舉一反三系列高二高考數(shù)學(xué)同步及復(fù)習(xí)資料人教A版選擇性必修2專題5.5 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用（重難點(diǎn)題型精講）（含答案及解析）

專題5.5導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用（重難點(diǎn)題型精講）1．函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(1)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)f'(x)的正負(fù)之間的關(guān)系

①單調(diào)遞增：在某個(gè)區(qū)間(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增；

②單調(diào)遞減：在某個(gè)區(qū)間(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減.

③如果在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi)恒有f'(x)=0，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間上是一個(gè)常數(shù)函數(shù).

(2)函數(shù)值變化快慢與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

一般地，如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大，那么在這個(gè)范圍內(nèi)函數(shù)值變化得快，這時(shí)，函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下)；如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較小，那么在這個(gè)范圍內(nèi)函數(shù)值變化得慢，函數(shù)的圖象就“平緩”一些.

常見的對(duì)應(yīng)情況如下表所示.2．函數(shù)的極值極值的相關(guān)概念

(1)極小值點(diǎn)與極小值：

如圖，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=a處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f'(a)=0，而且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè)f'(x)<0，右側(cè)f'(x)>0，則把點(diǎn)a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.(2)極大值點(diǎn)與極大值：

如圖，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=b處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f'(b)=0，而且在點(diǎn)x=b附近的左側(cè)f'(x)>0，右側(cè)f'(x)<0，則把點(diǎn)b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.

(3)極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.3．函數(shù)的最大值與最小值(1)一般地，如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值，并且函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.當(dāng)f(x)的圖象連續(xù)不斷且在[a,b]上單調(diào)時(shí)，其最大值和最小值分別在兩個(gè)端點(diǎn)處取得.

(2)函數(shù)的極值與最值的區(qū)別

①極值是對(duì)某一點(diǎn)附近(即局部)而言的，最值是對(duì)函數(shù)的整個(gè)定義區(qū)間而言的.

②在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，極大(小)值可能有多個(gè)(或者沒有)，但最大(小)值最多有一個(gè).

③函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)不能是區(qū)間的端點(diǎn)，而最值點(diǎn)可以是區(qū)間的端點(diǎn).4．導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用①利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題時(shí)，常常涉及用料最省、成本(費(fèi)用)最低、利潤(rùn)最大、效率最高等問題，求解時(shí)需要分析問題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，抓主元，找主線，把“問題情境"翻譯為數(shù)學(xué)語言，抽象成數(shù)學(xué)問題，再選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解，最后經(jīng)過檢驗(yàn)得到實(shí)際問題的解.

②解決優(yōu)化問題的方法并不單一，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求最值是解決這類問題的有效方法，有時(shí)與判別式、基本不等式及二次函數(shù)的性質(zhì)等結(jié)合，多舉并用，達(dá)到最佳效果.

