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文檔簡介
2025屆上海理工大附中高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在中,,,,點(diǎn),分別在線段,上,且,,則().A. B. C.4 D.92.中,點(diǎn)在邊上,平分,若,,,,則()A. B. C. D.3.相傳黃帝時代,在制定樂律時,用“三分損益”的方法得到不同的竹管,吹出不同的音調(diào).如圖的程序是與“三分損益”結(jié)合的計算過程,若輸入的的值為1,輸出的的值為()A. B. C. D.4.若,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知集合,,若,則實(shí)數(shù)的值可以為()A. B. C. D.6.已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離比點(diǎn)到軸的距離大,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B. C. D.7.某四棱錐的三視圖如圖所示,記S為此棱錐所有棱的長度的集合,則()A.B.C.D.8.設(shè),則,則()A. B. C. D.9.若函數(shù)恰有3個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.10.若的展開式中的系數(shù)為150,則()A.20 B.15 C.10 D.2511.函數(shù)的大致圖象是A. B. C. D.12.己知四棱錐中,四邊形為等腰梯形,,,是等邊三角形,且;若點(diǎn)在四棱錐的外接球面上運(yùn)動,記點(diǎn)到平面的距離為,若平面平面,則的最大值為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且周期為,當(dāng)時,,則的值為___________________.14.若曲線(其中常數(shù))在點(diǎn)處的切線的斜率為1,則________.15.點(diǎn)是曲線()圖象上的一個定點(diǎn),過點(diǎn)的切線方程為,則實(shí)數(shù)k的值為______.16.函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對稱點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在中,角的對邊分別為.已知,且.(1)求的值;(2)若的面積是,求的周長.18.(12分)已知橢圓的右頂點(diǎn)為,為上頂點(diǎn),點(diǎn)為橢圓上一動點(diǎn).(1)若,求直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo);(2)設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn),過點(diǎn)與軸垂直的直線為,的中點(diǎn)為,過點(diǎn)作直線的垂線,垂足為,求證:直線與直線的交點(diǎn)在橢圓上.19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,以為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線的極坐標(biāo)方程為:,曲線的參數(shù)方程為其中,為參數(shù),為常數(shù).(1)寫出與的直角坐標(biāo)方程;(2)在什么范圍內(nèi)取值時,與有交點(diǎn).20.(12分)已知,,函數(shù)的最小值為.(1)求證:;(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值.21.(12分)在中,角,,所對的邊分別為,,,已知,,角為銳角,的面積為.(1)求角的大??;(2)求的值.22.(10分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)若恒成立,求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)題意,分析可得,由余弦定理求得的值,由可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,,則在中,又,則則則則故選:B【點(diǎn)睛】此題考查余弦定理和向量的數(shù)量積運(yùn)算,掌握基本概念和公式即可解決,屬于簡單題目.2、B【解析】
由平分,根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理可得,再根據(jù)平面向量的加減法運(yùn)算即得答案.【詳解】平分,根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理可得,又,,,,..故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
根據(jù)循環(huán)語句,輸入,執(zhí)行循環(huán)語句即可計算出結(jié)果.【詳解】輸入,由題意執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖,可得:第次循環(huán):,,不滿足判斷條件;第次循環(huán):,,不滿足判斷條件;第次循環(huán):,,滿足判斷條件;輸出結(jié)果.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了循環(huán)語句的程序框圖,求輸出的結(jié)果,解答此類題目時結(jié)合循環(huán)的條件進(jìn)行計算,需要注意跳出循環(huán)的判定語句,本題較為基礎(chǔ).4、A【解析】
本題根據(jù)基本不等式,結(jié)合選項(xiàng),判斷得出充分性成立,利用“特殊值法”,通過特取的值,推出矛盾,確定必要性不成立.題目有一定難度,注重重要知識、基礎(chǔ)知識、邏輯推理能力的考查.【詳解】當(dāng)時,,則當(dāng)時,有,解得,充分性成立;當(dāng)時,滿足,但此時,必要性不成立,綜上所述,“”是“”的充分不必要條件.【點(diǎn)睛】易出現(xiàn)的錯誤有,一是基本不等式掌握不熟,導(dǎo)致判斷失誤;二是不能靈活的應(yīng)用“賦值法”,通過特取的值,從假設(shè)情況下推出合理結(jié)果或矛盾結(jié)果.5、D【解析】
