2021-2022學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)期末壓軸課-與三角形有關(guān)的線(xiàn)段（解析版）

（難）2021-2022學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)期末壓軸課

與三角形有關(guān)的線(xiàn)段（解析版）

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、填空題

1.（2021?江蘇靖江?）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4、點(diǎn)8分別在x軸和y軸的正

半軸上運(yùn)動(dòng)，且A5=4,若AC=5C=5,△A5c的形狀始終保持不變，則在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程

中，點(diǎn)C到原點(diǎn)0的最小距離為.

【答案】歷-2

【分析】

如圖，過(guò)C作CG_L/1B于G,鉆=4,證明G8=G4=2,求解CG=VJ1,OG=2,結(jié)合三

角形的三邊的關(guān)系可得：OOCG-OG,當(dāng)C,O,G三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，OC=CG—OG,可得

CONCG-OG=V^-2,從而可得答案.

【詳解】

解：如圖，過(guò)C作CGLAB于G,AB=4,

■.■CB=CA=5,

.-.GB=GA=2,

:.CG=5/C42-G42=752-22=后,

?.?ZAOB=90°,

.?.OG」AB=2,

2

由三角形三邊的關(guān)系可得：

OOCG-OG,

當(dāng)C,O,G三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，OC=CG-OG,

:.CO>CG-OG=j2l-2,

CO的最小值是：正1—2.

???點(diǎn)c到原點(diǎn)。的最小距離為&T一2.

故答案為：V21-2.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊

的一半，三角形三邊之間的關(guān)系，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

2.（2021?山東城陽(yáng)?）如圖，在A(yíng)48C中，NAC8=90。，CELAB于點(diǎn)E,AD=AC,AF

平分NC45交CE于點(diǎn)F,DF的延長(zhǎng)線(xiàn)交AC于點(diǎn)G,以下結(jié)論:①DF//BC；②尸G=fE；

③N4CF=N3；@EF+CG>CF.其中正確的有（填正確結(jié)論的序號(hào)）

【答案】①②③④

【分析】

根據(jù)已知，利用S4S判定A4C尸嶺△8￡>凡從而得到N4CF=NAO凡根據(jù)直角三角形

的兩銳角互余得到等量代換即可判定。尸〃BC,即可判斷①③正確：

已知。/〃BC,ACLBC,則GRAC,再根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等得

到尸G=EF,即可判斷②正確；根據(jù)“三角形兩邊之和大于第三邊”即可判斷④正確.

【詳解】

解：平分NCAB,

，ZCAF^ZDAF,

在△ACF和△AQF中，

AC=AD

"ZCAF=ZDAF,

AF=AF

：./\ACF^/\ADF(SAS),

ZACF=ZADF,

4c8=90。，CELAB,

ZACE+ZCAE=90°,ZCA￡+ZB=90°,

ZACF=ZB,

：.ZADF=ZB,

：.DF//BC.故①③正確；

'：DF//BC,BCLAC,

：.FG±AC,

'JFE1.AB,

又A尸平分NCAB,

：.FG=FE,故②正確；

在△GCF中，F(xiàn)G+COCF,

?；FG=FE,

：.EF+CG>CF,故④正確；

故答案為：①②③④.

【點(diǎn)睛】

此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系、角平分線(xiàn)的性質(zhì)，根據(jù)S4S

判定△AC尸父△4。尸是解題的關(guān)鍵.

3.(2020?浙江奉化?九年級(jí)月考)向一個(gè)三角形內(nèi)加入2016個(gè)點(diǎn)，加上原三角形的三個(gè)

點(diǎn)共計(jì)2019個(gè)點(diǎn)，用剪刀最多可以剪出______個(gè)以這2019個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形.

【答案】4033

【分析】

當(dāng)1個(gè)點(diǎn)的時(shí)候是3個(gè)三角形，2個(gè)點(diǎn)的時(shí)候是5個(gè)三角形，3個(gè)點(diǎn)的時(shí)候是7個(gè)三角

形，則n個(gè)點(diǎn)的時(shí)候是2n+l個(gè)三角形，將n=2016即可解答.

【詳解】

解：當(dāng)1個(gè)點(diǎn)時(shí)有3個(gè)以這4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形：

當(dāng)2個(gè)點(diǎn)時(shí)有5個(gè)以這5個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形；

當(dāng)3個(gè)點(diǎn)時(shí)有7個(gè)以這6個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形；

則當(dāng)n個(gè)點(diǎn)時(shí)有2n+l個(gè)以這（n+3）個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形；

故2016個(gè)點(diǎn)時(shí),有2x2016+1=4033個(gè).

故答案為4033.

【點(diǎn)睛】

本題考查了規(guī)律探索，根據(jù)圖形的變化得到變化規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵.

