2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末高頻考點專題06 導(dǎo)數(shù)（知識串講解析版）

2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末高頻考點

專題06導(dǎo)數(shù)

【知識梳理】

一、導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

i.導(dǎo)數(shù)的概念

一般地，函數(shù)產(chǎn)於）在x=xo處的瞬時變化率lim包=lim，四.3）二為函數(shù)產(chǎn)危）在x=xo

ADAx右7°Ar

處的導(dǎo)數(shù)，記作，（X。）或y'|x=x°即/'（x0）=lim竺=lim,禺十一）一’禺）.

稱函數(shù)，（x）=lim/（玉）+.）-75）為/（，的導(dǎo)函數(shù).

Ar1°A%

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)/（X）在點xo處的導(dǎo)數(shù)/'（xo）的幾何意義是在曲線y=Ax）上點P（xo,1xo））處的切線的斜率.相應(yīng)地,

切線方程為y—/Uo）=為（x（＞）（x—xo）.

3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

f（x）=c（c為常數(shù)）f'(x)=0

/(x)=sinxf(x)=cos_x

八x)=e*/'(X尸e'

Ax)=lnxf(x)=-

X

/X)=W(QGQ*)f(.r)=?xa~l

/(x)=cosXf(x)=—sin_x

xr

f(x)=a(a>()9aHl)f(x)=aln_g

1Ax)=logaX(a>0,aWl)f(x)=—--

xInx

4.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法貝!一

⑴[而±四丁=f'(x)±g,(x)；

⑵4M以削'=H(x)jg(x)+[x)g'(x)；

八/'(x)g(x)—g(x)g。)

1g(x)」[g(x)廣

5.常用結(jié)論

L/(xo)代表函數(shù)/U)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)值；(Axo))'是函數(shù)值A(chǔ)*。)的導(dǎo)數(shù)，且(Axo))'=O.

2[1]，—/'a)

l/(X)J[/(x)]2'

3.曲線的切線與曲線的公共點的個數(shù)不一定只有一個，而直線與二次曲線相切只有一個公共點.

4.函數(shù)y=7(x)的導(dǎo)數(shù)/(x)反映了函數(shù)4x)的瞬時變化趨勢，其正負(fù)號反映了變化的方向，其大小|f(x)|反映

了變化的快慢，，⑴I越大，曲線在這點處的切線越“陡”.

二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

L函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

函數(shù)y=/U)在區(qū)間伍，m內(nèi)可導(dǎo)，

⑴若/'(x)>0,則|x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；

(2)若/'(幻<0，則/U)在區(qū)間(a，b)內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)；

⑶若恒有r(x)=0,則/(x)在區(qū)間(a,。)內(nèi)是常數(shù)函數(shù).

討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的實質(zhì)是解不等式，求解時，要堅持“定義域優(yōu)先”原則.

2.常用結(jié)論匯總——規(guī)律多一點

(1)在某區(qū)間內(nèi)/'(x)>O(f(x)<0)是函數(shù)大幻在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件.

⑵可導(dǎo)函數(shù)/(X)在S，m上是增(減)函數(shù)的充要條件是對VxG(a,b),都有/'(x)'。/(x)WO)且/'(x)

在(a,b)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零.

三、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值最值

1.函數(shù)的極值

⑴函數(shù)的極小值：

函數(shù)y=_Ax)在點X=a的函數(shù)值八a)比它在點x=a附近其他點的函數(shù)值都小，f(a)=0；而且在點x=a

附近的左側(cè)/'(x)V0,右側(cè)/'(x)>0,則點a叫做函數(shù)y=Ax)的極小值點，/(a)叫做函數(shù)y=/U)的極小

心

(2)函數(shù)的極大值：

函數(shù)y=/(x)在點x=b的函數(shù)值式仍比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值都大，/'(6)=0；而且在點x=b

附近的左側(cè)/'(x)>0,右側(cè)，(x)<0,則點》叫做函數(shù)y=_Ax)的極大值點，/(加叫做函數(shù)y=/(x)的極大

心

極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.

①函數(shù)八%)在xo處有極值的必要不充分條件是/'(xo)=O,極值點是/'(x)=0的根，但/'(x)=0的

根不都是極值點(例如大此=好，f(0)=0,但x=0不是極值點).

②極值反映了函數(shù)在某一點附近的大小情況，刻畫的是函數(shù)的局部性質(zhì).極值點是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部的

點，不會是端點.

