突破06函數(shù)與幾何圖形動(dòng)態(tài)探究題(教師版)_第1頁(yè)
突破06函數(shù)與幾何圖形動(dòng)態(tài)探究題(教師版)_第2頁(yè)
突破06函數(shù)與幾何圖形動(dòng)態(tài)探究題(教師版)_第3頁(yè)
突破06函數(shù)與幾何圖形動(dòng)態(tài)探究題(教師版)_第4頁(yè)
突破06函數(shù)與幾何圖形動(dòng)態(tài)探究題(教師版)_第5頁(yè)
已閱讀5頁(yè),還剩114頁(yè)未讀 繼續(xù)免費(fèi)閱讀

下載本文檔

版權(quán)說(shuō)明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡(jiǎn)介

重難點(diǎn)突破突破06函數(shù)與幾何圖形動(dòng)態(tài)探究題目錄一覽中考解密(分析考察方向,精準(zhǔn)把握重難點(diǎn))重點(diǎn)考向(以真題為例,探究中考命題方向)?考向一線段周長(zhǎng)問(wèn)題?考向二面積問(wèn)題?考向三特殊三角形問(wèn)題?考向四特殊四邊形問(wèn)題?考向五相似三角形問(wèn)題函數(shù)與幾何圖形動(dòng)態(tài)探究題是山西中考的必考題,這類題型屬于開(kāi)放探究題,考查學(xué)生綜合探究、幾何直觀和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,在綜合探究過(guò)程中,培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S和分類討論的思想,逐步體會(huì)分類的方法和原因,逐步提高發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題以及分析和解決問(wèn)題的能力.?考向一線段周長(zhǎng)問(wèn)題1.(2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題)拋物線與x軸交于點(diǎn),,與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的表達(dá)式;(2)如圖,點(diǎn)D是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是,過(guò)點(diǎn)D作直線軸,垂足為點(diǎn)E,交直線于點(diǎn)F.當(dāng)D,E,F(xiàn)三點(diǎn)中一個(gè)點(diǎn)平分另外兩點(diǎn)組成的線段時(shí),求線段的長(zhǎng);(3)若點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與頂點(diǎn)重合),點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)點(diǎn),點(diǎn)N在坐標(biāo)平面內(nèi),當(dāng)四邊形是矩形鄰邊之比為時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo).【答案】(1)(2)或(3)或【思路點(diǎn)撥】(1)將點(diǎn),代入解析式即可求解;(2)可求直線的解析式為,可得,,,①當(dāng)時(shí),可求,,即可求解;②當(dāng)時(shí),,,即可求解;(3)①當(dāng)在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí),得到是矩形,鄰邊之比為,即,即可求解;②當(dāng)在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí),同理可求.【規(guī)范解答】(1)解:由題意得解得,故拋物線的表達(dá)式;(2)解:當(dāng)時(shí),,,設(shè)直線的解析式為,則有,解得:,直線的解析式為,點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是,過(guò)點(diǎn)D作直線軸,,,,①如圖,當(dāng)時(shí),

,,,整理得:,解得:,,,不合題意,舍去,,;②如圖,當(dāng)時(shí),

,,,整理得:,解得:,(舍去),;綜上所述:線段的長(zhǎng)為或.(3)解:設(shè)點(diǎn),,當(dāng)四邊形是矩形時(shí),則為直角,①當(dāng)在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí),如圖,過(guò)作軸交軸于,交過(guò)作軸的平行線于,

,∵為直角,則,∵,∴,∴,∵是矩形鄰邊之比為,即或,即和的相似比為或,即,由題意得:,,∴,則,即,解得:,(不符合題意,舍去);②當(dāng)在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí),

同理可得:,解得:,綜上,或.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合體,主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì),待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,矩形的性質(zhì),三角形相似的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),分類求解是解答本題的關(guān)鍵.2.(2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l與x軸交于點(diǎn),與y軸交于點(diǎn),拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,且對(duì)稱軸是直線.

(1)求直線l的解析式;(2)求拋物線的解析式;(3)點(diǎn)P是直線l下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作軸,垂足為C,交直線l于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)P作,垂足為M.求的最大值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)(3)的最大值是,此時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)是【思路點(diǎn)撥】(1)利用待定系數(shù)法求解即可;(2)根據(jù)題意可設(shè)拋物線的解析式為,再利用待定系數(shù)法求解即可;(3)由題意易證為等腰直角三角形,即得出.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,則,從而可求出.再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知:當(dāng)時(shí),有最大值是,此時(shí)最大,進(jìn)而即可求解.【規(guī)范解答】(1)解:設(shè)直線l的解析式為,把A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式,得,解得:,∴直線l的解析式為;(2)解:設(shè)拋物線的解析式為,∵拋物線的對(duì)稱軸為直線,∴.把A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式,得,解得:,∴拋物線的解析式為;(3)解:∵

,

∴.∵在中,∴.∵軸,,∴.在中,,,∴,∴.在中,,,∴,∴.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,則,∴.∵,∴當(dāng)時(shí),有最大值是,此時(shí)最大,∴,當(dāng)時(shí),,

∴,∴的最大值是,此時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)是.【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)綜合題,考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí).掌握利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.3.(2023·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為,圖象的頂點(diǎn)為M.矩形的頂點(diǎn)D與原點(diǎn)O重合,頂點(diǎn)A,C分別在x軸,y軸上,頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為.

(1)求c的值及頂點(diǎn)M的坐標(biāo),(2)如圖2,將矩形沿x軸正方向平移t個(gè)單位得到對(duì)應(yīng)的矩形.已知邊,分別與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P,Q,連接,過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)G.①當(dāng)時(shí),求的長(zhǎng);②當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)Q不重合時(shí),是否存在這樣的t,使得的面積為1?若存在,求出此時(shí)t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1),頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是(2)①1;②存在,或【思路點(diǎn)撥】(1)把代入拋物線的解析式即可求出c,把拋物線轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo);(2)①先判斷當(dāng)時(shí),,的坐標(biāo)分別是,,再求出,時(shí)點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)與點(diǎn)P的縱坐標(biāo),進(jìn)而求解;②先求出,易得P,Q的坐標(biāo)分別是,,然后分點(diǎn)G在點(diǎn)Q的上方與點(diǎn)G在點(diǎn)Q的下方兩種情況,結(jié)合函數(shù)圖象求解即可.【規(guī)范解答】(1)∵二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為,∴,

∴,∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是.(2)①∵A在x軸上,B的坐標(biāo)為,∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是.當(dāng)時(shí),,的坐標(biāo)分別是,.當(dāng)時(shí),,即點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)是2,當(dāng)時(shí),,即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是1.∵,∴點(diǎn)G的縱坐標(biāo)是1,

∴.

②存在.理由如下:∵的面積為1,,∴.根據(jù)題意,得P,Q的坐標(biāo)分別是,.如圖1,當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)Q的上方時(shí),,此時(shí)(在的范圍內(nèi)),

如圖2,當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)Q的下方時(shí),,此時(shí)(在的范圍內(nèi)).

∴或.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、矩形的性質(zhì)以及三角形的面積等知識(shí),熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.4.(2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與x軸交于兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn).

(1)求此拋物線的解析式;(2)已知拋物線上有一點(diǎn),其中,若,求的值;(3)若點(diǎn)D,E分別是線段,上的動(dòng)點(diǎn),且,求的最小值.【答案】(1);(2);(3).【思路點(diǎn)撥】(1)由待定系數(shù)法即可求解;(2)在中,,則,得到直線的表達(dá)式為:,進(jìn)而求解;(3)作,證明且相似比為,故當(dāng)、、共線時(shí),為最小,進(jìn)而求解.【規(guī)范解答】(1)解:設(shè)拋物線的表達(dá)式為:,即,則,故拋物線的表達(dá)式為:①;(2)解:在中,,,則,故設(shè)直線的表達(dá)式為:②,聯(lián)立①②得:,解得:(不合題意的值已舍去);(3)解:作,

