專題12導數(shù)的應(yīng)用-函數(shù)的單調(diào)性問題5題型分類-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學一輪專題復(fù)習全套考點突破和專題檢測（原卷版+解析版）

專題12導數(shù)的應(yīng)用--函數(shù)的單調(diào)性問題5題型分類一、單調(diào)性基礎(chǔ)知識1、函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù).2、已知函數(shù)的單調(diào)性問題①若在某個區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區(qū)間上單調(diào)遞增；②若在某個區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區(qū)間上單調(diào)遞減.二、討論單調(diào)區(qū)間問題類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導化簡定義域（化簡應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號保留定號去（變號部分：導函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分.定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分）；（3）求根作圖得結(jié)論（如能直接求出導函數(shù)等于0的根，并能做出導函數(shù)與x軸位置關(guān)系圖，則導函數(shù)正負區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論）；（4）未得結(jié)論斷正負（若不能通過第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導函數(shù)整體的正負）；（5）正負未知看零點（若導函數(shù)正負難判斷，則觀察導函數(shù)零點）；（6）一階復(fù)雜求二階（找到零點后仍難確定正負區(qū)間段，或一階導函數(shù)無法觀察出零點，則求二階導）；求二階導往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導函數(shù)或一階導函數(shù)中變號部分為新函數(shù)，對新函數(shù)再求導.（7）借助二階定區(qū)間（通過二階導正負判斷一階導函數(shù)的單調(diào)性，進而判斷一階導函數(shù)正負區(qū)間段）；類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導化簡定義域（化簡應(yīng)先通分，然后能因式分解要進行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號保留定號去（變號部分：導函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分.定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分）；（3）恒正恒負先討論（變號部分因為參數(shù)的取值恒正恒負）；然后再求有效根；（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系）；（5）導數(shù)圖象定區(qū)間；（一）利用導函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系確定原函數(shù)圖象原函數(shù)的單調(diào)性與導函數(shù)的函數(shù)值的符號的關(guān)系，原函數(shù)單調(diào)遞增導函數(shù)（導函數(shù)等于0，只在離散點成立，其余點滿足）；原函數(shù)單調(diào)遞減導函數(shù)（導函數(shù)等于0，只在離散點成立，其余點滿足）.題型1：利用導函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系確定原函數(shù)圖象1-1．（天津市西青區(qū)為明學校2023-2024學年高三上學期開學測數(shù)學試題）已知函數(shù)的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數(shù)的圖象如下圖所示，則該函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．1-2．（天津市瑞景中學2023-2024學年高二下學期期中數(shù)學試題）設(shè)是函數(shù)的導函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（

）A． B．C． D．1-3．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導函數(shù)），下面四個圖象中可能是圖象的是（

）A． B．C． D．1-4．（2024·陜西西安·一模）已知定義在上的函數(shù)的大致圖像如圖所示，是的導函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．（二）求單調(diào)區(qū)間1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟如下：（1）求的定義域（2）求出.（3）令，求出其全部根，把全部的根在軸上標出，穿針引線.（4）在定義域內(nèi)，令，解出的取值范圍，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；令，解出的取值范圍，得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.若一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的區(qū)間不只一個，則這些單調(diào)區(qū)間不能用“”、“或”連接，而應(yīng)用“和”、“，”隔開.2.導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性問題時應(yīng)注意如下幾方面：（1）在利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域；（2）不能隨意將函數(shù)的2個獨立的單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間寫成并集形式；（3）利用導數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.3.已知含量參函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)或不單調(diào)或存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍（1）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為導函數(shù)恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析導函數(shù)的形式及圖象特點，如一次函數(shù)最值落在端點，開口向上的拋物線最大值落在端點，開口向下的拋物線最小值落在端點等.（2）已知區(qū)間上函數(shù)不單調(diào)，轉(zhuǎn)化為導數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在變號零點，通常用分離變量法求解參變量范圍.（3）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增或遞減區(qū)間，轉(zhuǎn)化為導函數(shù)在區(qū)間上大于零或小于零有解.題型2：求單調(diào)區(qū)間2-1．（2024高三下·江西鷹潭·階段練習）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．2-2．（2024高二下·湖北·期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（

）A． B． C． D．2-3．（2024·上海靜安·二模）函數(shù)（）A．嚴格增函數(shù)B．在上是嚴格增函數(shù)，在上是嚴格減函數(shù)C．嚴格減函數(shù)D．在上是嚴格減函數(shù)，在上是嚴格增函數(shù)題型3：已知含量參函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)或不單調(diào)或存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍3-1．（2024·陜西西安·三模）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3-2．（2024·山東濟寧·一模）若函數(shù)且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3-3．（2024·寧夏銀川·三模）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．m>13-4．（2024高三上·江蘇蘇州·期中）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3-5．（2024高三上·山西朔州·期中）已知函數(shù)（）在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．3-6．（2024高二下·天津和平·期中）已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，則（

）A．3 B． C．2 D．（三）函數(shù)單調(diào)性的討論1.確定不含參的函數(shù)的單調(diào)性，按照判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟即可，但應(yīng)注意一是不能漏掉求函數(shù)的定義域，二是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用并集，要用“逗號”或“和”隔開.2、關(guān)于含參函數(shù)單調(diào)性的討論問題，要根據(jù)導函數(shù)的情況來作出選擇，通過對新函數(shù)零點個數(shù)的討論，從而得到原函數(shù)對應(yīng)導數(shù)的正負，最終判斷原函數(shù)的增減.（注意定義域的間斷情況）.3、需要求二階導的題目，往往通過二階導的正負來判斷一階導函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合一階導函數(shù)端點處的函數(shù)值或零點可判斷一階導函數(shù)正負區(qū)間段.4、利用草稿圖象輔助說明.題型4：不含參數(shù)單調(diào)性討論4-1．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù).試判斷函數(shù)在上單調(diào)性并證明你的結(jié)論；4-2．（2024高三·全國·專題練習）已知，若，求的單調(diào)區(qū)間.4-3．（2024·貴州·二模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)討論在上的單調(diào)性．題型5：含參數(shù)單調(diào)性討論5-1．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；5-2．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性.5-3．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性.5-4．（2024高二下·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性.5-5．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性.5-6．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，其中，討論函數(shù)的單調(diào)性.5-7．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，，討論的單調(diào)區(qū)間.5-8．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù).判斷函數(shù)的單調(diào)性.一、單選題1．（2024高三·全國·課后作業(yè)）函數(shù)（a、b為正數(shù)）的嚴格減區(qū)間是（

）．A． B．與C．與 D．2．（2024高二上·浙江·開學考試）已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2024高三·全國·專題練習）三次函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2024高三下·青海西寧·開學考試）已知函數(shù).若對任意，，且，都有，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2024高三·全國·專題練習）若函數(shù)在其定義域的一個子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．7．（2024·全國）已知，則（

