2025屆安徽省阜陽(yáng)市潁上縣第二中學(xué)等三校高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

2025屆安徽省阜陽(yáng)市潁上縣第二中學(xué)等三校高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在中,為中點(diǎn),且,若,則()A. B. C. D.2.函數(shù)的最小正周期是,則其圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)的一條對(duì)稱軸是()A. B. C. D.3.如圖是甲、乙兩位同學(xué)在六次數(shù)學(xué)小測(cè)試(滿分100分)中得分情況的莖葉圖,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.甲得分的平均數(shù)比乙大 B.甲得分的極差比乙大C.甲得分的方差比乙小 D.甲得分的中位數(shù)和乙相等4.已知函數(shù),,的零點(diǎn)分別為,,,則()A. B.C. D.5.已知為虛數(shù)單位,實(shí)數(shù)滿足,則()A.1 B. C. D.6.是虛數(shù)單位,則()A.1 B.2 C. D.7.已知正四面體的棱長(zhǎng)為,是該正四面體外接球球心,且,,則()A. B.C. D.8.若復(fù)數(shù)z滿足,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.設(shè)集合,,則()A. B.C. D.10.趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家,大約公元222年,趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí),介紹了“勾股圓方圖”,又稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形是由個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的,如圖(1)),類比“趙爽弦圖”,可類似地構(gòu)造如圖(2)所示的圖形,它是由個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小正六邊形組成的一個(gè)大正六邊形,設(shè),若在大正六邊形中隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自小正六邊形的概率為()A. B.C. D.11.展開(kāi)式中x2的系數(shù)為()A.-1280 B.4864 C.-4864 D.128012.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F,左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)P橢圓上,且,若,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.等邊的邊長(zhǎng)為2,則在方向上的投影為_(kāi)_______.14.若實(shí)數(shù)滿足約束條件,設(shè)的最大值與最小值分別為,則_____.15.已知關(guān)于空間兩條不同直線m、n,兩個(gè)不同平面、,有下列四個(gè)命題:①若且,則;②若且,則;③若且,則;④若,且,則.其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)_____.16.我國(guó)古代名著《張丘建算經(jīng)》中記載:“今有方錐下廣二丈,高三丈,欲斬末為方亭;令上方六尺:?jiǎn)柾し綆缀危俊贝笾乱馑际牵河幸粋€(gè)四棱錐下底邊長(zhǎng)為二丈,高三丈;現(xiàn)從上面截取一段,使之成為正四棱臺(tái)狀方亭,且四棱臺(tái)的上底邊長(zhǎng)為六尺,則該正四棱臺(tái)的高為_(kāi)_______尺,體積是_______立方尺(注:1丈=10尺).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),在以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2是圓心為(2,),半徑為1的圓.(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)M為曲線C1上的點(diǎn),N為曲線C2上的點(diǎn),求|MN|的取值范圍.18.(12分)如圖,平面分別是上的動(dòng)點(diǎn),且.(1)若平面與平面的交線為,求證:;(2)當(dāng)平面平面時(shí),求平面與平面所成的二面角的余弦值.19.(12分)已知的內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,,.(1)若,證明:.(2)若,,求的面積.20.(12分)表示,中的最大值,如,己知函數(shù),.(1)設(shè),求函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)試探討是否存在實(shí)數(shù),使得對(duì)恒成立?若存在,求的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.21.(12分)已知橢圓過(guò)點(diǎn),設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為,右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為,,且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線交橢圓于,兩點(diǎn),設(shè)直線與直線的斜率分別為,,若,試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)?若過(guò)定點(diǎn),求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由.22.(10分)如圖,在三棱錐中,,是的中點(diǎn),點(diǎn)在上,平面,平面平面,為銳角三角形,求證:(1)是的中點(diǎn);(2)平面平面.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

選取向量,為基底,由向量線性運(yùn)算,求出,即可求得結(jié)果.【詳解】,,,,,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算,平面向量基本定理,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

由三角函數(shù)的周期可得,由函數(shù)圖像的變換可得,平移后得到函數(shù)解析式為,再求其對(duì)稱軸方程即可.【詳解】解:函數(shù)的最小正周期是,則函數(shù),經(jīng)過(guò)平移后得到函數(shù)解析式為,由,得,當(dāng)時(shí),.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)及函數(shù)圖像的平移變換,屬基礎(chǔ)題.3、B【解析】

由平均數(shù)、方差公式和極差、中位數(shù)概念,可得所求結(jié)論.【詳解】對(duì)于甲,;對(duì)于乙,,故正確;甲的極差為,乙的極差為,故錯(cuò)誤;對(duì)于甲,方差.5,對(duì)于乙,方差,故正確;甲得分的中位數(shù)為,乙得分的中位數(shù)為,故正確.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖的應(yīng)用,考查平均數(shù)和方差等概念,培養(yǎng)計(jì)算能力,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