設(shè),,且相似比為,則,故當(dāng)、、共線時(shí),為最小,在中,設(shè)邊上的高為,則,即,解得:,則,則,過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn),則,即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為:,同理可得,點(diǎn)的橫坐標(biāo)為:,即點(diǎn),由點(diǎn)、的坐標(biāo)得,,即的最小值為.【點(diǎn)睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng).要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái),利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度,從而求出線段之間的關(guān)系.5.(2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與軸的交點(diǎn)分別為和(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)),與軸交于點(diǎn),點(diǎn)是直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn).(1)求拋物線的解析式;(2)如圖1,過(guò)點(diǎn)作軸平行線交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸平行線交軸于點(diǎn),求的最大值及點(diǎn)的坐標(biāo);(3)如圖2,設(shè)點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn),點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),在坐標(biāo)軸上確定點(diǎn),使四邊形為矩形,求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)的最大值為,點(diǎn)的坐標(biāo)為(3)符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)為:或【思路點(diǎn)撥】(1)利用待定系數(shù)法即可求解;(2)先求得直線的解析式,設(shè),則,,得到,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可;(3)先求得拋物線的頂點(diǎn),對(duì)稱軸為,分當(dāng)點(diǎn)在軸上和點(diǎn)在軸負(fù)半軸上時(shí),兩種情況討論,當(dāng)點(diǎn)在軸負(fù)半軸上時(shí),證明,求得,再證明,求得點(diǎn)的坐標(biāo)為,由點(diǎn)在拋物線上,列式計(jì)算求解即可.【規(guī)范解答】(1)解:∵拋物線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn)解得拋物線的解析式為:;(2)解:當(dāng)時(shí),,解得,,∴,設(shè)直線的解析式為:,把,代入得:,解得∴直線的解析式為,設(shè),∵軸,∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,又∵點(diǎn)在直線上,∴,,∴,∴,∵軸,∴,∴,∵,,∴當(dāng)時(shí),有最大值,最大值為,當(dāng)時(shí),,∴點(diǎn)的坐標(biāo)為;答:的最大值為,點(diǎn)的坐標(biāo)為;(3)解:,則拋物線的頂點(diǎn),對(duì)稱軸為,情況一:當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí),為拋物線的頂點(diǎn),∵四邊形為矩形,∴與縱坐標(biāo)相同,∴;情況二:當(dāng)點(diǎn)在軸負(fù)半軸上時(shí),四邊形為矩形,過(guò)作軸的垂線,垂足為,過(guò)作軸的垂線,垂足為,設(shè),則,∴,,∴,∵,∴,又∵,∴,∴,∵拋物線對(duì)稱軸為,點(diǎn)在對(duì)稱軸上,,∴,,∴,即,∵,,∴,∴,∴,,∴,∴點(diǎn)的坐標(biāo)為,∵點(diǎn)在拋物線上,∴,解得,(舍去),∴,綜上所述:符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)為:或.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及待定系數(shù)法,相似三角形的判定和性質(zhì),矩形的性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是方程思想的應(yīng)用.6.(2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題)如圖,拋物線與軸交于,兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn).已知點(diǎn)的坐標(biāo)是,拋物線的對(duì)稱軸是直線.

(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo);(2)在對(duì)稱軸上找一點(diǎn),使的值最小.求點(diǎn)的坐標(biāo)和的最小值;(3)第一象限內(nèi)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸,垂足為,連接交于點(diǎn).依題意補(bǔ)全圖形,當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)點(diǎn),的最小值為(3)【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)拋物線的對(duì)稱性,進(jìn)行求解即可;(2)根據(jù)拋物線的對(duì)稱性,得到,得到當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),的值最小,為的長(zhǎng),求出直線的解析式,解析式與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)的坐標(biāo),兩點(diǎn)間的距離公式求出的長(zhǎng),即為的最小值;(3)根據(jù)題意,補(bǔ)全圖形,設(shè),得到,,將的最大值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值,即可得解.【規(guī)范解答】(1)解:∵點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn),對(duì)稱軸為直線,∴點(diǎn)為;(2)當(dāng)時(shí),,∴,連接,

∵,∴,∵點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn),∴,∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),的值最小,為的長(zhǎng),設(shè)直線的解析式為:,則:,解得:,∴,∵點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上,∴;∴點(diǎn),的最小值為;(3)過(guò)點(diǎn)作軸,垂足為,連接交于點(diǎn),如圖所示,

∵,設(shè)拋物線的解析式為:,∵,∴,∴,∴,設(shè),則:,由(2)知:直線:,∴,∴,∵,∴,,∴,∴,∴,∴,∴,∴當(dāng)時(shí),有最大值,此時(shí).【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用.正確的求出函數(shù)解析式,利用拋物線的對(duì)稱性以及數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解,是解題的關(guān)鍵.?考向二面積問(wèn)題1.(2023·海南·統(tǒng)考中考真題)如圖1,拋物線交x軸于A,兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn).點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí),求四邊形的面積;(3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在直線上方時(shí),在平面直角坐標(biāo)系是否存在點(diǎn)Q,使得以B,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(4)如圖2,點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作直線軸,交x軸于點(diǎn)H,當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí),作直線,分別與直線交于點(diǎn)G和點(diǎn)I,求證:點(diǎn)D是線段的中點(diǎn).【答案】(1)(2)9(3)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)存在點(diǎn)Q,使得以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形,此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或(4)證明過(guò)程見(jiàn)解析【思路點(diǎn)撥】(1)利用待定系數(shù)法求解即可;(2)連接,過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)E,利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出線段、、、、的長(zhǎng)度,再根據(jù),進(jìn)行計(jì)算即可;(3)當(dāng)為矩形的邊時(shí),畫(huà)出符合題意的矩形,交y軸于點(diǎn)E,交x軸于點(diǎn)F,連接,過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)N,利用等腰直角三角形的判定與性質(zhì)及矩形的判定與性質(zhì)得到,利用待定系數(shù)法求得直線的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立方程組求得點(diǎn)P的坐標(biāo),則,進(jìn)而得到、的長(zhǎng)度,即可得出結(jié)果;當(dāng)為對(duì)角線時(shí),畫(huà)出相應(yīng)的圖形,求出結(jié)果即可;(4)利用配方法求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸,再利用待定系數(shù)法求得直線、的解析式,進(jìn)而求得點(diǎn)I、G的坐標(biāo),利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出線段、的長(zhǎng)度,即可得出結(jié)論.【規(guī)范解答】(1)解:由題意可得,,解得,∴拋物線的解析式為;(2)解:連接,過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)E,如圖,∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為,∴,,令,則,解得或,∴,∴,∵,,∴,,∴,;(3)解:在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)存在點(diǎn)Q,使得以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形,理由如下:如圖,當(dāng)為邊時(shí),四邊形為符合條件的矩形,交y軸于點(diǎn)E,交x軸于點(diǎn)F,連接,過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)N,∵,∴,∵四邊形為矩形,∴,∴,∴和為等腰直角三角形,∴,∵四邊形為正方形,∴,,∴四邊形為矩形,∴,∵,,∴和為全等的等腰直角三角形,∴,∵,∴,設(shè)直線的解析式為,∴,∴,∴直線的解析式為,聯(lián)立方程組得,解得或,∴,∴,∴,∴,∴;如圖,當(dāng)為對(duì)角線時(shí),四邊形為矩形,過(guò)點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)D,軸于點(diǎn)E,則,,∵,∴,∴,∴,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為:,,∵,,∴,,∴,∴,,,,∴,整理得:,分解因式得:,解得:(舍去),(舍去),,∴此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為:.綜上所述,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)存在點(diǎn)Q,使得以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形,此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或;(4)證明:∵,∴拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為,對(duì)稱軸為直線,設(shè),直線的解析式為,∴,∴,∴直線的解析式為,當(dāng)時(shí),,∴,∴,設(shè)直線的解析式為,∴,∴,∴直線的解析式為,當(dāng)時(shí),,∴,∴,∴,∴點(diǎn)D是線段的中點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì),利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.2.(2023·山東青島·統(tǒng)考中考真題)如圖,在菱形中,對(duì)角線相交于點(diǎn)O,,.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為;同時(shí),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā),沿方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為.以為鄰邊的平行四邊形的邊與交于點(diǎn)E.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為,解答下列問(wèn)題:

(1)當(dāng)點(diǎn)M在上時(shí),求t的值;(2)連接.設(shè)的面積為,求S與t的函數(shù)關(guān)系式和S的最大值;(3)是否存在某一時(shí)刻t,使點(diǎn)B在的平分線上?若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2);的最大值為(3)【思路點(diǎn)撥】(1)證明,則,即可求解;(2)由即可求解;(3)當(dāng)點(diǎn)在的平分線上時(shí),則,在中,,即可求解.【規(guī)范解答】(1)∵平行四邊形,∴,,,由題意得∶,,如下圖,點(diǎn)在上時(shí),

∵,,,∴,∴,則即解得:(2)如上圖,∵,∴,∵四邊形是菱形,則,∴,∴為等腰三角形,則過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),則即解得∶,則,設(shè)中邊上的高為,則即:,故有最大值,當(dāng)時(shí),的最大值為;(3)存在,理由∶如下圖,過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),

當(dāng)點(diǎn)在的平分線上時(shí),則,在中,,解得:【點(diǎn)睛】本題為四邊形綜合題,涉及到特殊四邊形性質(zhì)、三角形相似、解直角三角形、函數(shù)的表達(dá)式確定等,綜合性強(qiáng),難度適中.3.(2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題)如圖,一條拋物線經(jīng)過(guò)的三個(gè)頂點(diǎn),其中為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn),點(diǎn)在第一象限內(nèi),對(duì)稱軸是直線,且的面積為18

(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;(2)求點(diǎn)的坐標(biāo);(3)設(shè)為線段的中點(diǎn),為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接,,將沿翻折,點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為.問(wèn)是否存在點(diǎn),使得以,,,為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)(3)存在,點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)對(duì)稱軸為直線,將點(diǎn)代入,進(jìn)而待定系數(shù)法求解析式即可求解;(2)設(shè),過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn),繼而表示出的面積,根據(jù)的面積為,解方程,即可求解.(3)先得出直線的解析式為,設(shè),當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),可得,當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),,進(jìn)而建立方程,得出點(diǎn)的坐標(biāo),即可求解.【規(guī)范解答】(1)解:∵對(duì)稱軸為直線,∴①,將點(diǎn)代入得,∴②,聯(lián)立①②得,,∴解析式為;(2)設(shè),如圖所示,過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn),

∴,,則,∴解得:或(舍去),(3)存在點(diǎn),使得以,,,為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,理由如下:∵,∴,設(shè)直線的解析式為,∴,解得:,∴直線的解析式為,設(shè),如圖所示,當(dāng)BP為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),,

,∵,∴,由對(duì)稱性可知,,∴,∴解得:∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或如圖3,當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),,,

由對(duì)稱性可知,,∴,∴,解得:或,∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或綜上所述,點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì),熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì),軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.4.(2023·青?!そy(tǒng)考中考真題)如圖,二次函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)和點(diǎn),交軸于點(diǎn).