2.函數(shù)的最值

(1)在閉區(qū)間［4,包上連續(xù)的函數(shù)/U)在［a,加上必有最大值與最小值.

(2)若函數(shù),/U)在［4,句上單調(diào)遞增，則/~(a)為函數(shù)的最小值,他)為函數(shù)的最大值;若函數(shù)人x)在［〃，例

上單調(diào)遞減，則危/)為函數(shù)的最大值,血>)為函數(shù)的最小值.

3常用結(jié)論

1.對于可導(dǎo)函數(shù)加)，"5))=0"是“函數(shù)./W在x=xo處有極值”的必要不充分條件.

2.求最值時，應(yīng)注意極值點和所給區(qū)間的關(guān)系，關(guān)系不確定時，需要分類討論，不可想當(dāng)然認(rèn)為極值就是

最值.

3.函數(shù)最值是“整體”概念，而函數(shù)極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒有必然的大小關(guān)系.

【典型例題】

考點一：導(dǎo)數(shù)的概念

例1、函數(shù)y=/(x)=2x2-1在區(qū)間(1,1+4x)上的平均變化率祟等于()

A.4B.4+2/久C.4+2(4X)2D.4Ax

【答案】B

【解答】解：:=/(I+Ax)-f⑴=[2(1+4x)2_1]_(2-1)=2⑷>+44c,

絲=24x+4.

Ax

故選艮

訓(xùn)練1、一物體的運(yùn)動方程是s=3+t2,則t在[2,2.1]內(nèi)的平均速度為()

A.0.41B.4.1C.0.3D.3

【答案】B

解：根據(jù)題意可得=-=廿歲"廿2.2)=41

△t0.1

例2、設(shè)f(%)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足F端⑵藍(lán)2f)=_1,則曲線y=f(%)在點(2,/(2))處的切線的斜率是()

A.2B.-2C.--D.-

22

【答案】B

解：由導(dǎo)數(shù)的基本概念可知Him叫母=：f'(2)=-1,

h-*02/i2

即/'(2)=-2,所以曲線y=/(x)在點(2,/(2))處的切線斜率為一2,

故選股

訓(xùn)練1、已知函數(shù)f(x)=ax2+Znx滿足二0f⑴力一的=入則曲線y=/"(x)在點(j/g))處的切線斜

3AxN2

率為.

【答案】3

解：函數(shù)/(x)=ax2+Inx,可得/''(;<)=2ax+；,

晨&二也=2,可得為%吧08)-"】一如)=2,

3Ax32Ax

即|/'(1)=2,所以r(1)=3,

可得3=2。+1,解得a=1,

所以尸⑺=2x+±r(!)=2x|+2=3.

故答案為：3.

訓(xùn)練2、如果說某物體作直線運(yùn)動的時間與距離滿足s(t)=2(1-t)2,則其在t=1.2時的瞬時速度為()

A.4B.-4C.4.8D.0.8

【答案】0

解：方法一：

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得，在t=1.2時的瞬時速度為s'")=3,JL2+《；-S(L2)

?2(1-1.2-Af)2-2(1-1.2)2

=lini------------r-------------

A/-o△￡

2"+o.8Af

=lini-------=0.8，

Z-0Af

故選。.

方法二:s(t)=2t2-4t+2,

s(t)=4t-4>

s(1.2)=0.8,

故選D.

例3、已知曲線y=/在點P處的切線的斜率k=3,則點P的坐標(biāo)是()

A.(1,1)B.(-1,1)

C.(1,1)或D.(2,8)或(—2,—8)

【答案】C

解：因為y=/,

所以y'=3x2.

由題意，知切線斜率k=3,

令3x2=3,

得X=1或X=-1.

當(dāng)x=1時，y=1；

當(dāng)％=-1時，y=-1.

故點P的坐標(biāo)是(1,1)或(一1,一1).

故選：C.

訓(xùn)練1、設(shè)曲線y=X2+x-2在點M處的切線斜率為3,則點M的坐標(biāo)為()

A.(0,-2)B.(1,0)C.(0,0)D.(1,1)

【答案】B

解：設(shè)點M(x(),yo)，V="+%-2,

.(Xo+4X)2+(X0+4X)-2(就+*0-2)=2x4-1

"Ax->00'

令2X()+1=3)x0=1,則y()=0.

故選B.

