2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量3.2平面向量基本定理課時(shí)作業(yè)含解析北師大版必修4

PAGE其次章平面對量[課時(shí)作業(yè)][A組基礎(chǔ)鞏固]1．已知a＝xe1＋2e2與b＝3e1＋ye2共線，且e1，e2不共線，則xy的值為()A．6 B.eq\f(2,3)C．－6 D．－eq\f(2,3)解析：由a，b共線，得a＝λb(λ為實(shí)數(shù))，即xe1＋2e2＝3λe1＋λye2.∵e1，e2不共線，∴x＝3λ，2＝λy，且λ≠0，∴xy＝3λ·eq\f(2,λ)＝6.答案：A2.如圖所示，已知正六邊形ABCDEF，且eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AE,\s\up8(→))＝b，則eq\o(BC,\s\up8(→))等于()A.eq\f(1,2)(a－b) B.eq\f(1,2)(b－a)C．a(chǎn)＋eq\f(1,2)b D.eq\f(1,2)(a＋b)解析：連接AD(圖略)，則eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AE,\s\up8(→))＝a＋b，∴eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)．答案：D3．已知△ABC和點(diǎn)M滿意eq\o(MA,\s\up8(→))＋eq\o(MB,\s\up8(→))＋eq\o(MC,\s\up8(→))＝0.若存在實(shí)數(shù)m使得eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＝meq\o(AM,\s\up8(→))成立，則m＝()A．2 B．3C．4 D．5解析：∵eq\o(MA,\s\up8(→))＋eq\o(MB,\s\up8(→))＋eq\o(MC,\s\up8(→))＝0，∴點(diǎn)M是△ABC的重心．∴eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＝3eq\o(AM,\s\up8(→)).∴m＝3.答案：B4．已知eq\o(AB,\s\up8(→))＝a＋5b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝－2a＋8b，eq\o(CD,\s\up8(→))＝3a－3b，則()A．A，B，D三點(diǎn)共線 B．A，B，C三點(diǎn)共線C．B，C，D三點(diǎn)共線 D．A，C，D三點(diǎn)共線解析：因?yàn)閑q\o(AB,\s\up8(→))＝a＋5b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝－2a＋8b，eq\o(CD,\s\up8(→))＝3a－3b，所以eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝a＋5b，所以eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(BD,\s\up8(→))，所以eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(BD,\s\up8(→))共線，所以A，B，D三點(diǎn)共線．故選A.答案：A5．已知|eq\o(OA,\s\up8(→))|＝2，|eq\o(OB,\s\up8(→))|＝eq\r(3)，∠AOB＝120°，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，∠AOC＝30°，設(shè)eq\o(OC,\s\up8(→))＝meq\o(OA,\s\up8(→))＋neq\o(OB,\s\up8(→))(m，n∈R)，則eq\f(m,n)＝()A.eq\f(3,2) B.eq\r(3)C.eq\f(2\r(3),3) D.eq\f(\r(3),2)解析：如圖，過點(diǎn)C作CM∥OB，CN∥OA，則eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\o(OM,\s\up8(→))＋eq\o(ON,\s\up8(→))，設(shè)|eq\o(ON,\s\up8(→))|＝x，則|eq\o(OM,\s\up8(→))|＝2x，eq\o(OC,\s\up8(→))＝2x·eq\f(\o(OA,\s\up8(→)),|\o(OA,\s\up8(→))|)＋x·eq\f(\o(OB,\s\up8(→)),|\o(OB,\s\up8(→))|)＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(\r(3),3)x·eq\o(OB,\s\up8(→))，所以m＝x，n＝eq\f(\r(3)x,3)，所以eq\f(m,n)＝eq\f(x,\f(\r(3)x,3))＝eq\r(3).答案：B6．如圖，在平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，M是DC的中點(diǎn)，以a，b為基底表示向量eq\o(AM,\s\up8(→))＝________.解析：eq\o(AM,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(DM,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＝b＋eq\f(1,2)a.答案：b＋eq\f(1,2)a7．已知a，b是兩個(gè)不共線的向量，若它們起點(diǎn)相同，a，eq\f(1,2)b，t(a＋b)三向量的終點(diǎn)在一條直線上，則實(shí)數(shù)t＝________.解析：∵a、b是兩個(gè)不共線的向量，且起點(diǎn)相同，又a，eq\f(1,2)b，t(a＋b)三向量的終點(diǎn)在始終線上，∴t(a＋b)＝λa＋μ·eq\f(1,2)b即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＝λ,t＝\f(1,2)μ，,λ＋μ＝1))解得t＝eq\f(1,3)答案：eq\f(1,3)8．如圖所示，已知eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up8(→))，用eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))表示eq\o(OP,\s\up8(→))＝________.解析：eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(4,3)(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up8(→)).答案：－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up8(→))9．已知e1，e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，試用向量a和b表示c.解析：∵a，b不共線，∴可設(shè)c＝xa＋yb，則xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.又∵e1，e2不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝7，,－2x＋y＝－4.