山東專用2025屆高考數(shù)學(xué)二輪專題闖關(guān)導(dǎo)練二主觀題專練概率與統(tǒng)計(jì)8含解析

PAGE概率與統(tǒng)計(jì)(8)1．某校為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動(dòng)，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動(dòng)方案：方案一、方案二．為了解該校學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持，對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設(shè)全部學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立．(1)分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；(2)從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人支持方案一的概率；(3)將該校學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為p0，假設(shè)該校一年級(jí)有500名男生和300名女生，除一年級(jí)外其他年級(jí)學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為p1，試比較p0與p1的大?。?結(jié)論不要求證明)2．[2024·山東濟(jì)南質(zhì)量針對(duì)性檢測(cè)]某醫(yī)院治療白血病有甲、乙兩套方案，現(xiàn)就70名患者治療后復(fù)發(fā)的狀況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到等高條形圖如圖所示(其中采納甲、乙兩種治療方案的患者人數(shù)之比為5︰2)．(1)補(bǔ)充完整2×2列聯(lián)表，并推斷是否有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩套治療方案對(duì)患者白血病復(fù)發(fā)有影響：復(fù)發(fā)未復(fù)發(fā)總計(jì)甲方案乙方案2總計(jì)70(2)從復(fù)發(fā)的患者中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行分析，求其中接受乙方案治療的人數(shù)X的數(shù)學(xué)期望．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.050.010.0050.001k03.8416.6357.87910.8283．[2024·全國(guó)卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球競(jìng)賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；競(jìng)賽前抽簽確定首先競(jìng)賽的兩人，另一人輪空；每場(chǎng)競(jìng)賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)競(jìng)賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人接著競(jìng)賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，競(jìng)賽結(jié)束．經(jīng)抽簽，甲、乙首先競(jìng)賽，丙輪空．設(shè)每場(chǎng)競(jìng)賽雙方獲勝的概率都為eq\f(1,2).(1)求甲連勝四場(chǎng)的概率；(2)求須要進(jìn)行第五場(chǎng)競(jìng)賽的概率；(3)求丙最終獲勝的概率．4．[2024·山東濟(jì)南質(zhì)量評(píng)估]截止到2024年末，我國(guó)馬路總里程達(dá)到484.65萬公里，其中高速馬路達(dá)到14.26萬公里，規(guī)模居世界第一．與此同時(shí)，行車平安問題也成為管理部門關(guān)注的重點(diǎn)．下圖是某部門公布的一年內(nèi)道路交通事故成因分析，由圖可知，超速駕駛已經(jīng)成為交通事故的一個(gè)主要因素．探討表明，急剎車時(shí)的停車距離等于反應(yīng)距離與制動(dòng)距離的和，下表是依據(jù)某部門的調(diào)查結(jié)果整理所得的數(shù)據(jù)(v表示行車速度，單位：km/h；d1，d2分別表示反應(yīng)距離和制動(dòng)距離，單位：m)v6472808997105113121128135d113.415.216.718.620.121.923.525.326.828.5(1)從一年內(nèi)發(fā)生的道路交通事故中隨機(jī)抽出3起進(jìn)行分析探討，求其中恰好有1起屬于超速駕駛的概率(用頻率代替概率)；(2)已知d2與v的平方成正比，且當(dāng)行車速度為100km/h時(shí)，制動(dòng)距離為65m.(ⅰ)由表中數(shù)據(jù)可知，d1與v之間具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)建立d1與v之間的回來方程，并估計(jì)車速為110km/h時(shí)的停車距離；(ⅱ)我國(guó)《道路交通平安法》規(guī)定：車速超過100km/h時(shí)，應(yīng)當(dāng)與同車道前車保持100m以上的距離，請(qǐng)說明一下上述規(guī)定的合理性．參考數(shù)據(jù)：eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))vi＝1004，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))(d1)i＝210，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))vi(d1)i＝22187.3，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))veq\o\al(2,i)＝106054，eq\f(11033,52524)≈0.21參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回來直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).5．