4.（2021?山東省青島第二十六中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，△ABC的面積為1.第一次操

作：分別延長(zhǎng)A3,BC,C4至點(diǎn)4,Bi,Ci,使B￡=BC,CiA=CA,順

次連接4,Bi,Ct,得到第二次操作：分別延長(zhǎng)45“81G,G4至點(diǎn)

A2,BI,Ci,使A2B=AI5I,82G=5IG,CiAi=CxAx,順次連接4,B2,C2,得到

△A2B2C2,...按此規(guī)律，要使得到的三角形的面積超過(guò)2021,最少經(jīng)過(guò)多少次操作

C,

【答案】4

【分析】

先根據(jù)已知條件求出及△A2&C2的面積，再根據(jù)兩三角形的倍數(shù)關(guān)系求解即可.

【詳解】

解：△ABC與△AIBBI底相等（A8=4B）,高為1：2（BBt=2BC）,故面積比為1：2,

,/AABC面積為1,

=2.

同理可得，S&CB、C、=2,S"4c,=2,

=Sec6G+SA/I1Aq+SMB、B+^^ABC=2+2+2+l=7

同理可證Mg=7%函=49，

第三次操作后的面積為7x49=343,

第四次操作后的面積為7x343=2401.

故按此規(guī)律，要使得到的三角形的面積超過(guò)2021,最少經(jīng)過(guò)4次操作.

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形的面積，此題屬規(guī)律性題目，解答此題的關(guān)鍵是找出相鄰兩次操作之

間三角形面積的關(guān)系，再根據(jù)此規(guī)律求解即可.

5.（2021?無(wú)錫市僑誼實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，在A(yíng)ABC中，點(diǎn)。,點(diǎn)E分別是AC

和AB上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足AE=23E,8=34）,過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)/平行射線(xiàn)8。交

CE于點(diǎn)。，交直線(xiàn)/于點(diǎn)F.若ACD尸的面積為12,則四邊形AE。。的面積為

連接AO,根據(jù)三角形邊之間的關(guān)系得到面積之間的關(guān)系進(jìn)行推理解答.

【詳解】

如圖，連接A。，

"：CD=3AD,

?\AD：CD=\：3,

??SAADF=qS&CDF，SAADO=,SACDO,~*^ACBD>

<**S△的=12,

??S八欣’?=4,S4ACF=16,

VAF/7BC,

:，^^ABF=SZ\ACF=16，

?0?S.ABD=12,

:?SACBD=36,SgBc=48,

"：AE=2BE,

:.BE：AE=\：2,

.,S&AEC=2s△BEC,S/iAEO=2s4BEO>

??S&AEC=32,SQBKC=16,

,?S&AOE+S4A00+S&COD=2(S4BOE+^ABOC),

即^AAOE+S”oo+SMOD=2sABOK+2s△ROC，

.14

,?jS&COD+SdCOD=2s&BOC'即］S&COD=2s3B0C'

S/^COD-S4BOC=3:2,

?S^BCD=S/SBOC+S4cor)=36

.0i

,?'△COD——Z-

???s枇cAEOD=s△阪-s△詡=32-竽=,

故答案為：y.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形的邊與面積之間的關(guān)系，平行線(xiàn)之間距離處處相等，能正確把邊之間

的關(guān)系轉(zhuǎn)化為面積之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

二、解答題

6.(2021?河北寧晉?)新定義：我們把兩個(gè)面積相等但不全等的三角形叫做偏等積三角

形.

初步嘗試

(1)如圖1,在中，ZACB=90°,AC=BC=6,尸為AC上一點(diǎn)，當(dāng)AP的長(zhǎng)

為時(shí)，A/WP與ACBP為偏等積三角形.

理解運(yùn)用

(2)如圖2,△A8O與△AC。為偏等積三角形，AB=2,AC=4,且線(xiàn)段AO的長(zhǎng)

度為正整數(shù)，過(guò)點(diǎn)C作CE//AB,交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,求AE的長(zhǎng).

綜合應(yīng)用

(3)如圖3,已知以。為直角三角形，ZADC=90°,以AC,AO為腰向外作等腰

直角三角形A8C和等腰直角三角形ADE,ZC4B=ZDAE=90°,連接8E,求證：

△AC。與^ABE為偏等積三角形.

B

A

【答案】(1)3；(2)4；(3)證明見(jiàn)解析

【分析】

(1)根據(jù)新定義，當(dāng)P為AC的中點(diǎn)時(shí)，滿(mǎn)足條件，從而可得答案；

(2)由△A3D與△ACD為偏等積三角形，證明比>=8,再證明右A￡QC,可

得AB=EC=2,再利用三角形三邊的關(guān)系求解1<43<3,結(jié)合AD為正整

數(shù)，求解4)=2,從而可得答案；

(3)如圖，過(guò)點(diǎn)B作交E4的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)尸.證明△ABFgZ\AC￡>，可得

8尸=8.結(jié)合％此=1"4片，S^CD=^ADCD,AE=A。，證明久謝=$小.從

而可得結(jié)論.

