2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章數(shù)列3.1第2課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)講義教案北師大版必修5_第1頁(yè)
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PAGE8-第2課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì),了解等比數(shù)列的性質(zhì)和由來.2.理解等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用.(重點(diǎn))3.駕馭等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用.(難點(diǎn))1.通過等比數(shù)列性質(zhì)的探討,培育邏輯推理素養(yǎng).2.通過學(xué)習(xí)等比中項(xiàng)的概念,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).1.等比數(shù)列的單調(diào)性閱讀教材P23思索溝通以下P24例3以上部分,完成下列問題.對(duì)于等比數(shù)列{an},通項(xiàng)公式an=a1·qn-1=eq\f(a1,q)·qn.依據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可分析當(dāng)q>0時(shí)的單調(diào)性如下表:a1a1>0a1<0q的范圍0<q<1q=1q>10<q<1q=1q>1{an}的單調(diào)性遞減數(shù)列常數(shù)列遞增數(shù)列遞增數(shù)列常數(shù)列遞減數(shù)列思索:(1)若等比數(shù)列{an}中,a1=eq\r(2),q=eq\f(1,2),則數(shù)列{an}的單調(diào)性如何?[提示]遞減數(shù)列.(2)等比數(shù)列{an}中,若公比q<0,則數(shù)列{an}的單調(diào)性如何?[提示]數(shù)列{an}不具有單調(diào)性,是搖擺數(shù)列.2.等比中項(xiàng)閱讀教材P25練習(xí)2以上最終兩段部分,完成下列問題.(1)前提:在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G,使得a,G,b成等比數(shù)列.(2)結(jié)論:G叫作a,b的等比中項(xiàng).(3)滿意關(guān)系式:G2=ab.思索:(1)隨意兩個(gè)數(shù)都有等差中項(xiàng),隨意兩個(gè)數(shù)都有等比中項(xiàng)嗎?[提示]不是,兩個(gè)同號(hào)的實(shí)數(shù)必有等比中項(xiàng),它們互為相反數(shù),兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)無(wú)等比中項(xiàng).(2)兩個(gè)數(shù)的等差中項(xiàng)是唯一的,若兩個(gè)數(shù)a,b存在等比中項(xiàng),唯一嗎?[提示]不唯一,如2和8的等比中項(xiàng)是4或-4.1.已知{an}是等比數(shù)列,a2=2,a5=eq\f(1,4),則公比q等于()A.-eq\f(1,2) B.-2C.2 D.eq\f(1,2)D[由a5=a2q3,得q3=eq\f(a5,a2)=eq\f(\f(1,4),2)=eq\f(1,8),所以q=eq\f(1,2),故選D.]2.將公比為q的等比數(shù)列{an}依次取相鄰兩項(xiàng)的乘積組成新的數(shù)列a1a2,a2a3,a3a4A.公比為q的等比數(shù)列B.公比為q2的等比數(shù)列C.公比為q3的等比數(shù)列D.不肯定是等比數(shù)列B[由于eq\f(anan+1,an-1an)=eq\f(an,an-1)×eq\f(an+1,an)=q·q=q2,n≥2且n∈N+,所以{anan+1}是以q2為公比的等比數(shù)列,故選B.]3.等比數(shù)列{an}中,若a1=2,且{an}是遞增數(shù)列,則數(shù)列{an}的公比q的取值范圍是________.(1,+∞)[因?yàn)閍1=2>0,要使{an}是遞增數(shù)列,則需公比q>1.]4.4-2eq\r(3)與4+2eq\r(3)的等比中項(xiàng)是________.2或-2[由題意知4-2eq\r(3)與4+2eq\r(3)的等比中項(xiàng)為±eq\r(4-2\r(3)4+2\r(3))=±eq\r(16-12)=±2.]等比中項(xiàng)的應(yīng)用【例1】(1)設(shè)x,2x+2,3x+3成等比數(shù)列,則x=________.(2)設(shè)a,b,c是實(shí)數(shù),若a,b,c成等比數(shù)列,且eq\f(1,a),eq\f(1,b),eq\f(1,c)成等差數(shù)列,則eq\f(c,a)+eq\f(a,c)的值為________.(1)-4(2)2[(1)由題意得(2x+2)2=x(3x+3),x2+5x+4=0,解得x=-1或x=-4,當(dāng)x=-1時(shí),2x+2=0,不符合題意,舍去,所以x=-4.