10.1.1-兩角差的余弦公式-教學設(shè)計

高中數(shù)學精選資源2/2第十章三角恒等變換10.1.1兩角差的余弦公式通過推導兩角差的余弦公式，以及兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式以及積化和差、和差化積、半角公式的過程，讓學生在經(jīng)歷和參與數(shù)學發(fā)現(xiàn)活動的基礎(chǔ)上，體驗數(shù)學的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造過程，體會向量與三角函數(shù)的聯(lián)系、三角恒等變換公式之間的聯(lián)系，理解并掌握三角變換的基本方法，發(fā)展學生的運算能力和推理能力．課程目標學科素養(yǎng)1.通過探究，了解兩角差的余弦公式的推導過程；2.熟記兩角差的余弦公式的形式及符號特征，并能利用該公式進行求值、計算.a邏輯推理:通過差角余弦公式的正用、逆用、變形用，重點提升學生的邏輯推理素養(yǎng).b數(shù)學運算:能利用兩角差的余弦公式進行求值、計算.1.教學重點：能熟練利用兩角差的余弦公式進行求值、計算.2.教學難點：通過探究，了解兩角差的余弦公式的推導過程.多媒體調(diào)試、講義分發(fā)。某城市的電視發(fā)射塔建在市郊的一座小山上.如圖所示，在地平面上有一點A，測得A，C兩點間距離約為60米，從點A觀測電視發(fā)射塔的視角(∠CAD)約為45°，∠CAB＝15°，求這座電視發(fā)射塔的高度.設(shè)電視發(fā)射塔的高度CD＝x.則AB＝AC·cos15°＝60cos15°，BC＝ACsin15°＝60sin15°，BD＝AB·tan60°＝60·cos15°·tan60°＝60eq\r(3)cos15°，∴x＝BD－BC＝60eq\r(3)cos15°－60sin15°，如果能求出cos15°，sin15°的值，就可求出電視發(fā)射塔的高度了.公式：對于任意角α，β都有cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.題型一兩角差的余弦公式的簡單應(yīng)用【例1】(1)cos(－15°)的值是()A.eq\f(\r(6)－\r(2),2) B.eq\f(\r(6)＋\r(2),2)C.eq\f(\r(6)－\r(2),4) D.eq\f(\r(6)＋\r(2),4)(2)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝________.(3)eq\f(cos7°－sin15°sin8°,cos8°)＝________.解析(1)cos(－15°)＝cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).(2)原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－35°－25°)＝cos(－60°)＝cos60°＝eq\f(1,2).(3)原式＝eq\f(cos（15°－8°）－sin15°sin8°,cos8°)＝eq\f(cos15°cos8°＋sin15°sin8°－sin15°sin8°,cos8°)＝eq\f(cos15°cos8°,cos8°)＝cos15°＝cos(60°－45°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).答案(1)D(2)eq\f(1,2)(3)eq\f(\r(6)＋\r(2),4)規(guī)律方法利用兩角差的余弦公式求值的一般思路(1)把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的差，正用公式直接求解.(2)在轉(zhuǎn)化過程中，充分利用誘導公式，構(gòu)造兩角差的余弦公式的右邊形式，然后逆用公式求值.【訓練1】求下列三角函數(shù)式的值：(1)sineq\f(π,12)；(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°.解(1)原式＝cos(eq\f(π,2)－eq\f(π,12))＝coseq\f(5π,12)＝cos[eq\f(π,4)－(－eq\f(π,6))]＝coseq\f(π,4)cos(－eq\f(π,6))＋sineq\f(π,4)sin(－eq\f(π,6))＝eq\f(\r(6)－\r(2),4).(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0.題型二給值求值【例2】已知α，β為銳角，且cosα＝eq\f(4,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(16,65)，求cosβ的值.(1)β＝(α＋β)－α(2)在求sin(α＋β)時需注意α＋β的范圍，注意符號的選取解∵0<α，β<eq\f(π,2)，∴0<α＋β<π.由cos(α＋β)＝－eq\f(16,65)，得sin(α＋β)＝eq\r(1－cos2（α＋β）)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,65)))\s\up12(2))＝eq\f(63,65).又∵cosα＝eq\f(4,5)，∴sinα＝eq\f(3,5).∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,65)))×eq\f(4,5)＋eq\f(63,65)×eq\f(3,5)＝eq\f(5,13).規(guī)律方法給值求值問題的解題策略(1)從角的關(guān)系中找解題思路：已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，要注意觀察已知角與所求表達式中角的關(guān)系，根據(jù)需要靈活地進行拆角或湊角的變換.(2)常見角的變換：①α＝(α－β)＋β；②α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β).