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2，))∴c＝a－2b.10.如圖所示，四邊形ABCD是一個(gè)梯形，AD＝4，BC＝6，AB＝2，設(shè)與eq\o(BC,\s\up8(→))同向的單位向量為a0，與eq\o(BA,\s\up8(→))同向的單位向量為b0，以a0，b0為基底表示下列向量：eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(BD,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(OA,\s\up8(→)).解析：因?yàn)閨eq\o(BC,\s\up8(→))|＝6且與eq\o(BC,\s\up8(→))同向的單位向量為a0，所以eq\o(BC,\s\up8(→))＝6a0，同理eq\o(BA,\s\up8(→))＝2b0，則eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\o(BA,\s\up8(→))＝6a0－2b0.又eq\o(AD,\s\up8(→))∥eq\o(BC,\s\up8(→))，且|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝4，所以eq\o(AD,\s\up8(→))＝4a0，eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝2b0＋4a0，eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(BD,\s\up8(→))－eq\o(BC,\s\up8(→))＝(2b0＋4a0)－6a0＝2b0－2a0.留意到AD∥BC，所以O(shè)A∶OC＝AD∶BC＝2∶3，所以eq\o(OA,\s\up8(→))＝－eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up8(→))＝－eq\f(2,5)(6a0－2b0)＝－eq\f(12,5)a0＋eq\f(4,5)b0.[B組實(shí)力提升]1．已知平面內(nèi)有一點(diǎn)P及一個(gè)△ABC，若eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))，則()A．點(diǎn)P在△ABC外部B．點(diǎn)P在線段AB上C．點(diǎn)P在線段BC上D．點(diǎn)P在線段AC上解析：∵eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))，∴eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝0，即eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))＝0，∴eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))＝0，∴2eq\o(PA,\s\up8(→))＝eq\o(CP,\s\up8(→))，∴點(diǎn)P在線段AC上．答案：D2．△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，CD平分∠ACB，若eq\o(CB,\s\up8(→))＝a，eq\o(CA,\s\up8(→))＝b，|a|＝1，|b|＝2，則eq\o(CD,\s\up8(→))＝()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b B.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(3,5)a＋eq\f(4,5)b D.eq\f(4,5)a＋eq\f(3,5)b解析：如圖，CD平分∠ACB，由角平分線定理得eq\f(AD,DB)＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(|b|,|a|)＝2，所以eq\o(AD,\s\up8(→))＝2eq\o(DB,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up8(→))，所以eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(CB,\s\up8(→))－eq\o(CA,\s\up8(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.答案：B3.如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量eq\o(OA,\s\up8(→))、eq\o(OB,\s\up8(→))、eq\o(OC,\s\up8(→))，其中∠BOA為120°，∠AOC為30°，且|eq\o(OA,\s\up8(→))|＝|eq\o(OB,\s\up8(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up8(→))|＝2eq\r(3).若eq\o(OC,\s\up8(→))＝λeq\o(OA,\s\up8(→))＋μeq\o(OB,\s\up8(→))(λ、μ∈R)，則λ＋μ的值為________．解析：如圖，以O(shè)C為對角線作?OMCN，使得M在直線OA上，N在直線OB上，則存在λ、μ，使eq\o(OM,\s\up8(→))＝λeq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(ON,\s\up8(→))＝μeq\o(OB,\s\up8(→)).∵∠AOB為120°，∠AOC為30°，∴∠NOC＝90°，∠OCN＝∠MOC＝30°.在Rt△NOC中，|eq\o(OC,\s\up8(→))|＝2eq\r(3)，|eq\o(OM,\s\up8(→))|＝|eq\o(NC,\s\up8(→))|＝eq\f(|\o(OC,\s\up8(→))|,cos30°)＝4，|eq\o(ON,\s\up8(→))|＝|eq\o(NC,\s\up8(→))|sin30°＝2.∴eq\o(OM,\s\up8(→))＝4eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(ON,\s\up8(→))＝2eq\o(OB,\s\up8(→)).∴λ＝4，μ＝2.∴λ＋μ＝6.答案：64．如圖所示，OM∥AB，點(diǎn)P在由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)(不含邊界)運(yùn)動，且eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))，則x的取值范圍是______；當(dāng)x＝－eq\f(1,2)時(shí)，y的取值范圍是______．解析：由題意，設(shè)eq\o(OM,\s\up8(→))＝λeq\o(AB,\s\up8(→))(λ＞0)，eq\o(OP,\s\up8(→))＝a·eq\o(OM,\s\up8(→))＋b·eq\o(OB,\s\up8(→))(a＞0,0＜b＜1)，所以eq\o(OP,\s\up8(→))＝a·λeq\o(AB,\s\up8(→))＋b·eq\o(OB,\s\up8(→))＝aλ(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))＋b·eq\o(OB,\s\up8(→))＝－aλ·eq\o(OA,\s\up8(→))＋(aλ＋b)·eq\o(OB,\s\