甘肅省白銀市九中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

甘肅省白銀市九中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如果，那么下列不等式成立的是（）A. B.C. D.2．下列說法中正確的是（）A.棱柱的側(cè)面可以是三角形B.棱臺(tái)的所有側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)C.所有幾何體的表面都能展開成平面圖形D.正棱錐的各條棱長(zhǎng)都相等3．已知雙曲線的焦距為，且雙曲線的一條漸近線與直線平行，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.4．阿基米德曾說過：“給我一個(gè)支點(diǎn)，我就能撬動(dòng)地球”.他在做數(shù)學(xué)研究時(shí)，有一個(gè)有趣的問題：一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)部挖了一個(gè)內(nèi)切圓，現(xiàn)在以該內(nèi)切圓的圓心且平行于正方形的一邊的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成幾何體，則該旋轉(zhuǎn)體的體積為（）A. B.C. D.5．下圖是一個(gè)“雙曲狹縫”模型，直桿沿著與它不平行也不相交的軸旋轉(zhuǎn)時(shí)形成雙曲面，雙曲面的邊緣為雙曲線．已知該模型左、右兩側(cè)的兩段曲線(曲線AB與曲線CD)所在的雙曲線離心率為2，曲線AB與曲線CD中間最窄處間的距離為10cm，點(diǎn)A與點(diǎn)C，點(diǎn)B與點(diǎn)D均關(guān)于該雙曲線的對(duì)稱中心對(duì)稱，且|AB|＝30cm，則|AD|＝（）A.10cm B.20cmC.25cm D.30cm6．如圖是正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中①與平行；②與是異面直線；③與成60°角；④與是異面直線以上四個(gè)結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)是A.①②③ B.②④C.③④ D.②③④7．經(jīng)過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為（）A. B.C. D.8．若圓與圓外切，則（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.10．已知直線過點(diǎn)，，則該直線的傾斜角是（）A. B.C. D.11．某中學(xué)高一年級(jí)有200名學(xué)生，高二年級(jí)有260名學(xué)生，高三年級(jí)有340名學(xué)生，為了了解該校高中學(xué)生完成作業(yè)情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為40的樣本，則高二年級(jí)抽取的人數(shù)為（）A.10 B.13C.17 D.2612．已知命題，；命題，，那么下列命題為假命題的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若不同的平面的一個(gè)法向量分別為，，則與的位置關(guān)系為___________.14．若兩定點(diǎn)A，B的距離為3，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則M點(diǎn)的軌跡圍成區(qū)域的面積為_________15．設(shè)、、是三個(gè)不同的平面，、是兩條不同的直線，給出下列三個(gè)結(jié)論：①若，，則；②若，，則；③若，，則其中，正確結(jié)論的序號(hào)為__16．已知直線與圓交于A,B兩點(diǎn),過A,B分別做l的垂線與x軸交于C,D兩點(diǎn),若|AB|=4,則|CD|=_____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓，直線（1）求證：直線與圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）設(shè)直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)為、，求的取值范圍18．（12分）如圖，五邊形為東京奧運(yùn)會(huì)公路自行車比賽賽道平面設(shè)計(jì)圖，根據(jù)比賽需要，在賽道設(shè)計(jì)時(shí)需預(yù)留出，兩條服務(wù)通道（不考慮寬度），，，，，為賽道．現(xiàn)已知，，千米，千米（1）求服務(wù)通道的長(zhǎng)（2）在上述條件下，如何設(shè)計(jì)才能使折線賽道（即）的長(zhǎng)度最大，并求最大值19．（12分）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)P(0，f(0))處的切線方程是（1）求a、b的值；（2）求函數(shù)的極值.20．（12分）甲、乙等6個(gè)班級(jí)參加學(xué)校組織廣播操比賽，若采用抽簽的方式隨機(jī)確定各班級(jí)的出場(chǎng)順序（序號(hào)為1，2，…，6），求：（1）甲、乙兩班級(jí)的出場(chǎng)序號(hào)中至少有一個(gè)為奇數(shù)的概率；（2）甲、乙兩班級(jí)之間的演出班級(jí)（不含甲乙）個(gè)數(shù)X的分布列與期望21．