③利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題的一般步驟【題型1利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間】【方法點(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間的步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0，函數(shù)在解集與定義域的交集上為增函數(shù)；(4)解不等式f'(x)<0，函數(shù)在解集與定義域的的交集上為減函數(shù).【例1】（2022·吉林·高三階段練習(xí)（理））函數(shù)fx=2x?5lnA．0,3 B．3,+∞ C．52,+【變式1-1】（2022·廣西·高二期末（文））函數(shù)y=12xA．?1,1 B．0,1 C．1,+∞ D．【變式1-2】（2022·寧夏·高二期中（文））函數(shù)f(x)=(x?3)ex的單調(diào)遞減區(qū)間是（A．(?∞,2] B．[0,3] C．[1,4] D．[2,【變式1-3】（2022·云南·模擬預(yù)測(cè)（理））設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=x3+(a?1)x2?(a+2)x，且A．(0,2) B．(?3,3) C．【題型2由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】【方法點(diǎn)撥】由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍經(jīng)常涉及的兩種題型：(1)已知含參函數(shù)y=f(x)在給定區(qū)間I上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍.方法一：將問題轉(zhuǎn)化為不等式f'(x)≥0(f'(x)≤0)在區(qū)間I上的恒成立問題.方法二：求得遞增(減)區(qū)間A，利用I與A的關(guān)系求解.(2)已知函數(shù)y=f(x)在含參區(qū)間上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍.方法:利用(1)中的方法二.【例2】（2022·江蘇·高二期末）設(shè)函數(shù)fx=12ax2A．?1，+∞C．0，+∞【變式2-1】（2022·陜西·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)fx=1?xlnx+ax在1,+A．0,+∞ B．?∞,0 C．0,+【變式2-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)fx=x2?ax+lnxA．3,+∞ B．?∞,3 C．3,【變式2-3】（2022·四川·高二期中（文））已知函數(shù)fx=x3+x2A．?∞,?13 B．?∞,?【題型3利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值】【方法點(diǎn)撥】求函數(shù)的極值需嚴(yán)格按照步驟進(jìn)行，重點(diǎn)考慮兩個(gè)問題：一是函數(shù)的定義域，注意判斷使導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)是否在定義域內(nèi).如果不在定義域內(nèi)，需要舍去；二是檢查導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)的左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值是否異號(hào)，若異號(hào)，則該點(diǎn)是極值點(diǎn)，否則不是極值點(diǎn).【例3】（2022·貴州·高三階段練習(xí)（文））函數(shù)fx=xA．?43 B．1 C．?5【變式3-1】（2022·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）若x=?4是函數(shù)fx=x2+ax?5A．-3 B．7e?5 C．?3【變式3-2】（2022·安徽省高三階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=xA．當(dāng)x=1時(shí)，fx取得極小值1 B．當(dāng)x=?1時(shí)，fC．當(dāng)x=3時(shí)，fx取得極大值33 D．當(dāng)x=?13時(shí)，【變式3-3】（2022·陜西·高三階段練習(xí)（文））記函數(shù)fx=sinx+cosxexx≥0的極大值從大到小依次為x1、x2A．e3π B．e4π C．e6π【題型4利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值】【方法點(diǎn)撥】設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下：(1)求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；(2)將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.【例4】（2021·寧夏·高二期中（文））函數(shù)y=xex在x∈2,4A．2e2 B．1e C．4【變式4-1】（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））函數(shù)f(x)=13x3+4A．563 B．203 C．43【變式4-2】（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)fx=a?3x?ax3在?1,1上的最小值為A．?∞,?1 B．12,+∞ C．?1,12【變式4-3】（2022·廣東·高二開學(xué)考試）若函數(shù)f(x)=lnx+1?ax?2,x>0x+1x+a,x<0A．(?∞,eC．1e,+∞【題型5導(dǎo)數(shù)中的零點(diǎn)（方程根）問題】【方法點(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的零點(diǎn)主要有兩種方法：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)的最值，轉(zhuǎn)化為f(x)圖象與x軸的交點(diǎn)問題，主要是應(yīng)用分類討論思想解決.(2)分離參變量，即由f(x)=0分離參變量，得a=g(x)，研究y=a與y=g(x)圖象的交點(diǎn)問題.【例5】（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)fx=lnx?ax+2=0a∈RA．0,+∞ B．0,e C．e,+【變式5-1】（2022·四川·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)f(x)=1+ex(alnx?xa+x)（其中A．(?∞,?e2) B．(?e【變式5-2】（2022·陜西·一模（理））若函數(shù)f(x)=kex?x2A．0,6e3 B．?2e,6【變式5-3】（2022·貴州·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)fx滿足fx=f'x，且f0A．?∞,1C．0,1e 【題型6利用導(dǎo)數(shù)解（證明）不等式】【方法點(diǎn)撥】(1)一般地，要證f(x)>g(x)在區(qū)間(a，b)上成立，需構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，通過分析F(x)在端點(diǎn)處的函數(shù)值來證明不等式．若F(a)＝0，只需證明F(x)在(a，b)上單調(diào)遞增即可；若F(b)＝0，只需證明F(x)在(a，b)上單調(diào)遞減即可.(2)在證明不等式中，若無法轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的最值問題，可考慮轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值問題．【例6】（2022·吉林·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)fx=x?a(1)若a=?1，求曲線y=fx在點(diǎn)1,f(2)當(dāng)a∈?1e【變式6-1】（2022·河北·高三期中）已知a>0，函數(shù)fx(1)當(dāng)a=1時(shí)，求fx(2)證明：fx【變式6-2】（2022·北京高三階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=fx在點(diǎn)1,f(2)當(dāng)a≥1時(shí)，討論函數(shù)fx(3)當(dāng)a≥2時(shí)，證明：fx【變式6-3】（2022·四川自貢·一模（理））設(shè)函數(shù)fx=ln(1)若b=1，求函數(shù)fx(2)證明：當(dāng)0<b≤1時(shí)，fx【題型7導(dǎo)數(shù)中的恒成立（存在性）問題】【方法點(diǎn)撥】解決不等式恒（能）成立問題有兩種思路：(1)分離參數(shù)法解決恒（能）成立問題，根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個(gè)一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，即可解決問題．(2)分類討論法解決恒（能）成立問題，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，此類問題關(guān)鍵是對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，據(jù)此進(jìn)行求解即可.【例7】（2022·黑龍江·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=x(1)若a=?1，證明：f(x)≥xe(2)若fx>0對(duì)任意的x∈0,+【變式7-1】（2022·四川高三期中）已知函數(shù)f(x)=1(1)若f(x)在R上是單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若對(duì)任意的x∈(0,+∞)，不等式f(x)>x(3【變式7-2】（2022·北京·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=1(1)a=3時(shí)，y=f(x)在點(diǎn)1,f(1)處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若函數(shù)對(duì)任意x∈[1,+∞)都有f(x)≥0成立，求【變式7-3】（2022·廣東·高三階段練習(xí)）已知f(x)=e(1)若x∈0,2π，求函數(shù)f(x)(2)若對(duì)?x1,x2【題型8導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】解決實(shí)際問題時(shí)，首先要根據(jù)實(shí)際情況建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式，然后利用導(dǎo)數(shù)研究，進(jìn)而解決問題.【例8】用長(zhǎng)為18m的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為2:1【變式8-1】（2022·山東泰安·高二期中）如圖，一個(gè)面積為6400平方厘米的矩形紙板ABCD，在矩形紙板的四個(gè)角上切去邊長(zhǎng)相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體紙盒(如圖)．設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為x厘米，矩形紙板的兩邊AB,AD的長(zhǎng)分別為a厘米和b厘米，其中a≥b.（1）當(dāng)a=80，求紙盒側(cè)面積的最大值；（2）試確定a,b,x的值，使得紙盒的體積最大，并求出最大值．【變式8-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）某公園準(zhǔn)備建一個(gè)摩天輪，摩天輪的外圍是一個(gè)周長(zhǎng)為k米的圓．在這個(gè)圓上安裝座位，且每個(gè)座位和圓心處的支點(diǎn)都有一根直的鋼管相連．經(jīng)預(yù)算，摩天輪上的每個(gè)座位與支點(diǎn)相連的鋼管的費(fèi)用為12k元／根，且當(dāng)兩相鄰的座位之間的圓弧長(zhǎng)為x米時(shí)，相鄰兩座位之間的鋼管和其中一個(gè)座位的總費(fèi)用為(512x所有座位都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記摩天輪的總造價(jià)為y元.（Ⅰ）試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（Ⅱ）當(dāng)k=100米時(shí)，試確定座位的個(gè)數(shù)，使得總造價(jià)最低【變式8-3】（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））某超市開展促銷活動(dòng)，經(jīng)測(cè)算該商品的銷售量為s件與促銷費(fèi)用x元滿足s=10?x+10lnx．已知s件該商品的進(jìn)價(jià)成本為40+s元，商品的銷售價(jià)格定為(1)將該商品的利潤(rùn)y元表示為促銷費(fèi)用x元的函數(shù)；(2)促銷費(fèi)用投入多少元時(shí)，商家的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少?（結(jié)果取整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.69，ln3≈1.099，專題5.5導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用（重難點(diǎn)題型精講）1．函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(1)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)f'(x)的正負(fù)之間的關(guān)系

