11銳角三角函數(shù)（分層練習(xí)）

第一章直角三角形的邊角關(guān)系1.1銳角三角函數(shù)精選練習(xí)基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇一、單選題1．（2022·山東·淄博市張店區(qū)第九中學(xué)九年級(jí)期中）正方形網(wǎng)格中，如圖所示放置（點(diǎn)O，A，C均在網(wǎng)格的格點(diǎn)上，且點(diǎn)C在上），則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作交于點(diǎn)D，首先得到，然后根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度，然后即可求出的值．【詳解】作交于點(diǎn)D，由網(wǎng)格的特點(diǎn)可得，∵，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求特殊角三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形求解．2．（2022·山東泰安·九年級(jí)期中）如圖，已知，，，，的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作交于D，根據(jù)，，得出，，進(jìn)而得出，再根據(jù)勾股定理即可得出答案．【詳解】作交于D，∵，，∴，，∵，∴，∴，在中，故答案為：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)，勾股定理，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．3．（2022·山東濟(jì)南·九年級(jí)期中）已知在中，，，，則等于（）A．6 B．16 C．12 D．4【答案】D【分析】根據(jù)題意作圖，由正切值的定義可得，，結(jié)合已知條件，，，即可求得的值．【詳解】解：如圖，∵在中，，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正切值的定義，根據(jù)題意作圖并正確理解正切值的定義是解題的關(guān)鍵．4．（2022·山東·濟(jì)南市大學(xué)城實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）在正方形網(wǎng)格中，的位置如圖所示，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正切的定義結(jié)合正方形方格即可解答．【詳解】解：如圖：．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正切的定義，直角三角形中，一銳角的對(duì)邊除以其鄰邊的值，稱為此角的正切．5．（2022·廣西·南寧二中九年級(jí)期中）計(jì)算的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)30度角的正弦值直接得到答案．【詳解】解：，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了角度的正弦值，正確掌握各特殊角度的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．6．（2022·上海市奉賢區(qū)古華中學(xué)九年級(jí)期中）在中，各邊的長(zhǎng)度都縮小4倍，那么銳角A的余切值（

