2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章數(shù)列1.1數(shù)列的概念講義教案北師大版必修5

PAGE8-數(shù)列§1數(shù)列1．1數(shù)列的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．了解數(shù)列通項公式的概念．2．能依據(jù)通項公式確定數(shù)列的某一項．(重點(diǎn))3．能依據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1．通過數(shù)列基本概念的學(xué)習(xí)培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過數(shù)列通項公式的應(yīng)用培育邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．1．?dāng)?shù)列的基本概念閱讀教材P3～P4，完成下列問題．(1)數(shù)列的有關(guān)概念數(shù)列按肯定次序排列的一列數(shù)叫作數(shù)列項數(shù)列中的每一個數(shù)叫作這個數(shù)列的項首項數(shù)列的第1項常稱為首項通項數(shù)列中的第n項an叫數(shù)列的通項(2)數(shù)列的表示①一般形式：a1，a2，a3，…，an，…；②字母表示：上面數(shù)列也可記為{an}．③數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)名稱含義舉例按項的個數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限的數(shù)列1,2,3,4，…，n無窮數(shù)列項數(shù)無限的數(shù)列1,4,9，…，n2，…思索：(1)數(shù)列1,2,3,4,5和數(shù)列5,4,3,2,1是同一個數(shù)列嗎？[提示]數(shù)列1,2,3,4,5和數(shù)列5,4,3,2,1不是同一個數(shù)列，因為二者的項的排列次序不同．(2)數(shù)列的項和項數(shù)有何區(qū)分？[提示]數(shù)列的項是指數(shù)列中的某一個確定的數(shù)，而項數(shù)是指這個數(shù)在數(shù)列中的位置序號，如數(shù)列1,2,3,4,5中第1項為a1＝1，其項數(shù)是1．2．通項公式閱讀教材P5“抽象概括”以下至“例1”以上的內(nèi)容，完成下列問題．(1)假如數(shù)列{an}的第n項an與n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個式子表示成an＝f(n)，那么這個式子就叫作這個數(shù)列的通項公式．(2)數(shù)列可以看作是定義域為正整數(shù)集N＋(或它的有限子集)的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時，該函數(shù)對應(yīng)的一列函數(shù)值就是這個數(shù)列．思索：(1)若an＝2n－1，則a2＋a3的值是什么？[提示]因為an＝2n－1，所以a2＝2×2－1＝3，a3＝2×3－1＝5，則a2＋a3＝3＋5＝8．(2)數(shù)列的通項公式an＝f(n)與函數(shù)解析式y(tǒng)＝f(x)有什么異同？[提示]數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})為定義域的函數(shù)an＝f(n)，當(dāng)自變量依據(jù)從小到大的依次依次取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值．不同之處是定義域：數(shù)列中的n必需是從1起先且連續(xù)的正整數(shù)，函數(shù)的定義域可以是隨意非空數(shù)集．1．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝n2＋1，則122是該數(shù)列的()A．第9項 B．第10項C．第11項 D．第12項C[由n2＋1＝122得n2＝121，∴n＝11．故選C．]2．?dāng)?shù)列3,4,5,6，…的一個通項公式為()A．a(chǎn)n＝n B．a(chǎn)n＝n＋1C．a(chǎn)n＝n＋2 D．a(chǎn)n＝2nC[經(jīng)檢驗可知，它的一個通項公式為an＝n＋2．]3．若數(shù)列{an}的通項公式為an＝sineq\f(nπ,2)，則a2＝________．0[a2＝sineq\f(2π,2)＝sinπ＝0．]4．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝(－1)n，n∈N＋，則它的第8項是________，第9項是________．1－1[當(dāng)n＝8時，a8＝(－1)8＝1．當(dāng)n＝9時，a9＝(－1)9＝－1．]數(shù)列的概念【例1】(1)下列說法錯誤的是()A．?dāng)?shù)列0,1,2,3，…的首項是0B．?dāng)?shù)列{an}中，若a1＝3，則從第2項起，各項都不等于3C．?dāng)?shù)列中的每一項都是數(shù)D．假如已知數(shù)列的通項公式，那么可以寫出該數(shù)列的隨意一項(2)下列各組元素能構(gòu)成數(shù)列嗎？假如能，構(gòu)成的數(shù)列是有窮數(shù)列，還是無窮數(shù)列？