）A． B． C． D．8．（2024·全國）設(shè)，則（

）A． B． C． D．9．（2024高三上·河南·階段練習）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的函數(shù)是（

）A． B． C． D．10．（2024高三上·河南·階段練習）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．11．（2024高二下·河南許昌·階段練習）函數(shù)在下面哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)A． B． C． D．12．（2024·全國）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．13．（2024高二下·福建泉州·期末）已知函數(shù)的導函數(shù)的圖像如下圖，那么的圖像可能是（）A． B．C． D．14．（2024高二下·河北邯鄲·期末）函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．15．（2024·湖南）若函數(shù)的導函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的圖象可能是A．B．C．D．16．（2024·全國）函數(shù)的圖像大致為A． B．C． D．17．（2024高三上·陜西榆林·階段練習）函數(shù)的部分圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

18．（2024·全國）函數(shù)的圖像大致為()A． B．C． D．19．（2024高三上·重慶沙坪壩·開學考試）已知實數(shù)滿足：，則（

）A． B． C． D．20．（2024高二下·山東菏澤·期末）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．21．（2024高二上·湖南張家界·階段練習）設(shè)分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當時，．且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．22．（2024高三·全國·專題練習）已知在上是可導函數(shù)，的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）

A． B．C． D．23．（2024高三上·重慶沙坪壩·開學考試）若函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，當時，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．24．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知冪函數(shù)，若，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)為奇函數(shù) B．函數(shù)為偶函數(shù)C．函數(shù)在上單調(diào)遞增 D．函數(shù)在上單調(diào)遞減25．（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．26．（2024高二下·重慶·期中）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．27．（2024·甘肅蘭州·一模）已知是偶函數(shù)，在(－∞，0)上滿足恒成立，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．28．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，且，，，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則（

）A． B． C． D．29．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知實數(shù)，滿足，，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．30．（2024高三·貴州貴陽·階段練習）已知，，對，且，恒有，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．31．（2024·四川南充·三模）已知函數(shù)使（為常數(shù)）成立，則常數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題32．（2024高二上·山東濟寧·期末）已知函數(shù)的定義域為且導函數(shù)為，如圖是函數(shù)的圖像，則下列說法正確的是

A．函數(shù)的增區(qū)間是B．函數(shù)的增區(qū)間是C．是函數(shù)的極小值點D．是函數(shù)的極小值點33．（2024·湖北武漢·二模）函數(shù)的圖像可能是（

）A． B．C． D．34．（2024·山東濰坊·模擬預(yù)測）下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．35．（2024高二下·廣東潮州·開學考試）已知函數(shù)，則（

）A．在單調(diào)遞增B．有兩個零點C．曲線在點處切線的斜率為D．是奇函數(shù)36．（2024·河北·模擬預(yù)測）十六世紀中葉，英國數(shù)學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用，后來英國數(shù)學家哈里奧特首次使用“<”和“>”符號，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠．若，則（

）A． B．C． D．37．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測）當且時，不等式恒成立，則自然數(shù)可能為（

）A．0 B．2 C．8 D．12三、填空題38．（2024高二下·四川眉山·階段練習）的單調(diào)遞減區(qū)間是.39．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則的單調(diào)遞減區(qū)間為.40．（2024·四川雅安·模擬預(yù)測）給出兩個條件：①，；②當時，（其中為的導函數(shù)）．請寫出同時滿足以上兩個條件的一個函數(shù)．（寫出一個滿足條件的函數(shù)即可）41．（2024高三上·湖北黃岡·階段練習）已知函數(shù)，則不等式的解集為．42．（2024·寧夏銀川·三模）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍為．四、解答題43．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，.(1)若，求a的取值范圍；(2)求函數(shù)在上的單調(diào)性.44．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，判斷的單調(diào)性，并說明理由.45．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.46．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性；47．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性.48．（2024高三·北京海淀·專題練習）設(shè)函數(shù)．(1)若曲線在點處的切線與軸平行，求；(2)求的單調(diào)區(qū)間．49．（2024高三·全國·專題練習）已知，討論的單調(diào)性.50．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.51．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性；52．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，，討論的單調(diào)性.53．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性.54．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，，其中，討論函數(shù)的單調(diào)性.55．（2024高三·全國·專題練習）已知.（），討論的單調(diào)性.56．（2024高三·全國·專題練習）已知，討論函數(shù)的單調(diào)性.57．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性.58．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)（，且）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；59．（2024高三·全國·專題練習）設(shè)函數(shù)，其中，討論的單調(diào)性.60．（2024高三·全國·專題練習）設(shè)，函數(shù)，討論在的單調(diào)性.61．（2024·北京）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對任意的，有．62．（陜西省咸陽市高新一中2023-2024學年高二上學期第二次質(zhì)量檢測文科數(shù)學試題）設(shè)函數(shù)的圖象與直線12x＋y－1＝0相切于點（1，－11）．(1)求a、b的值．(2)討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．63．（2024·甘肅天水·一模）設(shè)函數(shù)(1)若函數(shù)在上遞增，在上遞減，求實數(shù)的值.(2)討論在上的單調(diào)性.64．（2024·全國）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）求曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標．65．（2024高三上·全國·階段練習）已知函數(shù)（）．(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性．66．（2024·全國）已知函數(shù)f（x）=2lnx+1．（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范圍；（2）設(shè)a>0時，討論函數(shù)g（x）=的單調(diào)性．67．（2023·重慶）設(shè)函數(shù)若曲線的斜率最小的切線與直線平行，求：（Ⅰ）的值;（Ⅱ）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.68．（2024·北京）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為，（1）求，的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間.69．（2024·山東）設(shè)函數(shù)，其中，求的單調(diào)區(qū)間．70．（2024·陜西）設(shè)函數(shù)，其中為實數(shù)．(1)若的定義域為，求的取值范圍；(2)當?shù)亩x域為時，求的單調(diào)減區(qū)間．71．（2008·北京）已知函數(shù)，求導函數(shù)，并確定的單調(diào)區(qū)間．72．（2024·全國）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在點處的切線方程．(2)若函數(shù)在單調(diào)遞增，求的取值范圍．73．（2024高二下·四川綿陽·期中）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，求實數(shù)a的值；(2)若函數(shù)在單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍．74．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù).若函數(shù)為增函數(shù)，求的取值范圍.75．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，若單調(diào)遞增，求a的值.76．（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）實數(shù)，，．(1)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)討論的單調(diào)性并寫出過程．