例4、曲線y=久1-1在點(1,1)處的切線方程為()

A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=x+2D.y=x-2

【答案】B

解：因為函數(shù)丫=4婚-1的導(dǎo)數(shù)為y'=(1+乃蠟-，

可得曲線丫=xe*T在點(Li)處的切線斜率為2,

所以曲線丫=xe'T在點(L1)處的切線方程為y-1=2(x-1),

即為y=2x-L

故選B.

訓(xùn)練1、曲線y=2ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為.

【答案】y=2x

解：丫y=2ln(x+1).

當(dāng)％=0時，y'=2,

???曲線y=2/n(x+1)在點(0,0)處的切線方程為y=2x,

故答案是y=2x.

例5、已知/(%)為偶函數(shù)，當(dāng)》<。時，/(%)=則曲線y=/(%)在點(L2)處的切線方程是

【答案】y=2x

解：已知f(%)為偶函數(shù)，當(dāng)x40時，/(%)=e-x-1-x,設(shè)％>0,則一工<0,

:./(x)=/(—%)=e*T+x,則/'(x)=ex-1+1,

???/(I)=e1-1+1=2/(1)=e°+l=2.

??.曲線y=f(x)在點(1,2)處的切線方程是y-2=2(x-1),即y=2%.

故答案為y=2x.

訓(xùn)練1、已知函數(shù)/(%)=(1+%)lnx+；.

(1)求曲線y=/Q)在點(1,7(1))處的切線方程；

(2)求證：/(%)>%.

【答案】解：(1)依題意，/(%)=Inx+：+1—點，

故/(1)=1,有=

故所求切線方程為y-1=x-1,即y=x.

(2)由/(%)>x得(1+x)\nx+：2%整理得(％+l)lnx+>0,

化簡得In%+—>0,

X

令g(%)=liu+：-1,則"。)=：一點=妥,

當(dāng)0<%<1時，gf(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>l時，gf(x)>0,g(%)單調(diào)遞增，

所以g(%)min=g(D=0,即g(%)N0恒成立，

所以/'(%)>X恒成立.

例6、已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，f'(x)是函數(shù)“X)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是()

A.2/(2)</(4)-/(2)<2/(4)B.2/(4)<2/(2)</(4)-/(2)

C.21⑵<21(4)</⑷-f(2)D./(4)-f(2)<2/(4)<21⑵

【答案】A

解：由函數(shù)/(x)的圖像可知：當(dāng)》22時，“X)單調(diào)遞增，

???f'(2)>0,f'(4)>0,/(4)-/(2)>0,

而/"'(2),1(4)分別代表在x=2,x=4處的切線的斜率，然等可以看成割線的斜率，

4—2

由圖可知0<f(2)<￡咒?<f(4).

即21(2)</(4)—/(2)<2/(4).

故選A.

例7、德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問題出發(fā)，引進(jìn)微積分概念.在研究切線時認(rèn)

識到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標(biāo)的差值和橫坐標(biāo)的差值，以及當(dāng)此差值變成無限小時它們的比值,

這也正是導(dǎo)數(shù)的幾何意義.設(shè)f'(x)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若f'(x)>0,對\//,刀26(且看不打，總有

友坦膂</(審)，則下列選項正確的是()

A./⑺</(e)</(2)B.f(7T)>r(e)>1(2)

C.<(2)<f(2)—f⑴<1⑴D.[(1)<7(2)-/(I)<1(2)

【答案】C

解：?.,/'(%)>0,則函數(shù)/(%)在R上單調(diào)遞增,且7T>e>2,

.-./(TT)>/(e)>/(2),A錯誤;

―)；"X2)

?.?對X2ER,且看于小，總有</(空),則/(x)是凸函數(shù),

不妨假設(shè)f(x)的圖像如圖所示：

且((%)反映/函數(shù)/(x)圖象上各點處的切線斜率，

由圖可知，[(兀)<f'(e)<1(2),8錯誤；

???/(2)-"1)=等等，表示點(14(1))和點(2)(2))的連線的斜率，

由圖可知，.尸(2)Vf(2)-f(l)Vf'(l),C正確，D錯誤.

故選C.

例8、若直線y=々％+b是曲線y=1+仇工的切線，也是曲線y=ln(%+2)的切線，則b=

【答案】ln2

解:設(shè)y=kx+b與y=Inx+1和y=ln(x+2)的切點分別為(%力仇%1+1)、(x2,ln(x2+2))；

y=Inx+1,y=ln(x4-2)

,ifi

7=7y=*,

:?k=工=—,

%]-%2=2,

1Y

切線方程分別為y-(Inx.+l)=i(x-x1),即為y=-+lnX1,

XiXi

或y—ln(x+2)=a(X-x),即為y=F+子+lnx,

2*2十/X2it

...B=o,

Xi

解得=2,

???b=仇2,

故答案為：ln2.

