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2025屆江蘇省南京市江寧區(qū)高級(jí)中學(xué)高一上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知冪函數(shù)的圖像過點(diǎn),若,則實(shí)數(shù)的值為A. B.C. D.2.已知函數(shù),下列說法錯(cuò)誤的是()A.函數(shù)在上單調(diào)遞減B.函數(shù)是最小正周期為的周期函數(shù)C.若,則方程在區(qū)間內(nèi),最多有4個(gè)不同的根D.函數(shù)在區(qū)間內(nèi),共有6個(gè)零點(diǎn)3.農(nóng)科院的專家為了了解新培育的甲、乙兩種麥苗的長(zhǎng)勢(shì)情況,從種植有甲、乙兩種麥苗的兩塊試驗(yàn)田中各抽取6株麥苗測(cè)量株高,得到的數(shù)據(jù)如下(單位:cm):甲:9,10,11,12,10,20;乙:8,14,13,10,12,21.根據(jù)所抽取的甲、乙兩種麥苗的株高數(shù)據(jù),給出下面四個(gè)結(jié)論,其中正確的結(jié)論是()A.甲種麥苗樣本株高的平均值大于乙種麥苗樣本株高的平均值B.甲種麥苗樣本株高的極差小于乙種麥苗樣本株高的極差C.甲種麥苗樣本株高的75%分位數(shù)為10D.甲種麥苗樣本株高的中位數(shù)大于乙種麥苗樣本株高的中位數(shù)4.已知,則角的終邊所在的象限是()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限5.函數(shù)的最小值和最大值分別為()A. B.C. D.6.現(xiàn)對(duì)有如下觀測(cè)數(shù)據(jù)345671615131417記本次測(cè)試中,兩組數(shù)據(jù)的平均成績(jī)分別為,兩班學(xué)生成績(jī)的方差分別為,,則()A., B.,C., D.,7.已知集合,,若,則實(shí)數(shù)的值為()A. B.C. D.8.下列與的終邊相同的角的集合中正確的是()A. B.C. D.9.下列函數(shù)是奇函數(shù),且在區(qū)間上是增函數(shù)的是A. B.C. D.10.設(shè)函數(shù),A.3 B.6C.9 D.12二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.在正三角形中,是上的點(diǎn),,則________12.已知函數(shù)的圖象上關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)恰有9對(duì),則實(shí)數(shù)的取值范圍_________.13.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)的取值范圍_______.14.已知函數(shù)若存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是__________15.函數(shù)的值域?yàn)開____________16.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn),則__三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.設(shè)平面向量,,函數(shù)(Ⅰ)求時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(Ⅱ)若銳角滿足,求的值18.已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求方程的解;(2)若,不等式恒成立,求的取值范圍.19.已知函數(shù).(1),,求的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)若,,的最大值是,求的值20.已知集合,,(1)求;(2)若,求m的取值范圍21.已知全集,集合,集合.(1)若,求;(2)若“”是“”必要不充分條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】將點(diǎn)代入函數(shù)解析式,求出參數(shù)值,令函數(shù)值等于3,可求出自變量的值.詳解】依題意有2=4a,得a=,所以,當(dāng)時(shí),m=9.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)解析式以及由函數(shù)值求自變量,一般由函數(shù)值求自變量的值時(shí)要注意自變量取值范圍以及題干的要求,避免多解.2、B【解析】A.由時(shí),判斷;B.易知是偶函數(shù),作出其圖象判斷;C.在同一坐標(biāo)系中作出的圖象判斷;D.根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù),利用其圖象,判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】A.當(dāng)時(shí),,而,上遞減,故正確;B.因?yàn)?,所以是偶函?shù),當(dāng)時(shí),,作出其圖象如圖所示:由圖象知;函數(shù)不是周期函數(shù),故錯(cuò)誤;C.在同一坐標(biāo)系中作出的圖象,如圖所示:由圖象知:當(dāng),方程在區(qū)間內(nèi),最多有4個(gè)不同的根,故正確;D.因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù),只求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可,如圖所示:由函數(shù)圖象知,在區(qū)間內(nèi)共有3個(gè),所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi),共有6個(gè)零點(diǎn),故正確;故選:B3、B【解析】對(duì)A,由平均數(shù)求法直接判斷即可;由極差概念可判斷B,結(jié)合百分位數(shù)概念可求C;將甲乙兩組數(shù)據(jù)排序,可判斷D.【詳解】甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為9+10+11+12+10+206=12,乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8+14+13+10+12+216甲種麥苗樣本株高的極差為11,乙種麥苗樣本株高的極差為13,故B正確;6×0.75=4.5,故甲種麥苗樣本株高的75%分位數(shù)為第5位數(shù),為12,故C錯(cuò)誤;甲種麥苗樣本株高的中位數(shù)為10.5,乙種麥苗樣本株高的中位數(shù)為12.5,故D錯(cuò)誤.故選:B4、C【解析】化,可知角的終邊所在的象限.【詳解】,將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)即可得到,角的終邊在第三象限.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了象限角的概念,屬于容易題.5、C【解析】2.∴當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,故選C.6、C【解析】利用平均數(shù)以及方差的計(jì)算公式即可求解.【詳解】,,,,故,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了平均數(shù)與方差,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】根據(jù)集合,,可得,從而可得.【詳解】因?yàn)?,,所以,所?故選:B8、C【解析】由任意角的定義判斷【詳解】,故與其終邊相同的角的集合為或角度制和弧度制不能混用,只有C符合題意故選:C9、B【解析】逐一考查所給函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性即可.