專題12導數(shù)的應(yīng)用--函數(shù)的單調(diào)性問題5題型分類一、單調(diào)性基礎(chǔ)知識1、函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù).2、已知函數(shù)的單調(diào)性問題①若在某個區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區(qū)間上單調(diào)遞增；②若在某個區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區(qū)間上單調(diào)遞減.二、討論單調(diào)區(qū)間問題類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導化簡定義域（化簡應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號保留定號去（變號部分：導函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分.定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分）；（3）求根作圖得結(jié)論（如能直接求出導函數(shù)等于0的根，并能做出導函數(shù)與x軸位置關(guān)系圖，則導函數(shù)正負區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論）；（4）未得結(jié)論斷正負（若不能通過第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導函數(shù)整體的正負）；（5）正負未知看零點（若導函數(shù)正負難判斷，則觀察導函數(shù)零點）；（6）一階復(fù)雜求二階（找到零點后仍難確定正負區(qū)間段，或一階導函數(shù)無法觀察出零點，則求二階導）；求二階導往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導函數(shù)或一階導函數(shù)中變號部分為新函數(shù)，對新函數(shù)再求導.（7）借助二階定區(qū)間（通過二階導正負判斷一階導函數(shù)的單調(diào)性，進而判斷一階導函數(shù)正負區(qū)間段）；類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導化簡定義域（化簡應(yīng)先通分，然后能因式分解要進行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號保留定號去（變號部分：導函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分.定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分）；（3）恒正恒負先討論（變號部分因為參數(shù)的取值恒正恒負）；然后再求有效根；（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系）；（5）導數(shù)圖象定區(qū)間；（一）利用導函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系確定原函數(shù)圖象原函數(shù)的單調(diào)性與導函數(shù)的函數(shù)值的符號的關(guān)系，原函數(shù)單調(diào)遞增導函數(shù)（導函數(shù)等于0，只在離散點成立，其余點滿足）；原函數(shù)單調(diào)遞減導函數(shù)（導函數(shù)等于0，只在離散點成立，其余點滿足）.題型1：利用導函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系確定原函數(shù)圖象1-1．（天津市西青區(qū)為明學校2023-2024學年高三上學期開學測數(shù)學試題）已知函數(shù)的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數(shù)的圖象如下圖所示，則該函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系及導數(shù)的幾何意義即得.【詳解】因為的圖像經(jīng)過與兩點，即，，由導數(shù)的幾何意義可知在與處的切線的斜率為，故AD錯誤；由的圖象知，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又在上越來越大，在上越來越小，所以在上增長速度越來越快，在上增長速度越來越慢，故C錯誤，B正確.故選：B.1-2．（天津市瑞景中學2023-2024學年高二下學期期中數(shù)學試題）設(shè)是函數(shù)的導函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導函數(shù)的圖象得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】由導函數(shù)的圖象可得當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增.只有C選項的圖象符合.故選：C.1-3．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導函數(shù)），下面四個圖象中可能是圖象的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)的圖像，得到不同范圍下，的正負，得到的單調(diào)性，得到答案.【詳解】由的圖象知，當時，，故，單調(diào)遞增；當時，，故，當，，故，等號僅有可能在x＝0處取得，所以時，單調(diào)遞減；當時，，故，單調(diào)遞增，結(jié)合選項只有C符合.故選：C.1-4．（2024·陜西西安·一模）已知定義在上的函數(shù)的大致圖像如圖所示，是的導函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分、兩種情況求解即可.【詳解】若，則單調(diào)遞減，圖像可知，，若，則單調(diào)遞增，由圖像可知，故不等式的解集為．故選：C（二）求單調(diào)區(qū)間1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟如下：（1）求的定義域（2）求出.（3）令，求出其全部根，把全部的根在軸上標出，穿針引線.（4）在定義域內(nèi)，令，解出的取值范圍，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；令，解出的取值范圍，得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.若一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的區(qū)間不只一個，則這些單調(diào)區(qū)間不能用“”、“或”連接，而應(yīng)用“和”、“，”隔開.2.導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性問題時應(yīng)注意如下幾方面：（1）在利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域；（2）不能隨意將函數(shù)的2個獨立的單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間寫成并集形式；（3）利用導數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.3.已知含量參函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)或不單調(diào)或存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍（1）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為導函數(shù)恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析導函數(shù)的形式及圖象特點，如一次函數(shù)最值落在端點，開口向上的拋物線最大值落在端點，開口向下的拋物線最小值落在端點等.（2）已知區(qū)間上函數(shù)不單調(diào)，轉(zhuǎn)化為導數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在變號零點，通常用分離變量法求解參變量范圍.（3）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增或遞減區(qū)間，轉(zhuǎn)化為導函數(shù)在區(qū)間上大于零或小于零有解.題型2：求單調(diào)區(qū)間2-1．（2024高三下·江西鷹潭·階段練習）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求導，求出不等式的解集即可.【詳解】函數(shù)的定義域為.，則.令，解得.故選：D2-2．（2024高二下·湖北·期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，結(jié)合函數(shù)的定義域，即可得出單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】由，可得或，所以函數(shù)的定義域為.求導可得，當時，，由函數(shù)定義域可知，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：A.2-3．（2024·上海靜安·二模）函數(shù)（）A．嚴格增函數(shù)B．在上是嚴格增函數(shù)，在上是嚴格減函數(shù)C．嚴格減函數(shù)D．在上是嚴格減函數(shù)，在上是嚴格增函數(shù)【答案】D【分析】求導后利用導函數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)嚴格增減函數(shù)的定義即可得到選項.【詳解】解：已知，，則，令，即，解得，當時，，所以在上是嚴格減函數(shù)，當時，，所以在上是嚴格增函數(shù)，故選：D.【點睛】導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性問題時應(yīng)注意如下幾方面：（1）在利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域；（2）不能隨意將函數(shù)的2個獨立的單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間寫成并集形式；（3）利用導數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.題型3：已知含量參函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)或不單調(diào)或存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍3-1．（2024·陜西西安·三模）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系結(jié)合條件可得在上恒成立，由此可得在區(qū)間上恒成立，求函數(shù)的值域可得的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，令，則，所以在上遞增，又，所以.所以的取值范圍是.故選：B3-2．（2024·山東濟寧·一模）若函數(shù)且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再分和兩種情況討論，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】令，則，當或時，，當時，，所以在和上遞減，在上遞增，當時，為增函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，解得，此時在上遞增，則恒成立，當時，為減函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，無解，綜上所述，的取值范圍是.故選：A.3-3．（2024·寧夏銀川·三模）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．m>1【答案】B【詳解】首先求出的定義域和極值點，由題意得極值點在區(qū)間內(nèi)，且，得出關(guān)于的不等式組，求解即可．【分析】函數(shù)的定義域為，且，令，得，因為在區(qū)間上不單調(diào)，所以，解得：故選：B.3-4．（2024高三上·江蘇蘇州·期中）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為在有解，進而求函數(shù)的最值，即可求出的范圍.【詳解】∵，∴，若在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則有解，故，令，則在單調(diào)遞增，，故.故選：D.3-5．（2024高三上·山西朔州·期中）已知函數(shù)（）在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)增區(qū)間，函數(shù)在區(qū)間上存在子區(qū)間使得不等式成立．，設(shè)，則或，即或，得，故選B.考點：導數(shù)的應(yīng)用.【思路點睛】該題考查的是函數(shù)存在增區(qū)間的條件，屬于較難題目，在解題的過程中，緊緊抓住導數(shù)的應(yīng)用，相當于在區(qū)間上有解，最后將問題轉(zhuǎn)化為不等式在區(qū)間上有解，設(shè)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可知只要或即可，將和分別代入，求得結(jié)果，取并求得答案.3-6．（2024高二下·天津和平·期中）已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，則（