訓(xùn)練、若曲線y=ln(x+a)的一條切線為y=ex+b,其中a,b為正實數(shù)，則a+總的取值范圍是

【答案】［2,+8)

解：由題意知，

y'=士，設(shè)切點為(m,n)，

貝ij［m+a-e,得到b=ae-2,

(ln(m+Q)=me+b

a>0,b>0,

、2

a>-,

e

???。+島=。+^》2(當(dāng)且僅當(dāng)￡1=1時取等號)，

故a+系的取值范圍是［2,+8)

故答案為：［2,+8).

例9、曲線/(x)=ln(2x—l)上的點到直線2x-y+3=0的最短距離是()

A.1B.2C.V5D.3

【答案】C

解：設(shè)曲線上過點P(&,yo)的切線平行于直線2x-y+3=0,此切點到直線2x-y+3=0的距離最短，

.?"'。)=白

2

/'(%0)=2,得&=1,

2x0—1

曲線/(x)=ln(2x-1)上的點P(l,0)到直線2x-y+3=0的距離最短,

為d=|2-0+3|=V5.

02+(-1)2

故選C.

訓(xùn)練1、點尸是曲線。上任意一點，則點P到直線4%+4丫+1=0的最小距離是()

A.^^(1—In2)B.-^^(1+ln2)C.■^(；+hi2)D.-(1+ln2)

【答案】B

解：工2_y_21iiv/x=()1即y=x2-21nVx,

又4x+4y+1=0即為y=-x-

令2x-：=-1得x=3(負(fù)值舍去)，

與直線4x+4y+1=0平行的切線的切點為(1；+ln2),

4xi+4x[-+li>2|+1/-，,、

???點P到直線4x+4y+1=0的最小距離是“214/、陽1+h⑵.

庶—2~

故選B.

考點二：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

例1、下列各式正確的是()

A.sin—=cos—B.(cosx)'=sinx

、8J8

C.(ax)'=axlnaD.(%~5)/=—1x-6

【答案】C

解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式有(sing)'=0,4錯誤；

(cosx)<=-sinx,3錯誤；

xx

{ay=a\nafC正確；

(x-5)'=—5x-6,O錯誤；

故選C.

訓(xùn)1、函數(shù)/(x)=暇的導(dǎo)函數(shù)/'(x)=.

2sin2x+cos2x

【答案】-

解：由/(%)=

2sin2x+cos2x

所以ro)=-

故答案為：—2sin2x+cos2x

例2、己知f(x)=ln(5x+2),/'(x)是/。)的導(dǎo)數(shù).則［(|)=

【答案】1

解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/'(%)=熱

555?

則/‘(|)=-3—=----=-=1,

5x1+23+25'

故答案為：L

訓(xùn)練1、已知函數(shù)在R上可導(dǎo)，F(xiàn)(x)=/(x3-1)+/(1-X3),則F'(l)=

【答案】0

解：根據(jù)題意,F(x)=/(x3-l)+f(l-x3),

則/'(%)=3X2/Z(X3—1)—3x2f(l—x3),

則/⑴=3/z(0)-3r(0)=0.

故答案為：0.

例3、設(shè)函數(shù)/(%)滿足/(%)=x2+3f(l)x-/(I),則f(4)=.

【答案】5

解：??,/(%)=%2+3f(i)x-y(i),

"(%)=2x4-3f(l),

令x=l,則/(1)=2+3/(1),即1(1)=一1,則/(%)=%2一3%—/(1),

令x=1,則f(l)=1-3-/(I),則f(1)=-1,即/(%)=%2—3x+1,

則/(4)=42-3x4+1=16-12+1=5,

故答案為5.

訓(xùn)練1、已知定義在(0,+8)上的函數(shù)f(%)的導(dǎo)函數(shù)為升(%),/(%)=//(I)%3+(%+/(I))-Inx,則f(1)+

(⑴=?

【答案】-|

解：由題意，得/''(X)=3/(1)萬2+Inx+1+32

則尸⑴=3尸⑴+l+f(l),

即21⑴+f⑴=-1,①

在，(%)=/口)無3+。+/(1)).1nx中,令x=1得f(l)=尸(1),(2)

由①②，得f(D=/⑴=心.