(1)求此二次函數(shù)的解析式;(2)設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為,對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn),求四邊形的面積(請(qǐng)?jiān)趫D1中探索);(3)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn),使得是以為底邊的等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由(請(qǐng)?jiān)趫D中探索).【答案】(1);(2);(3),【思路點(diǎn)撥】(1)將,兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式,進(jìn)一步求解得出結(jié)果;(2)連接,將二次函數(shù)的解析式配方求得頂點(diǎn)的坐標(biāo),鄰求得的坐標(biāo),從而求得,,的長(zhǎng),再根據(jù)求得結(jié)果;(3)設(shè),,表示出和,根據(jù)列出方程求得的值,進(jìn)而求得結(jié)果.【規(guī)范解答】(1)解:由題意得,,∴,∴;(2)解:如圖,連接,

∵,∴,∴,,由得,,∴,∴;(3)解:設(shè),,∵,∴,由得,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì),等腰三角形的判定,勾股定理等知識(shí),解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí).5.(2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題)如圖,拋物線與軸交于點(diǎn),,與軸交于點(diǎn).(1)求拋物線的解析式.(2)如圖1,點(diǎn)是軸上方拋物線上一點(diǎn),射線軸于點(diǎn),若,且,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo).(3)如圖2,點(diǎn)是第一象限內(nèi)一點(diǎn),連接交軸于點(diǎn),的延長(zhǎng)線交拋物線于點(diǎn),點(diǎn)在線段上,且,連接,若,求面積.【答案】(1)(2)(3)【思路點(diǎn)撥】(1)將點(diǎn),代入拋物線得到,解方程組即可得到答案;(2)設(shè),,則,則,,從而表示出點(diǎn)的坐標(biāo)為,代入拋物線解析式,求出的值即可得到答案;(3)求出直線的表達(dá)式,利用,得到,求出點(diǎn)的坐標(biāo),再根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.【規(guī)范解答】(1)解:拋物線與軸交于點(diǎn),,,解得:,拋物線的解析式為:;(2)解:,設(shè),,,,,點(diǎn),,,點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)是軸上方拋物線上一點(diǎn),,解得:(舍去)或,;(3)解:設(shè)點(diǎn),直線的解析式為,,,解得:,直線的解析式為,當(dāng)時(shí),,,,,在拋物線中,當(dāng)時(shí),,,,,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,,,,,,,解得:,點(diǎn)的坐標(biāo)為,.【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)綜合,主要考查了求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)圖象和性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)、三角形面積的計(jì)算,確定關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵.6.(2023·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.(2)如圖1,二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)D,若點(diǎn)M是直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求面積的最大值.(3)如圖2,點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線與平行,則在直線上是否存在點(diǎn),使點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1);(2);(3)或.【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)拋物線的交點(diǎn)式直接得出結(jié)果;(2)作于,作于,交于,先求出拋物線的對(duì)稱軸,進(jìn)而求得,坐標(biāo)及的長(zhǎng),從而得出過(guò)的直線與拋物線相切時(shí),的面積最大,根據(jù)的△求得的值,進(jìn)而求得的坐標(biāo),進(jìn)一步求得上的高的值,進(jìn)一步得出結(jié)果;(3)分兩種情形:當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí),連接,交于,設(shè),根據(jù)求得的值,可推出四邊形是平行四邊形,進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo);當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí),同樣方法得出結(jié)果.【規(guī)范解答】(1)解:由題意得,;(2)解:如圖1,作于,作于,交于,,,,,拋物線的對(duì)稱軸是直線:,,,,,故只需的邊上的高最大時(shí),的面積最大,設(shè)過(guò)點(diǎn)與平行的直線的解析式為:,當(dāng)直線與拋物線相切時(shí),的面積最大,由得,,由△得,得,,,,,,,,;(3)解:如圖2,當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí),連接,交于,點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱,,設(shè),由得,,,(舍去),,∵,,,四邊形是平行四邊形,,,∴;如圖3,當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí),由上可知:,同理可得:,綜上所述:或.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì),一元二次方程的解法,平行四邊形的判定和性質(zhì),軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí),解決問(wèn)題的關(guān)鍵是分類討論.?考向三特殊三角形問(wèn)題1.(2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題)如圖,拋物線與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)在拋物線上,點(diǎn)E在直線上,若,則點(diǎn)E的坐標(biāo)是.

【答案】和【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)題意畫(huà)出圖形,先求出點(diǎn)坐標(biāo),當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí):是△DCE的外角,,而,所以此時(shí),有,可求出所在直線的解析式,設(shè)點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)兩點(diǎn)距離公式,,得到關(guān)于的方程,求解的值,即可求出點(diǎn)坐標(biāo);當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí),根據(jù)題中條件,可以證明,得到為直角三角形,延長(zhǎng)至,取,此時(shí),,從而證明是要找的點(diǎn),應(yīng)為,為等腰直角三角形,點(diǎn)和關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,可以根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)求出點(diǎn)坐標(biāo).【規(guī)范解答】解:在中,當(dāng)時(shí),,則有,令,則有,解得:,∴,根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo),有所以點(diǎn)坐標(biāo)

設(shè)所在直線解析式為,其過(guò)點(diǎn)、有,解得∴所在直線的解析式為:當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí),設(shè)而∴∴因?yàn)椋?,,有解得:,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為:當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí),在中,,,∴∴如圖延長(zhǎng)至,取,

則有為等腰三角形,,∴又∵∴則為符合題意的點(diǎn),∵∴的橫坐標(biāo):,縱坐標(biāo)為;綜上E點(diǎn)的坐標(biāo)為:或,故答案為:或【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合應(yīng)用,熟練掌握一次函數(shù)根二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),分情況找到點(diǎn)的位置,是求解此題的關(guān)鍵.2.(2023·西藏·統(tǒng)考中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與x軸交于,兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式;(2)如圖甲,在y軸上找一點(diǎn)D,使為等腰三角形,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo);(3)如圖乙,點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn),是否存在P、Q兩點(diǎn)使以點(diǎn)A,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在,求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1);(2)或或或;(3)存在,,或,或,或或【思路點(diǎn)撥】(1)將,代入,求出,即可得出答案;(2)分別以點(diǎn)為頂點(diǎn)、以點(diǎn)為頂點(diǎn)、當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn),計(jì)算即可;(3)拋物線的對(duì)稱軸為直線,設(shè),,求出,,,分三種情況:以為對(duì)角線或以為對(duì)角線或以為對(duì)角線.【規(guī)范解答】(1)解:(1)∵,兩點(diǎn)在拋物線上,∴解得,,∴拋物線的解析式為:;(2)令,∴,由為等腰三角形,如圖甲,

當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí),,點(diǎn)與原點(diǎn)重合,∴;當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí),,是等腰中線,∴,∴;當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí),∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為或,∴綜上所述,點(diǎn)D的坐標(biāo)為或或或.(3)存在,理由如下:拋物線的對(duì)稱軸為:直線,設(shè),,∵,則,,,∵以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,∴分三種情況:以為對(duì)角線或以為對(duì)角線或以為對(duì)角線,當(dāng)以為對(duì)角線時(shí),則,如圖1,

∴,解得:,∴或∵四邊形是菱形,∴與互相垂直平分,即與的中點(diǎn)重合,當(dāng)時(shí),∴,解得:,∴當(dāng)時(shí),∴,解得:,∴以為對(duì)角線時(shí),則,如圖2,

∴,解得:,∴,∵四邊形是菱形,∴與互相垂直平分,即與中點(diǎn)重合,∴,解得:,∴;當(dāng)以為對(duì)角線時(shí),則,如圖3,

∴,解得:,∴,∵四邊形是菱形,∴與互相垂直平分,即與的中點(diǎn)重合,∴,解得:∴,綜上所述,符合條件的點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)為:,或,或,或或【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題,考查了解析式的求法、等腰三角形的判定、菱形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、分類討論等知識(shí),熟練掌握菱形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3.(2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題)如圖,二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點(diǎn),其頂點(diǎn)是C.

