舉一反三系列高二高考數(shù)學(xué)同步及復(fù)習(xí)資料人教A版選擇性必修2專題4.6 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（重難點(diǎn)題型檢測(cè)）（含答案及解析）

專題4.6等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（重難點(diǎn)題型檢測(cè)）【人教A版2019選擇性必修第二冊(cè)】考試時(shí)間：60分鐘；滿分：100分姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________考卷信息：本卷試題共22題，單選8題，多選4題，填空4題，解答6題，滿分100分，限時(shí)60分鐘，本卷題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學(xué)生掌握本節(jié)內(nèi)容的具體情況！一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022·四川省模擬預(yù)測(cè)（文））已知Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S9=36，則A．3 B．4 C．6 D．82．（3分）（2022·陜西·高二階段練習(xí)（理））已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn．若S4=6，S8A．35 B．42 C．24 D．633．（3分）已知等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，且SnA．12 B．712 C．584．（3分）（2022·陜西咸陽(yáng)·高二期中（文））設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a3+a5=?18，SA．11或12 B．12 C．13 D．12或135．（3分）（2022·重慶·高一階段練習(xí)）設(shè){an}是等差數(shù)列，a1>0，a2007+a2008A．4013 B．4014 C．4015 D．40166．（3分）（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S20212021=A．a(chǎn)n=2n+1 C．Sn=2n7．（3分）（2022·四川·高二階段練習(xí)（文））已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則（A．若S9>S8，S9>S10，則S17>0，C．若S17>0，S18<0，則a17>0，a18<0 8．（3分）（2022·江蘇·高二期末）風(fēng)雨橋(如圖1所示)是侗族最具特色的民間建筑之一．風(fēng)雨橋由橋、塔、亭組成．其中亭、塔的俯視圖通常是正方形、正六邊形或正八邊形．圖2是某風(fēng)雨橋亭的大致俯視圖，其中正六邊形的邊長(zhǎng)的計(jì)算方法如下：A1B1=A0B0?B0B1，A2BA．120m B．210m C．130m D．310m二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022·福建省高二階段練習(xí)）等差數(shù)列an中，a1>0，公差d<0，Sn為其前n項(xiàng)和，對(duì)任意正整數(shù)n，若點(diǎn)A． B． C． D．10．（4分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）(多選)已知兩個(gè)等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，且n+1Sn=A．2 B．3 C．4 D．511．（4分）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在等差數(shù)列{an}中，其前n的和是Sn，若a1A．{an}是遞增數(shù)列C．當(dāng)Sn取最小值時(shí)，n的值只能是3 D．Sn12．（4分）（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足：a1=1，an+2=2an+1A．Sn的通項(xiàng)公式可以是B．若a3，a7為方程xC．若S4SD．若S4=S8，則使得三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022·上海市高三開學(xué)考試）若Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a1+a5=22,14．（4分）（2021·天津市高二期末）已知等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=-2n+11，其前n項(xiàng)和為Sn，則當(dāng)15．（4分）（2021·江西南昌·高一期中）各項(xiàng)不全為0的等差數(shù)列an，前n項(xiàng)和為Sn．若S100=S10416．（4分）（2022·江蘇·高二期末）我國(guó)古代《九章算術(shù)》一書中記載關(guān)于“竹九”問題：今有竹九節(jié)，下三節(jié)容量四升，上四節(jié)容量三升，問五、六兩節(jié)欲均容各多少？意思是下三節(jié)容量和為4升，上四節(jié)容量和為3升，且每一節(jié)容量變化均勻，問第五、六兩節(jié)容量分別是多少？在這個(gè)問題中，九節(jié)總?cè)萘渴?四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知兩個(gè)等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，18．（6分）（2022·廣西·高二期中（文））等差數(shù)列an，S11=?11(1)求通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式；(2)當(dāng)n取何值時(shí)，前n項(xiàng)和最大，最大值是多少．