①單調(diào)遞增：在某個(gè)區(qū)間(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增；

②單調(diào)遞減：在某個(gè)區(qū)間(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減.

③如果在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi)恒有f'(x)=0，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間上是一個(gè)常數(shù)函數(shù).

(2)函數(shù)值變化快慢與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

一般地，如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大，那么在這個(gè)范圍內(nèi)函數(shù)值變化得快，這時(shí)，函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下)；如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較小，那么在這個(gè)范圍內(nèi)函數(shù)值變化得慢，函數(shù)的圖象就“平緩”一些.

常見的對(duì)應(yīng)情況如下表所示.2．函數(shù)的極值極值的相關(guān)概念

(1)極小值點(diǎn)與極小值：

如圖，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=a處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f'(a)=0，而且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè)f'(x)<0，右側(cè)f'(x)>0，則把點(diǎn)a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.(2)極大值點(diǎn)與極大值：

如圖，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=b處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f'(b)=0，而且在點(diǎn)x=b附近的左側(cè)f'(x)>0，右側(cè)f'(x)<0，則把點(diǎn)b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.

(3)極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.3．函數(shù)的最大值與最小值(1)一般地，如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值，并且函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.當(dāng)f(x)的圖象連續(xù)不斷且在[a,b]上單調(diào)時(shí)，其最大值和最小值分別在兩個(gè)端點(diǎn)處取得.

(2)函數(shù)的極值與最值的區(qū)別

①極值是對(duì)某一點(diǎn)附近(即局部)而言的，最值是對(duì)函數(shù)的整個(gè)定義區(qū)間而言的.

②在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，極大(小)值可能有多個(gè)(或者沒有)，但最大(小)值最多有一個(gè).

③函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)不能是區(qū)間的端點(diǎn)，而最值點(diǎn)可以是區(qū)間的端點(diǎn).4．導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用①利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題時(shí)，常常涉及用料最省、成本(費(fèi)用)最低、利潤(rùn)最大、效率最高等問題，求解時(shí)需要分析問題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，抓主元，找主線，把“問題情境"翻譯為數(shù)學(xué)語言，抽象成數(shù)學(xué)問題，再選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解，最后經(jīng)過檢驗(yàn)得到實(shí)際問題的解.

②解決優(yōu)化問題的方法并不單一，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求最值是解決這類問題的有效方法，有時(shí)與判別式、基本不等式及二次函數(shù)的性質(zhì)等結(jié)合，多舉并用，達(dá)到最佳效果.