所以久1)+/'(1)=-|?

故答案為-1.

例4、設(shè)函數(shù)/(%)=QX+1,若((1)=2,則Q=()

A.2B.—2C.3D.—3

【答案】A

【解答】解：??"'(1)=lima,⑴=iim。⑷+D：i-(a+i)=0且/。)=2>a=2

Ax-04XAr-0IXJ

故選A.

例5、定義方程又x)=/'(%)的實數(shù)根X。叫做函數(shù)/(的的“新駐點”.⑴設(shè)f(x)=sinx,則f(x)在(0㈤上

的“新駐點”為.

(2)如果函數(shù)g(x)=ln(x+l)與九(x)=x+e*的“新駐點”分別為a、0、那么a和子的大小關(guān)系是

【答案】(1)至；(2)a〈尸.

4

解：(l)?「/(x)=sinx,/r(x)=cosx,

令/(x)=/'(x),即sinx=cosx,得tanx=l,

vxe(0,^-),解得x=5，

所以，函數(shù)y=/(x)在(0,萬)上的“新駐點”為:；

(2)vg(x)=ln(x+l),〃(x)=x+e*,

則g[x)=—J，”(x)=l+，,

=+

令/(x)=ln(x+l)-----則“⑴~j-z+1x2>°對任意的xe(-l,E)恒成立,

所以，函數(shù)9(x)=ln(x+l)-----在定義域(-1,內(nèi))上為增函數(shù),

,:力⑼=一[<0,

由零點存在可得ae(0,1),

令〃(x)=〃'(x),可得x=l,即8=1,所以，a</3.

TT

故答案為:⑴一；⑵a(尸.

4

考點三：單調(diào)性

例1、下列函數(shù)中，在(0,+8)上為增函數(shù)的是()

A./(x)=sirtZxB./(x)=xex

C.f(x)=x3—xD./(x)=—x+Inx

【答案】B

【解答】

解：對于A,f(久)=sin2x是周期函數(shù)，在(0,+8)上無單調(diào)性，二不滿足題意；

對于B,,；/(無)=xe3;.1(%)=(1+x)e*,,,.當(dāng)x€(0,+8)時，［(x)>0,/(x)在(0,+8)上是增函數(shù);

對于C,/(x)=/一x,"(x)=3x2-1,.,.當(dāng)xG(0,吊時，/'(x)<0,/1(X)是減函數(shù);xG譚,+8)時，

【答案】D

解：由題意，由y=/(x)的圖象可知,

(一8,0)上,/(乃單調(diào)遞增,則y=廣(0在(―8,0)上恒有尸⑺>0,由此排除4C;

又y=f(x)在(0,+8)上,先增，再減,再增,

則y=f'(x)在(0,+8)上，先正，再負(fù)，再正，排除B；

故選D.

訓(xùn)練1、已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)((x)的圖象如圖所示，則“為的圖象可能為(

【答案】B

解:%>0時，/'(X)>0,則/(x)單增；一2<x<0時，/'(X)<0,則/(x)單減;

乂<一2時，則<乃單增.

則符合上述條件的只有選項艮

故選B.

例4、已知函數(shù)/(x)=久+二在(-x.-1)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.[1,+8)B.(-oo,O)U(0,1]

C.(0,1]D.(-8,0)u[1,+8)

【答案】D

解：:/(X)=%+*,.?.r(x)=1-焉,

?函數(shù)/'(X)=%+2在(-8,-1)上單調(diào)遞增，

f'M=1一為20在(一8,-1)恒成立，

即:工產(chǎn)在恒成立，

當(dāng)x€(—8,—1),x2>1.則(41,

解得Q>1或a<0,

故選

例5、已知函數(shù)/(%)=%3—3%4-1.

(1)求曲線y=f(x)在點(0,7(0))處的切線方程；

(2)求函數(shù)〃%)的單調(diào)區(qū)間.

【答案】解：(1)/(%)=/一3%+1,所以f(0)=l,

又/'(%)=3/-3,

所以k=r(0)=-3,

故切線方程為3%+y-1=0.

(2)/'(%)=3x2—3>0,則％>1或工<—1,

f(x)=3/-3<0,則一1Vx<1.

故函數(shù)在(一8,-1)和(1,+8)上單調(diào)遞增，在(—1,1)上單調(diào)遞減.

訓(xùn)練1、已知函數(shù)/(%)=2)%+1.