[2024·山東煙臺(tái)一中月考]某科技公司新研制生產(chǎn)一種特別疫苗，為確保疫苗質(zhì)量，定期進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)．某次檢驗(yàn)中，從產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件作為樣本，測(cè)量產(chǎn)品質(zhì)量體系中某項(xiàng)指標(biāo)值，依據(jù)測(cè)量結(jié)果得到頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)技術(shù)分析人員認(rèn)為，本次測(cè)量的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值X聽從正態(tài)分布N(μ，12.22)，若同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代替，計(jì)算μ，并計(jì)算測(cè)量數(shù)據(jù)落在(187.8,212.2)內(nèi)的概率；(3)設(shè)生產(chǎn)成本為y元，質(zhì)量指標(biāo)值為x，生產(chǎn)成本與質(zhì)量指標(biāo)值之間滿意函數(shù)關(guān)系y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.4x，x≤205，,0.8x－100，x>205.))假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代替，試計(jì)算生產(chǎn)該疫苗的平均成本．參考數(shù)據(jù)：X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.9545.6．[2024·山東臨沂模擬]在某大型公司的贊助下，某高校就業(yè)部從該高校2025屆已就業(yè)的A，B兩個(gè)專業(yè)的高校本科畢業(yè)生中隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行月薪狀況的問卷調(diào)查，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)覺，他們的月薪收入在3000元到9000元之間，詳細(xì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：月薪/百元[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)人數(shù)203644504010將月薪不低于7000元的畢業(yè)生視為“高薪收入群體”，月薪低于7000元的畢業(yè)生視為“非高薪收入群體”，并將頻率視為概率．已知該校2025屆高校本科畢業(yè)生李陽參加了本次調(diào)查問卷，其月薪為3500元．(1)請(qǐng)依據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面的2×2列聯(lián)表，并通過計(jì)算推斷，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為“高薪收入群體”與所學(xué)專業(yè)有關(guān)．非高薪收入群體高薪收入群體合計(jì)A專業(yè)B專業(yè)20110合計(jì)(2)經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)覺，該高校2025屆的高校本科畢業(yè)生月薪X(單位：百元)近似地聽從正態(tài)分布N(μ，190)，其中μ近似為樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))(每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)．若X落在區(qū)間(μ－2σ，μ＋2σ)外的左側(cè)，則可認(rèn)為該本科畢業(yè)生屬于“就業(yè)不志向”的學(xué)生，學(xué)校將聯(lián)系本人，詢問月薪過低的緣由，為以后的畢業(yè)生就業(yè)供應(yīng)更好的指導(dǎo)．①試推斷李陽是否屬于“就業(yè)不志向”的學(xué)生；②該大型公司為這次參加調(diào)查的高校本科畢業(yè)生制定了贈(zèng)送話費(fèi)的活動(dòng)，贈(zèng)送方式為：月薪低于μ的獲贈(zèng)兩次隨機(jī)話費(fèi)；月薪不低于μ的獲贈(zèng)一次隨機(jī)話費(fèi)．每次贈(zèng)送的話費(fèi)Z及對(duì)應(yīng)的概率如下：贈(zèng)送話費(fèi)Z/元60120180概率eq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)求李陽獲得的話費(fèi)總金額的數(shù)學(xué)期望．附：P(K2≥k0)0.0250.0100.005k05.0246.6357.879K2＝eq\f(nad－bc2,a＋ba＋cc＋db＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d，eq\r(190)≈14.概率與統(tǒng)計(jì)(8)1．解析：(1)記“該校男生支持方案一”為事務(wù)A，“該校女生支持方案一”為事務(wù)B，由于全部學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立，則由表中數(shù)據(jù)可知抽取的男生總?cè)藬?shù)為200＋400＝600，支持方案一的有200人，則估計(jì)該校男生支持方案一的概率P(A)＝eq\f(1,3).抽取的女生總?cè)藬?shù)為300＋100＝400，支持方案一的有300人，故估計(jì)該校女生支持方案一的概率P(B)＝eq\f(3,4).(2)記“從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人支持方案一”為事務(wù)C，則事務(wù)C包含“一名男生支持，一名男生不支持，一名女生支持”、“兩名男生支持，一名女生不支持”，由(1)可知P(C)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＋Ceq\o\al(2,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＝eq\f(13,36).(3)p0>p1.2．