③利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題的一般步驟【題型1利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間】【方法點(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間的步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0，函數(shù)在解集與定義域的交集上為增函數(shù)；(4)解不等式f'(x)<0，函數(shù)在解集與定義域的的交集上為減函數(shù).【例1】（2022·吉林·高三階段練習(xí)（理））函數(shù)fx=2x?5lnA．0,3 B．3,+∞ C．52,+【解題思路】確定函數(shù)定義域，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)小于0，即可求得答案.【解答過程】由題意函數(shù)fx=2x?5lnf'x=2?5x故函數(shù)fx=2x?5ln故選：D.【變式1-1】（2022·廣西·高二期末（文））函數(shù)y=12xA．?1,1 B．0,1 C．1,+∞ D．【解題思路】求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)小于0，即可得到單調(diào)遞減區(qū)間.【解答過程】解：由題意，x>0在y=12當(dāng)y'=0時(shí)，解得x=?1當(dāng)y'<0即∴單調(diào)遞減區(qū)間為0,1故選：B.【變式1-2】（2022·寧夏·高二期中（文））函數(shù)f(x)=(x?3)ex的單調(diào)遞減區(qū)間是（A．(?∞,2] B．[0,3] C．[1,4] D．[2,【解題思路】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系解不等式f'(x)<0進(jìn)行求解即可.【解答過程】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'由f'x<0即x?2<0得x<2，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(?∞,2]故選：A.【變式1-3】（2022·云南·模擬預(yù)測(cè)（理））設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=x3+(a?1)x2?(a+2)x，且A．(0,2) B．(?3,3) C．【解題思路】求導(dǎo)，結(jié)合f'(x)是偶函數(shù)得到f'?x=【解答過程】因?yàn)閒(x)=x3+(a?1)又因?yàn)閒'(x)是偶函數(shù)，所以即3?x2?2a?1x?所以f'(x)=3x2?3所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(?1,1).故選：C．【題型2由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】【方法點(diǎn)撥】由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍經(jīng)常涉及的兩種題型：(1)已知含參函數(shù)y=f(x)在給定區(qū)間I上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍.方法一：將問題轉(zhuǎn)化為不等式f'(x)≥0(f'(x)≤0)在區(qū)間I上的恒成立問題.方法二：求得遞增(減)區(qū)間A，利用I與A的關(guān)系求解.(2)已知函數(shù)y=f(x)在含參區(qū)間上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍.方法:利用(1)中的方法二.【例2】（2022·江蘇·高二期末）設(shè)函數(shù)fx=12ax2A．?1，+∞C．0，+∞【解題思路】函數(shù)fx在1,??+∞上單調(diào)遞增等價(jià)于【解答過程】由題意f'x=ax+1x≥0在1,??+∞上恒成立，即a≥?故選：C．【變式2-1】（2022·陜西·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)fx=1?xlnx+ax在1,+A．0,+∞ B．?∞,0 C．0,+【解題思路】因?yàn)閒(x)在1,+∞上不單調(diào)，故利用f'x在1,+∞上必有零點(diǎn)，利用a=lnx?1x【解答過程】依題意f'x=?lnx+1x+a?1，故f'(x)在1,+∞上有零點(diǎn)，令則z'(x)=1x+1x2，由x>1，得z'(x)>0，故a=z(x)>0，所以，a的取值范圍0,+故選：A.【變式2-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)fx=x2?ax+lnxA．3,+∞ B．?∞,3 C．3,【解題思路】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系，將單調(diào)性轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)恒大于或等于0，即可求解.【解答過程】依題意f'x=2x?a+1x≥0在區(qū)間令gx=2x+1x1<x<e，則g'x=2?故選:B.【變式2-3】（2022·四川·高二期中（文））已知函數(shù)fx=x3+x2A．?∞,?13 B．?∞,?【解題思路】由題設(shè)可得f'(x)≥0在R上恒成立，結(jié)合判別式的符號(hào)可求實(shí)數(shù)【解答過程】f'因?yàn)閒(x)在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，故f'(x)≥0在所以Δ=4+12a≤0即a≤?故選：A.【題型3利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值】【方法點(diǎn)撥】求函數(shù)的極值需嚴(yán)格按照步驟進(jìn)行，重點(diǎn)考慮兩個(gè)問題：一是函數(shù)的定義域，注意判斷使導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)是否在定義域內(nèi).