(1)若/(無)W2x+c,求c的取值范圍;

(2)設(shè)a>0,討論函數(shù)9(刈=管詈的單調(diào)性.

【答案】解：(1)/0)W2%+c等價于2)%-2%Wc-1在(0,+8)上恒成立.

設(shè)/i(x)=2bix-2x,"(X)=：-2=^^(K>0).

當(dāng)xe(0,1)時,h'M>0,九(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)%G(1,+8)時，hz(x)<0,九(%)單調(diào)遞減,

???九。)在％=1時取得極大值也就是最大值為h(1)=-2,

c—12—2f即cN—1

則C的取值范圍為［-1,+8);

(2)gQ)==2(y&>o.》h《a>0).

.-(x-a)-2lnx+2lna---2lnx+2lna+2

令w(x)=-三—2lnx+2lna+2(x>0),

則"。)=要一合寫2

令w'(x)>0,解得0VXVQ,令w'(x)<0,解得%>Q,

???w(%)在(0,a)上單調(diào)遞增，在(a,+8)上單調(diào)遞減.

Aw(x)<W(Q)=0,即g'(%)<0,

???g(x)在(0,a)和(a,+8)上單調(diào)遞減.

訓(xùn)練/2、已知函數(shù)f(%)=x2-2a\nx-1,其中/WR,a工0.

(1)當(dāng)Q=2時，求曲線y=/(%)在點(l,f(1))處的切線方程;

(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

【答案】解：(1)當(dāng)a=2B寸，f(x)=x2-41nx-1,

所以/'(x)=2%一：,

所以f(l)=0,f(l)=-2,

所以切線方程為：y—0=-2(%—1),即：y——2x+2.

(2)函數(shù)定義域為(0,+8),r(x)=2x-y,

因為aeR,aM0,

當(dāng)a<0時,f(x)>0在(0,+8)上恒成立,

所以函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(0,+8),無減區(qū)間.

當(dāng)a>0時，由［'(2>°得X>疝

由C。得0<x<a

所以函數(shù)的增區(qū)間為(6,+8),減區(qū)間為(0,病.

考點四：極值點

例1、設(shè)函數(shù)/(x)=2/nx-則()

A.x=e為極大值點B.x=|為極大值點

C.x=l為極小值點D.無極值點

【答案】B

解：：函數(shù)/'(x)=2lnx-*2,定義域為(0,+8),

二(。)=：-2x,令尸(x)<0,解得：x>1,%<—1(舍)，

二函數(shù)/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為：(1,+8),

同理令((外>0,解得:0<x<l,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為:(0,1),

則x=1為極大值點，

故選尻

例2、已知函數(shù)/(%)=/++歷:在％=1處有極值10,則f(2)等于()

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】D

解：v/(%)=%34-ax2+bx,

:.=3x2+2ax+b,

;函數(shù)/(%)=x3+ax2+bx在％=1處有極值為10,

.[3+2Q+b=0

'71+Q+b=l(r

解得Q=-12,b=21,

???/(%)=%3—12x2+21%,

???f⑵=23-12x22+21x2=2.

故選O.

訓(xùn)練1、已知Q是函數(shù)f(x)=/一12%的極大值點，則a=()

A.-4B.-2C.4D.2

【答案】B

解：f'tx)=3x2-12,

:.x<—2時，/'(x)>0,

-2<x<2時，f(x)<0,

x>2時,f'(x)>0；

???x=-2是/(x)的極大值點；

又a為f(x)的極大值點，

:.a=-2.

故選B.

例3、已知函數(shù)/'(x)=/+3a/+bx+a2(a,b6R)在x=—1處取得極值0,則a+b=()

A.4B.11C.4或11D.3或10

【答案】B

解：=3x2+6ax+b,

二((-l)=3-6a+b=0,①，

/(—1)=-1+3a—b+a?=0,(2),

由①②得：

當(dāng)｛；二；時，/'(%)=3/+6ax+b=3(%+l)2>0,

在x=-1處不存在極值，不合題意；

當(dāng)R時，符合題意，

3=9

因此Q+b=11.

故選B.

例4、已知/(x)=等，下列說法正確的是()

A./(%)在％=1處的切線方程為y=x—1

B.單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,?)