）A．3 B． C．2 D．【答案】B【分析】利用導數(shù)結(jié)合韋達定理得出的值.【詳解】函數(shù)，則導數(shù)令，即，∵，的單調(diào)遞減區(qū)間是，∴0，4是方程的兩根，∴，，∴故選：B.（三）函數(shù)單調(diào)性的討論1.確定不含參的函數(shù)的單調(diào)性，按照判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟即可，但應(yīng)注意一是不能漏掉求函數(shù)的定義域，二是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用并集，要用“逗號”或“和”隔開.2、關(guān)于含參函數(shù)單調(diào)性的討論問題，要根據(jù)導函數(shù)的情況來作出選擇，通過對新函數(shù)零點個數(shù)的討論，從而得到原函數(shù)對應(yīng)導數(shù)的正負，最終判斷原函數(shù)的增減.（注意定義域的間斷情況）.3、需要求二階導的題目，往往通過二階導的正負來判斷一階導函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合一階導函數(shù)端點處的函數(shù)值或零點可判斷一階導函數(shù)正負區(qū)間段.4、利用草稿圖象輔助說明.題型4：不含參數(shù)單調(diào)性討論4-1．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù).試判斷函數(shù)在上單調(diào)性并證明你的結(jié)論；【答案】函數(shù)在上為減函數(shù)，證明見解析【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)取值范圍求解函數(shù)單調(diào)性.【詳解】函數(shù)在上為減函數(shù)，證明如下：因為，所以，又因為，所以，，所以，即函數(shù)在上為減函數(shù).4-2．（2024高三·全國·專題練習）已知，若，求的單調(diào)區(qū)間.【答案】為單調(diào)遞減區(qū)間；為單調(diào)遞增區(qū)間.【分析】利用導數(shù)求得的單調(diào)性.【詳解】若，則，求導得，令可得，令可得，故在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.4-3．（2024·貴州·二模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)討論在上的單調(diào)性．【答案】(1)(2)在上是減函數(shù)．【分析】（1）求導，計算斜率，再用點斜式求解即可；（2）令，求出，根據(jù)、可得使，可得、時的單調(diào)性，從而得解.【詳解】（1），∴，又，∴曲線在點處的切線方程是，即；（2）令，則在上遞減，且，，∴，使，即，當時，，當時，，∴在上遞增，在上遞減，∴，當且僅當，即時，等號成立，顯然，等號不成立，故，∴在上是減函數(shù)．【點睛】方法點睛：判斷一個函數(shù)是單調(diào)增還是單調(diào)減，我們可以通過求導函數(shù)來判斷，如果導函數(shù)為正值，那么原函數(shù)就是單調(diào)增的，如果導函數(shù)為負值，那么原函數(shù)就是單調(diào)減的，而如果導函數(shù)為0，那么可能是函數(shù)的極值點.題型5：含參數(shù)單調(diào)性討論5-1．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；【答案】答案見解析【分析】根據(jù)題意，求導得，然后分，，分別討論，即可得到結(jié)果；【詳解】，，①當，即時，，在區(qū)間單調(diào)遞增．②當，即時，令，得，令，得，所以在區(qū)間單調(diào)遞增；在區(qū)間單調(diào)遞減．③當，即時，若，則，在區(qū)間單調(diào)遞增．若，令，得，令，得，所以在區(qū)間單調(diào)遞減；在區(qū)間單調(diào)遞增．綜上，時，在區(qū)間單調(diào)遞增；在區(qū)間單調(diào)遞減；時，在區(qū)間單調(diào)遞增時，在區(qū)間單調(diào)遞減、在區(qū)間單調(diào)遞增．5-2．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】答案見解析【分析】求導，分和兩種情況，利用導數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】由題意可知：的定義域為，且，若，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增；若，令，解得或（舍去），當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；綜上所述：若，在上單調(diào)遞增；若，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.5-3．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】答案見解析.【分析】將函數(shù)求導，對的正負性進行分類討論，進而得到的單調(diào)性.【詳解】因為的定義域為，所以，其中，當時，即，在上單調(diào)遞增，當時，即，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.5-4．（2024高二下·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】答案見解析.【分析】求出導函數(shù)，再分類討論確定的正負得單調(diào)性.【詳解】函數(shù)的定義域為R，求導得，當時，恒成立，在上是增函數(shù)，當時，當時，，遞減，當時，，遞增，所以當時，在R上是增函數(shù)，當時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).5-5．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】答案見解析.【分析】求出導函數(shù)，然后分類討論確定的正負得單調(diào)區(qū)間.【詳解】因為，該函數(shù)的定義域為，.因為，由得：或.①當，即時，對任意的恒成立，且不恒為零，此時，函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間；②當，即時，由得或；由得.此時，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為；③當，即時，由得或；由得.此時函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.綜上所述：當時，函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當時，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為；當時，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.5-6．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，其中，討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】答案見解析.【分析】先將函數(shù)求導并對導函數(shù)分子進行因式分解，再對參數(shù)進行分類討論，最后得到不同情況下的函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】，所以的定義域為，，①若時，100極小值極大值②若時，恒成立，單調(diào)遞減，③若時100極小值極大值④若時令，解得，此時單調(diào)遞增，令解得，此時單調(diào)遞減，綜上所述，當時，在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當時，在單調(diào)遞減；當時，在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.5-7．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，，討論的單調(diào)區(qū)間.【答案】答案見解析【分析】先求得，對進行分類討論，由此求得的單調(diào)區(qū)間.【詳解】的定義域為，，若，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.若，則恒成立，在上單調(diào)遞增.綜上，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.5-8．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù).判斷函數(shù)的單調(diào)性.【答案】在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減【分析】求函數(shù)的定義域，對函數(shù)求導數(shù)，分析其正負號，得到函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】因為，定義域為，，令，因為，則，可得在上單調(diào)遞減，所以，所以當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.一、單選題1．（2024高三·全國·課后作業(yè)）函數(shù)（a、b為正數(shù)）的嚴格減區(qū)間是（

