北京東城55中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

北京東城55中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為A. B.C. D.2．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，給出下列4個(gè)條件：①a1=1；②a4=4；③S3=9；④S5=25，若只有一個(gè)條件不成立，則該條件為（）A.① B.②C.③ D.④3．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．設(shè)，則的一個(gè)必要不充分條件為（）A. B.C. D.5．在等差數(shù)列中，已知，則數(shù)列的前9項(xiàng)和為（）A. B.13C.45 D.1176．已知直線在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距之和為7，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.2 B.3C.4 D.57．甲組數(shù)據(jù)為：5，12，16，21，25，37，乙組數(shù)據(jù)為：1，6，14，18，38，39，則甲、乙的平均數(shù)、極差及中位數(shù)相同的是（）A.極差 B.平均數(shù)C.中位數(shù) D.都不相同8．與圓和圓都外切的圓的圓心在（）A.一個(gè)圓上 B.一個(gè)橢圓上C.雙曲線的一支上 D.一條拋物線上9．已知拋物線x2＝4y上有一條長(zhǎng)為6的動(dòng)弦AB，則AB的中點(diǎn)到x軸的最短距離為()A. B.C.1 D.210．函數(shù)的定義域?yàn)?，，?duì)任意，，則的解集為（）A. B.C. D.11．即空氣質(zhì)量指數(shù)，越小，表明空氣質(zhì)量越好，當(dāng)不大于100時(shí)稱空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”.如圖是某市3月1日到12日的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).則下列敘述正確的是A.這天的的中位數(shù)是B.天中超過(guò)天空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”C.從3月4日到9日，空氣質(zhì)量越來(lái)越好D.這天的的平均值為12．已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓的右頂點(diǎn)為P，右焦點(diǎn)F與拋物線的焦點(diǎn)重合，的頂點(diǎn)與的中心O重合.若與相交于點(diǎn)A，B，且四邊形為菱形，則的離心率為___________.14．若直線的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則直線與平面所成角的正弦值為______.15．已知實(shí)數(shù)，，，滿足，，，則的最大值是______16．已知點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上的任意一點(diǎn)，則的最小值為_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知圓C的圓心在直線上，圓心到x軸的距離為2，且截y軸所得弦長(zhǎng)為（1）求圓C的方程；（2）若圓C上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為，求實(shí)數(shù)k的取值范圍18．（12分）求證：（1）是上的偶函數(shù)；（2）是上的奇函數(shù).19．（12分）已知橢圓，其上頂點(diǎn)與左右焦點(diǎn)圍成的是面積為的正三角形.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線(的斜率存在)交橢圓于兩點(diǎn)，弦的垂直平分線交軸于點(diǎn)，問(wèn)：是否是定值？若是，求出定值：若不是，說(shuō)明理由.20．（12分）已知圓C經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，且圓心在直線上（1）求圓C的方程；（2）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與圓C相切，求直線的方程21．（12分）已知命題；命題.（1）若p是q的充分條件，求m的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，已知是假命題，是真命題，求x的取值范圍.22．（10分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝1，BC＝2，PA＝1（1）求證：AB⊥PC；（2）點(diǎn)M在線段PD上，二面角M﹣AC﹣D的余弦值為，求三棱錐M﹣ACP體積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】每個(gè)同學(xué)參加的情形都有3種，故兩個(gè)同學(xué)參加一組的情形有9種，而參加同一組的情形只有3種，所求的概率為p=選A2、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式及求和公式的基本量計(jì)算，對(duì)比即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為，，，，即，即.當(dāng)，時(shí)，①③④均成立，②不成立.故選：B3、B【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的概念即可判斷.【詳解】∵，∴“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4、C【解析】利用必要條件和充分條件的定義判斷.【詳解】A選項(xiàng)：，，，所以是的充分不必要條件，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，，所以是的非充分非必要條件，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，，，所以是必要不充分條件，C正確；D選項(xiàng)：，，，所以是的非充分非必要條件，D錯(cuò)誤.故選：C.5、C【解析】根據(jù)給定的條件利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算作答【詳解】在等差數(shù)列中，因，所以.故選：C6、C【解析】求出直線方程在兩坐標(biāo)軸上的截距，列出方程，求出實(shí)數(shù)m的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故不合題意，故，，令得：，令得：，故，解得：.故選：C7、B【解析】由平均數(shù)、極差及中位數(shù)的定義依次求解即可比較【詳解】，，故甲、乙的平均數(shù)相同，甲、乙的極差分別為，，故不同，甲、乙的中位數(shù)分別為，，故不同，故選：8、C【解析】設(shè)動(dòng)圓的半徑為，然后根據(jù)動(dòng)圓與兩圓都外切得，再兩式相減消去參數(shù)，則滿足雙曲線的定義，即可求解.【詳解】設(shè)動(dòng)圓的圓心為，半徑為，而圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為2依題意得，則，所以點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支故選：C9、D【解析】由題意知，拋物線的準(zhǔn)線l：y＝－1，過(guò)A作AA1⊥l于A1，過(guò)B作BB1⊥l于B1，設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M，過(guò)M作MM1⊥l于M1.則|MM1|＝.|AB|≤|AF|＋|BF|(F為拋物線的焦點(diǎn))，即|AF|＋|BF|≥6，|AA1|＋|BB1|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故M到x軸的距離d≥2.10、B【解析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)在上的單調(diào)性，將不等式轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】依題意可設(shè)，所以.