C./(X)的極大值為:

D./(x)的極小值點為x=e

【答案】AC

解：函數(shù)/(x)的定義域(0,+oo),

尸(x)=手，所以/'(1)=1，/(I)=0,

/'(X)的圖象在點(1,0)處的切線方程為y-0=f(l)(x-1),

即y=l-(x-l)=x-l,故選項A正確；

在(0,e)上，f(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，在(e,+8)上,f(%)<0,/(x)單調(diào)遞減，故3錯

f(x)的極大值也是最大值為/"(e)=等=%故選項C正確；

因為在(0,e)上，/(x)單調(diào)遞增，在(e,+8)上，/(x)單調(diào)遞減，所以函數(shù)沒有極小值點，故。錯

故選AC

例5、已知函數(shù)/'(%)=21nx-x2.

(1)求函數(shù)/(x)在x=1處的切線方程；

(2)求函數(shù)/■(>)的單調(diào)區(qū)間和極值.

【答案】解：(1)?."'(X)=-2x+：=-絲上管》

??.f(l)=0,所求的切線斜率為0,又切點為(1,一1)

故所求切線方程為y=-1.

(2)/'(x)=-2(y(XT)且X>0

令((%)>0得0<x<1,令尸Q)<0得x>1.

從而函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+8)

顯然函數(shù)只有極大值，且極大值為f(l)=-1.

例6、若函數(shù)/(x)=9-]M+x+i在區(qū)間6,3)上有極值點，則實數(shù)a的取值范圍是()

A(點)B.[2,()C.(2譚)D.得

【答案】C

解：((%)=%2—ax4-1,

根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知，函數(shù)/(x)在區(qū)間G,3)上有極值點，

等價于r(x)=0有2個不相等的實根且在G，3)內(nèi)有根，

由/'(%)=x2-ax4-1=。有2個不相等的實根，得a<—2或a>2,

由1(x)=0在C，3)內(nèi)有根，得a="+：在弓,3)內(nèi)有解，

乂x+]w[2,/),所以2Wa</,

綜匕a的取值范圍是(2,弓)，

故選C.

訓(xùn)練1、函數(shù)/(%)=13+。%2—2乂+1在在(1,2)內(nèi)存在極值點，則()

A.-]<a<!B.

C.a<-1或a>：D.a<或a>|

【答案】4

解：???/'(%)=%2+2ax—2,

函數(shù)/"(x)=|x3+ax2-2x+1在X6(1,2)內(nèi)存在極值點，

即/+2ax-2=0在(1,2)內(nèi)有解，2a=|—x有解，

因為y==一%在(L2)為減函數(shù)，所以:一xe(—1,1),

即a€(-甜).

故選4.

訓(xùn)練2、設(shè)函數(shù)“切二個一乂吊刀+%+3恰有兩個極值點，則實數(shù)t的取值范圍是()

A.(—8,芻B.C，+8)

C(?f)U&+8)D,(-00,1]Ug,+oo)

【答案】c

解：由題意知函數(shù)f(x)的定義域為(0,+8),

且小)=中-€+1-白

_-1(%+2)]_a-i)a+2)(昌-t).

一/-X2

因為函數(shù)f(x)恰有兩個極值點，

所以方程-(X)=0在(0,+8)恰有兩個不同的解，

顯然x=l是它的一個解，而另一個解由方程e-t=0確定，且這個解不等于L

x+2

令g(x)=>°)，則g'(x)=巖器>°，

因此函數(shù)g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

從而g(x)>g(0)=p且g(l)=|.

所以，當(dāng)t>阻t吒時,

即函數(shù)f(x)=y-t(lnx+x+習(xí)恰有兩個極值點，

因此實數(shù)t的取值范圍是3ug,+oo).

故選C.

考點五：最值

例1、函數(shù)/'(x)=Inx-x在區(qū)間(0,e］上的最大值為()

A.1—eB.-1C.-6D.0

【答案】B

解:八x)=：l=乎

當(dāng)x6(0,1)時，f'(x}>0,當(dāng)xe(l,e)時，/'(%)<0,

所以/(x)在(0,1)上遞增，在(l,e)上遞減，

故當(dāng)x=1時f(x)取得極大值，也為最大值，/(I)=-1.

故選:B.

訓(xùn)練1、函數(shù)/'(X)=蜻-2x的最小值為.

【答案】2-21n2

解：/(x)=ex-2%求導(dǎo)為f'(x)=ex-2,

則((x)=靖-2在R上顯然為單調(diào)遞增函數(shù)，

令/'(X)=ex-2=0,解出x=2n2,

所以/"(x)在(一8,ln2)上單調(diào)遞減；在(ln2,+8)上單調(diào)遞增，

故最小值為f(ln2)=2-21n2.