19．（8分）（2022·上海市高三階段練習(xí)）公差不為零的等差數(shù)列an滿足a(1)求an(2)記an的前n項(xiàng)和為Sn，求使Sn20．（8分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知一個(gè)等差數(shù)列an(1)求S12、S(2)通過(guò)計(jì)算觀察，尋找S4、S8、S12(3)根據(jù)上述結(jié)論，請(qǐng)你歸納出對(duì)于等差數(shù)列而言的一般結(jié)論，并證明．21．（8分）（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1＝12，d＝－2.（1）求Sn，并畫出{Sn}(1≤n≤13)的圖象；（2）分別求{Sn}單調(diào)遞增、單調(diào)遞減的n的取值范圍，并求{Sn}的最大(或最小)的項(xiàng)；（3）{Sn}有多少項(xiàng)大于零？22．（8分）（2022·浙江·高三期中）流感是由流感病毒引起的急性呼吸道傳染病，秋冬季節(jié)是其高發(fā)期，其所引起的并發(fā)癥和死亡現(xiàn)象非常嚴(yán)重.我國(guó)北方某市去年12月份曾發(fā)生大面積流感，據(jù)資料統(tǒng)計(jì)，12月1日該市新增患者有20人，此后12月的某一段時(shí)間內(nèi)，每天的新增患者比前一天的新增患者多50人.為此，該市醫(yī)療部門緊急采取措施，有效控制了病毒傳播.從12月的某天起，每天的新增患者比前一天的新增患者少30人.設(shè)12月第n天，該市新增患者人數(shù)最多.(1)求第n天的新增患者人數(shù)（結(jié)果用n表示）；(2)求前n天的新增患者的人數(shù)之和（結(jié)果用n表示）；(3)若截止12月30日，該市30天內(nèi)新增患者總共有8670人，求n的值.專題4.6等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（重難點(diǎn)題型檢測(cè)）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022·四川省模擬預(yù)測(cè)（文））已知Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S9=36，則A．3 B．4 C．6 D．8【解題思路】用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式展開，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，整體代入即可得到..【解答過(guò)程】因?yàn)閿?shù)列an為等差數(shù)列，∴a1+a故選：B.2．（3分）（2022·陜西·高二階段練習(xí)（理））已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn．若S4=6，S8A．35 B．42 C．24 D．63【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足【解答過(guò)程】因?yàn)榈炔顢?shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，故S4,S故選：C.3．（3分）已知等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，且SnA．12 B．712 C．58【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得正確答案.【解答過(guò)程】a5b5由題意可得S9故選：B.4．（3分）（2022·陜西咸陽(yáng)·高二期中（文））設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a3+a5=?18，SA．11或12 B．12 C．13 D．12或13【解題思路】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，根據(jù)題意求得首項(xiàng)與公差，從而可求得數(shù)列的通項(xiàng)，令an≤0【解答過(guò)程】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d因?yàn)閍3+a則有2a1+6d=?18所以an令an=n?13≤0，則又a13=0，所以當(dāng)n=12或13時(shí)，故選：D.5．（3分）（2022·重慶·高一階段練習(xí)）設(shè){an}是等差數(shù)列，a1>0，a2007+a2008A．4013 B．4014 C．4015 D．4016【解題思路】由題意利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得a2007>0，且a2008<0，推出S4013>0，【解答過(guò)程】因?yàn)槭醉?xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列an滿足：a2007+所以{a所以a2007>0，且所以a1+a由Sn=n(a1又因?yàn)閍2007+a故選：B.6．（3分）（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S20212021=A．a(chǎn)n=2n+1 C．Sn=2n【解題思路】等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn構(gòu)成的數(shù)列{S【解答過(guò)程】設(shè)an的公差為d∵S∴Sn即{Snn}為等差數(shù)列，公差為由S20212021?故an故選：A.7．（3分）（2022·四川·高二階段練習(xí)（文））已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則（A．