黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知實(shí)數(shù)滿足方程，則的最大值為（）A.3 B.2C. D.2．盤子里有肉餡、素餡和豆沙餡的包子共個(gè)，從中隨機(jī)取出個(gè)，若是肉餡包子的概率為，不是豆沙餡包子的概率為，則素餡包子的個(gè)數(shù)為（）A. B.C. D.3．過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線方程為（）A. B.C. D.4．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A.8 B.16C. D.5．在平面上給定相異兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在同一平面上且滿足，當(dāng)且時(shí)，點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故我們稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有雙曲線，為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，為雙曲線的虛軸端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，面積的最大值為，面積的最小值為，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.6．已知a，b為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A.1 B.2C.4 D.67．某口罩生產(chǎn)商為了檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量，從總體編號(hào)為001，002，003，…，499，500的500盒口罩中，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取10個(gè)樣本進(jìn)行抽檢，選取方法是從下面的隨機(jī)數(shù)表第1行第5列的數(shù)字開始由左向右讀取，則選出的第3個(gè)樣本的編號(hào)為（）160011661490844511657388059052274114862298122208075274958035696832506128473975345862A.148 B.116C.222 D.3258．若復(fù)數(shù)的模為2，則的最大值為（）A. B.C. D.9．今天是星期四，經(jīng)過(guò)天后是星期（）A.三 B.四C.五 D.六10．如圖，正三棱柱中，，則與平面所成角的正弦值等于（）A. B.C. D.11．已知數(shù)列滿足，則（）A.2 B.C.1 D.12．已知向量，則“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過(guò)點(diǎn)，且垂直于的直線方程為_______________.14．程大位《算法統(tǒng)宗》里有詩(shī)云“九百九十六斤棉，贈(zèng)分八子做盤纏.次第每人多十七，要將第八數(shù)來(lái)言.務(wù)要分明依次弟，孝和休惹外人傳.”意為：996斤棉花，分別贈(zèng)送給8個(gè)子女做旅費(fèi)，從第一個(gè)開始，以后每人依次多17斤，直到第八個(gè)孩子為止.分配時(shí)一定要等級(jí)分明，使孝順子女的美德外傳，則第七個(gè)孩子分得斤數(shù)為___________.15．若命題P：對(duì)于任意，使不等式為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.16．不等式的解集是_______________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知直線l：2mx－y－8m－3＝0和圓C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.（1）m∈R時(shí)，證明l與C總相交；（2）m取何值時(shí)，l被C截得的弦長(zhǎng)最短？求此弦長(zhǎng)18．（12分）芯片作為在集成電路上的載體，廣泛應(yīng)用在手機(jī)、軍工、航天等多個(gè)領(lǐng)域，是能夠影響一個(gè)國(guó)家現(xiàn)代工業(yè)的重要因素．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與統(tǒng)計(jì)，某公司七年時(shí)間里在芯片技術(shù)上的研發(fā)投入x（億元）與收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：（1）根據(jù)折線圖的數(shù)據(jù),求y關(guān)于x的線性回歸方程(系數(shù)精確到整數(shù)部分);（2）為鼓勵(lì)科技創(chuàng)新,當(dāng)研發(fā)技術(shù)投入不少于16億元時(shí),國(guó)家給予公司補(bǔ)貼5億元,預(yù)測(cè)當(dāng)芯片的研發(fā)投入為17億元時(shí)公司的實(shí)際收益附:其回歸方程的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為,．參考數(shù)據(jù),19．（12分）如圖，直三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D為棱AC中點(diǎn).（1）證明：AB1//平面；（2）若面B1BC1與面BC1D的夾角余弦值為，求.20．