如果不在定義域內(nèi)，需要舍去；二是檢查導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)的左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值是否異號(hào)，若異號(hào)，則該點(diǎn)是極值點(diǎn)，否則不是極值點(diǎn).【例3】（2022·貴州·高三階段練習(xí)（文））函數(shù)fx=xA．?43 B．1 C．?5【解題思路】根據(jù)函數(shù)求極小值的過程求解：先求f'(x)=0的解x0【解答過程】因?yàn)閒x=x令f'x=0當(dāng)x∈?∞,?43∪1,+故fx的單調(diào)遞增區(qū)間為?∞,?43則當(dāng)x=1時(shí)，fx取得極小值，且極小值為f故選：C.【變式3-1】（2022·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）若x=?4是函數(shù)fx=x2+ax?5A．-3 B．7e?5 C．?3【解題思路】根據(jù)給定的極值點(diǎn)求出參數(shù)a的值，再求出函數(shù)極小值作答.【解答過程】函數(shù)f(x)=(x2+ax?5)因x=?4是函數(shù)fx的極值點(diǎn)，即f'(?4)=(3?3a)f'(x)=(x2+3x?4)ex?1=(x+4)(x?1)ex?1，當(dāng)即x=?4是函數(shù)fx的極值點(diǎn)，函數(shù)fx在x=1處取得極小值故選：A.【變式3-2】（2022·安徽省高三階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=xA．當(dāng)x=1時(shí)，fx取得極小值1 B．當(dāng)x=?1時(shí)，fC．當(dāng)x=3時(shí)，fx取得極大值33 D．當(dāng)x=?13時(shí)，【解題思路】求導(dǎo)可得f'(x)解析式，令f'(x)=0，可得極值點(diǎn)，利用表格法，可得f(x)的單調(diào)區(qū)間，代入數(shù)據(jù)，可得【解答過程】由題意得f'令f'(x)=0，解得x=?1或當(dāng)x變化時(shí)，f'(x)、x?-1?1,11f+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗所以當(dāng)x=?1時(shí)，fx當(dāng)x=13時(shí)，故選：B.【變式3-3】（2022·陜西·高三階段練習(xí)（文））記函數(shù)fx=sinx+cosxexx≥0的極大值從大到小依次為x1、x2A．e3π B．e4π C．e6π【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)fx的單調(diào)性，求出函數(shù)fx的極大值點(diǎn)，利用極值的單調(diào)性可求出x2【解答過程】因?yàn)閒x=sinx+cos令f'x=0可得x=nπn∈N當(dāng)x∈2k?2π,2k?1π時(shí)k∈當(dāng)x∈2k?1π,2kπ時(shí)k∈N當(dāng)x∈2kπ,2k+1π時(shí)所以，函數(shù)fx的極小值點(diǎn)為x=2k?1π所以，函數(shù)fx的極大值為f因?yàn)楹瘮?shù)gk=1e2k因此，x2故選：C.【題型4利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值】【方法點(diǎn)撥】設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下：(1)求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；(2)將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.【例4】（2021·寧夏·高二期中（文））函數(shù)y=xex在x∈2,4A．2e2 B．1e C．4【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性即可求得最小值.【解答過程】∵y=xe∴y'當(dāng)x∈2,4時(shí)，∴函數(shù)y=xex在區(qū)間∴當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)y=xex取得最小值，∴函數(shù)y=xex在x∈2,4故選：A.【變式4-1】（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））函數(shù)f(x)=13x3+4A．563 B．203 C．43【解題思路】根據(jù)f(x)在[?1，【解答過程】由f(x)=13x令f'(x)=0，解得當(dāng)?1<x<1，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)1<x<2，f'所以f(x)的極小值，也為最小值為f(1)=1故選：C.【變式4-2】（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)fx=a?3x?ax3在?1,1上的最小值為A．?∞,?1 B．12,+∞ C．?1,12【解題思路】取a=0可排除AB；取a=?3【解答過程】當(dāng)a=0時(shí)，fx=?3x在且最小值為f1當(dāng)a=?32時(shí)，fxx∈?1,1時(shí)，f'x≤0，所以最小值為f1故選：D.【變式4-3】（2022·廣東·高二開學(xué)考試）若函數(shù)f(x)=lnx+1?ax?2,x>0x+1x+a,x<0A．(?∞,eC．1e,+∞【解題思路】由基本不等式求得x＜0時(shí)，f（x）的值域，由題意可得x＞0時(shí)，f（x）的值域應(yīng)該包含在x＜0時(shí)的值域內(nèi)，轉(zhuǎn)化為a≥ln(x+1)x+1在x【解答過程】當(dāng)x＜0時(shí)，fx當(dāng)且僅當(dāng)x＝?1時(shí)，f（x）取得最大值f（?1）＝a?2，由題意可得x＞0時(shí)，fx=ln即ln(x+1)?ax?2≤a?2在x＞0時(shí)恒成立即a≥ln(x+1)x+1在即a≥ln設(shè)g(x)=ln∴g當(dāng)0<x<e?1時(shí)，g'當(dāng)x>e?1時(shí)，g'∴g(x)∴a≥1故選：C．【題型5導(dǎo)數(shù)中的零點(diǎn)（方程根）問題】【方法點(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的零點(diǎn)主要有兩種方法：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)的最值，轉(zhuǎn)化為f(x)圖象與x軸的交點(diǎn)問題，主要是應(yīng)用分類討論思想解決.