天津市和平區(qū)2023-2024學年高一下學期7月期末考試數學

和平區(qū)2023~2024學年度第二學期高一年級數學學科期末質量調查試卷本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共100分，考試時間100分鐘.祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷（選擇題共27分）注意事項：1．答第Ⅰ卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填涂在答題卡上.2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.答在試卷上無效.3．本卷共9小題，每小題3分，共27分.參考公式：·球的表面積公式，其中R是球的半徑·圓臺的側面積公式，其中，r分別是上、下底面半徑，l是母線長．·如果事件A、B相互獨立，那么．一、單選題（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知為虛數單位，復數虛部為（）A. B. C. D.12.已知一組樣本數據10，10，9，12，10，9，12，則這組樣本數據的上四分位數為（）A.9 B.10 C.11 D.123.若采用斜二測畫法畫水平放置的的直觀圖，的面積為，則的面積為（）A.2 B. C.4 D.4.已知a，b，c是三條不同的直線，，，是三個不同的平面，以下說法中正確的個數為（）①若，，則；②若，，則；③若，，，則．A.0個 B.1個 C.2個 D.3個5.已知向量，滿足，，且，則（）A B.4 C.5 D.6.連續(xù)拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，記錄每次的點數，設事件“第一次出現2點”，“第二次的點數小于5點”，“兩次點數之和為9”，“兩次點數之和為奇數”，則下列說法不正確的是（）A.B與A不互斥且相互獨立 B.B與C互斥且不相互獨立C.C與A互斥且不相互獨立 D.D與A不互斥且相互獨立7.用平面截一個球，所得到的截面面積為，若球心到這個截面的距離為，則該球的表面積為（）A.4 B.8 C.16 D.288.某市為了減少水資源浪費，計劃對居民生活用水實施階梯水價制度，為確定一個比較合理的標準，從該市隨機調查了100位居民，獲得了他們某月的用水量數據，整理得到如下頻率分布直方圖，則以下四個說法正確的個數為（）①估計居民月均用水量低于1.5的概率為0.25；②估計居民月均用水量的中位數約為2.1③該市有40萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3的人數為6萬；④根據這100位居民用水量，采用樣本量按比例分配的分層隨機抽樣的方法，抽取了容量為20人的樣本，則在用水量區(qū)間中應抽取3人A.1個 B.2個 C.3個 D.4個9.已知圓臺的上、下底面半徑分別為，，側面積等于，若存在一個在圓臺內部可以任意轉動的正方體，那么該正方體的體積取最大值時，正方體的棱長為（）A.16 B. C. D.8第Ⅱ卷（非選擇題共73分）注意事項：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.2．本卷共10小題，共73分.二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分.試題中包含兩個空的，答對1個的給2分，全部答對的給4分）10.設向量，，若與的夾角為鈍角，則實數x的取值范圍為_________．11.三名運動員練習射擊，甲、乙、丙三人的中靶概率分別為0.8，0.4，0.5，若三人各射擊一次，則甲、乙、丙三人都中靶的概率為_________；至少有兩人中靶的概率為_________．12.已知，是夾角為的兩個單位向量，若向量在上的投影向量為，則實數_________．13.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若的面積為，，則該三角形的外接圓直徑_________．14.如圖，正三棱柱的所有棱長均相等，點M，P，N分別是棱，，的中點，則二面角的正弦值為_________，異面直線與所成的角的余弦值為_________．15.已知平面四邊形中，，是的中點，，與相交于點，若，，則的長為_________．三、解答題（本大題共5小題，共49分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.已知，，且向量與夾角為.（1）求與的值；（2）若向量與互相垂直，求實數k的值.17.在△中，角，，所對的邊分別為，，，且．（1）求角的大??；（2）若，，求的值．18.已知i為虛數單位，復數為純虛數，是實數，復數z的共軛復數為.