由題意可得,根據(jù),即可得出,從而求出結(jié)果.【詳解】,且,,∴的值可以為.故選:D.【點(diǎn)睛】考查描述法表示集合的定義,以及并集的定義及運(yùn)算.6、B【解析】
由拋物線的定義轉(zhuǎn)化,列出方程求出p,即可得到拋物線方程.【詳解】由拋物線y2=2px(p>0)上的點(diǎn)M到其焦點(diǎn)F的距離比點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離大,根據(jù)拋物線的定義可得,,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y2=2x.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,拋物線方程的求法,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】
如圖所示:在邊長為的正方體中,四棱錐滿足條件,故,得到答案.【詳解】如圖所示:在邊長為的正方體中,四棱錐滿足條件.故,,.故,故,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖,元素和集合的關(guān)系,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力.8、A【解析】
根據(jù)換底公式可得,再化簡,比較的大小,即得答案.【詳解】,,.,顯然.,即,,即.綜上,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查換底公式和對數(shù)的運(yùn)算,屬于中檔題.9、B【解析】
求導(dǎo)函數(shù),求出函數(shù)的極值,利用函數(shù)恰有三個零點(diǎn),即可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,令,則或,上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,所以0或是函數(shù)y的極值點(diǎn),函數(shù)的極值為:,函數(shù)恰有三個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是:.故選B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)個數(shù),來確定參數(shù)的取值范圍的問題,在解題的過程中,注意應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象的走向,利用數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象間交點(diǎn)個數(shù)的問題,難度不大.10、C【解析】
通過二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)分析得到,即得解.【詳解】由已知得,故當(dāng)時,,于是有,則.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)和系數(shù)問題,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.11、A【解析】
利用函數(shù)的對稱性及函數(shù)值的符號即可作出判斷.【詳解】由題意可知函數(shù)為奇函數(shù),可排除B選項(xiàng);當(dāng)時,,可排除D選項(xiàng);當(dāng)時,,當(dāng)時,,即,可排除C選項(xiàng),故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷,函數(shù)對稱性的應(yīng)用,屬于中檔題.12、A【解析】
根據(jù)平面平面,四邊形為等腰梯形,則球心在過的中點(diǎn)的面的垂線上,又是等邊三角形,所以球心也在過的外心面的垂線上,從而找到球心,再根據(jù)已知量求解即可.【詳解】依題意如圖所示:取的中點(diǎn),則是等腰梯形外接圓的圓心,取是的外心,作平面平面,則是四棱錐的外接球球心,且,設(shè)四棱錐的外接球半徑為,則,而,所以,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查組合體、球,還考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合的思想,屬于難題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由題意可得:,周期為,可得,可求出,最后再求的值即可.【詳解】解:函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),.由周期為,可知,,..故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,由解方程即可.【詳解】由已知,,所以,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.15、1【解析】
求出導(dǎo)函數(shù),由切線斜率為4即導(dǎo)數(shù)為4求出切點(diǎn)橫坐標(biāo),再由切線方程得縱坐標(biāo)后可求得.【詳解】設(shè),由題意,∴,,,即,∴,.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,函數(shù)圖象某點(diǎn)處的切線的斜率就是該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值.本題屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
先求得與關(guān)于軸對稱的函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為與的圖象有交點(diǎn),即方程有解.對分成三種情況進(jìn)行分類討論,由此求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于軸對稱的函數(shù)為,因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對稱點(diǎn),所以與的圖象有交點(diǎn),方程有解.時符合題意.時轉(zhuǎn)化為有解,即,的圖象有交點(diǎn),是過定點(diǎn)的直線,其斜率為,若,則函數(shù)與的圖象必有交點(diǎn),滿足題意;若,設(shè),相切時,切點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,解得,切線斜率為,由圖可知,當(dāng),即時,,的圖象有交點(diǎn),此時,與的圖象有交點(diǎn),函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對稱點(diǎn),綜上可得,實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的零點(diǎn)以及對稱性,函數(shù)與方程等基礎(chǔ)知識,考查學(xué)生分析問題,解決問題的能力,推理與運(yùn)算求解能力,轉(zhuǎn)化與化歸思想和應(yīng)用意識.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】