（12分）已知空間內(nèi)不重合的四點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)分別為，，，，且（1）求k，t的值；（2）求點(diǎn)B到直線CD的距離22．（10分）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，若的面積為，求點(diǎn)P的坐標(biāo)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】利用不等式的性質(zhì)分析判斷每個(gè)選項(xiàng).【詳解】由不等式的性質(zhì)可知，因?yàn)?，所以，，故A錯(cuò)誤，D正確；由，可得，，故B，C錯(cuò)誤.故選：D2、B【解析】根據(jù)棱柱、棱臺(tái)、球、正棱錐結(jié)構(gòu)特征依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，A不正確；棱臺(tái)是由對(duì)應(yīng)的棱錐截得的，B正確；不是所有幾何體的表面都能展開成平面圖形，例如球不能展開成平面圖形，C不正確；正棱錐的各條棱長(zhǎng)并不是都相等，應(yīng)該為正棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，所以D不正確.故選：B.3、B【解析】根據(jù)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線漸近線斜率為±可求a，b關(guān)系，再結(jié)合a，b，c關(guān)系即可求解﹒【詳解】∵雙曲線1(a＞0，b＞0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0平行，∴，∴b＝2a，∵c2＝a2＋b2，∴a＝1，b＝2，∴雙曲線的方程為故選：B4、B【解析】根據(jù)題意，結(jié)合圓柱和球的體積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可知：該旋轉(zhuǎn)體的體積等于底面半徑為，高為的圓柱的體積減去半徑為的球的體積，即，故選：B5、B【解析】由離心率求出雙曲線方程，由對(duì)稱性設(shè)出點(diǎn)A，B，D坐標(biāo)，求出坐標(biāo)，求出答案.【詳解】由題意得：，解得：，因?yàn)殡x心率，所以，，故雙曲線方程為，設(shè)，則，，則，所以，則，解得：，故.故選：B6、C【解析】根據(jù)平面展開圖可得原正方體，根據(jù)各點(diǎn)的分布逐項(xiàng)判斷可得正確的選項(xiàng).【詳解】由平面展開圖可得原正方體如圖所示：由圖可得：為異面直線，與不是異面直線，是異面直線，故①②錯(cuò)誤，④正確.連接，則為等邊三角形，而，故或其補(bǔ)角為與所成的角，因?yàn)?，故與所成的角為，故③正確.綜上，正確命題的序號(hào)為：③④.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查正方體的平面展開圖，注意展開圖中的點(diǎn)與正方體中的頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，本題屬于容易題.7、A【解析】根據(jù)點(diǎn)斜式求得正確答案.【詳解】直線的斜率為，經(jīng)過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為，即.故選：A8、C【解析】求得兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合兩圓相外切，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，圓與圓可得，，因?yàn)閮蓤A相外切，可得，解得故選：C.9、C【解析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義去求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程即可解決.【詳解】則，又則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即故選：C10、C【解析】根據(jù)直線的斜率公式即可求得答案.【詳解】設(shè)該直線的傾斜角為，該直線的斜率，即.故選：C11、B【解析】計(jì)算出抽樣比可得答案.【詳解】該校高中學(xué)生共有名，所以高二年級(jí)抽取的人數(shù)名.故選：B.12、B【解析】由題設(shè)命題的描述判斷、的真假，再判斷其復(fù)合命題的真假即可.【詳解】對(duì)于命題，僅當(dāng)時(shí)，故為假命題；對(duì)于命題，由且開口向上，故為真命題；所以為真命題，為假命題，綜上，為真，為假，為真，為真.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、平行【解析】根據(jù)題意得到，得出，即可得到平面與的位置關(guān)系.【詳解】由題意，平面的一個(gè)法向量分別為，，可得，所以，所以，即平面與的位置關(guān)系為平行.