(2)由a,b,c成等比數(shù)列,eq\f(1,a),eq\f(1,b),eq\f(1,c)成等差數(shù)列,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2=ac,,\f(2,b)=\f(1,a)+\f(1,c),))即eq\f(4,ac)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)+\f(1,c)))eq\s\up12(2),故(a-c)2=0,則a=c,所以eq\f(c,a)+eq\f(a,c)=1+1=2.]應(yīng)用等比中項(xiàng)解題的兩個(gè)留意點(diǎn)1要證三數(shù)a,G,b成等比數(shù)列,只需證明G2=ab,其中a,b,G均不為零.2已知等比數(shù)列中的相鄰三項(xiàng)an-1,an,an+1,則an是an-1與an+1的等比中項(xiàng),即,運(yùn)用等比中項(xiàng)解決問題,會(huì)大大削減運(yùn)算過程.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1.(1)已知1既是a2與b2的等比中項(xiàng),又是eq\f(1,a)與eq\f(1,b)的等差中項(xiàng),則eq\f(a+b,a2+b2)的值是()A.1或eq\f(1,2) B.1或-eq\f(1,2)C.1或eq\f(1,3) D.1或-eq\f(1,3)(2)已知等比數(shù)列{an}的前三項(xiàng)依次為a-1,a+1,a+4,則an=________.(1)D(2)4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(n-1)[(1)由題意得,a2b2=(ab)2=1,eq\f(1,a)+eq\f(1,b)=2,所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab=1,,a+b=2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab=-1,,a+b=-2.))因此eq\f(a+b,a2+b2)的值為1或-eq\f(1,3).(2)由已知可得(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5,所以a1=4,a2=6,所以q=eq\f(a2,a1)=eq\f(6,4)=eq\f(3,2),所以an=4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(n-1).]巧設(shè)等比數(shù)列解題【例2】已知四個(gè)實(shí)數(shù),前三個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列,它們的積是-8,后三個(gè)數(shù)依次成等差數(shù)列,它們的積是-80,則這四個(gè)數(shù)為________.1,-2,4,10或-eq\f(4,5),-2,-5,-8[由題意設(shè)此四個(gè)數(shù)分別為eq\f(b,q),b,bq,a,則b3=-8,解得b=-2,q與a可通過解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2bq=a+b,,ab2q=-80))求出,即為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=10,,b=-2,,q=-2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=-8,,b=-2,,q=\f(5,2),))所以此四個(gè)數(shù)為1,-2,4,10或-eq\f(4,5),-2,-5,-8.]敏捷設(shè)項(xiàng)求解等比數(shù)列的技巧1三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為,a,aq.2四個(gè)符號(hào)相同的數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為,aq,aq3.3四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,不能確定它們的符號(hào)相同時(shí),可設(shè)為:a,aq,aq2,aq3.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2.已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,其積為1,第2項(xiàng)與第3項(xiàng)之和為-eq\f(3,2),則這三個(gè)數(shù)依次為________.-eq\f(2,5),1,-eq\f(5,2)[設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為eq\f(a,q),a,aq,則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3=1,,a+aq=-\f(3,2),))解得a=1,q=-eq\f(5,2),所以這三個(gè)數(shù)依次為-eq\f(2,5),1,-eq\f(5,2).]等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用[探究問題]1.在等差數(shù)列{an}中,an=am+(n-m)d,類比等差數(shù)列中通項(xiàng)公式的推廣,你能得出等比數(shù)列通項(xiàng)公式推廣的結(jié)論嗎?[提示]an=am·qn-m.2.