(2)分離參變量，即由f(x)=0分離參變量，得a=g(x)，研究y=a與y=g(x)圖象的交點(diǎn)問題.【例5】（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)fx=lnx?ax+2=0a∈RA．0,+∞ B．0,e C．e,+【解題思路】先求函數(shù)定義域，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為gx=lnx+2x，x∈【解答過程】fx=ln故lnx+2x=a有兩個(gè)不同的根，即gx=其中g(shù)'當(dāng)x>1e時(shí)，g'x<0故gx=lnx+2x從而gx=lngx且當(dāng)x>1e2當(dāng)0<x<1e2畫出gx顯然要想gx=lnx+2x需要滿足a∈0,綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是0,e故選：B.【變式5-1】（2022·四川·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)f(x)=1+ex(alnx?xa+x)（其中A．(?∞,?e2) B．(?e【解題思路】根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)、方程的解個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的關(guān)系可得方程lnxa?xa=lne?x?e?x有2個(gè)不同的解，構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnx?x【解答過程】函數(shù)f(x)=1+e則方程1+e方程alnx?x設(shè)函數(shù)f(x)=lnx?x(x>1)，則所以函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減，由得xa=e?x，即1a=?ln設(shè)函數(shù)g(x)=?lnxx令g'(x)<0?1<x<e所以函數(shù)g(x)在(1,e)上單調(diào)遞減，在故g(x)所以a<01a>?故選：D.【變式5-2】（2022·陜西·一模（理））若函數(shù)f(x)=kex?x2A．0,6e3 B．?2e,6【解題思路】運(yùn)用分離變量法將k與x分開，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖像有三個(gè)交點(diǎn)的問題，數(shù)形結(jié)合容易得到答案.【解答過程】由f(x)=0，得k=x2?3ex，設(shè)g(x)=x2?3ex,g'(x)=?(x+1)(x?3)ex若使得函數(shù)f(x)有3個(gè)零點(diǎn)，則0<k<6故選：A.【變式5-3】（2022·貴州·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)fx滿足fx=f'x，且f0A．?∞,1C．0,1e 【解題思路】根據(jù)題意，構(gòu)造并求出函數(shù)fx的表達(dá)式，則函數(shù)gx有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為?x=x【解答過程】由fx=f'x，可設(shè)fx=k?所以fx=2e令?x=x當(dāng)x<1時(shí)，?'x>0，所以函數(shù)f當(dāng)x>1時(shí)，?'x<0，所以函數(shù)f故?x又?0=0，當(dāng)x>1時(shí)，?x觀察圖象可知a∈0,1e故選：C．【題型6利用導(dǎo)數(shù)解（證明）不等式】【方法點(diǎn)撥】(1)一般地，要證f(x)>g(x)在區(qū)間(a，b)上成立，需構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，通過分析F(x)在端點(diǎn)處的函數(shù)值來證明不等式．若F(a)＝0，只需證明F(x)在(a，b)上單調(diào)遞增即可；若F(b)＝0，只需證明F(x)在(a，b)上單調(diào)遞減即可.(2)在證明不等式中，若無法轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的最值問題，可考慮轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值問題．【例6】（2022·吉林·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)fx=x?a(1)若a=?1，求曲線y=fx在點(diǎn)1,f(2)當(dāng)a∈?1e【解題思路】（1）利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，然后可得；（2）利用二次導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，從而可得函數(shù)的最值，然后可證.【解答過程】（1）因?yàn)閍=?1，所以fx=x+1lnx?1又f1=?2，所以曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線方程為（2）f'x設(shè)函數(shù)gx=xln所以gx在1因?yàn)閍∈?1e,0，所以所以gx在1e,+∞上存在唯一零點(diǎn)x0當(dāng)x∈1e,x0時(shí)，gx<0，f因此fxmin=f設(shè)函數(shù)φx=?xlnx?12所以φx在1e,1即fxmin=φ【變式6-1】（2022·河北·高三期中）已知a>0，函數(shù)fx(1)當(dāng)a=1時(shí)，求fx(2)證明：fx【解題思路】（1）代入a=1，求出f'x=ex?1（2）原題可轉(zhuǎn)化為證明ex+lna?x?ln【解答過程】（1）當(dāng)a=1時(shí)，fx=e則f'x=所以f'x在?1,+∞所以當(dāng)x∈?1,0時(shí)，f'x<0；當(dāng)故fx在?1,0上單調(diào)遞減，在0,+（2）證明：因?yàn)閍>0，由ax+a>0可得x>?1，則fx定義域?yàn)?1,+要證aex?只需證aex?令gx=ex?x，則g'x=ex?1，所以當(dāng)x∈?∞,0時(shí)，g'令?x=lnx+1?x+1，則?'x=1x+1?1=?xx+1，所以當(dāng)x∈?1,0時(shí)，?'