江西省部分學(xué)校高三5月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

高三數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在笿題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先解不等式求出集合的元素，再由集合的交集運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】依題意，，即.，即.于是．故選：D.2.若點(diǎn)在圓的外部，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)表示圓得，又利用點(diǎn)在圓外得，從而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榭苫癁?，則，所以．又點(diǎn)在圓的外部，所以，故，綜上，．故選：A.3.已知奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性計(jì)算即可.【詳解】由，可得，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，故不等式的解集為．故選：D4.某中學(xué)舉辦了一次知識競賽，從中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的成績繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，則估計(jì)該中學(xué)本次競賽成績的中位數(shù)為（）A.68 B.71 C.75 D.79【答案】B【解析】【分析】借助中位數(shù)定義計(jì)算即可得.【詳解】設(shè)m為該中學(xué)本次競賽成績的中位數(shù)，因?yàn)?，，所以，所以，解得．故選：B.5.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，使的n的最大值為（）A.8 B.9 C.14 D.15【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，得到且，在等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，因?yàn)?，所以且，則，，，所以使的n的最大值為15．故選：D.6.某校羽毛球隊(duì)的4名男生和4名女生分成四組，參加四場混合雙打比賽（每名隊(duì)員只限參加一場比賽），則組隊(duì)方法的總數(shù)為（）A.24 B.288 C.576 D.1152【答案】A【解析】分析】根據(jù)條件，先將男生分成四組，有1種分法，再將女生分到四組有種分法，再利用分步計(jì)數(shù)原理，即可求解.【詳解】根據(jù)題意可知，先將男生平均分成四組有：種方法，再將女生安排到四組有：種方法，所以組隊(duì)方法的總數(shù)為.故選：A.7.已知，分別是雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)，過的直線交雙曲線左支于A，B兩點(diǎn)，，，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，，可設(shè)，，，由雙曲線的定義得到的等量關(guān)系求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以可設(shè)，，．因?yàn)?，所以．在中，，，，所以，則，又，所以，故雙曲線C的漸近線方程為．故選：D.8.在學(xué)習(xí)完“錯(cuò)位相減法”后，善于觀察的同學(xué)發(fā)現(xiàn)對于“等差等比數(shù)列”此類數(shù)列求和，也可以使用“裂項(xiàng)相消法”求解．例如，故數(shù)列的前n項(xiàng)和．記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，利用上述方法求（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先將裂成2項(xiàng)，再利用待定系數(shù)法求解裂成2項(xiàng)的系數(shù)，再利用裂項(xiàng)相消法求和，即可求解.【詳解】設(shè)，則解得，所以，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為．故．故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.z為純虛數(shù) B.C. D.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限【答案】AC【解析】【分析】由已知可得，求得或，以此計(jì)算判斷各選項(xiàng)即可得出結(jié)果.【詳解】，解得或，所以z為純虛數(shù)，不一定成立，，或，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限或第三象限．故選：AC．10.在正方體中，，M為上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.與AB共面且與共面的棱有5條 B.C.的最小值為 D.若與平面ABCD交于點(diǎn)E，則的面積為2【答案】ABD【解析】【分析】對于A，考慮與AB平行且與相交，與AB相交且與平行，以及與AB相交且與相交的直線可得；對于B，證明平面，然后由線面垂直的性質(zhì)可得；對于C，以所在直線為軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到平面，然后解三角形即可；對于D，證明平面與平面ABCD的交線平行于，然后由可解.【詳解】對于A，AB與不共面，因此沒有同時(shí)與這兩條直線平行的直線，與AB平行且與相交的有CD，，與AB相交且與平行的有，，與AB相交且與相交的有BC，所以共有5條，故A正確．對于B，易知平面，，平面，所以，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，同理可證，又平面，所以平面，又平面，所以，故B正確．對于C，如圖，以所在直線為軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到平面，設(shè)點(diǎn)的新位置為，連接，則為的最小值，所以A，M，三點(diǎn)共線．因?yàn)?，所以．在中，根?jù)正弦定理可得，解得，故C錯(cuò)誤．對于D，設(shè)平面與平面ABCD的交線為l，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以，則，又與平面ABCD交于點(diǎn)E，所以，則，故D正確．故選：ABD11.已知，且a，b滿足，則下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由在上單調(diào)遞增，根據(jù)題意，得到，可判定A錯(cuò)誤；結(jié)合作差比較法，可判定B正確；結(jié)合單調(diào)遞增，且，可判定C正確，由，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，得到，可判定D正確.【詳解】由，可得，又由在上單調(diào)遞增，可得，所以，即，所以不一定成立，所以A錯(cuò)誤；由，所以B正確；因?yàn)閱握{(diào)遞增，且，所以，即，所以C正確，由函數(shù)，可得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以，所以D正確．故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡中的橫線上．12.函數(shù)的最小正周期為________．【答案】【解析】【分析】由二倍角的正弦，余弦公式化簡函數(shù)解析式，利用公式求解最小正周期即可.【詳解】，故所求函數(shù)的最小正周期．故答案為：13.已知A，B分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C的上焦點(diǎn)，為橢圓C上一點(diǎn)，若，則橢圓C的離心率為________，橢圓C的方程為________．【答案】①.②.【解析】【分析】結(jié)合平面向量基本定理用可得值，由可得，進(jìn)而得離心率；將點(diǎn)代入橢圓方程，結(jié)合離心率可求標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因?yàn)椋c(diǎn)共線，所以，即，又，則.于是，即，則，即．又為橢圓C上一點(diǎn)，所以，即，由，得，所以，解得，則，故橢圓C的方程為．故答案為：；.14.在長方形中，，點(diǎn)E在線段AB上，，沿將折起，使得，此時(shí)四棱錐的體積為________．