轉(zhuǎn)化函數(shù),,的零點(diǎn)為與,,的交點(diǎn),數(shù)形結(jié)合,即得解.【詳解】函數(shù),,的零點(diǎn),即為與,,的交點(diǎn),作出與,,的圖象,如圖所示,可知故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點(diǎn),考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合的能力,屬于中檔題.5、D【解析】,則故選D.6、C【解析】

由復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則求出,再由模長(zhǎng)公式,即可求解.【詳解】由.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法和模,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

如圖設(shè)平面,球心在上,根據(jù)正四面體的性質(zhì)可得,根據(jù)平面向量的加法的幾何意義,重心的性質(zhì),結(jié)合已知求出的值.【詳解】如圖設(shè)平面,球心在上,由正四面體的性質(zhì)可得:三角形是正三角形,,,在直角三角形中,,,,,,因?yàn)闉橹匦?,因此,則,因此,因此,則,故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了正四面體的性質(zhì),考查了平面向量加法的幾何意義,考查了重心的性質(zhì),屬于中檔題.8、A【解析】

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù),求得,得到復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),即可求解.【詳解】由題意,復(fù)數(shù)z滿足,可得,所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為位于第一象限故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,以及復(fù)數(shù)的幾何表示方法,其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,結(jié)合復(fù)數(shù)的表示方法求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

利用一元二次不等式的解法和集合的交運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意知,集合,,由集合的交運(yùn)算可得,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的解法和集合的交運(yùn)算;考查運(yùn)算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

設(shè),則,小正六邊形的邊長(zhǎng)為,利用余弦定理可得大正六邊形的邊長(zhǎng)為,再利用面積之比可得結(jié)論.【詳解】由題意,設(shè),則,即小正六邊形的邊長(zhǎng)為,所以,,,在中,由余弦定理得,即,解得,所以,大正六邊形的邊長(zhǎng)為,所以,小正六邊形的面積為,大正六邊形的面積為,所以,此點(diǎn)取自小正六邊形的概率.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查余弦定理、幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的公式得到具體為:化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式的展開(kāi)式得到可以第一個(gè)括號(hào)里出項(xiàng),第二個(gè)括號(hào)里出項(xiàng),或者第一個(gè)括號(hào)里出,第二個(gè)括號(hào)里出,具體為:化簡(jiǎn)得到-1280x2故得到答案為:A.【點(diǎn)睛】求二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略:(1)求展開(kāi)式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第項(xiàng),再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可.(2)已知展開(kāi)式的某項(xiàng),求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng),再由通項(xiàng)寫出第項(xiàng),由特定項(xiàng)得出值,最后求出其參數(shù).12、C【解析】

不妨設(shè)在第一象限,故,根據(jù)得到,解得答案.【詳解】不妨設(shè)在第一象限,故,,即,即,解得,(舍去).故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的離心率,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

建立直角坐標(biāo)系,結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解在方向上的投影即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,由題意可知:,,,則:,,且,,據(jù)此可知在方向上的投影為.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,向量投影的定義與計(jì)算等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.14、【解析】

畫出可行域,平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界位置,由此求得最大值以及最小值,進(jìn)而求得的比值.【詳解】畫出可行域如下圖所示,由圖可知,當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí),取得最大值7;過(guò)點(diǎn)時(shí),取得最小值2,所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用線性規(guī)劃求線性目標(biāo)函數(shù)的最值.這種類型題目的主要思路是:首先根據(jù)題目所給的約束條件,畫出可行域;其次是求得線性目標(biāo)函數(shù)的基準(zhǔn)函數(shù);接著畫出基準(zhǔn)函數(shù)對(duì)應(yīng)的基準(zhǔn)直線;然后通過(guò)平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界的位置;最后求出所求的最值.屬于基礎(chǔ)題.15、③④【解析】

由直線與直線的位置關(guān)系,直線與平面的位置關(guān)系,面面垂直的判定定理和線面垂直的定義判斷.【詳解】①若且,的位置關(guān)系是平行、相交或異面,①錯(cuò);②若且,則或者,②錯(cuò);③若,設(shè)過(guò)的平面與交于直線,則,又,則,∴,③正確;④若,且,由線面垂直的定義知,④正確.故答案為:③④.【點(diǎn)睛】本題考查直線與直線的位置關(guān)系,直線與平面的位置關(guān)系,面面垂直的判定定理和線面垂直的定義,考查空間線面間的位置關(guān)系,掌握空間線線、線面、面面位置關(guān)系是解題基礎(chǔ).16、213892【解析】