故答案為：平行14、【解析】建立如圖直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)題意和兩點(diǎn)坐標(biāo)求距離公式可得，結(jié)合圓的面積公式計(jì)算即可.【詳解】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB為x軸的非負(fù)半軸建立直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)點(diǎn)，則，由，化簡(jiǎn)并整理得：，于是得點(diǎn)M軌跡是以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，其面積為，所以M點(diǎn)的軌跡圍成區(qū)域的面積為.故答案為：15、①②【解析】利用線面垂直的性質(zhì)可判斷命題①、②的正誤；利用特例法可判斷命題③的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】、、是三個(gè)不同的平面，、是兩條不同的直線.對(duì)于①，若，，由同垂直于同一平面的兩直線平行，可得，故①正確；對(duì)于②，若，，由同垂直于同一直線的兩平面平行，可得，故②正確；對(duì)于③，若，，考慮墻角處的三個(gè)平面兩兩垂直，可判斷、相交，則不正確故答案為：①②【點(diǎn)睛】本題考查空間中線面、面面位置關(guān)系有關(guān)命題真假的判斷，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】先求出圓心和半徑，由于半徑為2，弦|AB|=4，所以可知直線過圓心，從而得，求出，得到直線方程且傾斜角為135°，進(jìn)而可求出|CD|【詳解】圓,圓心(1,2),半徑r=2,∵|AB|=4,∴直線過圓心(1,2),∴,∴,∴直線,傾斜角為135°,∵過A,B分別做l的垂線與x軸交于C,D兩點(diǎn),∴.故答案為：4【點(diǎn)睛】此題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查兩直線的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)直線的方程可得直線經(jīng)過定點(diǎn)，而點(diǎn)到圓心的距離小于半徑，故點(diǎn)在圓的內(nèi)部，由此即可證明結(jié)果（2）由圓的性質(zhì)可知，當(dāng)過圓心時(shí)，取最大值，當(dāng)和過的直徑垂直時(shí)，取最小值，由此即可求出結(jié)果.【小問1詳解】證明：由于直線，即令，解得，所以恒過點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)；【小問2詳解】解：當(dāng)過圓心時(shí)，取最大值，即圓的直徑，由圓的半徑，所以的最大值為；當(dāng)和過的直徑垂直時(shí)，取最小值，此時(shí)圓心到的距離，所以，故的最小值為綜上，的取值范圍.18、（1）服務(wù)通道的長(zhǎng)為千米（2）時(shí)，折線賽道的長(zhǎng)度最大，最大值為千米【解析】（1）先在中利用正弦定理得到長(zhǎng)度，再在中，利用余弦定理得到即可；（2）在中利用余弦定理得到，再根據(jù)基本等式求解最值即可.【小問1詳解】在中，由正弦定理得：，在中，由余弦定理，得，即解得或（負(fù)值舍去）所以服務(wù)通道的長(zhǎng)為千米【小問2詳解】在中，由余弦定理得：，即，所以因?yàn)?，所以，所以，即（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）即當(dāng)時(shí)，折線賽道的長(zhǎng)度最大，最大值為千米19、（1）；（2）答案見解析【解析】（1）求出曲線的斜率，切點(diǎn)坐標(biāo)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)值域斜率的關(guān)系，即可求出，（2）求出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得到函數(shù)的極值【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在點(diǎn)P(0，f(0))處的切線方程是，所以切線斜率是，且，求得，即點(diǎn)又函數(shù)，則所以依題意得解得（2）由（1）知所以令，解得或當(dāng)，或；當(dāng)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是所以當(dāng)變化時(shí)，和變化情況如下表：0極大值極小值所以，20、（1）（2）X01234p期望為.【解析】（1）求出甲、乙兩班級(jí)的出場(chǎng)序號(hào)中均為偶數(shù)的概率，進(jìn)而求出答案；（2）求出X的可能取值及相應(yīng)的概率，寫出分布列，求出期望值.【小問1詳解】由題意得：甲、乙兩班級(jí)的出場(chǎng)序號(hào)中均為偶數(shù)的概率為，故甲、乙兩班級(jí)的出場(chǎng)序號(hào)中至少有一個(gè)為奇數(shù)的概率；【小問2詳解】X的可能取值為0,1,2,3,4，，，，故分布列為：X01234p數(shù)學(xué)期望為21、（1），（2）【解析】（1）由，可得存在唯一實(shí)數(shù)，使得，列出方程組，解之即可得解；（2）設(shè)直線與