【詳解】

解：(1)如圖，連接BP,

'IAP=PC=3時(shí),S?PAB=S‘pBC，

?.?△43尸與APBC不全等，

?.?△ABP與ACBP為偏等積三角形，

故答案為3.

(2)?.?△AB。與八48為偏等積三角形,

?q=q

…"AABD-乙人。。'

BD—CD.

???ABIIEC,

..NBAD=NE.

,:ZADB=/EDC,

.^ADB^EDC(AAS),

:.AD=DE,AB=EC=2,

vAC=4,

.\4-2<AE<4+2

.\4-2<2A￡><4+2,

:.2<2AD<6,

:.1<AD<3.

???A。為正整數(shù)，

:.AD=2,

:.AE=2AD=4.

(3)證明：如圖，過(guò)點(diǎn)3作斯_LAE,交E4的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)尸.

v在等腰宜角三角形A3C和等腰宜角三角形ADE中，Z.CAB=ZDAE=90°,

/.ZE4C+Z/MC=90°,ZBAF+ZFAC=90°,

:.ZBAF=ZDAC.

在A(yíng)AB廠(chǎng)和人。。中，

ZBAF=ZDAC

<ZBFA=ZCDA,

AB=AC

.^ABF^ACD(AAS)t

:.BF=CD.

?'S^BE=萬(wàn)BF-AE,SMCD=~A0,CD,AE=AD,

??S&ABE~^/\ACD?

由圖可知，這兩個(gè)三角形不全等，

.-.△ACD與MBE為偏等積三角形.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是對(duì)新定義的理解與運(yùn)用，同時(shí)考查三角形的中線(xiàn)的性質(zhì)，三角形三邊之間

的關(guān)系，三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握作出適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)構(gòu)

建三角形全等是解題的關(guān)鍵.

7.（2021?沙坪壩?重慶南開(kāi)中學(xué)七年級(jí)期中）RrAABC中，Z4BC=9O°,AB=BC,過(guò)

點(diǎn)A作連接BE,CE,M為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn).

（1）如圖1,點(diǎn)M在8E上，連接CM,CMkBE,過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)八。為AC

中點(diǎn)，連接尸。并延長(zhǎng)，交CM于點(diǎn)H.

①若A￡=2,AB—4,則SAAEE=;

②求證：MF=MH.

(2)如圖2,連接BM,EM,過(guò)點(diǎn)8作于點(diǎn)8,且滿(mǎn)足連接

AM',MM',過(guò)點(diǎn)8作3G_LCE于點(diǎn)G,若5AApc=18,EM=3,8G=4,請(qǐng)求出線(xiàn)

段W的取值范圍.

【答案】（1）①4,②見(jiàn)解析；（2）6<AM'<12

【分析】

（1）①根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可；②先根據(jù)AAS證得A/LB尸絲△8CM,得出

BF=MC,AF^BM,再利用AAS證得△A尸。且△<?”￡),得出4尸=C〃，即可得出結(jié)論；

(2)連接CM,先利用SAS得出△ABM，必CBM,得出WCM,再根據(jù)等底同高

的三角形的面積相等得出SMBC=SAflEC=18,再利用三角形的面積公式得出EC的長(zhǎng)，

從而利用三角形的三邊關(guān)系得出AM'的取值范圍；

【詳解】

解：⑴①AE=2,AB=4,

5fMsnBoiFz=—2AExAB=—2x2x4=4,

②?：CM1BE,,AFLBE,

：.ZAFB=ZBMC=ZFMC=90°,

???NAB尸+N8A產(chǎn)=90。，

???ZABC=90°,

：.NA8F+NC8M=90。，

J/BAF:/CBM,

AB=BC,

:?BF=MC,AF=BM,

ZAFB=ZFMC=90°f

:.AFHCM,

"FACHCD,

???。為AC中點(diǎn)，

：.AD=CDt

'：/FDA=/HDC,

：.4AFD出4CHD,

：.AF=CHf

：?BM=CH,

?:BF=CM

:?BF-BM=CM-CH

:,MF=MH.

(2)連接CM,

?；BM'工BM,ZABC=90°f

NABC=NMBM'=90°,

：?/M，BA=NCBM,

?:AB=BC,BM'=BM,

???△ABM&ACBM,

f

：.AM=CMf

VAE1.BA,ZABC=90。,

JZABC+ZBAE=\SO°t

：.AE//BCf

,,SgBC~S^EC=18，

■:BG工CE,BG=4,

：.=gxECx4=18,

:.EC=9

在中，EM=3,

則9-3<CA/<9+3,

：.6<CM<U,

：.6<AM'<12,

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系，靈活運(yùn)用全等三角形的判

定是解題的關(guān)鍵.