故答案為2-21n2.

訓(xùn)練2、函數(shù)y=等的最大值為()

A.-B.eC.e2D.v

e3

【答案】4

解：因為y=嚀(％>0)且<=等(％>0),

當(dāng)無W(e,+8),yf<0,函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)0<%Ve,y>0,函數(shù)單調(diào)遞增，

故當(dāng)x=e時，ymax=

故選A.

例2、已知函數(shù)f(x)=Lnx-p

(1)若a>0,證明/(x)在定義域內(nèi)是增函數(shù);

(2)若f(x)在［l,e］上的最小值為|,求a的值.

【答案】解：(l)f(x)的定義域是(0,+8),

由a>0,得f'(x)>0,

故/(x)在(0,+8)遞增；

(2)/(x)=lnx-p

二小)="

由r(x)=o，得%=-Q.

令/'(X)<0得％<一令/'(%)>。，得％>一Q，

(T)-a<1,即QN—1時，/(%)在口㈤上單增,

f(x)最小值=/⑴=-Q=|,a=-|<-1,不符題意，舍；

②一Q?e,即aW-e時，/(X)在［l,e］上單減，

/(%)最小值=/(e)=1-/=|,a=-^>-e,不符題意，舍；

(3)1<-a<e,即一eVQV-l時，/(%)在［1,一@］上單減，在［-a,e］上單增,

/(%)最小值=f(—ci)=ln(—a)4-l=|,a=—五滿足；

綜上a=-Ve.

訓(xùn)練1、已知函數(shù)/(%)=。/-b/+無+i,且/(l)=1,f(-l)=-3.

(1)求a,b的值；

(2)若xe［-2,2］,求函數(shù)f(%)的最大值和最小值.

【答案】解：(1)因為/'(%)=ax3—bx24-x4-1,

.麗—r”(f(l)=a—b+2=l

則nil由題可知：%:八,展

(./(-I)=-a-b=-3

解得：￡=［,故a=l,6=2.

3=2

(2)由(1)知:

/(%)=x3—2x2+%+1,xE［—2,2］,

所以1(%)=3x2-4%4-1=(3x-l)(x-1),

令f'(x)=O,Xi=1,x2=1,

由((x)>0,得一24工<；或1<NW2,

?5

由((%)<0,得[<x<1,

所以/(乃在(-2,》上單調(diào)遞增，在《,1)上單調(diào)遞減，在(1,2)上單調(diào)遞增，

又f(—2)=-17J(2)=3,/(i)=|i,/(l)=1,

所以/(X)max=f(2)=3,/(X)min=/(-2)=-17,

故函數(shù)/'(x)的最大值為3,最小值為-17.

例3、若函數(shù)f(x)=x3-3x由(a,6-。2)上有最小值，則實數(shù)a的取值范圍為().

A.(―V5,1)B.[―V5,1)C.[—2,1)D.(―V5,-2]

【答案】C

解：由/'(x)=爐-3x,得/'(x)=342—3.

令/''(%)=3x2-3=0,可得x=±1.

xe(—8,—1)時，f(x)>0；xe(-1,1)時，f'(x)<0；

久6(1,+℃>)時，/'(X)>0,

二f(x)的增區(qū)間是(一8,—1),(1,+oo),減區(qū)間是(-1,1),

X=1為函數(shù)的極小值點，X=-1為函數(shù)的極大值點.

,??函數(shù)/■(%)在區(qū)間9,6-a?)上有最小值，

所以函數(shù)/(x)的極小值點必在區(qū)間(a,6-a?)內(nèi)，則憂⑴=_2?

解得：一24a<1,

???實數(shù)a的取值范圍是[一2,1),

故選：C.

例4、已知函數(shù)/(x)=ex-x,g(x)=x2-2mx,若對任意％eR,存在&e[1,2],滿足/(x])>g(%2)，

則實數(shù)加的取值范圍為.

【答案】[0,+8)

解：若對任意與€/?,存在小€口,2],滿足f(Xi)Ng(X2)，則fCOminNg。)7nH，

f'(x)=ex-1,當(dāng)x<0時，f'(x)<0,函數(shù)/'(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>0時，f'(x)>0,函數(shù)/'(x)單調(diào)遞增,

所以/(X)min=f(0)=e°-0=1;

當(dāng)1WXW2時，因為g(x)是二次函數(shù)，對稱軸為％=小，下面對m進(jìn)行分類討論,

①當(dāng)m<1時,g(