(1)_______;(2)D是第三象限拋物線上的一點(diǎn),連接OD,;將原拋物線向左平移,使得平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線l.已知在l的左側(cè),平移前后的兩條拋物線都下降,求k的取值范圍;(3)將原拋物線平移,平移后的拋物線與原拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)Q,且其頂點(diǎn)P落在原拋物線上,連接PC、QC、PQ.已知是直角三角形,求點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】(1);(2);(3)或.【思路點(diǎn)撥】(1)把代入即可求解;(2)過(guò)點(diǎn)D作DM⊥OA于點(diǎn)M,設(shè),由,解得,進(jìn)而求得平移后得拋物線,平移后得拋物線為,根據(jù)二次函數(shù)得性質(zhì)即可得解;(3)先設(shè)出平移后頂點(diǎn)為,根據(jù)原拋物線,求得原拋物線的頂點(diǎn),對(duì)稱軸為x=1,進(jìn)而得,再根據(jù)勾股定理構(gòu)造方程即可得解.【規(guī)范解答】(1)解:把代入得,,解得,故答案為;(2)解:過(guò)點(diǎn)D作DM⊥OA于點(diǎn)M,

∵,∴二次函數(shù)的解析式為設(shè),∵D是第三象限拋物線上的一點(diǎn),連接OD,,∴,解得m=或m=8(舍去),當(dāng)m=時(shí),,∴,∵,∴設(shè)將原拋物線向左平移后的拋物線為,把代入得,解得a=3或a=(舍去),∴平移后得拋物線為∵過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線l.已知在l的左側(cè),平移前后的兩條拋物線都下降,在的對(duì)稱軸x=的左側(cè),y隨x的增大而減小,此時(shí)原拋物線也是y隨x的增大而減小,∴;(3)解:由,設(shè)平移后的拋物線為,則頂點(diǎn)為,∵頂點(diǎn)為在上,∴,∴平移后的拋物線為,頂點(diǎn)為,∵原拋物線,∴原拋物線的頂點(diǎn),對(duì)稱軸為x=1,∵平移后的拋物線與原拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)Q,∴,∵點(diǎn)Q、C在直線x=1上,平移后的拋物線頂點(diǎn)P在原拋物線頂點(diǎn)C的上方,兩拋物線的交點(diǎn)Q在頂點(diǎn)P的上方,∴∠PCQ與∠CQP都是銳角,∵是直角三角形,∴∠CPQ=90°,∴,∴化簡(jiǎn)得,∴p=1(舍去),或p=3或p=,當(dāng)p=3時(shí),,當(dāng)p=時(shí),,∴點(diǎn)P坐標(biāo)為或.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì),勾股定理,解直角三角形以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.4.(2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題)如圖,拋物線過(guò)點(diǎn)、點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C.

(1)求b,c的值.(2)點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)①當(dāng)取何值時(shí),的面積最大?并求出面積的最大值;②過(guò)點(diǎn)P作軸,交于點(diǎn)E,再過(guò)點(diǎn)P作軸,交拋物線于點(diǎn)F,連接,問(wèn):是否存在點(diǎn)P,使為等腰直角三角形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1),(2)①當(dāng)時(shí),的面積由最大值,最大值為;②當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí),為等腰直角三角形【思路點(diǎn)撥】(1)將將、代入拋物線即可求解;(2)①由(1)可知:,得,可求得的解析式為,過(guò)點(diǎn)P作軸,交于點(diǎn)E,交軸于點(diǎn),易得,根據(jù)的面積,可得的面積,即可求解;②由題意可知拋物線的對(duì)稱軸為,則,分兩種情況:當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí),即時(shí),當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí),即時(shí),分別進(jìn)行討論求解即可.【規(guī)范解答】(1)解:將、代入拋物線中,可得:,解得:,即:,;(2)①由(1)可知:,當(dāng)時(shí),,即,設(shè)的解析式為:,將,代入中,可得,解得:,∴的解析式為:,過(guò)點(diǎn)P作軸,交于點(diǎn)E,交軸于點(diǎn),

∵,則,∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)也為,則縱坐標(biāo)為,∴,的面積,∵,∴當(dāng)時(shí),的面積有最大值,最大值為;②存在,當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí),為等腰直角三角形.理由如下:由①可知,由題意可知拋物線的對(duì)稱軸為直線,∵軸,∴,,則,當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí),即時(shí),

,當(dāng)時(shí),為等腰直角三角形,即:,整理得:,解得:(,不符合題意,舍去)此時(shí),即點(diǎn);當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí),即時(shí),

,當(dāng)時(shí),為等腰直角三角形,即:,整理得:,解得:(,不符合題意,舍去)此時(shí):,即點(diǎn);綜上所述,當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí),為等腰直角三角形.【點(diǎn)睛】本題二次函數(shù)綜合題,考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,二次函數(shù)的性質(zhì)及圖象上的點(diǎn)的特點(diǎn),等腰直角三角形的性質(zhì),解本題的關(guān)鍵是表示出點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)行分類討論.5.(2023·四川雅安·統(tǒng)考中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線過(guò)點(diǎn),對(duì)稱軸是直線.

(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo);(2)若點(diǎn)B在拋物線上,過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)C、當(dāng)是等邊三角形時(shí),求出此三角形的邊長(zhǎng);(3)已知點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上,點(diǎn)D的坐標(biāo)為,是否存在點(diǎn)F,使以點(diǎn)A,D,E,F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1),(2)(3)存在點(diǎn)F,當(dāng)或或或時(shí),以點(diǎn)A,D,E,F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形.【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)對(duì)稱軸和過(guò)點(diǎn)列二元一次方程組求解即可;(2)如圖:過(guò)點(diǎn)M作交于D,設(shè)點(diǎn),則;然后表示出,再根據(jù)是等邊三角形可得,,根據(jù)三角函數(shù)解直角三角形可得,進(jìn)而求得即可解答;(3)如圖可知:線段為菱形的邊和對(duì)角線,然后通過(guò)作圖、結(jié)合菱形的性質(zhì)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可解答.【規(guī)范解答】(1)解:由題意可得:,解得:,所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為;當(dāng)時(shí),,則頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為.(2)解:如圖:過(guò)點(diǎn)M作交于D設(shè)點(diǎn),則,∴,∵是等邊三角形,∴,∴,即,解得:或(舍去)∴,,∴該三角形的邊長(zhǎng).(3)解:存在點(diǎn)F,使以點(diǎn)A,D,E,F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形①如圖:線段作為菱形的邊,當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí),作關(guān)于直線的對(duì)稱線段交于E,連接,作點(diǎn)E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)F,即為菱形,由對(duì)稱性可得F的坐標(biāo)為,故存在點(diǎn)F,使以點(diǎn)A,D,E,F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形,此時(shí).當(dāng)為菱形對(duì)角線時(shí),,設(shè),,則,解得:或,∴或②線段作為菱形的對(duì)角線時(shí),如圖:設(shè)∵菱形,∴,的中點(diǎn)G的坐標(biāo)為,點(diǎn)G是的中點(diǎn),∴,解得,∴,設(shè),則有:,解得:,∴.

綜上,當(dāng)或或或時(shí),以點(diǎn)A,D,E,F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何的綜合、等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形、菱形的判定等知識(shí)點(diǎn),掌握數(shù)形結(jié)合思想是解答本題的關(guān)鍵.6.(2023·湖南·統(tǒng)考中考真題)如圖,二次函數(shù)的圖象與軸交于,兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),其中,.