8.(2021?浙江省余姚市實(shí)驗(yàn)學(xué)校)新定義：我們把兩個(gè)面積相等但不全等的三角形叫

做偏等積三角形.

(1)如圖1,在等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,尸為AC上一點(diǎn)，

當(dāng)AP=時(shí)，△ABP與4CBP為偏等積三角形.

(2)如圖2,點(diǎn)。為5c上一點(diǎn)，△ABO與AAC。為偏等積三角形，A8=2,AC=6,

且線(xiàn)段AO的長(zhǎng)度為正整數(shù)，過(guò)點(diǎn)C作CE〃A5交AO的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,求AE的長(zhǎng).

(3)如圖3,已知△AC。為直角三角形，ZADC=90°,以AC,AO為邊向外作正方

形ACF3和正方形4OGE,連接8E,求證：△ACD與AA8E為偏等積三角形.

圖1圖2圖3

【答案】⑴2；(2)6；(3)見(jiàn)解析

【分析】

(1)利用三角形中線(xiàn)的性質(zhì)即可求解；

(2)先證明△A3。絲△ECQ,推出CE=AB=2,AE=2AD,再根據(jù)三角形三邊

的關(guān)系求解即可；

(3)過(guò)點(diǎn)8作BHLEA,交EA延長(zhǎng)線(xiàn)于H,然后證明4ABH^ACD,得到BH=CD,

根據(jù)%。竹肥氐力，SvABE=gAE啰H,即可得至1」5少8=5丫"￡，再判定兩個(gè)三角形

不全等即可得到答案.

【詳解】

解：(1):在等腰直角三角形ABC中，NACB=90。，AC=BC=4,

S&ABP=^APgPC,S3=gcP陰C,

?.?△482與4CBP為偏等積三角形，

S甌BP^AP啰C=SACBP=；CP啰C,

：.AP=CP=1AC=2；

2

Si

(2)???△ABO與△ACZ)為偏等積三角形，△ABO與△AC。為等高三角形

：.BD=DC,

,JAB//CE,

：.ZBAD=ZCED,ZABD=ZECD,

：.^ABD^/\ECD(AAS),

：.AD=DEfCE=AB=2

：.AE=2AD,

9

：AC-CE<AE<AC+CE1

???4<A欣8,

：.2<AD<4t

???AO的長(zhǎng)為正整數(shù)，

：.AD=3f

：.AE=6；

圖2

(3)過(guò)點(diǎn)5作交E4延長(zhǎng)線(xiàn)于“，

???ZH=ZADC=90°,

：.NABH+NBAH=90。

??,四邊形ABFT為正方形，

：.AB=AC,ZBAC=90°,

:?/BAH+/HAC=90。,

???NABH=/HAC,

丁四邊形AOGE是正方形，

：.AE=ADfAE//DG,

：.ZHAC=ZACDf

：.ZACD=ZBAHf

：./\ABH^ACD(ASA),

:.BH=CD9

丁5AAs=gAO3,SvABE=|AEgPH,

,,SAACD=SYABE?

又?.?N”=90。，NBAE=NH+NHBA,ZADC=90°

???△ACO與AABE不是全等三角形，

：./\ACD與4A8E為偏等積三角形.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形三邊的關(guān)系，平行線(xiàn)

的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

9.(2021?陜西興平?)問(wèn)題提出:

(1)如圖1,在A(yíng)ABC中，已知AB=AC=5,BC=4,在BC上找一點(diǎn)D,使得線(xiàn)段

AD將△ABC分成面積相等的兩部分，畫(huà)出線(xiàn)段AD,并寫(xiě)出AD的長(zhǎng)為.

問(wèn)題探究：

(2)如圖2,點(diǎn)D是^ABC邊AC上一定點(diǎn),在BC上找一點(diǎn)E,使得線(xiàn)段DE將4ABC

分成面積相等的兩部分，并說(shuō)明理由.

問(wèn)題解決：

(3)如圖3,四邊形ABCD是西安市高新區(qū)新近改造過(guò)程中的一塊不規(guī)則空地，為了

美化環(huán)境，市規(guī)劃辦決定在這塊地里種植兩種花卉，打算過(guò)點(diǎn)C修一條筆直的通道，

以便市民出行觀(guān)賞花卉，要求通道兩側(cè)種植花卉的面積相等，經(jīng)測(cè)量AB=20米，AD

=100米，ZA=60°,ZABC=150°,ZBCD=120°,若將通道記為CF,請(qǐng)你畫(huà)出通

道CF,并求出通道CF的長(zhǎng).

