiàn)“碳中和”.某市為了解本市企業(yè)碳排放情況,從本市320家年碳排放量超過2萬噸的企業(yè)中隨機抽取50家企業(yè)進行了調(diào)查,得到如下頻數(shù)分布表,并將年碳排放量大于18萬噸的企業(yè)確定為“超標(biāo)”企業(yè):碳排放量X[2.5,5.5)[5.5,8.5)[8.5,11.5)[11.5,14.5)[14.5,17.5)[17.5,20.5)[20.5,23.5)頻數(shù)56912864(1)假設(shè)該市這320家企業(yè)的年碳排放量大致服從正態(tài)分布Nμ,σ2,其中μ近似為樣本均值x,σ2近似為樣本方差s2,經(jīng)計算得x≈12.8,s≈5.2.試估計這320家企業(yè)中“超標(biāo)(2)通過研究樣本原始數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn),抽取的50家企業(yè)中共有8家“超標(biāo)”企業(yè),市政府決定對這8家“超標(biāo)”企業(yè)進行跟蹤調(diào)查,現(xiàn)計劃在這8家“超標(biāo)”企業(yè)中任取5家先進行跟蹤調(diào)查,設(shè)Y為抽到的年碳排放量至少為20.5萬噸的企業(yè)家數(shù),求Y的分布列與數(shù)學(xué)期望.(參考數(shù)據(jù):若X~Nμ,則Pμ-σ≤Pμ-2σPμ-3σ≤X【解析】(1)由已知,得μ≈12.8,σ≈5.2,所以P(X>18)=P(X>μ+σ)≈1-0.68272=0.所以這320家企業(yè)中“超標(biāo)”企業(yè)的家數(shù)約為51.(2)由題中頻數(shù)分布表可知,8家“超標(biāo)”企業(yè)中碳排放量至少為20.5萬噸的企業(yè)有4家,所以Y的可能取值為1,2,3,4,且PY=1=C41PY=2=C42PY=3=C43PY=4=C44所以Y的分布列為Y1234P1331所以EY=1×114+2×37+3×37+4×115.(10分)某市為了傳承發(fā)展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,組織該市中學(xué)生進行了一次文化知識有獎競賽,競賽獎勵規(guī)則如下:得分在70,80內(nèi)的學(xué)生獲三等獎,得分在80,90內(nèi)的學(xué)生獲二等獎,得分在90,100內(nèi)的學(xué)生獲一等獎,其他學(xué)生不得獎,為了解學(xué)生對相關(guān)知識的掌握情況,隨機抽取100(1)現(xiàn)從該樣本中隨機抽取兩名學(xué)生的競賽成績,求這兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎的概率;(2)若該市所有參賽學(xué)生的成績X近似服從正態(tài)分布Nμ,σ2,其中σ≈15,μ為樣本平均數(shù)的估計值①若該市共有10000名學(xué)生參加了競賽,試估計參賽學(xué)生中成績超過79分的學(xué)生數(shù)(結(jié)果四舍五入到整數(shù));②若從所有參賽學(xué)生中(參賽學(xué)生數(shù)大于10000)隨機取3名學(xué)生進行訪談,設(shè)其中競賽成績在64分以上的學(xué)生數(shù)為ξ,求隨機變量ξ的分布列和期望.附參考數(shù)據(jù),若隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則Pμ-σ≤Pμ-2σ≤X≤μ+2σ≈0【解析】(1)由題中樣本頻率分布直方圖得,樣本中獲一等獎的有6人,獲二等獎的有8人,獲三等獎的有16人,共有30人獲獎,70人沒有獲獎.從該樣本中隨機抽取兩名學(xué)生的競賽成績,基本事件總數(shù)為C1002設(shè)“抽取的兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎”為事件A,則事件A包含的基本事件的個數(shù)為C701C所以PA=C701C301C(2)由題中樣本頻率分布直方圖得,樣本平均數(shù)的估計值μ=35×0.006×10+45×0.012×10+55×0.018×10+65×0.034×10+75×0.016×10+85×0.008×10+95×0.006×10=64,則所有參賽學(xué)生的成績X近似服從正態(tài)分布N64,①因為μ+σ=79,所以PX>79≈1-0.故參賽學(xué)生中成績超過79分的學(xué)生數(shù)為0.15865×10000≈1587.②由μ=64,得PX>64=1即從所有參賽學(xué)生中隨機抽取1名學(xué)生,該生競賽成績在64分以上的概率為12所以隨機變量ξ服從二項分布ξ~B3,所以Pξ=0=C30123=18,Pξ=1=C31Pξ=3=C33所以隨機變量ξ的分布列為:ξ0123P1331Eξ=0×18+1×38+2×38+3×1【素養(yǎng)創(chuàng)新練】16(5分)(多選題)(2023·廣州模擬)為了解決傳統(tǒng)的3D人臉識別方法中存在的問題,科學(xué)家提出了一種基于視頻分塊聚類的格拉斯曼流形自動識別系統(tǒng).規(guī)定:某區(qū)域內(nèi)的m個點Pixi,yi,zi的深度zi的均值為μ=1m,標(biāo)準(zhǔn)偏差為σ=1m,深度zi?[μ3