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?所以要使，即，只需要，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，解題的關(guān)鍵就是利用導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)來(lái)解，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.11、C【解析】這12天的AQI指數(shù)值的中位數(shù)是，故A不正確；這12天中，空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”的有95，85，77，67，72，92共6天，故B不正確；；從4日到9日，空氣質(zhì)量越來(lái)越好，，故C正確；這12天的指數(shù)值的平均值為110，故D不正確.故選C12、A【解析】分離參數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)可知函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】由題意得有兩個(gè)零點(diǎn)令,則且所以，在上為增函數(shù)，可得，當(dāng)，在上單調(diào)遞減，可得，即要有兩個(gè)零點(diǎn)有兩個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)拋物線的方程為得到，把代入橢圓的方程化簡(jiǎn)即得解.【詳解】設(shè)拋物線的方程為.由題得，代入橢圓的方程得，所以，所以，所以因?yàn)椋?故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓的離心率常用的方法有：（1）公式法（根據(jù)已知求出代入離心率的公式即得解）；（2）方程法（直接由已知得到關(guān)于離心率的方程解方程即得解）.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.14、【解析】根據(jù)空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)與的夾角為，直線與平面所成角為，所以，故答案為：15、10【解析】采用數(shù)形結(jié)合法，將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)到直線的距離和的倍，結(jié)合梯形中位線性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系可求得答案.【詳解】由，，，可知，點(diǎn)在圓上，由，即為等腰直角三角形，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可理解為圓心到直線的距離，變形得，即所求問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)到直線的距離和的倍，作于于，中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，由梯形中位線性質(zhì)可得，，作于，于，連接，則，當(dāng)且僅當(dāng)與重合，三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值，由點(diǎn)到直線距離公式可得，由幾何性質(zhì)可得，，此時(shí)，故的最大值為.故答案為：10.16、3【解析】根據(jù)拋物線的定義可求最小值.【詳解】如圖，過(guò)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，連接，則，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為3，故答案為：3.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）或；（2）.【解析】（1）設(shè)圓心為，由題意及圓的弦長(zhǎng)公式即可列方程組，解方程組即可；（2）由題意可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓心到直線l：的距離，解不等式即可.【詳解】解：（1）設(shè)圓心為，半徑為r，根據(jù)題意得，解得，所以圓C的方程為或（2）由（1）知圓C的圓心為或，半徑為，由圓C上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l：的距離為，可知圓心到直線l：的距離即，所以，解得所以直線l斜率的取值范圍為18、（1）證明見詳解（2）證明見詳解【解析】利用函數(shù)奇偶性的定義證明即可【小問(wèn)1詳解】由題意函數(shù)定義域?yàn)榍夜适巧系呐己瘮?shù)【小問(wèn)2詳解】由題意函數(shù)定義域?yàn)榍夜适巧掀婧瘮?shù)19、（1）；（2）是定值，定值為4【解析】（1）根據(jù)正三角形性質(zhì)與面積可求得即可求得方程；（2）當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)其方程代入橢圓方程利用韋達(dá)定理求得兩根關(guān)系式，進(jìn)而求得的表達(dá)式，最后求比值即可；當(dāng)直線斜率為0時(shí)直接求解即可【詳解】（1）為正三角形，，可得，且，∴橢圓的方程為.（2）分以下兩種情況討論：①當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)其方程為，且，聯(lián)立，消去得，則，且，∴弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則弦的垂直平分線為，令，得，，又，；②當(dāng)直線斜率為0時(shí)，則，，則.綜合①②得是定值且為4【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值20、（１）；（２）【解析】（1）根據(jù)圓心在弦的垂直平分線上，先求出弦的垂直平分線的方程與聯(lián)立可求得圓心坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間的距離公式求得半徑，進(jìn)而求得圓的方程；（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，與圓相切，方程為；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，寫出其點(diǎn)斜式方程，利用圓心到直線的距離等于半徑建立方程求解出的值.試題解析：（1）依題意知線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是，直線的斜率為，故線段的中垂線方程是即，解方程組得，即圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑，故圓的方程是（2）若直線斜率不存在，則直線方程是，與圓相離，不合題意；若直線斜率存在，可設(shè)直線方程是，即，因?yàn)橹本€與圓相切，所以有，解得或所以直線的方程是或.21、（1）；（2）.【解析】（1）解不等式組即得解；（2）由題得p、q一真一假，分兩種情況討論得解.【小問(wèn)1詳解】解：由題意知p是q的充分條件，即p集合包含于q集合，有；【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)時(shí)，有，由題意知，p、q一真一假，當(dāng)p真q假時(shí)，，當(dāng)p假q真時(shí)，，綜上，x的取值范圍為22、（1）證明見解析（2）【解析】（1）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明AB⊥平面PAC，然后結(jié)合已知可證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法結(jié)合已知先確定點(diǎn)M位置，然后轉(zhuǎn)化法求體積可得.【小問(wèn)1詳解】由題意得四邊形ADCB是直角梯形，AD=CD=1，故∠ACD