）．A． B．與C．與 D．【答案】C【分析】由題得，再利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間得解.【詳解】解：由題得.由，令解得或．所以函數(shù)的嚴格減區(qū)間是與.選項D，本題的兩個單調(diào)區(qū)間之間不能用“”連接，所以該選項錯誤.故選：C2．（2024高二上·浙江·開學考試）已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性知導數(shù)小于等于0恒成立，分離參數(shù)后由正切函數(shù)單調(diào)性求解.【詳解】由題意，在上恒成立，即在上恒成立，因為在上單調(diào)遞增，所以，所以在時，，所以.故選：B3．（2024高三·全國·專題練習）三次函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可得在上恒成立，結(jié)合恒成立問題分析運算.【詳解】對函數(shù)求導，得因為函數(shù)在上是減函數(shù)，則在上恒成立，即恒成立，當，即時，恒成立；當，即時，，則，即，因為，所以，即；又因為當時，不是三次函數(shù)，不滿足題意，所以.故選：A．4．（2024高三下·青海西寧·開學考試）已知函數(shù).若對任意，，且，都有，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，然后構(gòu)造，得到，從而求得的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意，不妨取，則可轉(zhuǎn)化為，即.令，則對任意，，且，都有，所以在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，即在上恒成立.令，，則，，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實數(shù)a的取值范圍是，故選:A5．（2024高三·全國·專題練習）若函數(shù)在其定義域的一個子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出函數(shù)的定義域，則有，對函數(shù)求導后，令求出極值點，使極值點在內(nèi)，從而可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，所以，即，，令，得或（舍去），因為在定義域的一個子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，所以，得，綜上，，故選：D6．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意可得兩個根分別位于和上，所以，從而解不等式組可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】由，得．因為在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以方程的兩個根分別位于區(qū)間和上，所以，即解得.故選：A．7．（2024·全國）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得;構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)可得,即可得解.【詳解】[方法一]：構(gòu)造函數(shù)因為當故，故，所以；設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，故，所以，所以，所以，故選A[方法二]：不等式放縮因為當，取得：，故，其中，且當時，，及此時，故，故所以，所以，故選A[方法三]：泰勒展開設(shè)，則，，，計算得，故選A.[方法四]：構(gòu)造函數(shù)因為，因為當，所以,即，所以；設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，則,所以，所以,所以，故選：A．[方法五]：【最優(yōu)解】不等式放縮因為，因為當，所以,即，所以；因為當，取得，故，所以．故選：A．【整體點評】方法4：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是常見思路，難點在于構(gòu)造合適的函數(shù)，屬于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式放縮，即可得出大小關(guān)系，屬于最優(yōu)解．8．（2024·全國）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，導數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.【詳解】方法一：構(gòu)造法設(shè)，因為，當時，，當時，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當時，，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.方法二：比較法解：，，，①，令則，故在上單調(diào)遞減，可得，即，所以；②，令則，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以故9．（2024高三上·河南·階段練習）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的函數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性分別判斷即可，利用導數(shù)即可判斷函數(shù)在的單調(diào)性.【詳解】對于A，的定義域為，定義域不關(guān)于原點對稱，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；對于B，，定義域為，因為，所以為奇函數(shù)，不符合題意；對于C，，所以，所以為偶函數(shù)，又，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，符合題意；對于D，，令，在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，不符合題意．故選：C．10．（2024高三上·河南·階段練習）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用導數(shù)求解單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】令，，，，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故選：A11．（2024高二下·河南許昌·階段練習）函數(shù)在下面哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)A． B． C． D．【答案】B【分析】求后令可得函數(shù)的單調(diào)間區(qū)間，逐一比較可得正確選項.【詳解】令，則，令，可得或，故選B.【點睛】一般地，若在區(qū)間上可導，且，則在上為單調(diào)增（減）函數(shù)；反之，若在區(qū)間上可導且為單調(diào)增（減）函數(shù)，則.12．（2024·全國）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．【答案】C【分析】根據(jù)在上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出．【詳解】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，，故，即，即a的最小值為．故選：C．13．（2024高二下·福建泉州·期末）已知函數(shù)的導函數(shù)的圖像如下圖，那么的圖像可能是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)導函數(shù)的函數(shù)值反映的是原函數(shù)的斜率大小可得答案.【詳解】因為，的導數(shù)大于零，因此，，單調(diào)遞增，又，的導數(shù)表示曲線與的曲線上任一點切線的斜率，是單調(diào)遞減的，故增的慢，是單調(diào)遞增的，故增的快，排除A、C，又，即與在的切線是平行的，排除B．故選：D.14．（2024高二下·河北邯鄲·期末）函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】原函數(shù)先減再增，再減再增，且位于增區(qū)間內(nèi)，因此選D．【名師點睛】本題主要考查導數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系：若導函數(shù)圖象與軸的交點為，且圖象在兩側(cè)附近連續(xù)分布于軸上下方，則為原函數(shù)單調(diào)性的拐點，運用導數(shù)知識來討論函數(shù)單調(diào)性時，由導函數(shù)的正負，得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．15．（2024·湖南）若函數(shù)的導函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的圖象可能是A．B．C．D．【答案】A【詳解】試題分析：∵函數(shù)y=f（x）的導函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，∴對任意的a＜x1＜x2＜b，有也即在a,x1,x2,b處它們的斜率是依次增大的．∴A滿足上述條件，對于B存在使，對于C對任意的a＜x1＜x2＜b，都有，對于D對任意的x∈[a，b]，不滿足逐漸遞增的條件，故選A．考點：單調(diào)性與導函數(shù)的關(guān)系.16．（2024·全國）函數(shù)的圖像大致為A． B．C． D．【答案】D【詳解】分析：根據(jù)函數(shù)圖象的特殊點，利用函數(shù)的導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由排除法可得結(jié)果.詳解：函數(shù)過定點，排除，求得函數(shù)的導數(shù)，由得，得或，此時函數(shù)單調(diào)遞增，排除，故選D.點睛：本題通過對多個圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點以及時函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意的選項一一排除.17．（2024高三上·陜西榆林·階段練習）函數(shù)的部分圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】分析函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，的正負，結(jié)合排除法可得出合適的選項.【詳解】因為的定義域為，又，所以是偶函數(shù)，因為，排除BC選項，當時，，所以，令，所以，所以當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，所以存在，，使得，，所以當時，，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故A符合.故選：A.18．（2024·全國）函數(shù)的圖像大致為()A． B．C． D．【答案】B【詳解】分析：通過研究函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，確定函數(shù)圖像.詳解：為奇函數(shù)，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此選B.點睛：有關(guān)函數(shù)圖象識別問題的常見題型及解題思路（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；③由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；④由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．19．（2024高三上·重慶沙坪壩·開學考試）已知實數(shù)滿足：，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造，，求導，得到函數(shù)單調(diào)性，得到，從而；構(gòu)造，，求導后得到函數(shù)單調(diào)性，得到，設(shè)，則，從而得到，取得到，從而求出答案.【詳解】令，，故在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，即，，所以，，令，，則在上恒成立，故，所以，設(shè)，則，故，所以，即，由于，，故，取得：.所以.故選：A20．（2024高二下·山東菏澤·期末）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，求導分析單調(diào)性，進而可得的大小關(guān)系，令，求導分析單調(diào)性，進而可得的大小關(guān)系.【詳解】令得令，解得，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，故即，當且僅當時，等號成立，所以，則，所以因為，所以令得，令得令得所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以所以即所以則所以，故選：B.21．（2024高二上·湖南張家界·階段練習）設(shè)分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當時，．且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用已知可判斷出其奇偶性和單調(diào)性，進而即可得出不等式的解集．【詳解】令，則，因此函數(shù)在上是奇函數(shù)．①當時，，在時單調(diào)遞增，故函數(shù)在上單調(diào)遞增．，，．②當時，函數(shù)在上是奇函數(shù)，可知：在上單調(diào)遞增，且（3），，的解集為．③當時，，不符合要求不等式的解集是，，．故選：D22．（2024高三·全國·專題練習）已知在上是可導函數(shù)，的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定圖象，求出和的解集，再求解給定不等式作答.【詳解】由題圖可知，且當和時，，當時，，則原不等式等價于，等價于或，等價于或，解得:或或．故選：D．23．（2024高三上·重慶沙坪壩·開學考試）若函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，當時，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，判斷其奇偶性及單調(diào)性，解不等式即可.【詳解】令，因為為偶函數(shù)，即，故，為偶函數(shù)，當時，，則在上單調(diào)遞增，因為，即，所以，故，解，所以不等式的解集為.故選：D24．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知冪函數(shù)，若，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)為奇函數(shù) B．函數(shù)為偶函數(shù)C．函數(shù)在上單調(diào)遞增 D．函數(shù)在上單調(diào)遞減【答案】B【分析】根據(jù)冪函數(shù)的解析式得出等式，構(gòu)造函數(shù)應(yīng)用導數(shù)求最值后確定參數(shù)值可得答案．【詳解】依題意，則，設(shè)單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,知該方程有唯一解，故，易知該函數(shù)為偶函數(shù).故選：B．25．（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求導，再由求解.【詳解】解：因為，所以，由，即，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選：D26．（2024高二下·重慶·期中）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求導數(shù)，利用在上恒成立，分離參數(shù)進行求解.【詳解】，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，因為二次函數(shù)的圖象的對稱軸為，且開口向上所以的最小值為1，所以.故選：B.27．（2024·甘肅蘭州·一模）已知是偶函數(shù)，在(－∞，0)上滿足恒成立，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題干條件得到時，，故在上單調(diào)遞減，結(jié)合為偶函數(shù)，得到在上單調(diào)遞增，從而判斷出大小關(guān)系.【詳解】時，即，∴在上單調(diào)遞減，又為偶函數(shù)，∴在上單調(diào)遞增．∴，∴.故選：A．28．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，且，，，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得，，，令，利用導函數(shù)可得，再令，利用導函數(shù)求單調(diào)性即可求解.【詳解】由題意可得，，，令，則，因為當時，單調(diào)遞增，所以，即，令，則，因為當時，，所以在上單調(diào)遞增，又因為且，所以，故選：A29．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知實數(shù)，滿足，，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題可得，，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)討論其單調(diào)性，即可得，再結(jié)合即可求解.【詳解】由可得，，即，也即，由可得，所以，即，構(gòu)造函數(shù)，在恒成立，所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，所以，即，又因為，所以，所以，解得，故選:B.30．（2024高三·貴州貴陽·階段練習）已知，，對，且，恒有，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，確定函數(shù)單調(diào)遞增，得到，設(shè)，求導得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，計算最值得到答案.【詳解】設(shè)，，對，且，恒有，即，在上單調(diào)遞增，故恒成立，即，設(shè)，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；故，即，即.故選：A31．（2024·四川南充·三模）已知函數(shù)使（為常數(shù)）成立，則常數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性不妨設(shè)，即可得到，令，，則問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，即在上有解，參變分離，在構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，在定義域上單調(diào)遞增，又使（為常數(shù)）成立，顯然，所以不妨設(shè)，則，即，令，，則，即函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，又，則在上有解，則在上有解，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即常數(shù)的取值范圍為.故選：C二、多選題32．（2024高二上·山東濟寧·期末）已知函數(shù)的定義域為且導函數(shù)為，如圖是函數(shù)的圖像，則下列說法正確的是