若S9>S8，S9>S10，則S17>0，C．若S17>0，S18<0，則a17>0，a18<0 【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和、通項(xiàng)公式的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【解答過(guò)程】設(shè)等差數(shù)列an的公差為dA選項(xiàng)，若S9>S8，S9>SS17=aS18B選項(xiàng)，S17=a所以S8+aS18=a所以S9>SC選項(xiàng)，若S17>0，S18S17=aS18=a則a1>0,dD選項(xiàng)，若a17>0，a18當(dāng)1≤n≤17,n∈N但S18故選：B.8．（3分）（2022·江蘇·高二期末）風(fēng)雨橋(如圖1所示)是侗族最具特色的民間建筑之一．風(fēng)雨橋由橋、塔、亭組成．其中亭、塔的俯視圖通常是正方形、正六邊形或正八邊形．圖2是某風(fēng)雨橋亭的大致俯視圖，其中正六邊形的邊長(zhǎng)的計(jì)算方法如下：A1B1=A0B0?B0B1，A2BA．120m B．210m C．130m D．310m【解題思路】由題意得圖2中五個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)(單位：m)構(gòu)成以a1=8為首項(xiàng)，d=?0.5為公差的等差數(shù)列ak【解答過(guò)程】由已知得AnBn=AB3以a1=8為首項(xiàng)，d=?0.5為公差的等差數(shù)列設(shè)數(shù)列akk∈N?,1≤k≤5所以圖2中的五個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)總和為6S故選：B.二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022·福建省高二階段練習(xí)）等差數(shù)列an中，a1>0，公差d<0，Sn為其前n項(xiàng)和，對(duì)任意正整數(shù)n，若點(diǎn)A． B． C． D．【解題思路】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和關(guān)于n的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),判斷圖象的開口方向，可判斷A，B；判斷圖象對(duì)稱軸位置，判斷C，D，即可到答案．【解答過(guò)程】∵等差數(shù)列{an}中，a1>0，公差d<0∴S∴點(diǎn)(n,Sn)∵d<0，∴二次函數(shù)開口向下，故A，B不可能；∵對(duì)稱軸x=?a∴對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，故C可能，D不可能.故選：ABD.10．（4分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）(多選)已知兩個(gè)等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，且n+1Sn=A．2 B．3 C．4 D．5【解題思路】首先利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求出an與S2n?1之間的關(guān)系，進(jìn)而可求出【解答過(guò)程】由題意，可得Sn∵an和b∴S2n?1同理，T2n?1∴an若anbn為整數(shù)，則只需n=1，2，4故選：AC.11．（4分）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在等差數(shù)列{an}中，其前n的和是Sn，若a1A．{an}是遞增數(shù)列C．當(dāng)Sn取最小值時(shí)，n的值只能是3 D．Sn【解題思路】由公差的正負(fù)性判斷等差數(shù)列的單調(diào)性，由首項(xiàng)、公差寫出等差數(shù)列通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得前n項(xiàng)和公式，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【解答過(guò)程】由d=3>0，可知等差數(shù)列{a由題設(shè)，anSn故當(dāng)n=3或4時(shí)，Sn取最小值且為?18故選：ABD.12．（4分）（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足：a1=1，an+2=2an+1A．Sn的通項(xiàng)公式可以是B．若a3，a7為方程xC．若S4SD．若S4=S8，則使得【解題思路】根據(jù)an+2=2an+1?an求出a1利用韋達(dá)定理可得a3+a根據(jù)S4S2根據(jù)S4=S8求得公差，從而可求得【解答過(guò)程】解：因?yàn)閍n+2=2a所以數(shù)列an是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則S對(duì)于A，若Sn=n2?n+1所以a3?a對(duì)于B，若a3，a7為方程x2即2a1+8d=?6，解得d=?1所以a6=?4,a對(duì)于C，S4S2所以S8對(duì)于D，由S4=S8，得所以Sn由Sn>0，即?1所以正整數(shù)n的最大值為11，故D正確.故選：BD.三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022·上海市高三開學(xué)考試）若Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a1+a5=22,Sn【解題思路】根據(jù)已知，利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及通項(xiàng)公式求解.