河北省邯鄲市部分校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期月考（二）數(shù)學(xué)試卷

2025新高考單科模擬綜合卷（二）數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在本試卷和答題卡相應(yīng)位置上．3．請按照題號順序在各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效．4．考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，若，則實數(shù)（）A．B．C．2D．3或或2．已知復(fù)數(shù)中（其中i為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．3．已知n個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，方差為c．若將這n個數(shù)據(jù)均增加2得到一組新數(shù)據(jù)，則下列關(guān)于這組新數(shù)據(jù)與原來的數(shù)據(jù)不變的是（）A．平均數(shù)B．中位數(shù)C．第80百分位數(shù)D．方差4．已知角α的頂點與坐標(biāo)原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，角α終邊上有一點，β為銳角，且，則（）A．B．C．D．5．記，設(shè)a，b為平面內(nèi)的非零向量，則下列選項正確的是（）A．B．C．D．6．已知拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為l，點P在C上，垂直l于點Q，直線與C相交于M、N兩點．若M為靠近點F的的三等分點，則（）A．B．C．D．7．如圖，在直四棱柱中，底面為矩形，，點M在線段上，且，則當(dāng)三棱錐的體積最小時，線段的長度為（）A．B．C．2D．8．如圖，在所在平面內(nèi)，分別以為邊向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形．記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，的面積，，則（）A．B．C．4D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分9．已知是定義在R上的奇函數(shù)，，且當(dāng)時，，則下列說法正確的是（）A．是以4為周期的周期函數(shù)B．C．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個交點D．當(dāng)時，10．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且的圖象關(guān)于直線對稱，則下列選項正確的是（）A．的最小正周期為B．C．將的圖象向右平移個單位長度后對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)D．函數(shù)在上沒有零點11．已知數(shù)列滿足，則下列選項正確的是（）A．，…是公差為2的等差數(shù)列B．，…是常數(shù)數(shù)列C．D．若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前101項和為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知橢圓的左、右焦點分別為，過點的直線交橢圓于A、B兩點，若，則該橢圓的離心率為________．13．在三棱錐中，，平面α經(jīng)過點A，并且與垂直，當(dāng)α截此三棱錐所得的截面面積最大時，此時三棱錐的外接球的表面積為_________．14．已知實數(shù)x、y滿足，則y____x．（在“>”、“<”中選一個填在橫線處）四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15．（13分）已知函數(shù)．（1）若曲線在處的切線過點，求實數(shù)的值；（2）若在內(nèi)有兩個不同極值點，求實數(shù)m的取值范圍．16．（15分）某地元宵節(jié)舉行了燈展活動，為了解觀眾對該活動的觀感情況（“一般”或“激動”），現(xiàn)從該活動現(xiàn)場的觀眾中隨機抽取100名，得到下表：一般激動合計男性4560女性12合計100（1）補全上面的列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為觀眾對該活動的觀感程度與性別有關(guān)？（2）該活動現(xiàn)場還舉行了有獎促銷活動，凡當(dāng)天消費每滿100元，可抽獎一次．抽獎方案是：從裝有3個紅球、3個白球和4個黑球（形狀、大小、質(zhì)地完全相同）的抽獎箱里一次性摸出2個球，若摸出2個紅球，則可獲得100元現(xiàn)金的返現(xiàn)；若摸出1個紅球，則可獲得50元現(xiàn)金的返現(xiàn)；若沒摸出紅球，則不能獲得任何現(xiàn)金返現(xiàn)．若某觀眾當(dāng)天消費200元，記該觀眾參加抽獎獲得的返現(xiàn)金額為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，其中．α0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82817．（15分）如圖，三棱柱中，平面，．過側(cè)棱的平面交線段于點E（不與端點重合），交線段于點F．（1）求證：;（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．18．（17分）已知雙曲線的左、右頂點分別為，離心率為．過點的直線l與C的右支交于M、N兩點，設(shè)直線的斜率分別為．（1）若，求：；（2）證明：為定值．19．（17分）規(guī)定：對于任意實數(shù)A，若存在數(shù)列和實數(shù)，使，則稱A可以表示成x進制形式，簡記為：；如：，表示A是一個2進制形式的數(shù)，且．（1）已知，試將m表示成x進制的簡記形式；（2）若常數(shù)t滿足且，，求；（3）若數(shù)列滿足，求證：．