故ex+lna【變式6-2】（2022·北京高三階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=fx在點(diǎn)1,f(2)當(dāng)a≥1時(shí)，討論函數(shù)fx(3)當(dāng)a≥2時(shí)，證明：fx【解題思路】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式求出切線方程；（2）求導(dǎo)后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可得函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（3）根據(jù)（2）中函數(shù)f(x)的單調(diào)性求出函數(shù)f(x)的最大值，再利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)f(x)的最大值小于0即可得證.【解答過程】（1）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=lnx?1f'(x)=1所以曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線方程為（2）因?yàn)閒x=ln所以f'(x)=1因?yàn)閍≥1，所以當(dāng)0<x<1a時(shí)，f'(x)>0；當(dāng)所以f(x)在(0,1a)（3）當(dāng)a≥2時(shí)，由（2）知，f(x)在(0,1a)所以f(x)max=f(1a)=令g(a)=12a?則g'(a)=?12a2?所以g(a)≤g(2)=14?ln2所以f(x)max=g(a)<0【變式6-3】（2022·四川自貢·一模（理））設(shè)函數(shù)fx=ln(1)若b=1，求函數(shù)fx(2)證明：當(dāng)0<b≤1時(shí)，fx【解題思路】（1）代入b，求出f(x)，再求出f'(x)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，即可求出函數(shù)（2）設(shè)?(b)=f(x)+lnb=ln再設(shè)s(b)=ebb(0<b≤1)，t(x)=(1?x)ex(x>0)，通過導(dǎo)數(shù)s'(b)和t'(x)的性質(zhì)，s(b)的最小值和t(x)【解答過程】（1）b=1，f(x)=lnx?(x?1)e∵g∴g(x)在x∈(0,+∞)單調(diào)遞減，而∴x∈(0,1)，f'(x)>0，x∈(1,+∞∴f(x)的最大值為f(1)=0，無最小值.（2）當(dāng)0<b≤1時(shí)，?(b)=f(x)+ln?'設(shè)s(b)=ebbs(b)在b∈0,1上是單調(diào)遞減函數(shù)，∴s(b)≥s(1)=設(shè)t(x)=(1?x)ex(x>0)t(x)在x∈(0,+∞∴t(x)<t(0)=1，∴s(b)?t(x)=e∴?'(b)=?(b)=ln∴?(b)≤?(1)=ln∴l(xiāng)n∴f(x)+ln【題型7導(dǎo)數(shù)中的恒成立（存在性）問題】【方法點(diǎn)撥】解決不等式恒（能）成立問題有兩種思路：(1)分離參數(shù)法解決恒（能）成立問題，根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個(gè)一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，即可解決問題．(2)分類討論法解決恒（能）成立問題，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，此類問題關(guān)鍵是對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，據(jù)此進(jìn)行求解即可.【例7】（2022·黑龍江·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=x(1)若a=?1，證明：f(x)≥xe(2)若fx>0對(duì)任意的x∈0,+【解題思路】(1)證明不等式f(x)≥xex+2(2)對(duì)a的正負(fù)分類討論，當(dāng)a<0時(shí)，可以直接去絕對(duì)值.當(dāng)a>0【解答過程】（1）證明：因?yàn)閒x的定義域?yàn)?,+∞，所以若a=?1，要證f(x)≥xex+2，即證1+x(令?(x)=lnx+1x?1，所以?'(x)=1x?1x2=x?1所以?(x)≥?(1)=0，所以f(x)≥xe（2）若fx>0對(duì)任意的即xex?a令g(x)=x若a≤0，則g(x)=e由（1）知lnx+1x?1≥0，所以lnx+又ex>0，所以若a>0，令u(x)=xex?a(x>0)，u所以u(píng)x在0,+∞上單調(diào)遞增，又u(0)=?a<0，所以存在唯一的x0∈0,a，使得u所以gx=ax?所以g'(x)=?ax2當(dāng)x>x0時(shí)，g(x)=e當(dāng)x>x0時(shí)，y=ex?所以當(dāng)x>x0時(shí)，g'(x)=e所以g(x)min=g設(shè)y=xex，x∈0,1e所以y=xex在0,1e上單調(diào)遞增，所以綜上所述，a的取值范圍為?∞【變式7-1】（2022·四川高三期中）已知函數(shù)f(x)=1(1)若f(x)在R上是單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若對(duì)任意的x∈(0,+∞)，不等式f(x)>x(3【解題思路】（1）轉(zhuǎn)化為f'x=x?mex≤0在（2）代入fx并分離參數(shù)得m<?x2+x(lnx+1)【解答過程】（1）由題意得f'x=x?m∴m≥xexmax，設(shè)?x解得x=1，當(dāng)x<1時(shí)，?'x>0，此時(shí)?當(dāng)x>1時(shí)，?'x<0，此時(shí)?故?xmax=?（2）f(x)>x32x?即12x2即m<?x2設(shè)gx=?令g'x=0，∵顯然有一根為1，當(dāng)x?2?lnx=0時(shí)，令則φ'x=x?1x，當(dāng)0<x<1當(dāng)x>1時(shí)，φ'x>0故當(dāng)x=1時(shí)，φxmin=φ故存在x1∈e?2,1故存在x2∈1,而當(dāng)x>x2時(shí)，φx>0，且單調(diào)遞增，故在x>x同理0<x<x1時(shí)，φx>0，且單調(diào)遞減，故在0<x<x1<x<x2時(shí)，φx故在x1<x<x2故g'x=0只存在3個(gè)根x當(dāng)x∈0,x1時(shí)，g當(dāng)x∈x1,1時(shí)，g當(dāng)x∈1,x2時(shí)，gx∈x2,+∞時(shí)，故gx存在兩個(gè)極小值，gx1x1,xx1?2?lnxg==?e同理可得gx故gxmin=?