并說明理由．①8,8,8,8；②－3，－1,1，x,5,7，y,11；③當(dāng)n取1,2,3,4，…時，(－1)n的值排成的一列數(shù)．(1)B[同一個數(shù)可以在一個數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)，故B錯誤．](2)[解]①能構(gòu)成數(shù)列，且構(gòu)成的是有窮數(shù)列．②當(dāng)x，y代表數(shù)時是數(shù)列，此時構(gòu)成的是有窮數(shù)列；當(dāng)x，y中有一個不代表數(shù)時，便不能構(gòu)成數(shù)列，這是因為數(shù)列必需是由一列數(shù)按肯定的依次排列組成的．③能構(gòu)成數(shù)列，且構(gòu)成的是無窮數(shù)列．所構(gòu)成的數(shù)列是－1，1，－1,1，…．?dāng)?shù)列及其分類的判定方法1推斷所給的對象是否為數(shù)列，關(guān)鍵看它們是不是按肯定次序排列的數(shù)．2推斷所給的數(shù)列是有窮數(shù)列還是無窮數(shù)列，只需視察數(shù)列含有限項還是無限項，若數(shù)列含有限項，則是有窮數(shù)列，否則是無窮數(shù)列．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．下列說法正確的是()A．1,2,3,4，…，n是無窮數(shù)列B．?dāng)?shù)列3,5,7與數(shù)列7,5,3是相同數(shù)列C．同一個數(shù)在數(shù)列中不能重復(fù)出現(xiàn)D．?dāng)?shù)列{2n＋1}的第6項是13D[A錯誤，數(shù)列1,2，…，n，共n項，是有窮數(shù)列．B錯誤，數(shù)列是有次序的．C錯誤，數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn)．D正確，當(dāng)n＝6時，2×6＋1＝13．]依據(jù)數(shù)列的前n項寫出數(shù)列的通項公式【例2】依據(jù)以下數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列的一個通項公式．(1)eq\f(2,3)，eq\f(4,15)，eq\f(6,35)，eq\f(8,63)，…；(2)eq\f(1,2)，2，eq\f(9,2)，8，eq\f(25,2)，…；(3)－1,2，－3,4，…；(4)2,22,222,2222，…．[解](1)分子均為偶數(shù)，分母分別為1×3,3×5,5×7,7×9，…是兩個相鄰奇數(shù)的乘積．故an＝eq\f(2n,2n－12n＋1)．(2)將分母統(tǒng)一成2，則數(shù)列變?yōu)閑q\f(1,2)，eq\f(4,2)，eq\f(9,2)，eq\f(16,2)，eq\f(25,2)，…，其各項的分子為n2．∴an＝eq\f(n2,2)．(3)該數(shù)列的前4項的肯定值與序號相同，且奇數(shù)項為負(fù)，偶數(shù)項為正，故an＝(－1)n·n．(4)通過視察分析可知所求通項公式為an＝eq\f(2,9)(10n－1)．由數(shù)列的前幾項求通項公式的思路(1)通過視察、分析、聯(lián)想、比較，去發(fā)覺項與序號之間的關(guān)系．(2)假如關(guān)系不明顯，可將各項同時加上或減去一個數(shù)，或分解、還原等，將規(guī)律呈現(xiàn)，便于找通項公式．(3)要借助一些基本數(shù)列的通項，如正整數(shù)數(shù)列、正整數(shù)的平方數(shù)列、奇數(shù)列、偶數(shù)列等．(4)符號用(－1)n或(－1)n＋1來調(diào)整．(5)分式的分子、分母分別找通項，還要充分借助分子、分母的關(guān)系．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．(1)數(shù)列1，eq\f(2,3)，eq\f(3,5)，eq\f(4,7)，eq\f(5,9)，…的一個通項公式an＝()A．eq\f(n,2n＋1) B．eq\f(n,2n－1)C．eq\f(n,2n－3) D．eq\f(n,2n＋3)(2)依據(jù)以下數(shù)列的前4項寫出數(shù)列的一個通項公式．①eq\f(1,2×4)，eq\f(1,3×5)，eq\f(1,4×6)，eq\f(1,5×7)，…；②－3,7，－15,31，…；③2,6,2,6，…．(1)B[由已知得，數(shù)列可寫成eq\f(1,1)，eq\f(2,3)，eq\f(3,5)，eq\f(4,7)，eq\f(5,9)，…，故通項公式為eq\f(n,2n－1)．](2)[解]①均是分式且分子均為1，分母均是兩因數(shù)的積，第一個因數(shù)是項數(shù)加上1，其次個因數(shù)比第一個因數(shù)大2，所以an＝eq\f(1,n＋1n＋3)．②正負(fù)相間，且負(fù)號在奇數(shù)項，故可用(－1)n來表示符號，各項的肯定值恰是2的整數(shù)(項數(shù)加1)次冪減1，所以an＝(－1)n(2n＋1－1)．③此數(shù)列為搖擺數(shù)列，一般求兩數(shù)的平均數(shù)eq\f(2＋6,2)＝4，而2＝4－2,6＝4＋2，中間符號用(－1)n來表示．所以an＝4＋(－1)n·2或an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n是奇數(shù)，,6，n是偶數(shù).))