天津市和平區(qū)2023-2024學年高一下學期7月期末考試數(shù)學

和平區(qū)2023~2024學年度第二學期高一年級數(shù)學學科期末質(zhì)量調(diào)查試卷本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共100分，考試時間100分鐘.祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷（選擇題共27分）注意事項：1．答第Ⅰ卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填涂在答題卡上.2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.答在試卷上無效.3．本卷共9小題，每小題3分，共27分.參考公式：·球的表面積公式，其中R是球的半徑·圓臺的側(cè)面積公式，其中，r分別是上、下底面半徑，l是母線長．·如果事件A、B相互獨立，那么．一、單選題（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知為虛數(shù)單位，復數(shù)虛部為（）A. B. C. D.12.已知一組樣本數(shù)據(jù)10，10，9，12，10，9，12，則這組樣本數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為（）A.9 B.10 C.11 D.123.若采用斜二測畫法畫水平放置的的直觀圖，的面積為，則的面積為（）A.2 B. C.4 D.4.已知a，b，c是三條不同的直線，，，是三個不同的平面，以下說法中正確的個數(shù)為（）①若，，則；②若，，則；③若，，，則．A.0個 B.1個 C.2個 D.3個5.已知向量，滿足，，且，則（）A B.4 C.5 D.6.連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點數(shù)，設(shè)事件“第一次出現(xiàn)2點”，“第二次的點數(shù)小于5點”，“兩次點數(shù)之和為9”，“兩次點數(shù)之和為奇數(shù)”，則下列說法不正確的是（）A.B與A不互斥且相互獨立 B.B與C互斥且不相互獨立C.C與A互斥且不相互獨立 D.D與A不互斥且相互獨立7.用平面截一個球，所得到的截面面積為，若球心到這個截面的距離為，則該球的表面積為（）A.4 B.8 C.16 D.288.某市為了減少水資源浪費，計劃對居民生活用水實施階梯水價制度，為確定一個比較合理的標準，從該市隨機調(diào)查了100位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖，則以下四個說法正確的個數(shù)為（）①估計居民月均用水量低于1.5的概率為0.25；②估計居民月均用水量的中位數(shù)約為2.1③該市有40萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3的人數(shù)為6萬；④根據(jù)這100位居民用水量，采用樣本量按比例分配的分層隨機抽樣的方法，抽取了容量為20人的樣本，則在用水量區(qū)間中應抽取3人A.1個 B.2個 C.3個 D.4個9.已知圓臺的上、下底面半徑分別為，，側(cè)面積等于，若存在一個在圓臺內(nèi)部可以任意轉(zhuǎn)動的正方體，那么該正方體的體積取最大值時，正方體的棱長為（）A.16 B. C. D.8第Ⅱ卷（非選擇題共73分）注意事項：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.2．本卷共10小題，共73分.二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分.試題中包含兩個空的，答對1個的給2分，全部答對的給4分）10.設(shè)向量，，若與的夾角為鈍角，則實數(shù)x的取值范圍為_________．11.三名運動員練習射擊，甲、乙、丙三人的中靶概率分別為0.8，0.4，0.5，若三人各射擊一次，則甲、乙、丙三人都中靶的概率為_________；至少有兩人中靶的概率為_________．12.已知，是夾角為的兩個單位向量，若向量在上的投影向量為，則實數(shù)_________．13.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若的面積為，，則該三角形的外接圓直徑_________．14.如圖，正三棱柱的所有棱長均相等，點M，P，N分別是棱，，的中點，則二面角的正弦值為_________，異面直線與所成的角的余弦值為_________．15.已知平面四邊形中，，是的中點，，與相交于點，若，，則的長為_________．三、解答題（本大題共5小題，共49分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.已知，，且向量與夾角為.（1）求與的值；（2）若向量與互相垂直，求實數(shù)k的值.17.在△中，角，，所對的邊分別為，，，且．（1）求角的大?。唬?）若，，求的值．18.已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)為純虛數(shù)，是實數(shù)，復數(shù)z的共軛復數(shù)為.（1）求；（2）若復數(shù)在復平面內(nèi)表示的點在第三象限，求實數(shù)m的取值范圍.19.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面平面，，，點E、F分別是、中點.（1）證明：平面；（2）求直線和平面所成的角的正切值.20.在中，角所對的邊分別為，已知為邊上的中線，點分別為邊與上的動點，若直線與交于點，且，，且滿足．（1）求邊的長度；（2）若的面積是面積的4倍，求的最小值．