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式;(2)在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn),使得?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)點(diǎn)是對(duì)稱軸上一點(diǎn),且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,當(dāng)是銳角三角形時(shí),求的取值范圍.【答案】(1)(2)或或(3)或.【思路點(diǎn)撥】(1)待定系數(shù)法求解析式即可求解;(2)根據(jù),可得到的距離等于到的距離,進(jìn)而作出兩條的平行線,求得解析式,聯(lián)立拋物線即可求解;(3)根據(jù)題意,求得當(dāng)是直角三角形時(shí)的的值,進(jìn)而觀察圖象,即可求解,分和兩種情況討論,分別計(jì)算即可求解.【規(guī)范解答】(1)解:將點(diǎn),代入,得解得:∴拋物線解析式為;(2)∵,頂點(diǎn)坐標(biāo)為,當(dāng)時(shí),解得:∴,則∵,則∴是等腰直角三角形,∵∴到的距離等于到的距離,∵,,設(shè)直線的解析式為∴解得:∴直線的解析式為,如圖所示,過(guò)點(diǎn)作的平行線,交拋物線于點(diǎn),

設(shè)的解析式為,將點(diǎn)代入得,解得:∴直線的解析式為,解得:或∴,∵∴∴是等腰直角三角形,且,如圖所示,延長(zhǎng)至,使得,過(guò)點(diǎn)作的平行線,交軸于點(diǎn),則,則符合題意的點(diǎn)在直線上,∵是等腰直角三角形,∴∴是等腰直角三角形,∴∴設(shè)直線的解析式為∴解得:∴直線的解析式為聯(lián)立解得:或∴或綜上所述,或或;(3)①當(dāng)時(shí),如圖所示,過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),是直角三角形,當(dāng)時(shí),是直角三角形,

設(shè)交于點(diǎn),∵直線的解析式為,則,∴,∵,∴是等腰直角三角形,∴∴,設(shè),則∵∴解得:(舍去)或∴∵是銳角三角形∴;當(dāng)時(shí),如圖所示,同理可得即∴解得:或(舍去)由(2)可得時(shí),

∴綜上所述,當(dāng)是銳角三角形時(shí),或.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用,面積問(wèn)題,角度問(wèn)題,熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.7.(2023·四川·統(tǒng)考中考真題)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn),,與軸交于點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式;(2)已知為拋物線上一點(diǎn),為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn),以,,為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形,且,求出點(diǎn)的坐標(biāo);(3)如圖,為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn),連接交軸于點(diǎn),連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn),在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否為定值?若是,求出這個(gè)定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)或或或(3),理由見(jiàn)解析【思路點(diǎn)撥】(1)利用待定系數(shù)法求解析式即可;(2)先求得拋物線的對(duì)稱軸為直線,設(shè)與交于點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時(shí),過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),證明,設(shè),則,,進(jìn)而得出點(diǎn)的坐標(biāo),代入拋物線解析式,求得的值即可求出點(diǎn)F的坐標(biāo);當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方,且點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí),利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出,即可求出點(diǎn)F的坐標(biāo);同理可求得當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時(shí)的坐標(biāo);當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),求得另一個(gè)解,進(jìn)而即可求解;(3)設(shè),直線的解析式為,的解析式為,求得解析式,然后求得,即可求解.【規(guī)范解答】(1)解:將點(diǎn),,代入中得,解得:,∴拋物線解析式為;(2)解:∵點(diǎn),,∴拋物線的對(duì)稱軸為直線:,如圖所示,當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時(shí),設(shè)與交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),

∵以,,為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形,且,∴,∵,∴,∴,設(shè),則,∴,∵點(diǎn)在拋物線上∴解得:(舍去)或,∴;如圖所示,當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時(shí),且點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí),設(shè)直線l與x軸交于G,∵是等腰直角三角形,且,∴,∴;如圖所示,當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時(shí),,設(shè)與交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)

∵以,,為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形,且,∴,∵,∴,∴,設(shè),則,∴,∵點(diǎn)在拋物線上∴解得:(舍去)或,∴,如圖所示,當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),

∵,是等腰直角三角形,且,∴∴,綜上所述,或或或;(3)解:設(shè),直線的解析式為,的解析式為,∵點(diǎn),,,∴,解得:,∴直線的解析式為,的解析式為,對(duì)于,當(dāng)時(shí),,即,對(duì)于,當(dāng)時(shí),,即,∵在拋物線上,則∴∴為定值.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合問(wèn)題,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,等腰直角三角形的性質(zhì),一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問(wèn)題,全等三角形的性質(zhì)與判定等等,熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)并利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵.8.(2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與x軸交于,兩點(diǎn).與y軸交于點(diǎn).(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)若點(diǎn)P是直線下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交于點(diǎn)K,過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)D,求與的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M,使得是以為一條直角邊的直角三角形:若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在,的最大值為,(3)或【思路點(diǎn)撥】(1)將、、代入拋物線解析式求解即可;(2)可求直線的解析式為,設(shè)(),可求,從而可求,即可求解;(3)過(guò)作交拋物線的對(duì)稱軸于,過(guò)作交拋物線的對(duì)稱軸于,連接,設(shè),可求,,由,可求,進(jìn)而求出直線的解析式,即可求解.【規(guī)范解答】(1)解:由題意得,解得:,拋物線的解析式為.(2)解:設(shè)直線的解析式為,則有,解得:,直線的解析式為;設(shè)(),,解得:,,,,,,,當(dāng)時(shí),的最大值為,,.故的最大值為,.(3)解:存在,如圖,過(guò)作交拋物線的對(duì)稱軸于,過(guò)作交拋物線的對(duì)稱軸于,連接,∵拋物線的對(duì)稱軸為直線,設(shè),,,,,,解得:,;設(shè)直線的解析式為,則有,解得,直線解析式為,,且經(jīng)過(guò),直線解析式為,當(dāng)時(shí),,

;綜上所述:存在,的坐標(biāo)為或.【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,二次函數(shù)中動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題,直角三角形的判定,勾股定理等,掌握解法及找出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.9.(2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題)如圖1,平面直角坐標(biāo)系中,拋物線過(guò)點(diǎn),和,連接,點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn),交軸于點(diǎn).

(1)直接寫(xiě)出拋物線和直線的解析式;(2)如圖2,連接,當(dāng)為等腰三角形時(shí),求的值;(3)當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,在軸上是否存在點(diǎn),使得以,,為頂點(diǎn)的三角形與以,,為頂點(diǎn)的三角形相似(其中點(diǎn)與點(diǎn)相對(duì)應(yīng)),若存在,直接寫(xiě)出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)拋物線:;直線:(2)或或(3),或,或,【思路點(diǎn)撥】(1)由題得拋物線的解析式為,將點(diǎn)代入求,進(jìn)而得拋物線的解析式;設(shè)直線的解析式為,將點(diǎn),的坐標(biāo)代入求,,進(jìn)而得直線的解析式.(2)由題得,分別求出,,,對(duì)等腰中相等的邊進(jìn)行分類討論,進(jìn)而列方程求解;(3)對(duì)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)或右側(cè)進(jìn)行分類討論,設(shè)法表示出各線段的長(zhǎng)度,利用相似三角形的相似比求解,進(jìn)而可得,的坐標(biāo).【規(guī)范解答】(1)解:拋物線過(guò)點(diǎn),,拋物線的表達(dá)式為,將點(diǎn)代入上式,得,.拋物線的表達(dá)式為,即.設(shè)直線的表達(dá)式為,將點(diǎn),代入上式,得,解得.直線的表達(dá)式為.(2)解:點(diǎn)在直線上,且,點(diǎn)的坐標(biāo)為.,,.當(dāng)為等腰三角形時(shí),①若,則,即,解得.②若,則,即,解得或(舍去).③若,則,即,解得(舍去)或.綜上,或或.(3)解:點(diǎn)與點(diǎn)相對(duì)應(yīng),或.①若點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè),則,,.當(dāng),即時(shí),直線的表達(dá)式為,,解得或(舍去).,即.,即,解得.,.當(dāng),即時(shí),,,,即,解得(舍去)或(舍去).②若點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè),則,.當(dāng),即時(shí),直線的表達(dá)式為,,解得或(舍去),,,即,解得.,.當(dāng),即時(shí),,.,即,解得或(舍去).,.綜上,,或,或,.【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,等腰三角形的性質(zhì)與判定,平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離的算法,相似三角形的性質(zhì)與判定等,熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.?考向四特殊四邊形問(wèn)題1.(2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題)拋物線與x軸交于點(diǎn),,與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的表達(dá)式;(2)如圖,點(diǎn)D是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是,過(guò)點(diǎn)D作直線軸,垂足為點(diǎn)E,交直線于點(diǎn)F.當(dāng)D,E,F(xiàn)三點(diǎn)中一個(gè)點(diǎn)平分另外兩點(diǎn)組成的線段時(shí),求線段的長(zhǎng);(3)若點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與頂點(diǎn)重合),點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)點(diǎn),點(diǎn)N在坐標(biāo)平面內(nèi),當(dāng)四邊形是矩形鄰邊之比為時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo).【答案】(1)(2)或(3)或【思路點(diǎn)撥】(1)將點(diǎn),代入解析式即可求解;(2)可求直線的解析式為,可得,,,①當(dāng)時(shí),可求,,即可求解;②當(dāng)時(shí),,,即可求解;(3)①當(dāng)在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí),得到是矩形,鄰邊之比為,即,即可求解;②當(dāng)在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí),同理可求.【規(guī)范解答】(1)解:由題意得解得,故拋物線的表達(dá)式;(2)解:當(dāng)時(shí),,,設(shè)直線的解析式為,則有,解得:,直線的解析式為,點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是,過(guò)點(diǎn)D作直線軸,,,,①如圖,當(dāng)時(shí),

,,,整理得:,解得:,,,不合題意,舍去,,;②如圖,當(dāng)時(shí),

,,,整理得:,解得:,(舍去),;綜上所述:線段的長(zhǎng)為或.(3)解:設(shè)點(diǎn),,當(dāng)四邊形是矩形時(shí),則為直角,①當(dāng)在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí),如圖,過(guò)作軸交軸于,交過(guò)作軸的平行線于,