通項公式的應(yīng)用[探究問題]1．已知數(shù)列{an}的通項公式，如何求數(shù)列的某一項？[提示]把n的值代入通項公式進(jìn)行計算即可，相當(dāng)于函數(shù)中，已知函數(shù)的解析式和自變量的值求函數(shù)值關(guān)于n的方程．2．已知數(shù)列{an}的通項公式，如何推斷某一個數(shù)是否為該數(shù)列中的項？[提示]假定這個數(shù)是數(shù)列中的第n項，由通項公式可得關(guān)于n的方程，解方程求得n，若n是正整數(shù)，則該數(shù)是數(shù)列中的項；若方程無解或n不是正整數(shù)，則該數(shù)不是數(shù)列中的項．【例3】數(shù)列{an}的通項公式是an＝eq\f(n2－21n,2)(n∈N＋)．(1)0和1是不是數(shù)列{an}中的項？假如是，那么是第幾項？(2)數(shù)列{an}中是否存在連續(xù)且相等的兩項？若存在，分別是第幾項？思路探究：(1)eq\x(令an＝0，an＝1)?eq\x(求n)?eq\x(推斷)(2)eq\x(假設(shè)存在連續(xù)且相等的兩項)?eq\x(列方程)?eq\x(求解)?eq\x(推斷)[解](1)若0是{an}中的第n項，則eq\f(n2－21n,2)＝0，因為n∈N＋，所以n＝21．所以0是{an}中的第21項．若1是{an}中的第n項，則eq\f(n2－21n,2)＝1，所以n2－21n＝2，即n2－21n－2＝0．因為方程n2－21n－2＝0不存在正整數(shù)解，所以1不是{an}中的項．(2)假設(shè){an}中存在第m項與第m＋1項相等，即am＝am＋1，解得m＝10．所以數(shù)列{an}中存在連續(xù)的兩項，即第10項與第11項相等．1．(變條件)在例3中，把“an＝eq\f(n2－21n,2)”改為“an＝n2－3n”，解答(1)(2)兩題．[解](1)若0是{an}中的第n項，則n2－3n＝0，因為n∈N＋，所以n＝3，故0是{an}中的第3項．若1是{an}中的第n項，則n2－3n＝1，即n2－3n－1＝0，因為方程n2－3n－1＝0不存在正整數(shù)解，所以1不是{an}中的項．(2)假設(shè){an}中存在第m項與第m＋1項相等，即am＝am＋1，所以m2－3m＝(m＋1)2－3(m＋1)，解得m＝1．所以數(shù)列{an}中存在連續(xù)的兩項，第1項與第2項相等．2．(變結(jié)論)例3的條件不變，求a3＋a4的值和a2n．[解]a3＋a4＝eq\f(32－21×3,2)＋eq\f(42－21×4,2)＝－61，a2n＝eq\f(2n2－21×2n,2)＝2n2－21n．1．由通項公式寫出數(shù)列的指定項，主要是對n進(jìn)行取值，然后代入通項公式，相當(dāng)于函數(shù)中，已知函數(shù)解析式和自變量的值求函數(shù)值．2．推斷一個數(shù)是否為該數(shù)列中的項，其方法是可由通項公式等于這個數(shù)求方程的根，依據(jù)方程有無正整數(shù)根便可確定這個數(shù)是否為數(shù)列中的項．1．視察法寫通項公式的留意事項據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項公式時，需細(xì)致視察分析，抓住以下幾方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項的改變特征；③拆項后的特征；④各項的符號特征和肯定值特征．并對此進(jìn)行聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、歸納．2．并非每一個數(shù)列均有通項公式，例如由eq\r(2)的不足近似值構(gòu)成的數(shù)列1,1．4,1．41,1．414，…，便無通項公式．1．推斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)數(shù)列中的項不能相等． ()(2)數(shù)列1,2,3,4，…，n－1，只有n－1項． ()(3)數(shù)列1,2,3,4，…，n2是無窮數(shù)列． ()[答案](1)×(2)√(3)×[提示]數(shù)列中的項可以相等，故(1)錯；數(shù)列1,2,3,4，…，n2共n2項，是有窮數(shù)列，故(3)錯．2．在數(shù)列－1,0，eq\f(1,9)，eq\f(1,8)，…，eq\f(n－2,n2)，…中0．08是它的()A．第100項 B．第12項C．第10項 D．第8項C[由題意知，an＝eq\f(n－2,n2)．令an＝0．08，即eq\f(n－2,n2)＝eq\f(8,100)，所以n＝10，n＝eq\f(5,2)(舍去)，故選C．]3．若數(shù)列{an}的通項公式是an＝3－2n，則a2n＝________，eq\f(a2,a3)＝________．3－4neq\f(1,5)[依據(jù)通項公式我們可以求出這個數(shù)列的隨意一項．因為an＝3－2n，所以a2n＝3－22n＝3－4n，eq\f(a2,a3)＝eq\f(3－22,3－23)＝eq\f(1,5)．]4．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq\f(4,n2＋3n)．(1)寫出數(shù)列的前三項；(2)eq\f(1,10)和eq\f(16,27)是不是數(shù)列{an}中的項？假如是，是第幾項？[解](1)數(shù)列的前三項：a1＝eq\f(4,12＋3×1)＝1，a2＝eq\f(4,2