和平區(qū)2023~2024學年度第二學期高一年級數(shù)學學科期末質(zhì)量調(diào)查試卷本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共100分，考試時間100分鐘.祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷（選擇題共27分）注意事項：1．答第Ⅰ卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填涂在答題卡上.2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.答在試卷上無效.3．本卷共9小題，每小題3分，共27分.參考公式：·球的表面積公式，其中R是球的半徑·圓臺的側(cè)面積公式，其中，r分別是上、下底面半徑，l是母線長．·如果事件A、B相互獨立，那么．一、單選題（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知為虛數(shù)單位，復數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)復數(shù)的除法運算求出復數(shù)，再根據(jù)復數(shù)虛部的定義即可得解.【詳解】，所以復數(shù)的虛部為.故選：B.2.已知一組樣本數(shù)據(jù)10，10，9，12，10，9，12，則這組樣本數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】D【解析】【分析】利用百分位的定義求解即可.【詳解】將樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：，上四分位數(shù)即為分位數(shù)，，所以四分位數(shù)為從小到大的第個數(shù)，即.故選：D.3.若采用斜二測畫法畫水平放置的的直觀圖，的面積為，則的面積為（）A.2 B. C.4 D.【答案】C【解析】【分析】利用直觀圖和原圖形的面積關(guān)系建立方程求解即可.【詳解】設(shè)的面積為，由已知得，解得，故C正確.故選：C4.已知a，b，c是三條不同的直線，，，是三個不同的平面，以下說法中正確的個數(shù)為（）①若，，則；②若，，則；③若，，，則．A.0個 B.1個 C.2個 D.3個【答案】A【解析】【分析】由線線、線面、面面間的位置關(guān)系逐一分析即可.【詳解】①可能平行、相交或異面，故①錯誤；②可能平行或垂直，故②錯誤；③由面面垂直的性質(zhì)定理知，③缺少條件：，故③錯誤；故選：.5.已知向量，滿足，，且，則（）A. B.4 C.5 D.【答案】A【解析】【分析】利用向量平行的坐標表示求出，，再利用模長公式求解即可．【詳解】因為，，，所以，則，故，所以，則．故選：A.6.連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點數(shù)，設(shè)事件“第一次出現(xiàn)2點”，“第二次的點數(shù)小于5點”，“兩次點數(shù)之和為9”，“兩次點數(shù)之和為奇數(shù)”，則下列說法不正確的是（）A.B與A不互斥且相互獨立 B.B與C互斥且不相互獨立C.C與A互斥且不相互獨立 D.D與A不互斥且相互獨立【答案】B【解析】【分析】根據(jù)互斥事件及相互獨立事件的定義一一判斷即可.【詳解】如第一次出現(xiàn)2點，第二次出現(xiàn)1點，此時事件A,B均發(fā)生，所以A與B不是互斥事件，依題意，，，又，即A與B相互獨立，故A正確；第一次出現(xiàn)5點，第二次出現(xiàn)4點，此時事件C,B均發(fā)生，所以C與B不是互斥事件,，即B與不相互獨立，故B錯誤;，即與不相互獨立，C與A互斥故C正確；，即A與相互獨立，第一次出現(xiàn)2點，第二次出現(xiàn)1點，此時事件A、均發(fā)生，所以A與不是互斥事件，故D正確；故選：B.7.用平面截一個球，所得到的截面面積為，若球心到這個截面的距離為，則該球的表面積為（）A.4 B.8 C.16 D.28【答案】C【解析】【分析】根據(jù)球的截面性質(zhì)，即可由勾股定理求解球半徑，即可由表面積公式求解.【詳解】由于截面面積為，故截面圓的半徑為，又球心到這個截面的距離為，故球半徑為，故球的表面積為,故選：C8.某市為了減少水資源浪費，計劃對居民生活用水實施階梯水價制度，為確定一個比較合理的標準，從該市隨機調(diào)查了100位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖，則以下四個說法正確的個數(shù)為（）①估計居民月均用水量低于1.5的概率為0.25；②估計居民月均用水量的中位數(shù)約為2.1③該市有40萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3的人數(shù)為6萬；④根據(jù)這100位居民的用水量，采用樣本量按比例分配的分層隨機抽樣的方法，抽取了容量為20人的樣本，則在用水量區(qū)間中應抽取3人A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】由頻率分布直方圖求頻率判斷①，結(jié)合直方圖中位數(shù)的求法計算中位數(shù)，即可判斷②；用頻率估計總體即可判斷③，結(jié)合分層抽樣的概念即可判斷④.【詳解】由頻率分布直方圖可知，居民月均用水量低于的概率，故①正確，三組的頻率之和為，而前四組頻率之和為，故中位數(shù)位于，由，②正確估計萬居民中月均用水量不低于3的人數(shù)為，③正確根據(jù)用水量對這100位居民進行分層，用分層抽樣的方法抽取20人，則用水量在中應抽取人，④錯誤，故選：C9.