【答案】(1)畫(huà)圖見(jiàn)解析；AD=721(2)畫(huà)圖見(jiàn)解析；理由見(jiàn)解析(3)畫(huà)圖見(jiàn)解

析；CF=35

【分析】

(1)如圖1中，取BC的中點(diǎn)D,連接AD,線(xiàn)段AD即為所求.再根據(jù)等腰三角形的

“三線(xiàn)合一”及利用勾股定理求解即可.

(2)如圖2中，取BC的中點(diǎn)F,連接AF,DF,過(guò)點(diǎn)A作AE〃DF交BC于E,則直

線(xiàn)DE平分△ABC的面積.

(3)如圖3中，延長(zhǎng)AB交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于T,過(guò)點(diǎn)C作CELAD于E.求出四邊形

ABCD的面積，利用三角形的面積公式求出DF,再利用勾股定理即可解決問(wèn)題.

【詳解】

解：(1)如圖1中，取BC的中點(diǎn)D,連接AD,線(xiàn)段AD即為所求.

AAD1BC,

在RtAABD中，VZADB=90°,AB=5,BD=2,

/.AD=VAB2-BD2=^52-22=V21.

故答案為：y/2\：

(2)如圖2中，取BC的中點(diǎn)F,連接AF,DF,過(guò)點(diǎn)A作AE〃DF交BC于E,

則直線(xiàn)DE平分△ABC的面積.

理由如下：VBF=FC,

***SAABF=SAACF,

,?,DF〃AE,

AEF=SAAED,

??Spq邊彬ABEDSAABE+SAADEABE+SAAEFSAABF彳SAABC,

???直線(xiàn)DE平分△ABC的面積.

(3)如圖3中，延長(zhǎng)AB交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于T,過(guò)點(diǎn)C作CEJ_AD于E.

?\ZD=360°-60°-l50°-l20°=30°,ZTBC=\80°-l50°=30°,

Z7'=180o-600-30o=90°,

：AD=100m,AB=20m,

AAT=yAD=50(m),DT=石AT=50x/3(m),BT=AT-AB=30(m),

n

.,.CT=30?4=1073,CD=DT-CT=4()&,

3

VCE1AD,

二ZCED=90°,

/.CE=yCD=20&(m),DE=⑺EC=60(m),

2

SHSH；ABCD=SAADT-SABCT=yx50x5。石—yx30x]()石=1100石(m),

：直線(xiàn)CF平分四邊形ABCD的面積，

?'?SACDF=550>/3(m2),

A550>/3-DF?EC,

ADF=55(m),

；.EF=DE-DF=5(m),

；.CF=JcS+E尸=J(20⑹-+5?=35-

【點(diǎn)睛】

本題主要以三角形中線(xiàn)把三角形的面積平均分成相等的兩部分為出發(fā)點(diǎn)來(lái)考查學(xué)生對(duì)

幾何綜合的運(yùn)用，同時(shí)也考查了等腰三角形、平行、勾股定理等知識(shí)的運(yùn)用，本題的關(guān)

鍵是通過(guò)找到面積平分來(lái)解決問(wèn)題.

10.(2021?湖北通城?七年級(jí)期末)如圖，以直角三角形AOC的直角頂點(diǎn)。為原點(diǎn)，以

OC,04所在直線(xiàn)為軸和軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A(0,a),C(b,0)滿(mǎn)足

^/a^6+|b-8|-0.

(1)a=；b=；直角三角形AOC的面積為.

(2)已知坐標(biāo)軸上有兩動(dòng)點(diǎn)P,。同時(shí)出發(fā)，尸點(diǎn)從C點(diǎn)出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的

速度向點(diǎn)。勻速移動(dòng)，。點(diǎn)從0點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，

點(diǎn)尸到達(dá)。點(diǎn)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束.4C的中點(diǎn)。的坐標(biāo)是(4,3),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒.問(wèn)：

是否存在這樣的t,使得△ODP與AODQ的面積相等？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)在(2)的條件下，若NOOC=NDC。，點(diǎn)G是第二象限中一點(diǎn)，并且y軸平分

ZGOD.點(diǎn)E是線(xiàn)段04上一動(dòng)點(diǎn)，連接接CE交。。于點(diǎn)//,當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段04上

運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，探究NG。。，ZOHC,NACE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論(三角

形的內(nèi)角和為180).