A．函數(shù)的增區(qū)間是B．函數(shù)的增區(qū)間是C．是函數(shù)的極小值點D．是函數(shù)的極小值點【答案】BD【解析】先由題中圖像，確定的正負，得到函數(shù)的單調(diào)性；從而可得出函數(shù)極大值點與極小值點，進而可得出結(jié)果.【詳解】由題意，當時，；當，；當時，；當時，；即函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在時取得極小值，在時取得極大值；故A錯，B正確；C錯，D正確.故選：BD.【點睛】本題主要考查導函數(shù)對原函數(shù)的影響，根據(jù)導數(shù)的正負確定原函數(shù)單調(diào)性與極值點，屬于?？碱}型.33．（2024·湖北武漢·二模）函數(shù)的圖像可能是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】分類討論函數(shù)的單調(diào)性及極值點判斷各個選項即可.【詳解】，當時,,A選項正確；，，,時,有兩個根,且時,根據(jù)極值點判斷，故C選項正確,D選項錯誤；當時,有兩個根,且此時,故B選項正確.故選：ABC．34．（2024·山東濰坊·模擬預(yù)測）下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義可判斷奇偶性，由導數(shù)即可判斷單調(diào)性.【詳解】對于A,,故為奇函數(shù)，，故為定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，故A正確，對于B，，故為非奇非偶函數(shù)，故B錯誤，對于C，在定義域內(nèi)不是單調(diào)增函數(shù)，故C錯誤，對于D，，，所以定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，故D正確，故選：AD35．（2024高二下·廣東潮州·開學考試）已知函數(shù)，則（

）A．在單調(diào)遞增B．有兩個零點C．曲線在點處切線的斜率為D．是奇函數(shù)【答案】AC【分析】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性即可判斷零點個數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，以及奇偶性的定義，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對A：，定義域為，則，由都在單調(diào)遞增，故也在單調(diào)遞增，又，故當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；故A正確；對B：由A知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，故只有一個零點，B錯誤；對C：，根據(jù)導數(shù)幾何意義可知，C正確；對D：定義域為，不關(guān)于原點對稱，故是非奇非偶函數(shù)，D錯誤.故選：AC.36．（2024·河北·模擬預(yù)測）十六世紀中葉，英國數(shù)學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用，后來英國數(shù)學家哈里奧特首次使用“<”和“>”符號，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠．若，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】構(gòu)造函數(shù)后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷各個選項即可.【詳解】設(shè)，，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，A正確；由得，即，又因為單調(diào)遞增，所以，B正確；由得，即，所以，C錯誤；因為，所以，D正確．故選：ABD.37．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測）當且時，不等式恒成立，則自然數(shù)可能為（

