2025屆陜西省渭南三賢中學高二數學第一學期期末考試試題含解析

2025屆陜西省渭南三賢中學高二數學第一學期期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線l：，則下列結論正確的是（）A.直線l的傾斜角是B.直線l在x軸上的截距為1C.若直線m：，則D.過與直線l平行的直線方程是2．設等差數列的前n項和為，且，則（）A.64 B.72C.80 D.1443．設是雙曲線的一個焦點，，是的兩個頂點，上存在一點，使得與以為直徑的圓相切于，且是線段的中點，則的漸近線方程為A. B.C. D.4．已知，，若直線上存在點P，滿足，則l的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C D.5．兩圓x2+y2+4x-4y＝0和x2+y2+2x-12＝0的公共弦所在直線的方程為（）A.x+2y﹣6＝0 B.x﹣3y+5＝0C.x﹣2y+6＝0 D.x+3y﹣8＝06．雙曲線的漸近線的斜率是（）A.1 B.C. D.7．雙曲線的漸近線方程是（）A. B.C. D.8．若數列{an}滿足……，則稱數列{an}為“半差遞增”數列.已知“半差遞增”數列{cn}的前n項和Sn滿足，則實數t的取值范圍是（）A. B.（-∞，1）C. D.（1，+∞）9．某產品的銷售收入（萬元）是產量x（千臺）的函數，且函數解析式為，生產成本（萬元）是產量x（千臺）的函數，且函數解析式為，要使利潤最大，則該產品應生產（）A.6千臺 B.7千臺C.8千臺 D.9千臺10．2020年12月4日，嫦娥五號探測器在月球表面第一次動態(tài)展示國旗.1949年公布的《國旗制法說明》中就五星的位置規(guī)定：大五角星有一個角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個角尖正對大五角星的中心點.有人發(fā)現，第三顆小星的姿態(tài)與大星相近.為便于研究，如圖，以大星的中心點為原點，建立直角坐標系，，，，分別是大星中心點與四顆小星中心點的聯結線，，則第三顆小星的一條邊AB所在直線的傾斜角約為（）A. B.C. D.11．在等差數列中，，且構成等比數列，則公差等于（）A.0 B.3C. D.0或312．已知函數（是的導函數），則（）A.21 B.20C.16 D.11二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，，…，為拋物線：上的點，為拋物線的焦點．在等比數列中，，，，…，．則的橫坐標為__________14．某學校要從6名男生和4名女生中選出3人擔任進博會志愿者，則所選3人中男女生都有的概率為___________.（用數字作答）15．拋物線的準線方程為_______.16．雙曲線的漸近線方程為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數是定義在實數集上的奇函數，且當時，（1）求的解析式；（2）若在上恒成立，求的取值范圍18．（12分）已知圓C的圓心為，一條直徑的兩個端點分別在x軸和y軸上（1）求圓C的方程；（2）直線l：與圓C相交于M，N兩點，P（異于點M，N）為圓C上一點，求△PMN面積的最大值19．（12分）在等差數列中，，（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前項和20．（12分）已知圓，直線.（1）當為何值時，直線與圓相切；（2）當直線與圓相交于、兩點，且時，求直線的方程.21．（12分）在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答.設數列的前項和為，且__________.（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和.22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，，，分別為，的中點（1）證明：平面；（2）證明：平面

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】A.將直線方程的一般式化為斜截式可得；B.令y＝0可得；C.求出直線m斜率即可判斷；D.設要求直線的方程為，將代入即可.【詳解】根據題意，依次分析選項：對于A，直線l：，即，其斜率，則傾斜角是，A錯誤；對于B，直線l：，令y＝0，可得，l在x軸上的截距為，B錯誤；對于C，直線m：，其斜率，，故直線m與直線l不垂直，C錯誤；對于D，設要求直線的方程為，將代入，可得t＝0，即要求直線為，D正確；故選：D2、B【解析】利用等差數列下標和性質，求得，再用等差數列前項和公式即可求解.【詳解】根據等差數列的下標和性質，，解得，.故選：B.3、C【解析】根據圖形的幾何特性轉化成雙曲線的之間的關系求解.【詳解】設另一焦點為，連接，由于是圓的切線，則，且，又是的中點，則是的中位線，則，且，由雙曲線定義可知，由勾股定理知，，，即，漸近線方程為，所以漸近線方程為故選C.【點睛】本題考查雙曲線的簡單的幾何性質，屬于中檔題.4、A【解析】根據題意，求得直線恒過的定點，數形結合只需求得線段與直線有交點時的斜率，結合斜率和傾斜角的關系即可求得結果.【詳解】對直線，變形為，故其恒過定點，若直線存在點P，滿足，只需直線與線段有交點即可.數形結合可知，當直線過點時，其斜率取得最大值，此時，對應傾斜角；當直線過點時，其斜率取得最小值，此時，對應傾斜角為.根據斜率和傾斜角的關系，要滿足題意，直線的傾斜角的范圍為：.故選：A.5、C【解析】兩圓方程相減得出公共弦所在直線的方程.