在等差數(shù)列{an}中,由2a2=a1+a3,2a3=a2+a4,…我們推廣得到若2p=m+n,則2ap=am+an,若{a[提示]若2p=m+n,則aeq\o\al(2,p)=am·an.3.在等差數(shù)列{an}中,若m+n=p+q,則am+an=ap+aq,類比這特性質(zhì),若{an}是等比數(shù)列,有哪個(gè)結(jié)論成立?[提示]若m+n=p+q,則am·an=ap·aq.【例3】(1)在等比數(shù)列{an}中,an>0,若a3·a5=4,則a1a2(2)設(shè){an}為公比q>1的等比數(shù)列,若a2020和a2021是方程4x2-8x+3=0的兩根,則a2030+a2031=________.(3)在等比數(shù)列{an}中,已知a4a7=-512,a3+a8=124,且公比q為整數(shù),則an思路探究:利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解.(1)128(2)2·310(3)-(-2)n-1[(1)a3a5=aeq\o\al(2,4)=4,又an>0,所以a4=2,a1a2a3a4a5a6a7=(a1·a7)·(a2·=aeq\o\al(2,4)·aeq\o\al(2,4)·aeq\o\al(2,4)·a4=aeq\o\al(7,4)=27=128.(2)解方程4x2-8x+3=0得x1=eq\f(1,2),x2=eq\f(3,2),由q>1,得a2020=eq\f(1,2),a2021=eq\f(3,2),q=3,所以a2030+a2031=(a2020+a2021)q10=2·310.(3)在等比數(shù)列{an}中,由a4a7=-512得a3a又a3+a8=124,解得a3=-4,a8=128或a3=128,a8=-4,因?yàn)楣萹為整數(shù),所以q=eq\r(5,\f(a8,a3))=-eq\r(5,\f(128,4))=-2,故an=-4×(-2)n-3=-(-2)n-1.]1.(變條件)將例3(3)中等比數(shù)列滿意的條件改為“a4+a7=2,a5a6=-8”,求a1+a[解]因?yàn)閧an}是等比數(shù)列,所以a5a6=a4a又a4+a7=2,解得a4=4,a7=-2或a4=-2,a7=4,當(dāng)a4=4,a7=-2時(shí),q3=-eq\f(1,2),a1+a10=eq\f(a4,q3)+a7q3=-7,當(dāng)a4=-2,a7=4時(shí),q3=-2,a1+a10=eq\f(a4,q3)+a7q3=-7.故a1+a10=-7.2.(變結(jié)論)例3(3)題的條件不變,求log4|a2|+log4|a3|+log4|a8|+log4|a9|.[解]因?yàn)閍4a7=-512,所以a2a9=a3故log4|a2|+log4|a3|+log4|a8|+log4|a9|=log4(|a2a9|·|a3a8|)=log45122=log2=9.等比數(shù)列的常用性質(zhì)性質(zhì)1:通項(xiàng)公式的推廣:an=am·qn-mm,n∈N+.性質(zhì)2:若{an}為等比數(shù)列,且k+l=m+nk,l,m,n∈N+,則ak·al=am·an.特殊的,若k+φ=2mm,k,φ∈N+,則ak·aφ=性質(zhì)3:若{an},{bn}項(xiàng)數(shù)相同是等比數(shù)列,則{λbn},仍是等比數(shù)列.性質(zhì)4:在等比數(shù)列{an}中,序號(hào)成等差數(shù)列的項(xiàng)仍成等比數(shù)列.性質(zhì)5:遞增;遞減;q=1?{an}為常數(shù)列;q<0?{an}為搖擺數(shù)列.1.在解決與等比數(shù)列有關(guān)的計(jì)算問題時(shí),我們首先想到的方法是通法,即通過解方程組求兩個(gè)基本量首項(xiàng)a1和公比q,求解過程中要留意整體代換方法的應(yīng)用,但是有些問題合理地選擇性質(zhì)求解,可以削減運(yùn)算量,提高解題效率.2.解數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用題時(shí),首先要分清是哪種數(shù)列模型,是求某一項(xiàng),還是求某些項(xiàng)的和,再用相應(yīng)的公式求解.1.推斷正誤(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)數(shù)列{-2n-1}是遞減數(shù)列. ()(2)等比數(shù)列{an}中,a1>1,q<0,則數(shù)列|a1|,|a2|,|a3|,…,|an|,…是遞增數(shù)列. ()(3)若G是a,b的等比中項(xiàng),則G2=ab,反之也成立. ()[答案](1)√(2)×(3)×[提示](1)正確;(2)不正確,如a1=2,q=-eq\f(1,2),則|an|=2×eq\f(1,2n-1)=eq\f(1,2n-2)是遞減數(shù)列;(3)不正確,當(dāng)G是a,b的等比中項(xiàng)時(shí),G2=ab成立,但當(dāng)G2=ab時(shí),G不肯定是a,b的等比中項(xiàng),如G=a=b=0.2.在等比數(shù)列{an}中,a4=6,則a2a6A.4 B.8C.36 D.32C[因?yàn)閧an}是等比數(shù)列,所以a2a6=aeq\o\al(2,4)=36.]3.在等比數(shù)列{an}中,a

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