,∵為直角,則,∵,∴,∴,∵是矩形鄰邊之比為,即或,即和的相似比為或,即,由題意得:,,∴,則,即,解得:,(不符合題意,舍去);②當(dāng)在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí),

同理可得:,解得:,綜上,或.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合體,主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì),待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,矩形的性質(zhì),三角形相似的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),分類求解是解答本題的關(guān)鍵.2.(2023·西藏·統(tǒng)考中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與x軸交于,兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式;(2)如圖甲,在y軸上找一點(diǎn)D,使為等腰三角形,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo);(3)如圖乙,點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn),是否存在P、Q兩點(diǎn)使以點(diǎn)A,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在,求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1);(2)或或或;(3)存在,,或,或,或或【思路點(diǎn)撥】(1)將,代入,求出,即可得出答案;(2)分別以點(diǎn)為頂點(diǎn)、以點(diǎn)為頂點(diǎn)、當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn),計(jì)算即可;(3)拋物線的對(duì)稱軸為直線,設(shè),,求出,,,分三種情況:以為對(duì)角線或以為對(duì)角線或以為對(duì)角線.【規(guī)范解答】(1)解:(1)∵,兩點(diǎn)在拋物線上,∴解得,,∴拋物線的解析式為:;(2)令,∴,由為等腰三角形,如圖甲,

當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí),,點(diǎn)與原點(diǎn)重合,∴;當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí),,是等腰中線,∴,∴;當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí),∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為或,∴綜上所述,點(diǎn)D的坐標(biāo)為或或或.(3)存在,理由如下:拋物線的對(duì)稱軸為:直線,設(shè),,∵,則,,,∵以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,∴分三種情況:以為對(duì)角線或以為對(duì)角線或以為對(duì)角線,當(dāng)以為對(duì)角線時(shí),則,如圖1,

∴,解得:,∴或∵四邊形是菱形,∴與互相垂直平分,即與的中點(diǎn)重合,當(dāng)時(shí),∴,解得:,∴當(dāng)時(shí),∴,解得:,∴以為對(duì)角線時(shí),則,如圖2,

∴,解得:,∴,∵四邊形是菱形,∴與互相垂直平分,即與中點(diǎn)重合,∴,解得:,∴;當(dāng)以為對(duì)角線時(shí),則,如圖3,

∴,解得:,∴,∵四邊形是菱形,∴與互相垂直平分,即與的中點(diǎn)重合,∴,解得:∴,綜上所述,符合條件的點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)為:,或,或,或或【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題,考查了解析式的求法、等腰三角形的判定、菱形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、分類討論等知識(shí),熟練掌握菱形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3.(2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線上有兩點(diǎn)、,其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,拋物線過(guò)點(diǎn)、.過(guò)作軸交拋物線另一點(diǎn)為點(diǎn).以、長(zhǎng)為邊向上構(gòu)造矩形.

(1)求拋物線的解析式;(2)將矩形向左平移個(gè)單位,向下平移個(gè)單位得到矩形,點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在拋物線上.①求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫(xiě)出自變量的取值范圍;②直線交拋物線于點(diǎn),交拋物線于點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí),求的值;③拋物線與邊、分別相交于點(diǎn)、,點(diǎn)、在拋物線的對(duì)稱軸同側(cè),當(dāng)時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo).如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線上有兩點(diǎn),其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,拋物線過(guò)點(diǎn).過(guò)作軸交拋物線另一點(diǎn)為點(diǎn).以長(zhǎng)為邊向上構(gòu)造矩形.【答案】(1)(2)①;②;③或【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)題意得出點(diǎn),,利用待定系數(shù)法求解析式即可求解.(2)①根據(jù)平移的性質(zhì)得出,根據(jù)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在拋物線上,可得,即可求解.②根據(jù)題意得出,,求得中點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)題意即可求解.③作輔助線,利用勾股定理求得,設(shè)出點(diǎn),點(diǎn)坐標(biāo),將點(diǎn)代入,求得點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在拋物線上,即可求解.【規(guī)范解答】(1)根據(jù)題意,點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,代入拋物線,當(dāng)時(shí),,則,當(dāng)時(shí),,則,將點(diǎn),代入拋物線,,解得,拋物線的解析式為.(2)①軸交拋物線另一點(diǎn)為,當(dāng)時(shí),,,矩形向左平移個(gè)單位,向下平移個(gè)單位得到矩形,點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在拋物線上.,,整理得,,,,;②如圖,

,,,,,由①可得,,,的橫坐標(biāo)為,分別代入,,,,,的中點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)為線段的中點(diǎn),,解得或(大于4,舍去).③如圖,連接,過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),

則,,,設(shè),則,,將點(diǎn)代入,得,解得,當(dāng),,,將代入,解得,或.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是作輔助線,掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及掌握復(fù)雜運(yùn)算屬于中考?jí)狠S題.4.(2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題)如圖,拋物線交軸于點(diǎn)和,交軸于點(diǎn),頂點(diǎn)為.

(1)求拋物線的表達(dá)式;(2)若點(diǎn)在第一象限內(nèi)對(duì)稱右側(cè)的拋物線上,四邊形的面積為,求點(diǎn)的坐標(biāo);(3)在(2)的條件下,若點(diǎn)是對(duì)稱軸上一點(diǎn),點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn),使以,,,為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,且,如果存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)(3)存在,點(diǎn)G的坐標(biāo)為或【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)待定系數(shù)法求解即可;(2)方法一:連接,過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn).先求得直線的表達(dá)式為:.再設(shè),,則,利用面積構(gòu)造一元二次方程求解即可得解;方法二:令拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn),設(shè),利用面積構(gòu)造一元二次方程求解即可得解;(3)如下圖,連接,,由菱形及等邊三角形的性質(zhì)證明得.從而求得直線的表達(dá)式為:.聯(lián)立方程組求解,又連接,,,證.得,又證.得.進(jìn)而求得直線的表達(dá)式為:.聯(lián)立方程組求解即可.【規(guī)范解答】(1)解:∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn),,∴,解得.∴拋物線的表達(dá)式為:.(2)解:方法一:如下圖,連接,過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn).

∵,∴.令中,則,解得或,∴,設(shè)直線為,∵過(guò)點(diǎn),,,∴,解得,∴直線的表達(dá)式為:.設(shè),,∴.∴.∵,∴.整理得,解得.∴.方法二:如下圖,

拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn),設(shè),∴,∴.∵,∴.整理得,解得.∴.(3)解:存在,點(diǎn)的坐標(biāo)為或.如下圖,連接,,

∵四邊形是菱形,,∴,∵,∴是等邊三角形.∴,∵,,,∴,,點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,∴,,∴是等邊三角形,,∴,∴即,,∴.∴.∴直線的表達(dá)式為:.與拋物線表達(dá)式聯(lián)立得.∴點(diǎn)坐標(biāo)為.如下圖,連接,,,

同理可證:是等邊三角形,是等邊三角形,.∴,∵,,∴.∴.∴.∴直線的表達(dá)式為:.與拋物線表達(dá)式聯(lián)立得.∴點(diǎn)坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì),菱形的性質(zhì),等邊三角形的判定及性質(zhì),待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式,一元二次方程的應(yīng)用,解二元一次方程組,熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì),菱形的性質(zhì),等邊三角形的判定及性質(zhì),待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.5.(2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題)如圖,拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn),與軸交于點(diǎn),點(diǎn)在拋物線上.

(1)求拋物線的解析式;(2)點(diǎn)在第一象限內(nèi),過(guò)點(diǎn)作軸,交于點(diǎn),作軸,交拋物線于點(diǎn),點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè),以線段為鄰邊作矩形,當(dāng)矩形的周長(zhǎng)為11時(shí),求線段的長(zhǎng);(3)點(diǎn)在直線上,點(diǎn)在平面內(nèi),當(dāng)四邊形是正方形時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)拋物線的解析式為;(2);(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或【思路點(diǎn)撥】(1)利用待定系數(shù)法即可求解;(2)先求得直線的解析式為,設(shè),則,利用對(duì)稱性質(zhì)求得,推出,,利用矩形周長(zhǎng)公式列一元二次方程計(jì)算即可求解;(3)先求得直線的解析式為,分別過(guò)點(diǎn)M、E作y的垂線,垂足分別為P、Q,證明,推出,,設(shè),則,由點(diǎn)M在直線上,列式計(jì)算,可求得m的值,利用平移的性質(zhì)可得點(diǎn)N的坐標(biāo);設(shè)點(diǎn),則點(diǎn),當(dāng)繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到時(shí),當(dāng)點(diǎn)M繞點(diǎn)O逆時(shí)針得到點(diǎn)E時(shí),根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),可得點(diǎn)N的坐標(biāo).【規(guī)范解答】(1)解:∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和,∴,解得,∴拋物線的解析式為;(2)解:∵點(diǎn)和,設(shè)直線的解析式為,則,解得,∴直線的解析式為,設(shè),且,則,∴,∵拋物線的對(duì)稱軸為直線,∴,∴,依題意得,解得(舍去)或,∴;(3)解:令,則,解得或,∴,同理,直線的解析式為,∵四邊形是正方形,∴,,分別過(guò)點(diǎn)M、E作y的垂線,垂足分別為P、Q,如圖,