已知圓臺的上、下底面半徑分別為，，側(cè)面積等于，若存在一個在圓臺內(nèi)部可以任意轉(zhuǎn)動的正方體，那么該正方體的體積取最大值時，正方體的棱長為（）A.16 B. C. D.8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，可得該圓臺軸截面的內(nèi)切圓即為其軸截面所在正三角形的內(nèi)切圓，從而求得圓臺的內(nèi)切球半徑為，再結(jié)合正方體的外接球半徑與棱長的關(guān)系即可求得.【詳解】設(shè)圓臺的高為，母線長為，正方體的棱長為.由題意可得，解得，則，易得圓臺的母線與下底面所成角為，所以可以將該圓臺的軸截面補形為邊長為的正三角形.設(shè)該正三角形的內(nèi)切圓半徑為，則根據(jù)等面積法可得，解得,又，該內(nèi)切圓也為此圓臺軸截面內(nèi)切圓，圓臺的內(nèi)切球半徑為.該正方體可以在圓臺內(nèi)部任意轉(zhuǎn)動，，解得，所以當正方體的體積取最大值時，正方體的棱長為.故選：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵在于，理解正方體在圓臺內(nèi)部可以任意轉(zhuǎn)動，即正方體在圓臺的內(nèi)切球內(nèi)，從而得解.第Ⅱ卷（非選擇題共73分）注意事項：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.2．本卷共10小題，共73分.二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分.試題中包含兩個空的，答對1個的給2分，全部答對的給4分）10.設(shè)向量，，若與夾角為鈍角，則實數(shù)x的取值范圍為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示及平行坐標公式判斷鈍角即可求出參數(shù)范圍.【詳解】因為與夾角為鈍角，可以得出,且不平行，則即且.即得.故答案為：11.三名運動員練習射擊，甲、乙、丙三人的中靶概率分別為0.8，0.4，0.5，若三人各射擊一次，則甲、乙、丙三人都中靶的概率為_________；至少有兩人中靶的概率為_________．【答案】①0.16##②.0.6##【解析】【分析】第一空，直接利用獨立事件的概率公式求解即可，第二空，根據(jù)獨立事件和互斥事件的概率公式求解即可【詳解】甲、乙、丙三人的中靶概率分別為0.8，0.4，0.5，則甲、乙、丙三人都中靶的概率為，至少有兩人中靶的概率為，故答案為：12.已知，是夾角為的兩個單位向量，若向量在上的投影向量為，則實數(shù)_________．【答案】【解析】【分析】由題意可得，進而可得，求解即可.【詳解】向量在上的投影向量為，則，于是，所以，所以，解得.故答案為：.13.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若的面積為，，則該三角形的外接圓直徑_________．【答案】【解析】【分析】由余弦定理及三角形面積公式得出角C，再由正弦定理求外接圓直徑即可.【詳解】由,所以,即,由,所以,所以,所以.故答案為：.14.如圖，正三棱柱的所有棱長均相等，點M，P，N分別是棱，，的中點，則二面角的正弦值為_________，異面直線與所成的角的余弦值為_________．【答案】①.##②.##【解析】【分析】建立如圖所示空間直角坐標系，根據(jù)平面法向量夾角求二面角，根據(jù)直線方向向量的夾角求線線角.【詳解】取中點，連接，則在正三棱柱中，平面，四邊形為矩形，以為坐標原點，以的方向分別為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示坐標系，平面的一個法向量為，不妨設(shè)正三棱柱的棱長為，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取，則，，，，所以二面角的正弦值為；，，異面直線與所成的角的余弦值為.故答案：，.15.已知平面四邊形中，，是的中點，，與相交于點，若，，則的長為_________．【答案】【解析】【分析】將用向量和表示，結(jié)合即可求的長度.【詳解】設(shè),則,設(shè),則,所以，解得，所以,由得，，化解得,所以.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查用基底表示平面向量，解題關(guān)鍵是將用向量和表示.三、解答題（本大題共5小題，共49分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.已知，，且向量與的夾角為.（1）求與的值；（2）若向量與互相垂直，求實數(shù)k的值.【答案】（1），（2）或【解析】【分析】（1）運用向量數(shù)量積的定義和線性運算求解即可.（2）利用向量垂直的定義建立方程，求解參數(shù)即可.【小問1詳解】由已知得，所以．【小問2詳解】已知與互相垂直，向量，即，，所以或．17.在△中，角，，所對的邊分別為，，，且．（1）求角的大??；（2）若，，求的值．【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理化簡即可；（2）結(jié)合（1），利用余弦定理即可解得.【小問1詳解】因為，所以，又由正弦定理，所以有，因為，，所以，因為，所以有或．【小問2詳解】當時，由余弦定理得，解得.當時，由余弦定理得，解得．所以的值為或．18.已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)為純虛數(shù)，是實數(shù)，復數(shù)z的共軛復數(shù)為.（1）求；（2）若復數(shù)在復平面內(nèi)表示的點在第三象限，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）5（2）【解析】【分析】（1）運用復數(shù)的乘法法則，由復數(shù)概念可得，，即，再由共軛復數(shù)的概念得，最后應用模長公式即可.（2）把代入化簡，根據(jù)復數(shù)的幾何意義列出關(guān)于的不等式，解不等式即