2025新高考單科模擬綜合卷（二）數(shù)學(xué)·參考答案1．D因為，所以或．當(dāng)時，解得，則，，滿足題意；當(dāng)時，解得或．當(dāng)時，，滿足題意；時，，滿足題意．綜上，或或，故選D．2．A由，則，則，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為．故選A3．D設(shè)這n個數(shù)據(jù)為．若將這n個數(shù)據(jù)均增加2得到一組新數(shù)據(jù)，則由于平均數(shù)為所有數(shù)據(jù)之和除以n，故平均數(shù)變?yōu)?，A錯誤；中位數(shù)為這組數(shù)據(jù)從小到大排列后中間的那個數(shù)或中間兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，由于每個數(shù)都增加2，所以中位數(shù)也增加2，即，B錯誤；設(shè)原來n個數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為d，則這組新數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為，C錯誤；方差描述的是一組數(shù)據(jù)的波動幅度，因為原來數(shù)據(jù)的方差為c，所以新數(shù)據(jù)的方差為c，D正確．故選D．4．C因為角α終邊上有一點，所以．又因為β為銳角，且，所以，所以，故C5．B若，則，A錯誤；根據(jù)平面向量數(shù)量積可知：不能保證恒成立，，所以它們的較大者一定大于等于，B正確，D錯誤；若，C錯誤．故選B6．D如圖，過點M作于點H，設(shè)準(zhǔn)線l與x軸的交點為K．因為M為靠近點F的的三等分點，所以．因為，所以．由拋物線定義知，，所以．在中，因為，所以．因為，所以．由拋物線定義知，，所以為等邊三角形，所以．設(shè)與x軸的交點為G，由及，可得點P的橫坐標(biāo)為．因為直線的斜率為，點，所以直線的方程為．將直線的方程與拋物線C的方程聯(lián)立，消去y化簡并整理得，，解得點N的橫坐標(biāo)為．又點P的橫坐標(biāo)為，可得垂直x軸，且垂足為G，在中，由及，可求得，所以，所以．故選D．7．C設(shè)，則．因為平面，平面，所以．又，所以平面由題意知，．在中，，即，化簡得．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時．故選C8．A由正弦定理得，．在中，由余弦定理，．又，所以．又，所以，所以，解得．故選A9．ABD由已知條件可得，．所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，A正確；，則，B正確；作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，如圖所示．當(dāng)時，．結(jié)合圖象可知，時，．當(dāng)時，，即函數(shù)與函數(shù)在上的圖象無交點．由圖可知，函數(shù)與函數(shù)的圖象有1個交點，C錯誤；當(dāng)時，，則，所以，D正確．故選ABD．10．ACD因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得．當(dāng)時，．因為的圖象關(guān)于直線對稱，所以，解得．由，解得，因為，所以，所以．的最小正周期為，A正確；因為，，所以，B錯誤：將的圖象向右平移個單位長度后對應(yīng)的函數(shù)為為偶函數(shù)，C正確；因為，令，得，令，由，得．作出函數(shù)與直線的圖象可知，它們沒有交點，所以函數(shù)在上沒有零點，D正確．故選ACD．11．BD由，得，兩式相減得．當(dāng)時，，兩式相加得，則是公差為4的等差數(shù)列，A錯誤；上面兩式相減得，則為常數(shù)數(shù)列，B正確；因為，所以數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，即，C錯誤；數(shù)列的前101項和，由B可知，數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，，所以，D正確．故選BD．12．如圖，設(shè)，因為，所以．由橢圓定義可知，，所以，所以，所以．因為，所以，所以．13．如圖所示，取中點E，連接．由，可知．同理可知，．又，所以平面，所以平面即為平面．又易知，所以截此三棱錐所得的截面面積為．當(dāng)時，取得最大值．設(shè)O為外接球球心，P，Q分別為外接圓圓心．球心O滿足平面，平面，所以四邊形為正方形，且，三棱錐外接球的半徑．14．<由，可得，令，則，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，一定有，所以，則．又因為，所以，令，則．當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．因為，所以．15．解：（1）由題意得，，且定義域為．所以曲線在處的切線方程為．4分根據(jù)條件得，即．6分設(shè)，則．當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增．所以，又，且在上單調(diào)遞減，所以9分（2）由（1）知，.令，得有兩個不同的解．11分令，所以，即函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點．所以．13分16．解：（1）補全的列聯(lián)表如下：一般激動合計男性154560女性122840合計2773100零假設(shè)為:觀眾對該活動的觀感程度與性別沒有關(guān)系．根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算得到．4分根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立．因此我們可以認為成立，即認為觀眾對該活動的觀感程度與性別無關(guān)．6分（2）設(shè)一次摸球摸出2個紅球的事件為A，摸出1個紅球的事件為B，沒摸出紅球的事件為C，則．8分由題意，X可取200，150，100，50，0．9分，，．13分所以X的分布列為：X200150100500P．15分17:（1）證明：在三棱柱中，平面平面，所以平面．2分又平面平面平面，所以．4分而平面平面，平面平面，平面平面，所以．6分所以四邊形為平行四邊形．所以．7分（2）解：在平面內(nèi)過點A作平面，因為平面平面，所以．8分以點A為坐標(biāo)原點，所在直線分別為x軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因為，所以，．因為，所以，．11分設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得．13分而，設(shè)直線與平面所成角為，于是得，所以直線與平面所成角的正弦值為．15分18．解：設(shè)雙曲線的焦距為，由題意得，，所以．2分因為，所以，所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．4分直線，由消去y化簡并整理得，解得或（舍），所以．6分又直線過點，所以直線的方程為，所以．7分（2）證明：設(shè)，則．8分因為，所以．