【解答過(guò)程】因?yàn)榈炔顢?shù)列an滿足a所以2a3=22又因?yàn)镾n所以S2=a1+所以an=a故答案為：an=4n?1，14．（4分）（2021·天津市高二期末）已知等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=-2n+11，其前n項(xiàng)和為Sn，則當(dāng)【解題思路】根據(jù)通項(xiàng)公式，設(shè)n=k時(shí)，Sk【解答過(guò)程】n∈N*，設(shè)nak≥0ak+1≤0故當(dāng)n=k=5故答案為：5.15．（4分）（2021·江西南昌·高一期中）各項(xiàng)不全為0的等差數(shù)列an，前n項(xiàng)和為Sn．若S100=S104【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和可看成關(guān)于n【解答過(guò)程】因?yàn)榈炔顢?shù)列an的前n項(xiàng)和為S可看成關(guān)于n的二次函數(shù)且無(wú)常數(shù)項(xiàng)，由二次函數(shù)的對(duì)稱性及S100=S得100+1042所以k=98,S所以k+S故答案為：98.16．（4分）（2022·江蘇·高二期末）我國(guó)古代《九章算術(shù)》一書中記載關(guān)于“竹九”問題：今有竹九節(jié)，下三節(jié)容量四升，上四節(jié)容量三升，問五、六兩節(jié)欲均容各多少？意思是下三節(jié)容量和為4升，上四節(jié)容量和為3升，且每一節(jié)容量變化均勻，問第五、六兩節(jié)容量分別是多少？在這個(gè)問題中，九節(jié)總?cè)萘渴?0122【解題思路】設(shè)由下到上九節(jié)容量分別記為a1,a2,...,【解答過(guò)程】設(shè)由下到上九節(jié)容量分別記為a1,a2,則a1+a2+a3=4，a6故S9故答案為：20122四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知兩個(gè)等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)得到a2+a5+【解答過(guò)程】解：∵數(shù)列an，bn為等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和分別為An∴a2+a又AnBn=3n+1n+1，18．（6分）（2022·廣西·高二期中（文））等差數(shù)列an，S11=?11(1)求通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式；(2)當(dāng)n取何值時(shí)，前n項(xiàng)和最大，最大值是多少．【解題思路】（1）根據(jù)等差中項(xiàng)可得S11=11a6=?11（2）a6=?1，a5=2知當(dāng)n=5時(shí)，前【解答過(guò)程】（1）由Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則S11an=aSn（2）由an=17?3n，則數(shù)列由a6=?1<0，a5=2>0，則當(dāng)n=5時(shí)，19．（8分）（2022·上海市高三階段練習(xí)）公差不為零的等差數(shù)列an滿足a(1)求an(2)記an的前n項(xiàng)和為Sn，求使Sn【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列公式，代入計(jì)算得到答案.（2）根據(jù)等差數(shù)列求和公式，考慮兩種情況，代入數(shù)據(jù)得到不等式，解得答案.【解答過(guò)程】（1）a15=a3a5，即故an=3n?5（2）當(dāng)an=3n?5時(shí)，Sn<an，即3n當(dāng)an=1Sn<an，即18綜上所述：當(dāng)an=3n?5時(shí)，n=3；當(dāng)an20．（8分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知一個(gè)等差數(shù)列an(1)求S12、S(2)通過(guò)計(jì)算觀察，尋找S4、S8、S12(3)根據(jù)上述結(jié)論，請(qǐng)你歸納出對(duì)于等差數(shù)列而言的一般結(jié)論，并證明．【解題思路】（1）設(shè){an}公差為d，由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式列方程組求得a1和d，再計(jì)算出（2）由（1）求出S4，S8?S4（3）根據(jù)等差數(shù)列的定義證明．【解答過(guò)程】（1）設(shè){an}公差為d，則SS12S16（2）由（1）得S4=32，S8?S所以S4，S8?S4（3）設(shè){an}則Skt同理S(k+1)t所以(S(k+1)t?所以St，S2t?St，S21．（8分）（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1＝12，d＝－2.（1）求Sn，并畫出{Sn}(1≤n≤13)的圖象；（2）分別求{Sn}單調(diào)遞增、單調(diào)遞減的n的取值范圍，并求{Sn}的最大(或最小)的項(xiàng)；（3）{Sn}有多少項(xiàng)大于零？【解題思路】（1）利用等差數(shù)列的求和公式得到Sn關(guān)于n的二次函數(shù)表達(dá)式Sn＝－n2＋13n，畫出二次函數(shù)的圖象上對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為正整數(shù)值的點(diǎn)即為所求圖像；（2）利用配方法，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可以得到單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性和對(duì)稱性可以得到最大項(xiàng)及最大值；（3）