【詳解】兩圓方程相減得，即x﹣2y+6＝0則公共弦所在直線的方程為x﹣2y+6＝0故選：C6、B【解析】由雙曲線的漸近線方程為：，化簡即可得到答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，即，漸近線的斜率是.故選：B7、A【解析】先將雙曲線的方程化為標準方程得，再根據雙曲線漸近線方程求解即可.【詳解】解：將雙曲線的方程化為標準方程得，所以，所以其漸近線方程為：，即.故選：A.8、A【解析】根據,利用遞推公式求得數列的通項公式.再根據新定義的意義,代入解不等式即可求得實數的取值范圍.【詳解】因為所以當時,兩式相減可得,即,所以數列是以公比的等比數列當時,所以，則由“差半遞增”數列的定義可知化簡可得解不等式可得即實數的取值范圍為故選：A.9、A【解析】構造利潤函數，求導，判斷單調性，求得最大值處對應的自變量即可.【詳解】設利潤為y萬元，則，∴.令，解得（舍去）或，經檢驗知既是函數的極大值點又是函數的最大值點，∴應生產6千臺該產品.故選：A【點睛】利用導數求函數在某區(qū)間上最值的規(guī)律：(1)若函數在區(qū)間上單調遞增或遞減，與一個為最大值，一個為最小值(2)若函數在閉區(qū)間上有極值，要先求出上的極值，與，比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成(3)函數在區(qū)間上有唯一一個極值點，這個極值點就是最大(或小)值點，此結論在導數的實際應用中經常用到10、C【解析】由五角星的內角為，可知，又平分第三顆小星的一個角，過作軸平行線，則，即可求出直線的傾斜角.【詳解】都為五角星的中心點，平分第三顆小星的一個角，又五角星的內角為，可知，過作軸平行線，則，所以直線的傾斜角為，故選：C【點睛】關鍵點點睛：本題考查直線傾斜角，解題的關鍵是通過做輔助線找到直線的傾斜角，通過幾何關系求出傾斜角，考查學生的數形結合思想，屬于基礎題.11、D【解析】根據，且構成等比數列，利用“”求解.【詳解】設等差數列的公差為d，因為，且構成等比數列，所以，解得，故選：D12、B【解析】根據已知求出，即得解.【詳解】解：由題得，所以.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用在拋物線上可求得，結合等比數列的公比可求得，利用拋物線的焦半徑公式即可求得結果.【詳解】在拋物線上，，解得：，拋物線；數列為等比數列，又，，公比，，即，解得：，即的橫坐標為.故答案為：.14、##0.8【解析】由排列組合知識求得所選3人中男女生都有方法數及總的選取方法數后可計算概率【詳解】從6名男生和4名女生中選出3人的方法數是，所選3人中男女生都有的方法數為，所以概率為故答案為：15、【解析】由拋物線的標準方程為x2=y，得拋物線是焦點在y軸正半軸的拋物線，2p=1，∴其準線方程是y=，故答案為16、【解析】將雙曲線化為標準方程后求解【詳解】，化簡得，其漸近線方程故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）實數的取值范圍是【解析】（1）根據函數奇偶性求解析式；（2）將恒成立轉化為令，恒成立，討論二次函數系數，結合根的分布.【詳解】解：（1）因為函數是定義在實數集上的奇函數，所以，當時，則所以當時所以（2）因為時，在上恒成立等價于即在上恒成立令，則①當時，不恒成立，故舍去②當時必有，此時對稱軸若即或時，恒成立因為，所以若即時，要使恒成立則有與矛盾，故舍去綜上，實數的取值范圍是【點睛】應用函數奇偶性可解決的四類問題及解題方法（1）求函數值：將待求值利用奇偶性轉化為已知區(qū)間上的函數值求解；（2）求解析式：先將待求區(qū)間上的自變量轉化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性構造關于的方程(組)，從而得到的解析式；（3）求函數解析式中參數的值：利用待定系數法求解，根據得到關于待求參數的恒等式，由系數的對等性得參數的值或方程(組)，進而得出參數的值；（4）畫函數圖象和判斷單調性：利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間上的圖象及判斷另一區(qū)間上的單調性.18、（1）；（2）.【解析】（1）設直徑兩端點分別為，，由中點公式求參數a、b，進而求半徑，即可得圓C的方程；（2）利用弦心距、半徑、弦長的幾何關系求，再由圓心到直線l的距離求P到直線l的距離的最大值，即可得△PMN面積的最大值【小問1詳解】設直徑兩端點分別為，，則，，所以，，則圓C半徑，所以C的方程為【小問2詳解】圓心C到直線l的距離，則，點P到直線l的距離的最大值為，所以，△PMN面積的最大值為19、（1）；（2）.【解析】(1)根據等差數列的通項公式求解；(2)運用裂項相消法求數列的和.詳解】（1）∵，∴，即∴（2）由（1）可得，即.利用累加法得【點睛】本題考查等差數列的通項公式和裂項相消法求數列的和.20、（1）；（2）或.【解析】（1）將圓的方程表示為標準方程，確定圓心坐標與半徑，利用圓心到直線的距離可求得實數的值；（2）求出圓心到直線的距離，利用、、三者滿足勾股定理可求得的方程，解出的值，即可得出直線的方程.【詳解】將圓C的方程配方得標準方程為，則此圓的圓心為，半徑為.（1）若直線與圓相切，則有，解得；（2）圓心到直線的距離為，由勾股定理可得，可得，整理得，解得或，故所求直線方程為或.【點睛】方法點睛：圓的弦長的常用求法（1）幾何法：求圓的半徑為，弦心距為，弦長為，則；（2）代數方法：運用根與系數的關系及弦長公式.21、（1）答案不唯一，具體見解析（2）答案不唯一，具體見解析【解析】（1）若選①：根據，利用數列通項與前n項和的關系求解；若選②：構造利用等比數列的定義求解；（2）根據（1）得到，再利用錯位相減法求解.【小問1詳解】解:若選①：，當時，，當時，滿足上式，故若選②：易得于是數列是以為首項，2為公比的等比數列，【小問2詳解】若