）A．?dāng)U大4倍 B．保持不變 C．縮小2倍 D．縮小4倍【答案】B【分析】根據(jù)題意可知大小不變，即得出銳角A的余切值保持不變．【詳解】解：∵在中，各邊的長(zhǎng)度都縮小4倍，∴各角的大小不變，即大小不變．∵一個(gè)角的銳角三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，∴銳角A的余切值保持不變．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)．理解一個(gè)角的銳角三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)是解題關(guān)鍵．二、填空題7．（2022·山東濟(jì)南·九年級(jí)期中）如圖，已知的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則___________．【答案】【分析】先求出根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)即可求解．【詳解】如圖，在中，．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)，熟知在直角三角形中，正弦值等于對(duì)邊比斜邊是解題的關(guān)鍵．8．（2022·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校附屬東灘學(xué)校九年級(jí)期中）已知在中，，，，那么的值是______．【答案】【分析】畫出圖形，直接利用正弦函數(shù)值的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】在中，，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)值的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正弦函數(shù)值的定義．正弦函數(shù)值等于對(duì)邊比斜邊．9．（2022·江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）在中，，是斜邊上的中線，，，則的值是______．【答案】【分析】根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半以及余弦的定義：鄰邊比斜邊，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵，是斜邊上的中線，∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查直線三角形斜邊上中線等于斜邊的一半以及余弦的定義．熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．10．（2022·江蘇·靖江市濱江學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如果是銳角，且，那么的值是_____．【答案】##【分析】在Rt，，，由，可設(shè)，則,勾股定理求出，即可得到答案．【詳解】解：如圖，在Rt，，，∵，∴設(shè)，則,由勾股定理得，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）已知：如圖，在中，求的值．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理求，再根據(jù)余弦的定義求得．【詳解】解：在中，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理、余弦的定義，熟練掌握勾股定理、三角函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．12．（2021·江蘇淮安·二模）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、B、C在小正方形的頂點(diǎn)上．(1)在圖中畫出將線段AB沿著直線AC翻折后的對(duì)應(yīng)線段AD；(2)在圖中畫出將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的線段AE；(3)連接DE，則cos∠ADE＝．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）在方格中找出點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)D，連接AD即可；（2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)作圖即可；（3）過(guò)點(diǎn)A作AT⊥DE于T，求出AD、DT，則．（1）如圖，線段AD即為所求．（2）如圖，線段AE即為所求．（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AT⊥DE于T．∵AE＝AD，∴DT＝ET＝，∵AD＝，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖——翻折變換、旋轉(zhuǎn)變換，勾股定理和解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，解題關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想構(gòu)造含∠ADE的直角三角形．提升篇提升篇一、填空題1．（2022·廣東·豐順縣砂田中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)，，，都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，，相交于點(diǎn)，則的值是________．【答案】##【分析】過(guò)點(diǎn)B作，連接．根據(jù)題圖和勾股定理先判斷的形狀，再求出的正弦，利用平行線的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作，連接．由網(wǎng)格和勾股定理可求得；，，，∴，∴是直角三角形．在中，．∵，∴∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和解直角三角形，作輔助線平移到直角中，是解決本題的關(guān)鍵．2．（2022·上海市虹橋中學(xué)九年級(jí)期中）在中，，，將繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)C落在射線上，點(diǎn)A落到點(diǎn)處，聯(lián)結(jié)．那么_____．【答案】2或【分析】設(shè)，，由銳角三角函數(shù)和勾股定理可求，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求，，，分兩種情況討論，求出的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：∵，，∴設(shè)，，∴，∵將繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)C落在射線上，點(diǎn)A落到點(diǎn)處，∴，，，如圖1，當(dāng)點(diǎn)C落在線段上時(shí)，則，∴，如圖2，當(dāng)點(diǎn)C落在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，則，∴，故答案為：2或．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識(shí)，利用分類討論思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．3．（2022·山東濟(jì)南·九年級(jí)期中）如圖，的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格紙的格點(diǎn)上，則___________．【答案】【分析】連接，利用勾股定理的逆定理先證明是直角三角形，從而可得，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：如圖：連接，由題意得：，，，∴，∴是直角三角形，∴，在中，，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．4．（2022·山東煙臺(tái)·九年級(jí)期中）如圖，在中，，點(diǎn)在上，，，則的值是______．【答案】##【分析】先由，，得到，再由勾股定理求出，即可求出的值．【詳解】解：，，，，由勾股定理得：，，故答案為：．【點(diǎn)睛】考查的是銳角三角函數(shù)的定義及勾股定理，熟記三角函數(shù)的定義及勾股定理是解題關(guān)鍵．5．（2022·山東·測(cè)試·編輯教研五二模）如圖，是的直徑，，與相切于點(diǎn)，若，則的正切值為_(kāi)_____．【答案】2【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到，，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)正切的定義計(jì)算即可．【詳解】解：連接，，，與相切于點(diǎn)A、C，，，，，是的直徑，，，∴，在中，，

∴，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、解直角三角形，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．二、解答題6．（2022·廣東·豐順縣茶背中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）在如圖所示的正方形方格紙中，每個(gè)小的四邊形都是相同的正方形，，，，都在格點(diǎn)處，與相交于點(diǎn)，求的值．【答案】【分析】構(gòu)造及直角三角形，根據(jù)平行的性質(zhì)轉(zhuǎn)化角并利用正弦的定義解題即可．【詳解】連接，，如圖所示，則，．設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為，則，，．是直角三角形，．．．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)函數(shù)值的求法，能夠熟練構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．7．（2022·安徽·蚌埠市新城區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，在中，，，于點(diǎn)．(1)求的值；(2)求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)E，由，，可得，在中，運(yùn)用勾股定理求得，在中，運(yùn)用正切值的定義求得的值即可．（2）由（1）中，，運(yùn)用等面積法，可得，進(jìn)而求得．【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)E，∵，，∴，，∵，∴，在中，∵，∴，∵，，∴，∴．在中，∵，，，∴．（2）解：如圖，同（1），過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)E，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，，又∵由（1）求得，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形性質(zhì)，正切值的定義以及三角形等面積法的運(yùn)用，綜合掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．8．（2022·寧夏·銀川北塔中學(xué)一模）如圖，在四邊形ABCD中，，AB=AD，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC平分∠BAD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接OE．(1)求證：四邊形ABC