【變式7-2】（2022·北京·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=1(1)a=3時(shí)，y=f(x)在點(diǎn)1,f(1)處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若函數(shù)對(duì)任意x∈[1,+∞)都有f(x)≥0成立，求【解題思路】（1）將a=3代入函數(shù)解析式，求出f1的值，再根據(jù)函數(shù)f(x)（2）求出導(dǎo)函數(shù)，對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論即可得到答案；（3）若函數(shù)對(duì)任意x∈[1,+∞)都有f(x)≥0成立，即可尋找區(qū)間上【解答過程】（1）根據(jù)題意，當(dāng)a=3時(shí)，fx=1所以f'x=x?2x，當(dāng)x=1所以y=f(x)在點(diǎn)1,f(1)處的切線方程為y?0=?1x?1，即x+y?1=0（2）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=12xf'x=x?a?1x=x當(dāng)a?1<0即a<1時(shí)，x2?a?1因?yàn)閒'x=x?所以函數(shù)f(x)在區(qū)間0,+∞當(dāng)a?1>0即a>1時(shí)，令f'x>0，即x2?a?1>0令f'x<0，即x2?a?1<0綜上，當(dāng)a<1時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為0,+∞當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為a?1,+∞，單調(diào)遞減區(qū)間為（3）由（2）得，當(dāng)a<1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間0,+∞所以當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間所以f(x)可得對(duì)任意x∈[1,+∞)都有f(x)≥0成立，所以當(dāng)a>1，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為a?1,+∞，單調(diào)遞減區(qū)間為所以對(duì)于x∈[1,+∞)，當(dāng)a?1≤1，即1<a≤2時(shí)，函數(shù)f(x)所以f(x)可得對(duì)任意x∈[1,+∞)都有f(x)≥0成立，所以當(dāng)a?1>1時(shí)，即a>2，此時(shí)函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為a?1,+∞所以f(x)又因?yàn)閒1根據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間可知fa?1所以存在x0∈[1,+∞)有綜上，a的取值范圍為?∞【變式7-3】（2022·廣東·高三階段練習(xí)）已知f(x)=e(1)若x∈0,2π，求函數(shù)f(x)(2)若對(duì)?x1,x2【解題思路】（1）直接求導(dǎo)計(jì)算即可．（2）將問題轉(zhuǎn)化為fx2+ax2【解答過程】（1）f令f'x=0，因?yàn)閤∈0,2π得x0，3π37π7f+0?0+f(x)↑極大值↓極小值↑所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為0，3π4和7f(x)極大值為f(3π4)=22e3π（2）對(duì)?x1,f(x設(shè)g(x)=f(x)+ax2，則g(x)在故g'(x)=e方法一：（含參討論）設(shè)?x則?0=1>0，?π?'x=2ex①當(dāng)a≥eπ時(shí)，故，當(dāng)x∈0,π4時(shí)，?當(dāng)x∈π4,π時(shí)，?此時(shí)，?'x≥min?'0②當(dāng)eπ2π≤a<eπ時(shí)，同①，當(dāng)x∈0,π∵?'π4∴由連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理及單調(diào)性知，?x0∈于是，當(dāng)x∈0,x0時(shí)，?當(dāng)x∈x0,π時(shí)，?∵?0=1>0，?π=?綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是eπ方法二：（參變分離）由對(duì)稱性，不妨設(shè)0≤x則fx1?f設(shè)gx=fx+ax故g'x=∵g'0=1>0，∴,??2a≤exsin設(shè)?x=exsinx+cos設(shè)φx=2x?tan則φ'x=2?由φ'x>0，x∈0,π2∪由φ'x<0，x∈0,π2∪故x∈0,π2x∈π2,π從而，φxcosx=2x又x=π2時(shí)，2xcosx?sin?x=e?xmin=?于是，?2a≤?e綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是eπ【題型8導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】解決實(shí)際問題時(shí)，首先要根據(jù)實(shí)際情況建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式，然后利用導(dǎo)數(shù)研究，進(jìn)而解決問題.【例8】用長(zhǎng)為18m的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為2:1【解題思路】設(shè)出長(zhǎng)方體的寬為xm，表達(dá)出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和高，從而體積V=?6x3+9x2【解答過程】設(shè)長(zhǎng)方體的寬為xm，則長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為2xm，故長(zhǎng)方體的高為18?12x4由x>02x>092設(shè)長(zhǎng)方體的體積為V，故V=2x?x?92則V'令V'=?18x令V'=?18x故V=?6x3