【答案】(1)6；8；24：(2)存在，=2.4時(shí)，使得△ODP與△ODQ的面積相等；(3)

ZGOD+ZACE=ZOHC,見(jiàn)解析

【分析】

(1)利用非負(fù)性即可求出a,b即可得出結(jié)論，即可求出AABC的面積;

(2)先表示出0Q,0P,利用那個(gè)面積相等，建立方程求解即可得出結(jié)論；

(3)先判斷出/OAC=NAOD,進(jìn)而判斷出0G〃AC,即可判斷出/FHC=NACE,同

理NFHO=NGOD,即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：(1)解：(1),?*Va—6+|b—8|=0,

Aa-6=0,b-8=0,

a=6,b=8,

AA(0,6),C(8,0)；

???ABC=6x8;2=24,

故答案為(0,6),(8,0)；6；8；24

⑵???5”次=(。。?|而|=；上4=2.SAOD/,=loP-|y?|=l-(8-2r)-3=12-3r

由2r=12—3r時(shí),r=2.4

二存在，=2.4時(shí)，使得△ODP與△ODQ的面積相等

(3))2ZGOA+ZACE=ZOHC,理由如下：

"?"x軸_1_丫軸，

???ZAOC=ZDOC+ZAOD=90°

???ZOAC+ZACO=90°

XVZDOC=ZDCO

ZOAC=ZAOD

Ty軸平分NGOD

JZGOA=ZAOD

:.ZGOA=ZOAC

???OG〃AC,

如圖，過(guò)點(diǎn)H作HF〃OG交x軸于F,

???HF〃AC

工ZFHC=ZACE

同理NFHO=NGOD,

TOG〃FH,

???ZGOD=ZFHO,

，ZGOD+ZACE=ZFHO+ZFHC

即ZGOD+ZACE=ZOHC,

.??2ZGOA+ZACE=ZOHC.

，ZGOD+ZACE=ZOHC.

此題是三角形綜合題，主要考查了非負(fù)性的性質(zhì)，三角形的面積公式，角平分線(xiàn)的定義，

平行線(xiàn)的性質(zhì)，正確作出輔助線(xiàn)是解本題的關(guān)鍵.

11.（2021?浙江杭州?）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)方形ABC。的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是

（6,-1）.頂點(diǎn)。的坐標(biāo)是（-2,9）,且AD//8CV/工軸，AB//8//），軸，A8交x軸于點(diǎn)

E.取線(xiàn)段A8的中點(diǎn)R點(diǎn)M從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿y軸的正

方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)E出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M與點(diǎn)

N同時(shí)出發(fā)，設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為￡秒，連接而，F(xiàn)N,MN.

(1)填空：點(diǎn)5的坐標(biāo)為,點(diǎn)F的坐標(biāo)為.

(2)請(qǐng)?zhí)剿鱊硒"，NOMN,NE/W之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由：

(3)試判斷以點(diǎn)尸、M、O、N為頂點(diǎn)的四邊形的面積是否變化？若不變化，請(qǐng)求出其

值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)(6,9),(6,4)；(2)(^0<t￡2,NFNM=NOMN+ZEFN,②當(dāng)Z>2時(shí)，

4EFN=NFNM+NOMN,(3)當(dāng)0<fV2時(shí)，面積不變，Swa)B(wF/v=12,當(dāng)f>2時(shí)，面積

發(fā)生變化，5pqiifEOMFN=3”.

【分析】

(1)根據(jù)BC公軸，可得點(diǎn)5、點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相同，由48乃軸，可得點(diǎn)A,點(diǎn)3的

橫坐標(biāo)相同，可求點(diǎn)8(6,9),4B中點(diǎn)尸坐標(biāo)為(6,4)；

(2)分類(lèi)討論①當(dāng)0<Y2時(shí)，過(guò)N作GN〃y軸交M尸于G,②當(dāng)f>2時(shí)，由AB平

行y軸，可得OM〃GN〃EF,利用平行線(xiàn)性質(zhì)NOMN=NGNM,ZEFN=ZGNF,求和

即可；

(3)①當(dāng)0</V2時(shí)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f,OM=2t,NE=3t,ON=6-3t,EF=4,利用割補(bǔ)法S四二

OMF后SVWOMFE-SAFNE===12,②當(dāng)t>2時(shí)，利用割補(bǔ)法S叫邊柩OMF,V=SAMNO+S四邊形

OMFE-SL0EF===3r.