(1)由正弦定理可得,,化簡并結(jié)合,可求得三者間的關(guān)系,代入余弦定理可求得;(2)由(1)可求得,再結(jié)合三角形的面積公式,可求出,從而可求出答案.【詳解】(1)因?yàn)?所以,整理得:.因?yàn)?所以,所以.由余弦定理可得.(2)由(1)知,則,因?yàn)榈拿娣e是,所以,即,解得,則.故的周長為:.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了三角形面積公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.18、(1)(2)見解析【解析】
(1)直接求出直線方程,與橢圓方程聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo),從而可得直線方程,得其與軸交點(diǎn)坐標(biāo);(2)設(shè),則,求出直線和的方程,從而求得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo),證明此交點(diǎn)在橢圓上,即此點(diǎn)坐標(biāo)適合橢圓方程.代入驗(yàn)證即可.注意分和說明.【詳解】解:本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合,(1)由題知,,則.因?yàn)?,所以,則直線的方程為,聯(lián)立,可得故.則,直線的方程為.令,得,故直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.(2)證明:因?yàn)?,,所以.設(shè)點(diǎn),則.設(shè)當(dāng)時,設(shè),則,此時直線與軸垂直,其直線方程為,直線的方程為,即.在方程中,令,得,得交點(diǎn)為,顯然在橢圓上.同理當(dāng)時,交點(diǎn)也在橢圓上.當(dāng)時,可設(shè)直線的方程為,即.直線的方程為,聯(lián)立方程,消去得,化簡并解得.將代入中,化簡得.所以兩直線的交點(diǎn)為.因?yàn)?,又因?yàn)?,所以,則,所以點(diǎn)在橢圓上.綜上所述,直線與直線的交點(diǎn)在橢圓上.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓相交問題,解題方法是解析幾何的基本方程,求出直線方程,解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo),代入曲線方程驗(yàn)證點(diǎn)在曲線.本題考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.19、(1),.(2)【解析】
(1)利用,代入可求;消參可得直角坐標(biāo)方程.(2)將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程,與有交點(diǎn),可得,解不等式即可求解.【詳解】(1)(2)將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程得:與有交點(diǎn),即【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化、參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化、直線與圓的位置關(guān)系的判斷,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)見解析;(2)最大值為.【解析】
(1)將函數(shù)表示為分段函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性求出該函數(shù)的最小值,進(jìn)而可證得結(jié)論成立;(2)由可得出,并將代數(shù)式與相乘,展開后利用基本不等式可求得的最小值,進(jìn)而可得出實(shí)數(shù)的最大值.【詳解】(1).當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞減,則;當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增,則;當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增,則.綜上所述,,所以;(2)因?yàn)楹愠闪?,且,,所以恒成立,?因?yàn)?,?dāng)且僅當(dāng)時等號成立,所以,實(shí)數(shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查含絕對值函數(shù)最值的求解,同時也考查了利用基本不等式恒成立求參數(shù),考查推理能力與計算能力,屬于中等題.21、(1);(2)7.【解析】分析:(1)由三角形面積公式和已知條件求得sinA的值,進(jìn)而求得A;(2)利用余弦定理公式和(1)中求得的A求得a.詳解:(1)∵,∴,∵為銳角,∴;(2)由余弦定理得:.點(diǎn)睛:本題主要考查正弦定理邊角互化及余弦定理的應(yīng)用與特殊角的三角函數(shù),屬于簡單題.對余弦定理一定要熟記兩種形式:(1);(2),同時還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外,在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時,還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值,以便在解題中直接應(yīng)用.22、(1)
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