）A．0 B．2 C．8 D．12【答案】BC【分析】構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)確定單調(diào)性進而最值，將問題轉(zhuǎn)化成，進一步由對數(shù)運算得恒成立，即可代入選項逐一求解.【詳解】由于且，所以，所以，構(gòu)造函數(shù)，當，且時，故當當，因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故當時，取最小值，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，故當時，取最大值，當時，不妨取，則而，不滿足，故A錯誤，當時，，，顯然，故滿足題意，B正確，要使恒成立，則需要，即恒成立即可由于，因此當時，，C正確，當時，，不滿足題意，錯誤，故選：BC【點睛】處理多變量函數(shù)最值問題的方法有：（1）消元法：把多變量問題轉(zhuǎn)化單變量問題，消元時可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即給出的條件是和為定值或積為定值等，此時可以利用基本不等式來處理，用這個方法時要關(guān)注代數(shù)式和積關(guān)系的轉(zhuǎn)化.（3）構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求解最值.三、填空題38．（2024高二下·四川眉山·階段練習）的單調(diào)遞減區(qū)間是.【答案】【分析】求導，利用導函數(shù)求出函數(shù)的遞減區(qū)間.【詳解】的定義域是，，令，解得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是.故答案為：39．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則的單調(diào)遞減區(qū)間為.【答案】【分析】由題得定義域，解即得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】由題得的定義域為，由可得，令，，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：40．（2024·四川雅安·模擬預(yù)測）給出兩個條件：①，；②當時，（其中為的導函數(shù)）．請寫出同時滿足以上兩個條件的一個函數(shù)．（寫出一個滿足條件的函數(shù)即可）【答案】（答案不唯一）【分析】由條件①可選指數(shù)函數(shù)，由條件②可選單調(diào)減函數(shù)，結(jié)合①②寫出函數(shù)式作答.【詳解】由，知，函數(shù)可以為指數(shù)函數(shù)，因當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)可以為.故答案為：41．（2024高三上·湖北黃岡·階段練習）已知函數(shù)，則不等式的解集為．【答案】【分析】先根據(jù)函數(shù)特點構(gòu)造，得到其奇偶性和單調(diào)性，再對不等式變形得到，根據(jù)單調(diào)性得到，解不等式求出答案.【詳解】令，定義域為R，且，所以為奇函數(shù)，變形為，即，其，當且僅當，即時，等號成立，所以在R上單調(diào)遞增，所以，解得：，所以解集為.故答案為：42．（2024·寧夏銀川·三模）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，利用導數(shù)判斷出函數(shù)單調(diào)區(qū)間，根據(jù)題意可得,即可得實數(shù)的取值范圍為【詳解】由可知，其定義域為，則，易知當時，；當時，；即函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則需滿足，解得；所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：四、解答題43．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，.(1)若，求a的取值范圍；(2)求函數(shù)在上的單調(diào)性.【答案】(1)(2)在上單調(diào)遞增【分析】（1）對進行分類討論，結(jié)合分離常數(shù)法、構(gòu)造函數(shù)法以及導數(shù)求得的取值范圍.（2）先得到、，然后得到，從而求得正確答案.【詳解】（1）由題意知的定義域為.①當時，由得，設(shè)，則，當時，，故在上單調(diào)遞減；當時，，故在上單調(diào)遞增，所以，因此.②當時，若，因為，不合題意.所以，此時恒成立.③當時，，此時.綜上可得，a的取值范圍是.（2）設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即在上恒成立.所以.又由（1）知，所以當時，，所以在上單調(diào)遞增.44．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，判斷的單調(diào)性，并說明理由.【答案】在上單調(diào)遞增，理由見解析【分析】先求導得到，再通過求導判斷分子恒為正，得到，最后得到單調(diào)遞增.【詳解】，令，則，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，所以，而在區(qū)間恒成立，所以在區(qū)間恒成立，所以在上單調(diào)遞增.45．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.【答案】答案見解析.【分析】先求導得到的解析式，再設(shè)函數(shù)進行求導，根據(jù)參數(shù)的取值不同分別判斷單調(diào)性即可.【詳解】由函數(shù)，可得，設(shè)，可得，①當時，恒成立，所以在單調(diào)遞增；②當時，令，解得，此時單調(diào)遞增，令，解得，此時單調(diào)遞減，綜上，當時，在單調(diào)遞增；當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.46．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性；【答案】在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，討論其導數(shù)的正負，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】函數(shù)的定義域為，．令，解得，則有當時，；當時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．47．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）當，對求導，求出，在由導數(shù)的幾何意義求解即可；（2）先對原函數(shù)求導，然后利用分類討論的思想進行分析求解即可.【詳解】（1），，，當時，，切點坐標為，又，切線斜率為，曲線在處切線方程為：.（2），，，，，，①當時，成立，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間.②當時，令，所以當時，，在上單調(diào)遞減時，，在上單調(diào)遞增綜上:時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；48．（2024高三·北京海淀·專題練習）設(shè)函數(shù)．(1)若曲線在點處的切線與軸平行，求；(2)求的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)1(2)答案見解析【分析】由曲線在點處的切線與軸平行知，，可得，驗證與軸不重合.，根據(jù)的范圍不同，對的符合影響，及兩根的比較，將分類進而求單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）因為，所以..由題設(shè)知，即，解得.此時.所以的值為1.（2）由（1）得．1）當時，令，得，所以的變化情況如下表：單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減2）當，令，得或2①當時，，所以的變化情況如下表：200單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減②當時，（?。┊敿磿r，200單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增（ⅱ）當即時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；（ⅲ）當即時，200單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增綜上，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是和；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是．【點睛】方法點睛：討論含參函數(shù)的單調(diào)性問題，需根據(jù)參數(shù)的導函數(shù)符號的影響，及導函數(shù)的零點大小比較進行分類.49．（2024高三·全國·專題練習）已知，討論的單調(diào)性.【答案】答案見解析.【分析】先對求導通分，然后對分子因式分解，最后對參數(shù)分類討論得到不同情況下的函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】因為定義域為，所以，①當時恒成立，此時在上單調(diào)遞增；②當時令，解得或，此時在，上單調(diào)遞增，令，解得，此時在單調(diào)遞減；③當時恒成立，此時單調(diào)遞增；④當時令，解得或，此時在，上單調(diào)遞增，令，解得，此時在上單調(diào)遞減，綜上可得，當或時在上單調(diào)遞增；當時在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；當時在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.50．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.【答案】答案見解析.【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論的范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；【詳解】由題意可得的定義域為，且．令，則，又．當，即時，，在上單調(diào)遞增．當，即或時，有兩個根，．若，，，則當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減；若，，則當或時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減．綜上，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．51．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】答案見解析【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，再分類討論求解為正為負時的不等式作答.【詳解】函數(shù)的定義域為，求導得，①當，即時，恒成立，此時在上單調(diào)遞減；②當，即時，由解得，，由解得，，由解得或，此時在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減；③當，即時，由解得或(舍)，由解得，由解得，此時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.52．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，，討論的單調(diào)性.【答案】答案見解析.【分析】求函數(shù)的導數(shù)，討論參數(shù)a，結(jié)合導數(shù)的符號判斷函數(shù)單調(diào)性即可.【詳解】依題意，若，則，當時，當時.若，令，，令，解得或.若，則；若，則；若且，令，得，.若，則，當時，當時，當時；若，則，當時，當時，當時.綜上所述：時在R上單調(diào)遞增；時在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；時在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；時在R上單調(diào)遞減；53．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】答案見解析.【分析】求導，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可根據(jù)導函數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】，()令，，①當，即時，即，恒成立，所以，此時，在區(qū)間上是增函數(shù)；②當，得到或，又，其對稱軸為，且，所以，當時，，所以在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，此時在區(qū)間上是增函數(shù)；當時，，且，由，得到或，時，，時，，即時，，時，此時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).綜上所述，當時，在上是增函數(shù)；當時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).54．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，，其中，討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】答案見解析.【分析】先求得，對進行分類討論，由此求得的單調(diào)區(qū)間.【詳解】，，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，當時，，當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.55．（2024高三·全國·專題練習）已知.（），討論的單調(diào)性.【答案】答案見解析.【分析】先求得，對進行分類討論，由此求得的單調(diào)區(qū)間.【詳解】因為，所以，若時，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增；若，由得或，設(shè)，則，時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，所以，所以，所以時，單調(diào)遞減，，時，，單調(diào)遞增.綜上得，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.56．（2024高三·全國·專題練習）已知，討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】答案見解析.【分析】求導，分，，，討論求解.【詳解】由題知，.當時，當時，；當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，；當或時，；當時，；在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，；當或時，；當時，；在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；綜上所述，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上是增函數(shù)；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.57．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】答案見解析【分析】先求導得出，然后解，得出兩根.然后分，，三種情況，比較的大小關(guān)系，根據(jù)導函數(shù)即可得出答案.【詳解】因為，所以，令，則兩根分別為，.①當時，此時有，在恒成立，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；②當時，此時有.令，得或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，；令，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.③當時，此時有.令得或時，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，；令得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.58．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)（，且）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【答案】單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為【分析】對函數(shù)求導且，分別在、上討論、對應(yīng)導函數(shù)的符號，進而求其單調(diào)區(qū)間.【詳解】定義域為，（，且），則.當時，，，若，則，，得，于是，若，則，，得，于是，∴當時，即在上單調(diào)遞增；當時，，，若，則，，得，于是，若，則，，得，于是，∴當時，即在上單調(diào)遞減；綜上，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.59．（2024高三·全國·專題練習）設(shè)函數(shù)，其中，討論的單調(diào)性.【答案】答案見解析.【分析】求導，分，，，討論求解.【詳解】由①時，由，令，解得，所以時，時，，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；②時，由，（i）時，因為，則在單調(diào)遞增，（ii）時，，解得或，所以時，時，，則在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（iii）時，由，所以時，時，，則在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；綜上：時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；60．（2024高三·全國·專題練習）設(shè)，函數(shù)，討論在的單調(diào)性.【答案】在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.【分析】利用多次求導的方法來求得在區(qū)間上的單調(diào)性.【詳解】因為，所以在有定義，，設(shè)，則，當時，，所以在單調(diào)遞增，而，所以當時時，因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.61．（2024·北京）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對任意的，有．【答案】(1)(2)在上單調(diào)遞增.(3)證明見解析【分析】（1）先求出切點坐標，在由導數(shù)求得切線斜率，即得切線方程；（2）在求一次導數(shù)無法判斷的情況下，構(gòu)造新的函數(shù)，再求一次導數(shù)，問題即得解；（3）令，，即證，由第二問結(jié)論可知在[0,+∞）上單調(diào)遞增，即得證.【詳解】（1）解：因為，所以，即切點坐標為，又，∴切線斜率∴切線方程為：（2）解：因為，

