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第一章直角三角形的邊角關(guān)系1.1銳角三角函數(shù)精選練習(xí)基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇一、單選題1.(2022·山東·淄博市張店區(qū)第九中學(xué)九年級(jí)期中)正方形網(wǎng)格中,如圖所示放置(點(diǎn)O,A,C均在網(wǎng)格的格點(diǎn)上,且點(diǎn)C在上),則的值為(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】作交于點(diǎn)D,首先得到,然后根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度,然后即可求出的值.【詳解】作交于點(diǎn)D,由網(wǎng)格的特點(diǎn)可得,∵,∴.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求特殊角三角函數(shù)值,解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形求解.2.(2022·山東泰安·九年級(jí)期中)如圖,已知,,,,的長(zhǎng)為(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】作交于D,根據(jù),,得出,,進(jìn)而得出,再根據(jù)勾股定理即可得出答案.【詳解】作交于D,∵,,∴,,∵,∴,∴,在中,故答案為:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù),勾股定理,正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.3.(2022·山東濟(jì)南·九年級(jí)期中)已知在中,,,,則等于()A.6 B.16 C.12 D.4【答案】D【分析】根據(jù)題意作圖,由正切值的定義可得,,結(jié)合已知條件,,,即可求得的值.【詳解】解:如圖,∵在中,,∴,∵,∴,即,∵,∴,∴,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正切值的定義,根據(jù)題意作圖并正確理解正切值的定義是解題的關(guān)鍵.4.(2022·山東·濟(jì)南市大學(xué)城實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí))在正方形網(wǎng)格中,的位置如圖所示,則的值為(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)正切的定義結(jié)合正方形方格即可解答.【詳解】解:如圖:.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正切的定義,直角三角形中,一銳角的對(duì)邊除以其鄰邊的值,稱為此角的正切.5.(2022·廣西·南寧二中九年級(jí)期中)計(jì)算的值是(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)30度角的正弦值直接得到答案.【詳解】解:,故選:B.【點(diǎn)睛】此題考查了角度的正弦值,正確掌握各特殊角度的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.6.(2022·上海市奉賢區(qū)古華中學(xué)九年級(jí)期中)在中,各邊的長(zhǎng)度都縮小4倍,那么銳角A的余切值(