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且當(dāng)，時(shí)，（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和21．（12分）有1000人參加了某次垃圾分類知識(shí)競(jìng)賽，從中隨機(jī)抽取100人，將這100人的此次競(jìng)賽的分?jǐn)?shù)分成5組：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如下頻率分布直方圖.（1）求圖中a的值；（2）估計(jì)總體1000人中競(jìng)賽分?jǐn)?shù)不少于70分的人數(shù)；（3）假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，估計(jì)總體1000人的競(jìng)賽分?jǐn)?shù)的平均數(shù).22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，且，側(cè)棱，，M是PC的中點(diǎn)，設(shè)，，（1）試用，，表示向量；（2）求BM的長(zhǎng)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】將方程化為，由圓的幾何性質(zhì)可得答案.【詳解】將方程變形為，則圓心坐標(biāo)為，半徑，則圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍為：則x的最大值是故選：D.2、C【解析】計(jì)算出肉餡包子和豆沙餡包子的個(gè)數(shù)，即可求得素餡包子的個(gè)數(shù).【詳解】由題意可知，肉餡包子的個(gè)數(shù)為，從中隨機(jī)取出個(gè)，不是豆沙餡包子的概率為，則該包子是豆沙餡包子的概率為，所以，豆沙餡包子的個(gè)數(shù)為，因此，素餡包子的個(gè)數(shù)為.故選：C.3、B【解析】利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程.【詳解】由題意可知所求直線的方程為，即.故選：B.4、C【解析】畫出直觀圖，利用椎體體積公式進(jìn)行求解.【詳解】畫出直觀圖，為四棱錐A-BCDE，其中BC=4，BE=2，AE=2，且BE，AE，DE兩兩垂直，故體積為.故選：C5、C【解析】先求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，再根據(jù)面積的最大值求得，根據(jù)的面積最小值求，由此可求雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)，，,依題意得,即,兩邊平方化簡(jiǎn)得,所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓心為,半徑的圓，當(dāng)位于圓的最高點(diǎn)時(shí)的面積最大，所以,解得；當(dāng)位于圓的最左端時(shí)的面積最小，所以,解得,故雙曲線的離心率為.故選:C.6、D【解析】利用基本不等式“1”的妙用求最值.【詳解】因?yàn)閍，b為正實(shí)數(shù)，且，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：D7、A【解析】按隨機(jī)數(shù)表法逐個(gè)讀取數(shù)字即可得到答案.【詳解】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法讀取的數(shù)字分別為：116，614（舍），908（舍），445，116（舍），573（舍），880（舍），590（舍），522（舍），741（舍），148，故選出的第3個(gè)樣本的編號(hào)為148.故選：A.8、A【解析】由題意得，表示以為圓心，2為半徑的圓，表示過(guò)原點(diǎn)和圓上的點(diǎn)的直線的斜率，由圖可知，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，取得最值，然后求出切線的斜率即可【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)的模為2，所以，所以其表示以為圓心，2為半徑的圓，如圖所示，表示過(guò)原點(diǎn)和圓上的點(diǎn)的直線的斜率，由圖可知，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，取得最值，設(shè)切線方程為，則，解得，所以的最大值為，故選：A9、C【解析】求出二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，得到除以7余數(shù)是1，然后利用周期性進(jìn)行計(jì)算即可【詳解】解：一個(gè)星期的周期是7，則，即除以7余數(shù)是1，即今天是星期四，經(jīng)過(guò)天后是星期五，故選：10、C【解析】取中點(diǎn)，連接，，證明平面，從而可得為與平面所成角，再利用三角函數(shù)計(jì)算的正弦值.【詳解】取中點(diǎn)，連接，，在正三棱柱中，底面是正三角形，∴，又∵底面，∴，又，∴平面，∴為與平面所成角，由題意，，，在中，.故選：C11、D【解析】首先得到數(shù)列的周期，再計(jì)算的值.【詳解】由條件，可知，兩式相加可得，即，所以數(shù)列是以周期為的周期數(shù)列，.故選：D12、A【解析】根據(jù)得出，根據(jù)充分必要條件的定義可判斷.