所以，令，則，∴在上單調(diào)遞增，∴∴在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增.（3）解：原不等式等價于，令，，即證，∵，，由（2）知在上單調(diào)遞增，∴，∴∴在上單調(diào)遞增，又因為，∴，所以命題得證.62．（陜西省咸陽市高新一中2023-2024學年高二上學期第二次質(zhì)量檢測文科數(shù)學試題）設(shè)函數(shù)的圖象與直線12x＋y－1＝0相切于點（1，－11）．(1)求a、b的值．(2)討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．【答案】(1)；(2)答案見解析.【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義進行求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)導函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系進行求解即可.【詳解】（1）由，因為函數(shù)的圖象與直線12x＋y－1＝0相切于點（1，－11），所以有，解得；（2）由（1）可知，所以，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，所以當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)函數(shù)導函數(shù)的正負性判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.63．（2024·甘肅天水·一模）設(shè)函數(shù)(1)若函數(shù)在上遞增，在上遞減，求實數(shù)的值.(2)討論在上的單調(diào)性.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）先求得，由求得.（2）先求得，對進行分類討論，由此求得在上的單調(diào)性.【詳解】（1）的定義域為，，由，解得，此時，則在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減，符合題意.所以的值為.（2）∵，∴，①當時，在上單調(diào)遞增.②當，即或時，，∴在上單調(diào)遞減.③當且時，由得.令得；令得.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當時，在上遞增；當或時，在上遞減；當且時，在上遞增，在上遞減.【點睛】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，當導函數(shù)含有參數(shù)時，要對參數(shù)進行分類討論.分類討論標準的制定主要是根據(jù)導函數(shù)的結(jié)構(gòu)來進行，分類討論要做到不重不漏.部分題目，一次求導無法求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，則可以考慮利用多次求導來進行研究.64．（2024·全國）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）求曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標．【答案】(1)答案見解析；(2)和.【分析】(1)首先求得導函數(shù)的解析式，然后分類討論導函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性；(2)首先求得導數(shù)過坐標原點的切線方程，然后將原問題轉(zhuǎn)化為方程求解的問題，據(jù)此即可求得公共點坐標.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，導函數(shù)的判別式，當時，在R上單調(diào)遞增，當時，的解為：，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增；綜上可得：當時，在R上單調(diào)遞增，當時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)由題意可得：，，則切線方程為：，切線過坐標原點，則：,整理可得：，即：，解得：，則，切線方程為：,與聯(lián)立得，化簡得,由于切點的橫坐標1必然是該方程的一個