江蘇省南京市玄武區(qū)2025屆高二數學第一學期期末監(jiān)測試題含解析

江蘇省南京市玄武區(qū)2025屆高二數學第一學期期末監(jiān)測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若函數，則（）A. B.C.0 D.12．與直線關于軸對稱的直線的方程為（）A. B.C. D.3．已知數列滿足，，令，若對于任意不等式恒成立，則實數t的取值范圍為（）A. B.C. D.4．已知直線l和兩個不同的平面，，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．直線的傾斜角大小為（）A. B.C. D.6．已知直線，當變化時，所有直線都恒過點（）A.B.C.D.7．在正方體的12條棱中任選3條，其中任意2條所在的直線都是異面直線的概率為（）A. B.C. D.8．內角、、的對邊分別為、、，若，，，則（）A. B.C. D.9．已知命題p：函數在（0，1）內恰有一個零點；命題q：函數在上是減函數，若p且為真命題，則實數的取值范圍是A. B.2C.1<≤2 D.≤l或>210．雙曲線的左、右焦點分別為、，點P在雙曲線右支上，，，則C的離心率為（）A. B.2C. D.11．某學校高二級選擇“史政地”“史政生”和“史地生”組合的同學人數分別為240，120和60．現(xiàn)采用分層抽樣的方法選出14位同學進行一項調查研究，則“史政生”組合中選出的人數為（）A.8 B.6C.4 D.312．觀察，，，由歸納推理可得：若定義在上的函數滿足，記為的導函數，則=A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在報名的3名男教師和3名女教師中，選取3人參加義務獻血，要求男、女教師都有，則不同的選取方法數為__________.(結果用數值表示)14．圓錐的軸截面是邊長為2的等邊三角形，為底面中心，為的中點，動點在圓錐底面內（包括圓周）．若，則點形成的軌跡的長度為______15．已知函數，則________16．古希臘數學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內到兩個定點，的距離之比為定值的點的軌跡是圓.人們將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知點，，動點滿足，記動點的軌跡為曲線，給出下列四個結論：①曲線方程為；②曲線上存在點，使得到點的距離為；③曲線上存在點，使得到點的距離大于到直線的距離；④曲線上存在點，使得到點與點的距離之和為.其中所有正確結論的序號是___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知集合，．若，且“”是“”的充分不必要條件，求實數a的取值范圍18．（12分）在中，，，請再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，然后解答下列問題.（1）求角的大?。唬?）求的面積.條件①：；條件②：.19．（12分）已知集合，設（1）若p是q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍；（2）若?q是?p的必要不充分條件，求實數a的取值范圍20．（12分）已知數列是公比為正數的等比數列，且，.（1）求數列通項公式；（2）若，求數列的前項和.21．（12分）如圖，四棱錐中，平面，∥,，，為上一點，平面（Ⅰ）求證：∥平面；（Ⅱ）若，求點D到平面EMC的距離22．（10分）如圖，在四棱錐中，四邊形為平行四邊形，且，，三角形為等腰直角三角形，且，.（1）若點為棱的中點，證明：平面平面；（2）若平面平面，點為棱的中點，求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】構造函數，再用積的求導法則求導計算得解.【詳解】令，則，求導得：，所以.故選：A2、D【解析】點關于x軸對稱，橫坐標不變，縱坐標互為相反數，據此即可求解.【詳解】設(x，y)是與直線關于軸對稱的直線上任意一點，則(x，－y)在上，故，∴與直線關于軸對稱的直線的方程為.故選：D.3、D【解析】根據遞推關系，利用裂項相消法，累加法求出，可得，原不等式轉化為恒成立求解即可.【詳解】，，，由累加法可得，又，，符合上式，，，對于任意不等式恒成立，則，解得.故選：D4、D【解析】根據直線、平面的位置關系，應用定義法判斷兩個條件之間的充分、必要性.【詳解】當，時，直線l可與平行、相交，故不一定成立，即充分性不成立；當，時，直線l可在平面內，故不一定成立，即必要性不成立.故選：D.5、B【解析】將直線方程變?yōu)樾苯厥?，根據斜率與傾斜角關系可直接求解.【詳解】由直線可得，所以，設傾斜角為，則因為所以故選：B6、D【解析】將直線方程整理為，從而可得直線所過的定點.【詳解】可化為，∴直線過定點，故選：D.7、B【解析】根據正方體的性質確定3條棱兩兩互為異面直線的情況數，結合組合數及古典概率的求法，求任選3條其中任意2條所在的直線是異面直線的概率.