【詳解】

解(1)公軸，

二點(diǎn)8、點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相同，

；48丹軸，

.??點(diǎn)A,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相同，

VA的坐標(biāo)是(6-1)、頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是(-2,9),

點(diǎn)B（6,9）,

點(diǎn)E（6,0）

AB中點(diǎn)F坐標(biāo)為（6,4）,

故答案為（6,9）,（6,4）；

（2）結(jié)論是：①馮0&2"NFNM=NOMN+NEFN,②當(dāng)f>2時(shí)，ZEFN=ZFNM+ZOMN,

①當(dāng)0<fW2時(shí)，過(guò)N作GN/>軸交于G,

平行y軸，

OM〃GN〃EF,

二ZOMN=ZGNM,NEFN=ZGNF,

'：ZFNM=ZFNG+ZGNM=ZEFN+ZOMN=ZOMN+ZEFN:

②當(dāng)/>2時(shí)，過(guò)N作GN%>軸交MF延長(zhǎng)線(xiàn)與G,

OM〃GN〃EF,

二ZOMN=ZGNM,NEFN=ZGNF,

：.4EFN=NGNF=NGNM+乙FNMVOMN+乙FNM：

SnaitiOMFI^S四色彩。MFE-SAFNE==5（2f+4）x6——x3/x4=6f+12-6z=12,

②當(dāng)r>2時(shí)，OM=2t,NE=3t,ON=3t-6.EF=4,

S四邊彩OM?V=SAMNO+S四邊形0MFE-S4OEF==

^（3/-6）x2r+^（2z+4）x6-1x6x4=3/2-6r+6/+12-12=3/2,

...當(dāng)0<Y2時(shí)，面積不變，S叫歷。如*=12,當(dāng)r>2時(shí)，面積發(fā)生變化，5O,WF；V=3r

【點(diǎn)睛】

本題考查圖形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，矩形性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，割補(bǔ)法求三角形面積與

四邊形面積，角的和差關(guān)系，掌握?qǐng)D形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，矩形性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)，平行線(xiàn)的性質(zhì),

割補(bǔ)法求三角形面積與四邊形面積，角的和差關(guān)系是解題關(guān)鍵.

12.(2021?鎮(zhèn)江市第三中學(xué))如圖，“ABC中，ZC=90°,AC=8cm,BC=6cm,AB=10cm,

若動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)C開(kāi)始，按CfBfA-C的路徑運(yùn)動(dòng)，回到C點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)結(jié)束，已知點(diǎn)

P的速度為每秒2cm,運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，秒.

CP把AABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分?

(2)當(dāng)年時(shí),CP把AABC的面積分成相等的兩部分?

(3)當(dāng)，為何值時(shí),△8CP的面積的6?

17

【答案】⑴6；(2)5.5；(3)11秒或一秒

4

【分析】

(1)先求出△A8C的周長(zhǎng)為24cm,所以當(dāng)CP把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分時(shí),

點(diǎn)尸在A(yíng)8上，MCA+AP=HP+BC=ncm,再根據(jù)時(shí)間=路程+速度即可求解；

(2)根據(jù)中線(xiàn)的性質(zhì)可知，點(diǎn)尸在A(yíng)B中點(diǎn)時(shí)，(:2把4ABC的面積分成相等的兩部分,

進(jìn)而求解即可；

(3)分兩種情況：①尸在A(yíng)C上；②尸在A(yíng)8上.

【詳解】

解：（1）△ABC中，,.,AC=8cm,BC=6cm,AB=10cm,

/\ABC的周長(zhǎng)=8+6+10=24cm,

.?.當(dāng)CP把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分時(shí)，點(diǎn)尸在A(yíng)8上，

止匕時(shí)C4+AP=BP+BC=12cm,

：.2t=12,

解得:1=6；

（2）當(dāng)點(diǎn)尸在A(yíng)8中點(diǎn)時(shí)，C尸把△ABC的面積分成相等的兩部分，

此時(shí)CB+BP=6+5=II（cm）,

解得：r=5.5；

（3）分兩種情況：

①當(dāng)P在A(yíng)C上時(shí)，

?.?△8CP的面積=6,

...gx6xCP=6,

：.CP=2,

二2勺6+10+6,解得：/=11；

②當(dāng)P在A(yíng)B上時(shí)，

ABCP的面積=6=4ABC面積的；,

4

/.BP=—AB=—,即2/-6=—,

422

17

解得：,

4

17

故，為11秒或一秒時(shí)，△BCP的面積為6.

4

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，三角形的周長(zhǎng)與面積，三角形的中線(xiàn)，難度適中.利

用分類(lèi)討論的思想是解（3）題的關(guān)鍵.

13.（2021?四川開(kāi)江?七年級(jí)期末）（1）基礎(chǔ)應(yīng)用：如圖1,在A(yíng)ABC中，AB=5,AC

=7,40是8c邊上的中線(xiàn)，延長(zhǎng)AO到點(diǎn)E使連接CE,把48,AC,2AD

利用旋轉(zhuǎn)全等的方式集中在A(yíng)ACE中，利用三角形三邊關(guān)系可得AO的取值范圍

是;

（2）推廣應(yīng)用：應(yīng)用旋轉(zhuǎn)全等的方式解決問(wèn)題如圖2,在A(yíng)ABC中，AZ）是5c邊上的

中線(xiàn)，點(diǎn)E,尸分別在4B,AC上，S.DELDF,求證：BE+CF>EF；

(3)綜合應(yīng)用：如圖3,在四邊形48C。中，AB=AD,N8+NAOC=180。且NEA尸

【答案】(1)1<AD<6；(2)見(jiàn)解析；(3)結(jié)論：EF=BE-FD,證明見(jiàn)解析.