)A.?dāng)U大4倍 B.保持不變 C.縮小2倍 D.縮小4倍【答案】B【分析】根據(jù)題意可知大小不變,即得出銳角A的余切值保持不變.【詳解】解:∵在中,各邊的長(zhǎng)度都縮小4倍,∴各角的大小不變,即大小不變.∵一個(gè)角的銳角三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān),∴銳角A的余切值保持不變.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù).理解一個(gè)角的銳角三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)是解題關(guān)鍵.二、填空題7.(2022·山東濟(jì)南·九年級(jí)期中)如圖,已知的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,則___________.【答案】【分析】先求出根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng),再根據(jù)即可求解.【詳解】如圖,在中,.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù),熟知在直角三角形中,正弦值等于對(duì)邊比斜邊是解題的關(guān)鍵.8.(2022·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校附屬東灘學(xué)校九年級(jí)期中)已知在中,,,,那么的值是______.【答案】【分析】畫出圖形,直接利用正弦函數(shù)值的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】在中,,,∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)值的定義,解題的關(guān)鍵是熟練掌握正弦函數(shù)值的定義.正弦函數(shù)值等于對(duì)邊比斜邊.9.(2022·江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中)在中,,是斜邊上的中線,,,則的值是______.【答案】【分析】根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半以及余弦的定義:鄰邊比斜邊,進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解:∵,是斜邊上的中線,∴,∴;故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查直線三角形斜邊上中線等于斜邊的一半以及余弦的定義.熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.10.(2022·江蘇·靖江市濱江學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí))如果是銳角,且,那么的值是_____.【答案】##【分析】在Rt,,,由,可設(shè),則,勾股定理求出,即可得到答案.【詳解】解:如圖,在Rt,,,∵,∴設(shè),則,由勾股定理得,∴,故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查了銳角三角函數(shù),勾股定理,熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.三、解答題11.(2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試)已知:如圖,在中,求的值.【答案】【分析】根據(jù)勾股定理求,再根據(jù)余弦的定義求得.【詳解】解:在中,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理、余弦的定義,熟練掌握勾股定理、三角函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵.12.(2021·江蘇淮安·二模)如圖,方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A、B、C在小正方形的頂點(diǎn)上.(1)在圖中畫出將線段AB沿著直線AC翻折后的對(duì)應(yīng)線段AD;(2)在圖中畫出將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的線段AE;(3)連接DE,則cos∠ADE=.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】(1)在方格中找出點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)D,連接AD即可;(2)利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)作圖即可;(3)過(guò)點(diǎn)A作AT⊥DE于T,求出AD、DT,則.(1)如圖,線段AD即為所求.(2)如圖,線段AE即為所求.(3)解:如圖,過(guò)點(diǎn)A作AT⊥DE于T.∵AE=AD,∴DT=ET=,∵AD=,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了作圖——翻折變換、旋轉(zhuǎn)變換,勾股定理和解直角三角形等知識(shí)點(diǎn),解題關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想構(gòu)造含∠ADE的直角三角形.提升篇提升篇一、填空題1.(2022·廣東·豐順縣砂田中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí))如圖,在邊長(zhǎng)相同的小正方形組成的網(wǎng)格中,點(diǎn),,,都在這些小正方形的頂點(diǎn)上,,相交于點(diǎn),則的值是________.【答案】##【分析】過(guò)點(diǎn)B作,連接.根據(jù)題圖和勾股定理先判斷的形狀,再求出的正弦,利用平行線的性質(zhì)可得結(jié)論.【詳解】解:如圖,過(guò)點(diǎn)B作,連接.由網(wǎng)格和勾股定理可求得;,,,∴,∴是直角三角形.在中,.∵,∴∴故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和解直角三角形,作輔助線平移到直角中,是解決本題的關(guān)鍵.2.(2022·上海市虹橋中學(xué)九年級(jí)期中)在中,,,將繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后,點(diǎn)C落在射線上,點(diǎn)A落到點(diǎn)處,聯(lián)結(jié).那么_____.【答案】2或【分析】設(shè),,由銳角三角函數(shù)和勾股定理可求,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求,,,分兩種情況討論,求出的長(zhǎng),即可求解.【詳解】解:∵,,∴設(shè),,∴,∵將繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后,點(diǎn)C落在射線上,點(diǎn)A落到點(diǎn)處,∴,,,如圖1,當(dāng)點(diǎn)C落在線段上時(shí),則,∴,如圖2,當(dāng)點(diǎn)C落在線段的延長(zhǎng)線上時(shí),則,∴,故答案為:2或.【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),銳角三角函數(shù),勾股定理等知識(shí),利用分類討論思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.3.(2022·山東濟(jì)南·九年級(jí)期中)如圖,的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格紙的格點(diǎn)上,則___________.【答案】【分析】連接,利用勾股定理的逆定理先證明是直角三角形,從而可得,然后在中,利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答.【詳解】解:如圖:連接,由題意得:,,,∴,∴是直角三角形,∴,在中,,,∴,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形,勾股定理的逆定理,根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.4.(2022·山東煙臺(tái)·九年級(jí)期中)如圖,在中,,點(diǎn)在上,,,則的值是______.【答案】##【分析】先由,,得到,再由勾股定理求出,即可求出的值.【詳解】解:,,,,由勾股定理得:,,故答案為:.【點(diǎn)睛】考查的是銳角三角函數(shù)的定義及勾股定理,熟記三角函數(shù)的定義及勾股定理是解題關(guān)鍵.5.(2022·山東·測(cè)試·編輯教研五二模)如圖,是的直徑,,與相切于點(diǎn),若,則的正切值為_(kāi)_____.【答案】2【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到,,根據(jù)切線的性質(zhì)得到,證明,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到,根據(jù)正切的定義計(jì)算即可.【詳解】解:連接,,,與相切于點(diǎn)A、C,,,,,是的直徑,,,∴,在中,,

∴,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、解直角三角形,掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵.二、解答題6.(2022·廣東·豐順縣茶背中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí))在如圖所示的正方形方格紙中,每個(gè)小的四邊形都是相同的正方形,,,,都在格點(diǎn)處,與相交于點(diǎn),求的值.【答案】【分析】構(gòu)造及直角三角形,根據(jù)平行的性質(zhì)轉(zhuǎn)化角并利用正弦的定義解題即可.【詳解】連接,,如圖所示,則,.設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為,則,,.是直角三角形,...【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)函數(shù)值的求法,能夠熟練構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵.7.(2022·安徽·蚌埠市新城區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中)如圖,在中,,,于點(diǎn).(1)求的值;(2)求的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】(1)過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)E,由,,可得,在中,運(yùn)用勾股定理求得,在中,運(yùn)用正切值的定義求得的值即可.(2)由(1)中,,運(yùn)用等面積法,可得,進(jìn)而求得.【詳解】(1)解:如圖,過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)E,∵,,∴,,∵,∴,在中,∵,∴,∵,,∴,∴.在中,∵,,,∴.(2)解:如圖,同(1),過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)E,∵,∴,又∵,∴,∴,∵,,又∵由(1)求得,∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形性質(zhì),正切值的定義以及三角形等面積法的運(yùn)用,綜合掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.8.(2022·寧夏·銀川北塔中學(xué)一模)如圖,在四邊形ABCD中,,AB=AD,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,AC平分∠BAD,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接OE.(1)求證:四邊形ABC

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