【詳解】如下圖，正方體中如：中任意2條所在的直線都是異面直線，∴這樣的3條直線共有8種情況，∴任選3條，其中任意2條所在的直線都是異面直線的概率為.故選：B.8、C【解析】利用正弦定理可求得邊的長.【詳解】由正弦定理得.故選：C.9、C【解析】命題p為真時：；命題q為真時：，因為p且為真命題，所以命題p為真，命題q為假，即，選C考點：命題真假10、C【解析】由，所以為直角三角形，根據雙曲線的定義結合勾股定理可得答案.【詳解】由，所以為直角三角形.,根據雙曲線的定義可得所以，即，即，所以故選：C11、C【解析】根據題意求得抽樣比，再求“史政生”組合中抽取的人數即可.【詳解】根據題意，分層抽樣的抽樣比為，故從“史政生”組合120中，抽取的人數時人.故選：.12、D【解析】由歸納推理可知偶函數的導數是奇函數，因為是偶函數，則是奇函數，所以，應選答案D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、18【解析】由題設，選取方式有兩男教師一女教師或兩女教師一男教師，應用組合數求出選取方法數.【詳解】選取方式有：選兩男教師一女教師或選兩女教師一男教師，∴不同的選取方法有：種.故答案為：18.14、【解析】建立空間直角坐標系設，，，，于是，，因為，所以，從而，，此為點形成的軌跡方程，其在底面圓盤內的長度為15、.【解析】將代入計算，利用和互為相反數，作差可得，計算可得結果.【詳解】解：函數則.，，作差可得：，即，解得：代入此時成立.故答案為：.16、①④【解析】設,根據滿足,利用兩點間距離公式化簡整理，即可判斷①是否正確；由①可知，圓上的點到的距離的范圍為,進而可判斷②是否正確；設，根據題意可知，再根據在曲線上，可得，由此即可判斷③是否正確；由橢圓的的定義，可知在橢圓上，再根據橢圓與曲線的位置關系，即可判斷④是否正確.【詳解】設,因為滿足,所以,整理可得：,即,所以①正確；對于②中,由①可知，點在圓的外部,因為到圓心的距離,半徑為,所以圓上的點到的距離的范圍為,而,所以②不正確；對于③中,假設存在，使得到點的距離大于到直線的距離,又，到直線的距離，所以，化簡可得，又，所以，即，故假設不成立，故③不正確；對于④中,假設存在這樣的點，使得到點與點的距離之和為，則在以點與點為焦點，實軸長為的橢圓上，即在橢圓上，易知橢圓與曲線有交點，故曲線上存在點，使得到點與點的距離之和為；所以④正確.故答案為：①④.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】由題設A是的真子集，結合已知集合的描述列不等式求a的范圍.【詳解】由“”是“”的充分不必要條件，即A是的真子集，又，，所以，可得，則實數a的取值范圍為18、（1）條件選擇見解析，（2）【解析】（1）選①，利用余弦定理求出的值，結合角的取值范圍，即可求得角的值；選②，利用余弦定理可求出的值，并利用余弦定理求出的值，結合角的取值范圍，即可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的面積.【小問1詳解】解：選①，，由余弦定理可得，，所以，.選②，，整理可得，，解得，由余弦定理可得，，所以，.【小問2詳解】解：由三角形的面積公式可得.19、（1）（2）【解析】（1）先解出集合A、B，然后根據p是q的充分不必要條件列出不等式組求解.（2）?q是?p的必要不充分條件可知q是p的充分不必要條件，然后求解.【小問1詳解】解：由題意得：，p是q的充分不必要條件，所以集合A是集合B的真子集∴，即，所以實數a的取值范圍.【小問2詳解】?q是?p的必要不充分條件p是q的必要不充分條件，即q是p的充分不必要條件集合B是集合A的真子集∴，故實數a的取值范圍為20、（1）；（2）.【解析】（1）根據題意，通過解方程求出公比，即可求解；（2）根據題意，求出，結合組合法求和，即可求解.【小問1詳解】根據題意，設公比為，且，∵，，∴，解得或（舍），∴.【小問2詳解】根據題意，得，故，因此.21、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）運用線面平行的判定定理證明；（Ⅱ）借助體積相等建立方程求解即可【詳解】（Ⅰ）證明：取的中點，連接，因為，所以，又因為平面，所以，所以平面，因為平面，所以∥，面，平面,所以∥平面；（Ⅱ）因為平面，面，所以平面平面，平面平面,過點作直線,則平面，由已知平面，∥,，可得，又，所以為的中點，在中，，在中，，，在中，，由等面積法知，所以，即點D到平面EMC的距離為.考點：直線與平面的位置關系及運用【易錯點晴】本題考查的是空間的直線與平面平行的推證問題和點到直線的距離問題．解答時,證明問題務必要依據判定定理,因此線面的平行問題一定要在所給的平面中找出一條直線與這個平面外的直線平行,敘述時一定要交代面外的線和面內的線,這是許多學生容易忽視的問題,也高考閱卷時最容易扣分的地方,因此在表達時一定要引起注意22、（1）證明見解析（2）【解析】（1）先證明，，進而證明平面，即可證明平面，從而證明平面平面.（2）以點為坐標原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系