吉林省長春市普通高中高三質(zhì)量監(jiān)測（二）數(shù)學(xué)（文）試題

長春市普通高中2018屆高三質(zhì)量監(jiān)測（二）數(shù)學(xué)文科一、選擇題（本大題包括12小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知，，則李國波錄A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則A. B. C. D. 3.命題“若，則”的逆否命題是A.若，則或B.若，則C.若或，則 D.若或，則4.已知橢圓的左右焦點分別為，過且垂直于長軸的直線交橢圓于兩點，則△的周長為A. B. C. D.5.已知平面向量，則A. B. C. D.6.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前項和為，若，則A.B.C.D.7.定義在上的奇函數(shù)，滿足在上單調(diào)遞增，且，則的解集為A. B.C. D.8.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線條畫出的是一個三棱錐的三視圖，則該三棱錐的體積為A.B.C.D.9.若點滿足線性條件，則的最大值為A.B.C.D.10.已知函數(shù)，且，則下列結(jié)論中正確的是A.B.是圖象的一個對稱中心C.D.是圖象的一條對稱軸11.已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是A. B.C. D.12.若關(guān)于的方程存在三個不等實根，則實數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.13.曲線在點處的切線方程為___________.14.若向區(qū)域內(nèi)投點，則該點到原點的距離小于的概率為__________.15.更相減損術(shù)是出自《九章算術(shù)》的一種算法.如圖所示的程序框圖是根據(jù)更相減損術(shù)寫出的，若輸入，則輸出的值為_____.是是否否是開始輸出結(jié)束輸出16.在△中，內(nèi)角的對邊分別為，若其面積，角的平分線交于，，，則________.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.（本小題滿分12分）已知數(shù)列的通項公式為.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)令，求數(shù)列的前項和.18.（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱中，.（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積.19.（本小題滿分12分）某種植園在芒果臨近成熟時，隨機從一些芒果樹上摘下100個芒果，其質(zhì)量分別在，，，，，（單位：克）中，經(jīng)統(tǒng)計得頻率分布直方圖如圖所示.0.0080.0040.0080.0040.0030.0020.001頻率/組距100150200250300350400質(zhì)量（克）(1)經(jīng)計算估計這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；(2)現(xiàn)按分層抽樣從質(zhì)量為，的芒果中隨機抽取個，再從這個中隨機抽取個，求這個芒果中恰有個在內(nèi)的概率.（3）某經(jīng)銷商來收購芒果，以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)代表這組數(shù)據(jù)的平均值，用樣本估計總體，該種植園中還未摘下的芒果大約還有個，經(jīng)銷商提出如下兩種收購方案：A：所以芒果以元/千克收購；B：對質(zhì)量低于克的芒果以元/個收購，高于或等于克的以元/個收購.通過計算確定種植園選擇哪種方案獲利更多？20.（本小題滿分12分）已知直線過拋物線：的焦點，且垂直于拋物線的對稱軸，與拋物線兩交點間的距離為.(1)求拋物線的方程;(2)若點，過點的直線與拋物線相交于,兩點，設(shè)直線與的斜率分別為和.求證：為定值，并求出此定值.21.（本小題滿分12分）函數(shù).（1）若函數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時，設(shè)在時取到極小值，證明：.（二）選考題：共10分.請考生在22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題記分.22.（本小題滿分10分）選修4—4：坐標系與參數(shù)方程選講.已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標方程；（2）若過點的直線與交于,兩點，與交于兩點，求的取值范圍.23.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講.已知函數(shù).(1)求的解集；(2)若的最小值為,正數(shù)滿足，求證：.