【訓練2】已知sinα＝eq\f(2,3)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，cosβ＝－eq\f(3,4)，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，求cos(α－β)的值.解∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(2,3)，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(\r(5),3).又β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，cosβ＝－eq\f(3,4)，∴sinβ＝－eq\r(1－cos2β)＝－eq\f(\r(7),4).∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＋eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(7),4)))＝eq\f(3\r(5)－2\r(7),12).題型三給值求角【例3】已知cosα＝eq\f(1,7)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，且α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求β的值.eq\a\vs4\al(,注意β＝（α＋β）－α)解∵α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))且cosα＝eq\f(1,7)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，∴α＋β∈(0，π)，∴sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(4\r(3),7)，sin(α＋β)＝eq\r(1－cos2（α＋β）)＝eq\f(5\r(3),14).又∵β＝(α＋β)－α，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,14)))×eq\f(1,7)＋eq\f(5\r(3),14)×eq\f(4\r(3),7)＝eq\f(1,2).又∵β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴β＝eq\f(π,3).規(guī)律方法已知三角函數(shù)值求角的解題步驟(1)求所求角的某種三角函數(shù)值(為防止增解最好選取在上述范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù)).(2)結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角.【訓練3】已知sin(π－α)＝eq\f(4\r(3),7)，cos(α－β)＝eq\f(13,14)，0<β<α<eq\f(π,2)，求β的大小.解∵sin(π－α)＝sinα＝eq\f(4\r(3),7)，0<α<eq\f(π,2)，∴cosα＝eq\f(1,7)，又∵0<β<α<eq\f(π,2)，∴0<α－β<eq\f(π,2)，又cos(α－β)＝eq\f(13,14)，∴sin(α－β)＝eq\f(3\r(3),14).∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝eq\f(1,7)×eq\f(13,14)＋eq\f(4\r(3),7)×eq\f(3\r(3),14)＝eq\f(13＋36,98)＝eq\f(1,2).又∵0<β<eq\f(π,2)，∴β＝eq\f(π,3)1.cos56°cos26°＋sin56°cos64°的值為()A.eq\f(1,2) B.－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D.－eq\f(\r(3),2)解析原式＝cos56°cos26°＋sin56°sin26°＝cos(56°－26°)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2).答案C2.cos(－75°)的值()A.eq\f(\r(6)－\r(2),2) B.eq\f(\r(6)＋\r(2),2)C.eq\f(\r(6)－\r(2),4) D.eq\f(\r(6)＋\r(2),4)解析cos(－75°)＝cos(－30°－45°)＝cos(－30°)cos45°＋sin(－30°)sin45°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，故選C.答案C3.已知α是銳角，sinα＝eq\f(2,3)，則cos(eq\f(π,3)－α)＝________.解析因為α是銳角，sinα＝eq\f(2,3)，所以cosα＝eq\f(\r(5),3)，所以cos(eq\f(π,3)－α)＝coseq\f(π,3)cosα＋sineq\f(π,3)sinα＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(5),3)＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(2,3)＝eq\f(\r(5)＋2\r(3),6).答案eq\f(\r(5)＋2\r(3),6)4.若cos(α－β)＝eq\f(1,3)，則(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝________.解析原式＝2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝2＋2cos(α－β)＝eq\f(8,3).答案eq\f(8,3)5.計算：eq\f(1,2)sin60°＋eq\f(\r(3),2)cos60°＝________.解析原式＝sin30°sin60°＋cos30°cos60