根據(jù)題意畫出圖形,利用棱錐與棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征求出正四棱臺(tái)的高,再計(jì)算它的體積.【詳解】如圖所示:正四棱錐P-ABCD的下底邊長(zhǎng)為二丈,即AB=20尺,高三丈,即PO=30尺,截去一段后,得正四棱臺(tái)ABCD-A'B'C'D',且上底邊長(zhǎng)為A'B'=6尺,所以,解得,所以該正四棱臺(tái)的體積是,故答案為:21;3892.【點(diǎn)睛】本題考查了棱錐與棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征與應(yīng)用問(wèn)題,也考查了棱臺(tái)的體積計(jì)算問(wèn)題,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)C1:y2=1,C2:x2+(y﹣2)2=1;(2)[0,1]【解析】

(Ⅰ)消去參數(shù)φ可得C1的直角坐標(biāo)方程,易得曲線C2的圓心的直角坐標(biāo)為(0,2),可得C2的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)設(shè)M(3cosφ,sinφ),由三角函數(shù)和二次函數(shù)可得|MC2|的取值范圍,結(jié)合圓的知識(shí)可得答案.【詳解】(1)消去參數(shù)φ可得C1的普通方程為y2=1,∵曲線C2是圓心為(2,),半徑為1的圓,曲線C2的圓心的直角坐標(biāo)為(0,2),∴C2的直角坐標(biāo)方程為x2+(y﹣2)2=1;(2)設(shè)M(3cosφ,sinφ),則|MC2|,∵﹣1≤sinφ≤1,∴1≤|MC2|,由題意結(jié)合圖象可得|MN|的最小值為1﹣1=0,最大值為1,∴|MN|的取值范圍為[0,1].【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的參數(shù)方程,涉及圓的知識(shí)和極坐標(biāo)方程,屬中檔題.18、(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】

(1)首先由線面平行的判定定理可得平面,再由線面平行的性質(zhì)定理即可得證;(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),,所在的直線分別為軸,以過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法求出二面角的余弦值;【詳解】解:(1)由,又平面,平面,所以平面.又平面,且平面平面,故.(2)因?yàn)槠矫?,所以,又,所以平面,所以,又,所?若平面平面,則平面,所以,由且,又,所以.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),,所在的直線分別為軸,以過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,設(shè)則由,可得,,即,所以可得,所以,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,,,取,得所以易知平面的法向量為,設(shè)平面與平面所成的二面角為,則,結(jié)合圖形可知平面與平面所成的二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定定理及性質(zhì)定理的應(yīng)用,利用空間向量法求二面角,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng),屬于中檔題.19、(1)見(jiàn)解析(2)【解析】

(1)由余弦定理及已知等式得出關(guān)系,再由正弦定理可得結(jié)論;(2)由余弦定理和已知條件解得,然后由面積公式計(jì)算.【詳解】解:(1)由余弦定理得,由得到,由正弦定理得.因?yàn)?,,所以.?)由題意及余弦定理可知,①由得,即,②聯(lián)立①②解得,.所以.【點(diǎn)睛】本題考查利用正余弦定理解三角形.考查三角形面積公式,由已知條件本題主要是應(yīng)用余弦定理求出邊.解題時(shí)要注意對(duì)條件的分析,確定選用的公式.20、(1)個(gè);(1)存在,.【解析】試題分析:(1)設(shè),對(duì)其求導(dǎo),及最小值,從而得到的解析式,進(jìn)一步求值域即可;(1)分別對(duì)和兩種情況進(jìn)行討論,得到的解析式,進(jìn)一步構(gòu)造,通過(guò)求導(dǎo)得到最值,得到滿足條件的的范圍.試題解析:(1)設(shè),.............1分令,得遞增;令,得遞減,.................1分∴,∴,即,∴.............3分設(shè),結(jié)合與在上圖象可知,這兩個(gè)函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn),即在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1...........................5分(或由方程在上有兩根可得)(1)假設(shè)存在實(shí)數(shù),使得對(duì)恒成立,則,對(duì)恒成立,即,對(duì)恒成立,................................6分①設(shè),令,得遞增;令,得遞減,∴,當(dāng)即時(shí),,∴,∵,∴4.故當(dāng)時(shí),對(duì)恒成立,.......................8分當(dāng)即時(shí),在上遞減,∴.∵,∴,故當(dāng)時(shí),對(duì)恒成立............................10分②若對(duì)恒成立,則,∴...........11分由①及②得,.故存在實(shí)數(shù),使得對(duì)恒成立,且的取值范圍為................................................11分考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)應(yīng)用.【思路點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)

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