解析：(1)補(bǔ)充完整2×2列聯(lián)表如下：復(fù)發(fā)未復(fù)發(fā)總計(jì)甲方案203050乙方案21820總計(jì)224870由于K2＝eq\f(70×20×18－2×302,50×20×22×48)≈5.966<6.635，所以沒有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩套治療方案對(duì)患者白血病復(fù)發(fā)有影響．(2)由題意知，接受乙方案治療的人數(shù)X的全部可能取值為0,1,2.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,20),C\o\al(3,22))＝eq\f(57,77)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,20)C\o\al(1,2),C\o\al(3,22))＝eq\f(19,77)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,20)C\o\al(2,2),C\o\al(3,22))＝eq\f(1,77).E(X)＝0×eq\f(57,77)＋1×eq\f(19,77)＋2×eq\f(1,77)＝eq\f(3,11).3．解析：(1)甲連勝四場(chǎng)的概率為eq\f(1,16).(2)依據(jù)賽制，至少須要進(jìn)行四場(chǎng)競(jìng)賽，至多須要進(jìn)行五場(chǎng)競(jìng)賽．競(jìng)賽四場(chǎng)結(jié)束，共有三種狀況：甲連勝四場(chǎng)的概率為eq\f(1,16)；乙連勝四場(chǎng)的概率為eq\f(1,16)；丙上場(chǎng)后連勝三場(chǎng)的概率為eq\f(1,8).所以須要進(jìn)行第五場(chǎng)競(jìng)賽的概率為1－eq\f(1,16)－eq\f(1,16)－eq\f(1,8)＝eq\f(3,4).(3)丙最終獲勝，有兩種狀況：競(jìng)賽四場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝的概率為eq\f(1,8)；競(jìng)賽五場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝，則從其次場(chǎng)起先的四場(chǎng)競(jìng)賽依據(jù)丙的勝、負(fù)、輪空結(jié)果有三種狀況：勝輸贏勝，輸贏空勝，負(fù)空勝勝，概率分別為eq\f(1,16)，eq\f(1,8)，eq\f(1,8).因此丙最終獲勝的概率為eq\f(1,8)＋eq\f(1,16)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝eq\f(7,16).4．解析：(1)由題意可知從一年內(nèi)發(fā)生的交通事故中隨機(jī)抽出一起事故，則該起事故恰好是超速駕駛的概率為0.2，設(shè)“恰好有一起事故屬于超速駕駛”為事務(wù)A，則P(A)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))2＝eq\f(48,125).(2)由題意，設(shè)d2＝k·v2，因?yàn)楫?dāng)行車速度為100km/h時(shí)，制動(dòng)距離為65m，所以k＝0.0065，即d2＝0.0065v2，(ⅰ)因?yàn)閐1與v之間具有線性相關(guān)關(guān)系，故設(shè)eq\o(d,\s\up6(^))1＝eq\o(b,\s\up6(^))v＋eq\o(a,\s\up6(^))，因?yàn)閑q\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))vid1i－n\o(v,\s\up6(－))\o(d,\s\up6(－))1,\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))v\o\al(2,i)－n\o(v,\s\up6(－))2)＝eq\f(22187.3－10×100.4×21,106054－10×100.42)＝eq\f(1103.3,5252.4)≈0.21，故eq\o(d,\s\up6(^))1＝0.21v＋eq\o(a,\s\up6(^))，把(100.4,21)代入上式，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝－0.084，則d1與v之間的回來方程為：eq\o(d,\s\up6(^))1＝0.21v－0.084；設(shè)停車距離為d，則d＝d1＋d2，則d＝0.0065v2＋0.21v－0.084，當(dāng)v＝110km/h時(shí)，d＝101.666，即車速為110km/h時(shí)的停車距離為101.666m；(ⅱ)易知當(dāng)車速為100km/h時(shí)，停車距離為85.916m，該距離小于100m，又因?yàn)楫?dāng)車速為110km/h時(shí)的停車距離為101.666m，該距離大于100m，由以上兩個(gè)數(shù)據(jù)可知，當(dāng)車速超過100km/h時(shí)，必需與同車道前車保持100米以上的距離才能保證行駛平安．5．解析：(1)由10×(a＋0.009＋0.022＋0.033＋0.024＋0.008＋a)＝1，解得a＝0.002.(2)依題意，μ＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，故X～N(200,12.22)，所以P(187.8<X<212.2)＝P(200－12.2<X<200＋12.2)≈0.6827，故測(cè)量數(shù)據(jù)落在(187.8，212.2)內(nèi)的概率約為0.6827.(3)依據(jù)題意得平均成本為0.4×170×0.02＋0.4×180×0.09＋0.4×190×0.22＋0.4×200×0.33＋(0.8×210－100)×0.24＋(0.8×220－100)×0.08＋(0.8×230－100)×0.02＝75.04，故生產(chǎn)該疫苗的平均成本為75.04元．6．解析：(1)2×2列聯(lián)表如下：非高薪收入群體高薪收入群體合計(jì)A專業(yè)603090B專業(yè)9020110合計(jì)15050200K2＝eq\f(200×60×20－30×902,150×50×90×110)＝eq\f(200,33)≈6.061>5.024，所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為“高薪收入群體”與所學(xué)專業(yè)有關(guān)．(2)①所調(diào)查的200名學(xué)生的月薪頻率分布表如下：月薪/百元[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)人數(shù)203644504010頻率0.10.180.220.250.20.05μ＝