【答案】##【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)在平面上的投影為，證得平面和平面，得到，設(shè)，求得，在直角中，解得，結(jié)合錐體的體積公式，即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)在平面上的投影為，當(dāng)時(shí)，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)椋移矫?，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，過點(diǎn)作，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)榍移矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，設(shè)，則，在中，可得，，則，在中，，延長，易知，在中，，，所以，解得，所以四棱錐的體積為．故答案為：..【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間幾何體的表面積與體積的求解策略：（1）公式法：對于規(guī)則的幾何體的表面積和體積，可直接利用公式進(jìn)行求解；（2）割補(bǔ)法：把不規(guī)則的圖形分割成規(guī)則的圖形，然后進(jìn)行體積的計(jì)算，或不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于計(jì)算；（3）等體積法：等體積法也稱積轉(zhuǎn)化或等積變形，通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決錐體的體積，特別時(shí)三棱錐的體積.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.為了解人們對環(huán)保的認(rèn)知程度，某市為不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次環(huán)保知識競賽，滿分100分．隨機(jī)抽取的8人的得分為84，78，81，84，85，84，85，91．（1）計(jì)算樣本平均數(shù)和樣本方差；（2）若這次環(huán)保知識競賽的得分X服從正態(tài)分布，其中和的估計(jì)值分別為樣本平均數(shù)和樣本方差，若按照，，，的比例將參賽者的競賽成績從低分到高分依次劃分為參與獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、特等獎(jiǎng)四個(gè)等級，試確定各等級的分?jǐn)?shù)線．（結(jié)果保留兩位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：）附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，．【答案】（1），（2）答案見解析【解析】【分析】（1）由平均數(shù)，方差的計(jì)算公式計(jì)算可得；（2）結(jié)合問題中給出的概率和正態(tài)分布的性質(zhì)，確定各等級的分?jǐn)?shù)線即可【小問1詳解】，．【小問2詳解】該市所有參賽者的成績X近似服從正態(tài)分布．設(shè)競賽成績達(dá)到a以上為特等獎(jiǎng)，成績達(dá)到b以上但小于或等于a為一等獎(jiǎng)，成績達(dá)到c以上但小于或等于b為二等獎(jiǎng)，成績小于或等于c為參與獎(jiǎng)，則，，，．因?yàn)?，所以．因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以．綜上，分?jǐn)?shù)小于或等于80.54的為參與獎(jiǎng)，分?jǐn)?shù)大于80.54且小于或等于87.46的為二等獎(jiǎng)，分?jǐn)?shù)大于87.46且小于或等于90.92的為一等獎(jiǎng)，分?jǐn)?shù)大于90.92的為特等獎(jiǎng)．16.在如圖所示的直三棱柱中，，，D是上的點(diǎn)，E是的中點(diǎn)．（1）若，證明：平面．（2）若為正三角形，D是的中點(diǎn)，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，交于點(diǎn)F，先證明，再由線面平行的判斷定理證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.【小問1詳解】連接，交于點(diǎn)F，連接．因?yàn)?，E是的中點(diǎn)，所以．又，所以，則．因平面，平面，所以平面．【小問2詳解】取O為的中點(diǎn)，連接，，由題意三棱柱為正三棱柱，可得，，兩兩垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，．由D是的中點(diǎn)，得，則，．設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，可得．連接，由題意知是平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的大小為，由題可知為銳角，所以，故二面角的余弦值為．17.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b是a，c的等比中項(xiàng)．（1）求B的最大值：（2）若C為鈍角，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等比中項(xiàng)及余弦定理得，根據(jù)基本不等式及余弦函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)果；（2）依題意設(shè)，，根據(jù)三角形三邊關(guān)系及條件求出，利用正弦定理及兩角和正弦公式。誘導(dǎo)公式化簡得，從而可得結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)閎是a，c的等比中項(xiàng)，所以．由余弦定理可知，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．又，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)且，故B最大值為．【小問2詳解】由已知可設(shè)，，則，所以，解得．，所以的取值范圍為．18.已知拋物線，圓，是拋物線上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)）．（1）若為圓上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；（2）過點(diǎn)作圓的兩條切線，分別交拋物線于A，B兩點(diǎn)，切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，若四邊形ABFE為梯形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)表示出，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，即可求出的最小值，從而求出的最小值；（2）設(shè)，，即可表示出直線，再由點(diǎn)到直線的距離等于半徑，即可得到，則，是方程的兩根，列出韋達(dá)定理，即可表示出，再由，則，即可求出點(diǎn)坐標(biāo).【小問1詳解】圓的圓心，半徑，設(shè)，則，則，所以當(dāng)時(shí)取得最小值，所以的最小值為．又為圓上一動(dòng)點(diǎn)，所以的最小值為．【小問2詳解】由題意得，設(shè)，，，直線，化簡可得．因?yàn)閳A與直線相切，所以，化簡可得．同理可得，所以，是方程的兩根，所以，，．因?yàn)樗倪呅螢樘菪?，所以，則，解得，，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.19.已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求a，b的值；（2）求單調(diào)區(qū)間；（3）已知，且，證明：對任意的，．【答案】（1），（2）在上單調(diào)遞增，無單調(diào)遞減區(qū)間（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求得結(jié)合，列出方程，即可求解：（2）由（1）知，令.求得.求得的單調(diào)性和.即可求解；（3）根據(jù)題意轉(zhuǎn)換為，由，可知，只需證明，，證明時(shí)，即證明，令，由單調(diào)性，只需證明，由已知條件即證，通過構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性進(jìn)而證得結(jié)果，同理證明成立.小問1詳解】，則．因?yàn)?，所以，解得，．【小?詳解】．令，則，所以在上單調(diào)遞減，在