長春市普通高中2018屆高三質(zhì)量監(jiān)測（二）數(shù)學(xué)（文科）試題參考答案及評分標準一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1.A【命題意圖】本題考查集合的運算.【試題解析】A.故選A.2.B【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)的運算.【試題解析】B.故選B.3.D【命題意圖】【試題解析】D由逆否命題的知識.故選D.4.C【命題意圖】【試題解析】C由題意知的周長為.故選C.5.A【命題意圖】【試題解析】A由題意知，，所以.故選A.6.C【命題意圖】本題主要考查等比數(shù)列知識.【試題解析】C由得，解得，從而. 故選C.7.D【命題意圖】【試題解析】D由函數(shù)性質(zhì)可知，的取值范圍是 .故選D.8.B【命題意圖】本題考查三視圖.【試題解析】B由圖形可知體積為.故選B.9.D【命題意圖】本題主要考查線性規(guī)劃的相關(guān)知識.【試題解析】D 由可行域可知在點處取得最大值.故選D.10.A【命題意圖】【試題解析】A由題意可知，正確.故選A.11.B【命題意圖】本題考查雙曲線定義的相關(guān)知識.【試題解析】B由雙曲線定義可知，從而，雙曲線的離心率取值范圍為.故選B.12.C【命題意圖】本題是考查函數(shù)的性質(zhì)及零點的相關(guān)知識.【試題解析】C由題意知，令，的兩根一正一負，由的圖象可知，，解得.故選C.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義.【試題解析】，，，因此，即切線方程為.14.【命題意圖】本題考查幾何概型.【試題解析】由題意區(qū)域的面積為1，在區(qū)域內(nèi)，到原點的距離小于1的區(qū)域面積為，即概率為.15.13【命題意圖】本題考查程序框圖的相關(guān)知識.【試題解析】由輸入，代入程序框圖計算可得輸出的的值為13.16.1【命題意圖】本題考查解三角形的相關(guān)知識.【試題解析】，可知，即.由角分線定理可知，，，在中，，在中，，即，則.三、解答題17.(本小題滿分12分)【命題意圖】本題考查等差數(shù)列及數(shù)列前n項和求法. 【試題解析】（1）由可知 （），因此數(shù)列為等差數(shù)列.（6分） （2）由（1）知. （12分）18.(本小題滿分12分) 【命題意圖】本小題以三棱柱為載體，考查立體幾何的基礎(chǔ)知識.本題考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力.【試題解析】解：（1） （6分）（2）. （12分）19.(本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查學(xué)生對抽樣的理解，以及古典概型的相關(guān)知識，同時考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力.【試題解析】解：（1）該樣本的中位數(shù)為268.75 （4分）（2）抽取的6個芒果中，質(zhì)量在和內(nèi)的分別有4個和2個.設(shè)質(zhì)量在內(nèi)的4個芒果分別為，質(zhì)量在內(nèi)的2個芒果分別為.從這6個芒果中選出3個的情況共有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共計20種，其中恰有一個在內(nèi)的情況有，，，，，，，，，，，共計12種，因此概率. （8分）（3）方案A：方案B：低于250克：元高于或等于250克元總計元由，故B方案獲利更多，應(yīng)選B方案. （12分）20.(本小題滿分12分)【命題意圖】本小題考查直線與拋物線的位置關(guān)系及標準方程，考查學(xué)生的邏輯思維能力和運算求解能力.【試題解析】（1）由題意可知，，拋物線的方程為. （4分）（2）已知，設(shè)直線的方程為：，，則，，聯(lián)立拋物線與直線的方程消去得可得，，代入可得. 因此可以為定值，且該定值為. （12分）21.(本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的知識，具體涉及到導(dǎo)數(shù)的運算，利用導(dǎo)數(shù)比較大小等，考查學(xué)生解決問題的綜合能力.【試題解析】（1）解：將原不等式化為，設(shè)，而，故當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增所以，即為所求. （4分）（2）當(dāng)時，，令，則，解得故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而且，故在區(qū)間內(nèi)解為，即，因此，令又，所以，即成立.（12分）22.(本小題滿分10分)【命題意圖】本小題主要考查極坐標系與參數(shù)方程的相關(guān)知識，具體涉及到參數(shù)方程與普通方程的互化、極坐標方程與直角坐標方程的轉(zhuǎn)化、直線的參數(shù)方程的幾何意義等內(nèi)容.本小題考查考生的方程思想與數(shù)形結(jié)合思想，對運算求解能力有一定要求.【試題解析】（1）曲線的普通方程為，曲線的直角坐標方程為 ； （5分） （2）設(shè)直線