【詳解】解：∵，向量，，∴，即，根據(jù)充分必要條件的定義可判斷：“”是“”的充分不必要條件，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求出，可得垂直于的直線的斜率為，再利用點(diǎn)斜式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以垂直于的直線的斜率為，垂直于的直線方程為，化為，故答案為.【點(diǎn)睛】對(duì)直線位置關(guān)系的考查是熱點(diǎn)命題方向之一，這類問(wèn)題以簡(jiǎn)單題為主，主要考查兩直線垂直與兩直線平行兩種特殊關(guān)系：在斜率存在的前提下，（1）；（2），這類問(wèn)題盡管簡(jiǎn)單卻容易出錯(cuò)，特別是容易遺忘斜率不存在的情況，這一點(diǎn)一定不能掉以輕心.14、167【解析】由題設(shè)知8個(gè)孩子分得斤數(shù)是公差為17的等差數(shù)列，設(shè)第一個(gè)孩子分得斤，應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求，進(jìn)而由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求即可.【詳解】由題意，設(shè)第一個(gè)孩子分得斤，則，所以，可得，故斤.故答案為：167.15、【解析】根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)函數(shù)不等式，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，對(duì)于任意恒成立，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，知對(duì)于任意，恒成立，即，化簡(jiǎn)得，令，，則恒成立，即，解得，故.故答案為：.16、或【解析】將分式不等式，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解【詳解】因?yàn)椋?，解得?故答案為：或【點(diǎn)睛】本題主要考查分式不等式的解法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）當(dāng)時(shí)，l被C截得的弦長(zhǎng)最短，最短弦長(zhǎng)為.【解析】（1）求出直線l的定點(diǎn)，進(jìn)而判斷定點(diǎn)和圓C的位置關(guān)系，最后得到答案；（2）當(dāng)圓心C到直線l的距離最大時(shí)，弦長(zhǎng)最短，進(jìn)而求出m，然后根據(jù)勾股定理求出弦長(zhǎng).【詳解】（1）直線l的方程可化為y＋3＝2m(x－4)，則l過(guò)定點(diǎn)P(4，－3)，由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以點(diǎn)P在圓內(nèi)，故直線l與圓C總相交（2）圓的C方程可化為：(x－3)2＋(y＋6)2＝25，如圖所示，當(dāng)圓心C(3，－6)到直線l的距離最大時(shí)，弦AB的長(zhǎng)度最短，此時(shí)PC⊥l，又，所以直線l的斜率為，則，在直角中，|PC|＝，|AC|＝5，所以|AB|＝.故當(dāng)時(shí)，l被C截得的弦長(zhǎng)最短，最短弦長(zhǎng)為.18、（1）（2）85億元【解析】(1)利用公式和數(shù)據(jù)計(jì)算即可(2)代入回歸直線計(jì)算即可【小問(wèn)1詳解】由折線圖中數(shù)據(jù)知,,,因?yàn)?所以所以y關(guān)于x的線性回歸方程為【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí),億元,此時(shí)公司的實(shí)際收益的預(yù)測(cè)值為億元19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）連接，使，連接，即可得到，從而得證；（2）設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解面與面的夾角余弦值為，從而得到方程，解得即可【小問(wèn)1詳解】證明：如圖，連，使，連，由直三棱柱，所以四邊形為矩形，所以為中點(diǎn)，在中，、分別為和中點(diǎn)，，又因平面平面，面，面，平面【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)如圖建系，則，，所以、，設(shè)平面的法向量則，故可取設(shè)平面的法向量，則，故可取，因?yàn)槊媾c面的夾角余弦值為，所以，即，解得，20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）消去，只保留數(shù)列的遞推關(guān)系，根據(jù)題干提示來(lái)證明，注意證明首項(xiàng)不是零；（2）利用裂項(xiàng)求和來(lái)解決.【小問(wèn)1詳解】證明：由題意，當(dāng)時(shí)，即，，整理，得，，，，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，，則，，，，，各項(xiàng)相加，可得，當(dāng)n=1成立，故21、（1）0.040；（2）750；（3）76.5.【解析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)列出方程，能求出圖中的值；（2）先求出競(jìng)賽分?jǐn)?shù)不少于70分的頻率，由此能估計(jì)總體1000人中競(jìng)賽分?jǐn)?shù)不少于70分的人數(shù)；（3）由頻率分布直方圖的性質(zhì)能估計(jì)總體1000人的競(jìng)賽分?jǐn)?shù)的平均數(shù)【詳解】（1）由頻率分布直方圖得：，解得圖中的值為0.040（2）競(jìng)賽分?jǐn)?shù)不少