【詳解】逐一考查所給函數(shù)的性質(zhì):A.,函數(shù)為奇函數(shù),在區(qū)間上不具有單調(diào)性,不合題意;B.,函數(shù)為奇函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),符合題意;C.,函數(shù)為非奇非偶函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),不合題意;D.,函數(shù)為奇函數(shù),在區(qū)間上不具有單調(diào)性,不合題意;本題選擇B選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的奇偶性等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.10、C【解析】.故選C.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】根據(jù)正三角形的性質(zhì)以及向量的數(shù)量積的定義式,結(jié)合向量的特點(diǎn),可以確定,故答案為考點(diǎn):平面向量基本定理,向量的數(shù)量積,正三角形的性質(zhì)12、【解析】求出函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱的圖像,利用數(shù)形結(jié)合可得到結(jié)論.【詳解】若,則,,設(shè)為關(guān)于軸對(duì)稱的圖像,畫出的圖像,要使圖像上有至少9個(gè)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,即與有至少9個(gè)交點(diǎn),則,且滿足,即則,解得,故答案為【點(diǎn)睛】解分段函數(shù)或兩個(gè)函數(shù)對(duì)稱性的題目時(shí),可先將一個(gè)函數(shù)的對(duì)稱圖像求出,利用數(shù)形結(jié)合的方式得出參數(shù)的取值范圍;遇到題目中指對(duì)函數(shù)時(shí),需要討論底數(shù)的范圍,分別畫出圖像進(jìn)行討論.13、【解析】由對(duì)數(shù)真數(shù)大于零可知在上恒成立,利用分離變量的方法可求得,此時(shí)結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷可知在上單調(diào)遞增,由此可確定的取值范圍.【詳解】由題意知:在上恒成立,在上恒成立,在上單調(diào)遞減,,;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,又此時(shí)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增,滿足題意;實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為:.14、【解析】當(dāng)時(shí),函數(shù)為減函數(shù),且在區(qū)間左端點(diǎn)處有令,解得令,解得的值域?yàn)?,?dāng)時(shí),fx=x在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,從而當(dāng)時(shí),函數(shù)有最小值,即為函數(shù)在右端點(diǎn)的函數(shù)值為的值域?yàn)?,則實(shí)數(shù)的取值范圍是點(diǎn)睛:本題主要考查的是分段函數(shù)的應(yīng)用.當(dāng)時(shí),函數(shù)為減函數(shù),且在區(qū)間左端點(diǎn)處有,當(dāng)時(shí),在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,從而當(dāng)時(shí),函數(shù)有最小值,即為,函數(shù)在右端點(diǎn)的函數(shù)值為,結(jié)合圖象即可求出答案15、【解析】利用二倍角余弦公式可得令,結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到結(jié)果.【詳解】由題意得:令,則∵在上單調(diào)遞減,∴的值域?yàn)椋汗蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題給出含有三角函數(shù)式的“類二次”函數(shù),求函數(shù)的值域.著重考查了三角函數(shù)的最值和二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域等知識(shí),屬于中檔題16、【解析】根據(jù)終邊上的點(diǎn)可得,再應(yīng)用差角正弦公式求目標(biāo)式的值.【詳解】由題設(shè),,所以.故答案為:.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)利用向量的數(shù)量積結(jié)合兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式,利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間,求得時(shí)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(Ⅱ)若銳角α滿足,可得cos的值,然后求的值【詳解】解:(Ⅰ)由得,其中單調(diào)遞增區(qū)間為,可得,∴時(shí)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(Ⅱ),∵α為銳角,∴【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積以及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值,考查了二倍角公式的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,屬于中檔題18、(1)或;(2)【解析】(1)由題意可得,由指數(shù)方程的解法即可得到所求解;(2)由題意可得,設(shè),,,可得,即有,由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可不等式右邊的最大值,進(jìn)而得到所求范圍【詳解】(1)方程,即為,即有,所以或,解得或;(2)若,不等式恒成立可得,即,設(shè),,可得,即有,由在遞增,可得時(shí)取得最大值,即有【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)方程的解法和不等式恒成立問題的解法,注意運(yùn)用換元法和參數(shù)分離法,結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性,考查運(yùn)算能力和推理能力,屬于中檔題19、(1),;(2).【解析】(1)先利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)函數(shù),通過余弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可.(2)利用函數(shù)的最大值為,由正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合輔助角公式求解即可【詳解】(1),由,得,又,所以單調(diào)的單調(diào)遞減區(qū)間為,(2)由題意,由于函數(shù)的最大值為,即,從而,又,所以【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:函數(shù)的性質(zhì):(1).(2)周期(3)由求對(duì)稱軸,由求對(duì)稱中心.(4)由求增區(qū)間;由求減區(qū)間.20、(1)(2)【解析】(1)先求得集合A,再由集合
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