,,∴,∴,,設(shè),∴,,則,∵點(diǎn)M在直線上,∴,解得或,當(dāng)時(shí),,,即點(diǎn)M與點(diǎn)C重合,點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí),四邊形是正方形,此時(shí);當(dāng)時(shí),,,點(diǎn)O向左平移個(gè)單位,再向下平移1個(gè)單位,得到點(diǎn)M,則點(diǎn)E向左平移個(gè)單位,再向下平移1個(gè)單位,得到點(diǎn)N,∴,即;設(shè)點(diǎn),則點(diǎn),當(dāng)繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到時(shí),如圖,∵點(diǎn)E在的圖象上,∴,∴點(diǎn),∵點(diǎn)E在的圖象上,∴,解得:或0,∴,,當(dāng)點(diǎn)M繞點(diǎn)O逆時(shí)針得到點(diǎn)E時(shí),點(diǎn),,∵點(diǎn)E在的圖象上,∴,解得:,∴點(diǎn),,,,∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為或;綜上,點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或.【點(diǎn)睛】本題考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,兩點(diǎn)之間的距離公式和正方形的性質(zhì),是一道綜合性較強(qiáng)的題,解題的關(guān)鍵是求出二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式以及分情況討論.6.(2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題)如圖,拋物線過(guò)點(diǎn),,矩形的邊在線段上(點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)),點(diǎn)C,D在拋物線上,設(shè),當(dāng)時(shí),.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)當(dāng)t為何值時(shí),矩形的周長(zhǎng)有最大值?最大值是多少?(3)保持時(shí)的矩形不動(dòng),向右平移拋物線,當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)G,H,且直線平分矩形的面積時(shí),求拋物線平移的距離.【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí),矩形的周長(zhǎng)有最大值,最大值為(3)4【思路點(diǎn)撥】(1)設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為,求出點(diǎn)C的坐標(biāo),將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可求出該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)由拋物線的對(duì)稱性得,則,再得出,根據(jù)矩形的周長(zhǎng)公式,列出矩形周長(zhǎng)的表達(dá)式,并將其化為頂點(diǎn)式,即可求解;(3)連接A,相交于點(diǎn)P,連接,取的中點(diǎn)Q,連接,根據(jù)矩形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)推出四邊形是平行四邊形,則,.求出時(shí),點(diǎn)A的坐標(biāo)為,則,即可得出結(jié)論.【規(guī)范解答】(1)解:設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為.∵當(dāng)時(shí),,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為.將點(diǎn)C坐標(biāo)代入表達(dá)式,得,解得.∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為.(2)解:由拋物線的對(duì)稱性得:,∴.當(dāng)時(shí),.∴矩形的周長(zhǎng)為.∵,∴當(dāng)時(shí),矩形的周長(zhǎng)有最大值,最大值為.(3)解:連接,相交于點(diǎn)P,連接,取的中點(diǎn)Q,連接.

∵直線平分矩形的面積,∴直線過(guò)點(diǎn)P..由平移的性質(zhì)可知,四邊形是平行四邊形,∴.∵四邊形是矩形,∴P是的中點(diǎn).∴.當(dāng)時(shí),點(diǎn)A的坐標(biāo)為,∴.∴拋物線平移的距離是4.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式,二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),矩形的性質(zhì),平移的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)表達(dá)式的方法和步驟,二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,矩形的性質(zhì),以及平移的性質(zhì).7.(2023·山東·統(tǒng)考中考真題)如圖,直線交軸于點(diǎn),交軸于點(diǎn),對(duì)稱軸為的拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn),交軸負(fù)半軸于點(diǎn).為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn),作軸的垂線,垂足為,直線交軸于點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式;(2)若,當(dāng)為何值時(shí),四邊形是平行四邊形?(3)若,設(shè)直線交直線于點(diǎn),是否存在這樣的值,使?若存在,求出此時(shí)的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)(3)存在,或【思路點(diǎn)撥】(1)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;(2)結(jié)合平行四邊形的性質(zhì),通過(guò)求直線的函數(shù)解析式,列方程求解;(3)分3種情況求解:當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí);根據(jù),確定點(diǎn)坐標(biāo),從而利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征計(jì)算求解.【規(guī)范解答】(1)解:在直線中,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,∴點(diǎn),點(diǎn),設(shè)拋物線的解析式為,把點(diǎn),點(diǎn)代入可得,解得,∴拋物線的解析式為;(2)解:由題意,,∴,當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí),,∴,∴,,設(shè)直線的解析式為,把代入可得,解得,∴直線的解析式為,又∵過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn),且拋物線對(duì)稱軸為,∴∴,解得(不合題意,舍去),;(3)解:存在,理由如下.由題意,,∴,.當(dāng)時(shí),點(diǎn)P在x軸的上方,∵,∴點(diǎn)E為線段的中點(diǎn),∴,,∴,代入整理得,,解得(不合題意,舍去),.當(dāng)時(shí),點(diǎn)P在x軸上,此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)M重合,所以此種情況不存在;當(dāng)時(shí),點(diǎn)P在x軸的下方,點(diǎn)E在射線上,如圖,設(shè)線段的中點(diǎn)為R,

∴,,∴.∵,∴M為的中點(diǎn),∴,,∴,代入整理得,,解得(不合題意,舍去),.綜上可知,存在或,使.【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,利用數(shù)形結(jié)合思想和方程思想解題是關(guān)鍵.?考向五相似三角形問(wèn)題1.(2023·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題)如圖,拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),且頂點(diǎn)為.

(1)求拋物線的表達(dá)式;(2)設(shè)拋物線與軸正半軸的交點(diǎn)為,點(diǎn)位于拋物線上且在軸下方,連接、,若,求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2),【思路點(diǎn)撥】(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為,將代入可得;(2)過(guò)作軸于,過(guò)作軸于,設(shè),求出;根據(jù),,得,故,從而,即可解得答案.【規(guī)范解答】(1)解:設(shè)拋物線的表達(dá)式為,將代入得:,解得,;(2)過(guò)作軸于,過(guò)作軸于,如圖:

設(shè),在中,令得或,;,,,,,,,,解得或(此時(shí)與重合,舍去),,.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用,涉及待定系數(shù)法,三角形相似的判定與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是證明,用對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出的值.2.(2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題)如圖1,拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn),與y軸交于點(diǎn),點(diǎn)E為第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式.(2)直線與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)E作直線軸,交于點(diǎn)F,連接.當(dāng)時(shí),求點(diǎn)E的橫坐標(biāo).(3)如圖2,點(diǎn)N為x軸正半軸上一點(diǎn),與交于點(diǎn)M.若,,求點(diǎn)E的坐標(biāo).【答案】(1)(2)(3)或【思路點(diǎn)撥】(1)利用待定系數(shù)法,把已知點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可求解函數(shù)的解析式;(2)分別過(guò),向軸作垂線,垂足為,,根據(jù)證得,從而,設(shè)點(diǎn)坐標(biāo),分別表示出,坐標(biāo),再列方程求解即可;(3)將平移到,連接,則;過(guò)作于,過(guò)作軸于,過(guò)作交延長(zhǎng)線于,延長(zhǎng)交軸于,設(shè),則,,,由可得,從而,設(shè)由可得,,,再求出點(diǎn)坐標(biāo)為,代入拋物線解析式中即可求得或,從而可得點(diǎn)坐標(biāo).【規(guī)范解答】(1)解:把和代入到解析式中可得,解得,拋物線的解析式為:;(2)直線中,令,則,所以,直線中,令,則,所以,分別過(guò),向軸作垂線,垂足為,,

根據(jù)題意可得,軸,軸,和為直角三角形,在和中,,,,設(shè),則,,,從而,,則有,解得(舍去),或,故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為:;(3)將平移到,連接,則四邊形為平行四邊形,,過(guò)作于,過(guò)作軸于,過(guò)作交延長(zhǎng)線于,延長(zhǎng)交軸于,,可設(shè),則,∴,則,

設(shè),軸,,,,,,,,,,,,,,,,則,,,,代入拋物線解析式中有:,解得:或,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)與相似三角形綜合題,考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),正切的定義等知識(shí),解題關(guān)鍵是在坐標(biāo)系中利用等線段構(gòu)造全等進(jìn)行計(jì)算,構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題.3.(2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn).