【分析】

(1)先證明△(SAS')可得CE=A8=5,在△ACE中，利用三角形的三

邊關(guān)系解答即可；

(2)如圖2中，延長(zhǎng)到H,使得連接OH,FH.再證明△絲△CD”

(SAS)可得BE=CH,再證明利用三角形的三邊關(guān)系解答即可；

(3)如圖3,作輔助線(xiàn)，構(gòu)建AABG,同理證明△尸和△AEG四△AEF.可

得新的結(jié)論：EF=BE-DF.

【詳解】

(1)解：如圖1：'：CD=BD,AD=DE,ZCDE^ZADB,

：./\CDE^/\BDA(SAS),

:.EC=AB=5,

V7-5<AE<l+5,

：.2<2AD<12,

：.\<AD<(),

故答案為1<A￡><6.

(2)證明：如圖2中，延長(zhǎng)到H,使得連接。H,FH.

圖2

'：BD=DC,/BDE=NCDH,DE=DH,

：.ABDE^ACDH(SAS),

:?BE=CH,

?:FD工EH.DE=DH,

:.EF=FH,

在△CFH中，CH+CF>FH,

?:CH=BE,FH=EF,

：.BE+CF>EF.

(4)結(jié)論：EF=BE-FD

證明：如圖3中，在BE上截取8G,使8G=。凡連接AG.

VZB+ZADC=180°,ZADF+ZADC=180°,

：.ZB=ZADF,

u

：AB=ADfBG=DF,

：./\ABG^/^ADF(SAS),

：.ZBAG=ZDAFfAG=AF,

：.ZBAG+ZEAD=ZDAF+ZEAD=ZEAF=|ABAD,

：.ZGAE=ZEAFt

\'AE=AE9

：.(SA5),

：.EG=EF,

?：EG=BE-BG,

：.EF=BE-FD.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的中線(xiàn)的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等

知識(shí)，掌握倍長(zhǎng)中線(xiàn)、構(gòu)造全等三角形成為本題的關(guān)鍵.

14.(2021?全國(guó)七年級(jí)課時(shí)練習(xí))在△A3C中，AB=29BC=4f8,4?于。,

EB

圖①圖②

(1)如圖①，已知AE_L8c于E,求證：CD=2AE

(2)如圖②,P是線(xiàn)段4c上任意一點(diǎn)(P不與A、C重合)，過(guò)尸作PEJ_3C于E,PFrAB

于尸，求證：2PE+PF=CD

(3)在圖②中，若尸是AC延長(zhǎng)線(xiàn)上任意一點(diǎn)，其他條件不變，請(qǐng)畫(huà)出圖形并直接寫(xiě)

出PE、PF、CD之間的關(guān)系.

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析：(3)畫(huà)圖見(jiàn)解析，PF=CD+2PE.

【分析】

(1)分別以48、8c邊為底邊，利用AA8C的面積的兩種不同表示列式整理即可得證；

(2)連接尸B,根據(jù)AABC的面積等于A(yíng)ABP和ABCP的面積的和，然后列式整理即可得

證；

(3)作出圖形，連接P8,然后根據(jù)^A8P的面積等于△A8C的面積和^PBC的面積的和，

列式整理即可得解.

【詳解】

解：(1)證明：

S=-AB.CD=-BC-AE,

△八A〃B°r22

???AB=2,BC=4,

A-x2.CZ)=-x4.A￡,

22

z.CD=2AE,

(2)如圖②，連接尸8,

圖②

,,?0S4ABe~=uA4PBeT+q，

AB?CD=-AB.PF+-BC?PE,

222

?/AB=2,BC=4,

x2?CD=-x2.PF+-x4?PE,

222

:.CD=PF+2PE;

(3)如圖③，即為圖像，

連接P8,作尸EL3C交8c的延長(zhǎng)線(xiàn)于E點(diǎn),

?q-qaq

?°APAB-°AABCT°APCB?

AB.PF=-AB?CD+-BC.PE,

222

AB=2,BC=4,

.?.-x2.PF=-x2.CD+-x4,PE,

222

PF=CD+2PE.

【點(diǎn)睛】

本題綜合考查了三角形的知識(shí)，把同一個(gè)三角形的面積采用不同方法列式表示出來(lái)，然

后再把已知數(shù)據(jù)代入進(jìn)行計(jì)算求解，所