(1)求這條拋物線的函數(shù)解析式;(2)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B,C重合),作軸,垂足為D,連接.①如圖,若點(diǎn)P在第三象限,且,求點(diǎn)P的坐標(biāo);②直線交直線于點(diǎn)E,當(dāng)點(diǎn)E關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)落在y軸上時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)①②或【思路點(diǎn)撥】(1)將A,C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式,從而求得a,c,進(jìn)而求得結(jié)果;(2)①設(shè),過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),求出,根據(jù)列出方程求出的值即可;②可推出四邊形是菱形,從而得出,分別表示出和,從而列出方程,進(jìn)一步求得結(jié)果.【規(guī)范解答】(1)∵拋物線與x軸交于點(diǎn),與y軸交于點(diǎn),∴把,代入得,,解得,,∴拋物線的函數(shù)解析式為;(2)①設(shè),過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),如圖,

∴∵∴∵軸,∴又∴四邊形是矩形,∴∴∵∴∴(不合題意,舍去)∴∴;②設(shè),對(duì)于,當(dāng)時(shí),解得,∴∵由勾股定理得,當(dāng)點(diǎn)在第三象限時(shí),如圖,過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn),

則四邊形是矩形,∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱,∴∵軸,∴∴∴∴∴四邊形是平行四邊形,∴四邊形是菱形,∵∴∴∴∴設(shè)直線的解析式為,把代入得,,解得,,∴直線的解析式為,∴,∴,又且∴解得,(舍去)∴∴四邊形的周長(zhǎng);當(dāng)點(diǎn)在第二象限時(shí),如圖,

同理可得:解得,(舍去)∴∴四邊形的周長(zhǎng);綜上,四邊形的周長(zhǎng)為或.【點(diǎn)睛】本題考查了求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式,等腰三角形的判定和性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),菱形的判定和性質(zhì),軸對(duì)稱性質(zhì)等知識(shí),解決問(wèn)題的關(guān)鍵是正確分類,作輔助線,表示出線段的數(shù)量.4.(2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題)綜合與探究如圖,拋物線上的點(diǎn)A,C坐標(biāo)分別為,,拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)M為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn),且,連接,.

(1)求點(diǎn)M的坐標(biāo)及拋物線的解析式;(2)點(diǎn)P是拋物線位于第一象限圖象上的動(dòng)點(diǎn),連接,,當(dāng)時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)點(diǎn)D是線段(包含點(diǎn)B,C)上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線,交拋物線于點(diǎn)Q,交直線于點(diǎn)N,若以點(diǎn)Q,N,C為頂點(diǎn)的三角形與相似,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo);(4)將拋物線沿x軸的負(fù)方向平移得到新拋物線,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn),點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn),在拋物線平移過(guò)程中,當(dāng)?shù)闹底钚r(shí),新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____,的最小值為_(kāi)_____.【答案】(1),(2)(3),(4),【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)點(diǎn)M在y軸負(fù)半軸且可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為,利用待定系數(shù)法可得拋物線的解析式為;(2)過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)F,交線段AC于點(diǎn)E,用待定系數(shù)法求得直線AC的解析式為,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為,則,,故,先求得,從而得到,解出p的值,從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)由可知,要使點(diǎn)Q,N,C為頂點(diǎn)的三角形與相似,則以點(diǎn)Q,N,C為頂點(diǎn)的三角形也是直角三角形,從而分和兩種情況討論,①當(dāng),可推導(dǎo)B與點(diǎn)Q重合,,即此時(shí)符合題意,利用求拋物線與x軸交點(diǎn)的方法可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);②當(dāng)時(shí),可推導(dǎo),即此時(shí)符合題意,再證明,從而得到,再設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為q,則,,從而得到,解得q的值,從而得到點(diǎn)Q的坐標(biāo),最后綜合①②即可;(4)設(shè)拋物線沿x軸的負(fù)方向平移m個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線,將點(diǎn)M右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn),由平移的性質(zhì)可知,,的值最小就是最小值,作出點(diǎn)C關(guān)于直線對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn),連接交直線于點(diǎn),連接則此時(shí)取得最小值,即為的長(zhǎng)度,利用兩點(diǎn)間的距離公式求這個(gè)長(zhǎng)度,用待定系數(shù)法求出直線的解析式,從而確定的坐標(biāo),繼而確定平移距離,將原拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式,從而得到其頂點(diǎn),繼而確定新拋物線的頂點(diǎn).【規(guī)范解答】(1)解:∵點(diǎn)M在y軸負(fù)半軸且,∴將,代入,得解得∴拋物線的解析式為(2)解:過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)F,交線段AC于點(diǎn)E,

設(shè)直線的解析式為,將,代入,得,解得,∴直線AC的解析式為設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為則,,∴∵,∴,解得,∴(3),,補(bǔ)充求解過(guò)程如下:∵在中,,以點(diǎn)Q,N,C為頂點(diǎn)的三角形與相似,∴以點(diǎn)Q,N,C為頂點(diǎn)的三角形也是直角三角形,又∵軸,直線交直線于點(diǎn)N,∴,即點(diǎn)N不與點(diǎn)O是對(duì)應(yīng)點(diǎn).故分為和兩種情況討論:①當(dāng)時(shí),由于軸,∴軸,即在x軸上,又∵點(diǎn)Q在拋物線上,∴此時(shí)點(diǎn)B與點(diǎn)Q重合,作出圖形如下:

此時(shí),又∵∴,即此時(shí)符合題意,令,解得:(舍去)∴點(diǎn)Q的坐標(biāo),也即點(diǎn)B的坐標(biāo)是.②當(dāng)時(shí),作圖如下:

∵軸,∴,∴,∵,,∴,即此時(shí)符合題意,∵,∴,即∵,,∴∴,設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為q,則,,∴,∴,解得:(舍去),∴,∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是綜上所述:點(diǎn)Q的坐標(biāo)是,;(4),,補(bǔ)充求解過(guò)程如下:設(shè)拋物線沿x軸的負(fù)方向平移m個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線,將點(diǎn)M向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn),作出圖形如下:

由平移的性質(zhì)可知,,∴的值最小就是最小值,顯然點(diǎn)在直線上運(yùn)用,作出點(diǎn)C關(guān)于直線對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn),連接交直線于點(diǎn),連接則此時(shí)取得最小值,即為的長(zhǎng)度,

∵點(diǎn)C關(guān)于直線對(duì)稱的對(duì)稱的點(diǎn)是點(diǎn),∴,∴,設(shè)直線的解析式是:將點(diǎn),代入得:解得:直線的解析式是:令,解得:,∴,∴平移的距離是又∵,∴平移前的拋物線的坐標(biāo)是∴新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為即故答案是:,.【點(diǎn)睛】本題考查求二次函數(shù)的解析式,二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),二次函數(shù)與幾何變換綜合,二次函數(shù)與相似三角形綜合,最短路徑問(wèn)題,三角形面積公式等知識(shí),難度較大,綜合性大,作出輔助線和掌握轉(zhuǎn)換思想是解題的關(guān)鍵,第二問(wèn)的解題技巧是使用鉛錘公式計(jì)算面積,第三問(wèn)的技巧是轉(zhuǎn)化成直角三角形的討論問(wèn)題,如果直接按相似討論,則有四種情況,可以降低分類討論的種類,第四問(wèn)的技巧,是將點(diǎn)M向反方向移動(dòng),從而將兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化成一個(gè)動(dòng)點(diǎn)來(lái)解決.5.(2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題)拋物線交軸于兩點(diǎn)(在的左邊),交軸于點(diǎn).

(1)直接寫(xiě)出三點(diǎn)的坐標(biāo);(2)如圖(1),作直線,分別交軸,線段,拋物線于三點(diǎn),連接.若與相似,求的值;(3)如圖(2),將拋物線平移得到拋物線,其頂點(diǎn)為原點(diǎn).直線與拋物線交于兩點(diǎn),過(guò)的中點(diǎn)作直線(異于直線)交拋物線于兩點(diǎn),直線與直線交于點(diǎn).問(wèn)點(diǎn)是否在一條定直線上?若是,求該直線的解析式;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)的值為2或(3)點(diǎn)在定直線上【思路點(diǎn)撥】(1)令,解一元二次方程求出值可得、兩點(diǎn)的坐標(biāo),令求出值可得點(diǎn)坐標(biāo),即可得答案;(2)分和兩種情況,利用相似三角形的性質(zhì)分別列方程求出值即可得答案;(3)根據(jù)平移的性質(zhì)可得解析式,聯(lián)立直線與解析式可得點(diǎn)坐標(biāo),即可得出中點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè),利用待定系數(shù)法可得直線的解析式為,同理得出直線的解析式為,聯(lián)立兩直線解析式可得,設(shè)點(diǎn)在直線上,把點(diǎn)代入,整理比較系數(shù)即可得出、的值即可得答案,也可根據(jù)點(diǎn)的縱坐標(biāo)變形得出橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的關(guān)系,得出答案.【規(guī)范解答】(1)∵拋物線解析式為,∴當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,解得:,,∴,,.(2)解:是直線與拋物線的交點(diǎn),,①如圖,若時(shí),,∴,∴,解得,(舍去)或.②如圖,若時(shí).過(guò)作軸于點(diǎn).,∴,∴,,,∴,∴,,,∴,解得,(舍去)或.

綜上,符合題意的的值為2或.

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒(méi)有圖紙預(yù)覽就沒(méi)有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評(píng)論

0/150

提交評(píng)論