（1）求；（2）若復數在復平面內表示的點在第三象限，求實數m的取值范圍.19.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面平面，，，點E、F分別是、中點.（1）證明：平面；（2）求直線和平面所成的角的正切值.20.在中，角所對的邊分別為，已知為邊上的中線，點分別為邊與上的動點，若直線與交于點，且，，且滿足．（1）求邊的長度；（2）若的面積是面積的4倍，求的最小值．和平區(qū)2023~2024學年度第二學期高一年級數學學科期末質量調查試卷本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共100分，考試時間100分鐘.祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷（選擇題共27分）注意事項：1．答第Ⅰ卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填涂在答題卡上.2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.答在試卷上無效.3．本卷共9小題，每小題3分，共27分.參考公式：·球的表面積公式，其中R是球的半徑·圓臺的側面積公式，其中，r分別是上、下底面半徑，l是母線長．·如果事件A、B相互獨立，那么．一、單選題（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知為虛數單位，復數的虛部為（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】先根據復數的除法運算求出復數，再根據復數虛部的定義即可得解.【詳解】，所以復數的虛部為.故選：B.2.已知一組樣本數據10，10，9，12，10，9，12，則這組樣本數據的上四分位數為（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】D【解析】【分析】利用百分位的定義求解即可.【詳解】將樣本數據按從小到大的順序排列為：，上四分位數即為分位數，，所以四分位數為從小到大的第個數，即.故選：D.3.若采用斜二測畫法畫水平放置的的直觀圖，的面積為，則的面積為（）A.2 B. C.4 D.【答案】C【解析】【分析】利用直觀圖和原圖形的面積關系建立方程求解即可.【詳解】設的面積為，由已知得，解得，故C正確.故選：C4.已知a，b，c是三條不同的直線，，，是三個不同的平面，以下說法中正確的個數為（）①若，，則；②若，，則；③若，，，則．A.0個 B.1個 C.2個 D.3個【答案】A【解析】【分析】由線線、線面、面面間的位置關系逐一分析即可.【詳解】①可能平行、相交或異面，故①錯誤；②可能平行或垂直，故②錯誤；③由面面垂直的性質定理知，③缺少條件：，故③錯誤；故選：.5.已知向量，滿足，，且，則（）A. B.4 C.5 D.【答案】A【解析】【分析】利用向量平行的坐標表示求出，，再利用模長公式求解即可．【詳解】因為，，，所以，則，故，所以，則．故選：A.6.連續(xù)拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，記錄每次的點數，設事件“第一次出現2點”，“第二次的點數小于5點”，“兩次點數之和為9”，“兩次點數之和為奇數”，則下列說法不正確的是（）A.B與A不互斥且相互獨立 B.B與C互斥且不相互獨立C.C與A互斥且不相互獨立 D.D與A不互斥且相互獨立【答案】B【解析】【分析】根據互斥事件及相互獨立事件的定義一一判斷即可.【詳解】如第一次出現2點，第二次出現1點，此時事件A,B均發(fā)生，所以A與B不是互斥事件，依題意，，，又，即A與B相互獨立，故A正確；第一次出現5點，第二次出現4點，此時事件C,B均發(fā)生，所以C與B不是互斥事件,，即B與不相互獨立，故B錯誤;，即與不相互獨立，C與A互斥故C正確；，即A與相互獨立，第一次出現2點，第二次出現1點，此時事件A、均發(fā)生，所以A與不是互斥事件，故D正確；故選：B.7.用平面截一個球，所得到的截面面積為，若球心到這個截面的距離為，則該球的表面積為（）A.4 B.8 C.16 D.28【答案】C【解析】【分析】根據球的截面性質，即可由勾股定理求解球半徑，即可由表面積公式求解.【詳解】由于截面面積為，故截面圓的半徑為，又球心到這個截面的距離為，故球半徑為，故球的表面積為,故選：C8.某市為了減少水資源浪費，計劃對居民生活用水實施階梯水價制度，為確定一個比較合理的標準，從該市隨機調查了100位居民，獲得了他們某月的用水量數據，整理得到如下頻率分布直方圖，則以下四個說法正確的個數為（）①估計居民月均用水量低于1.5的概率為0.25；②估計居民月均用水量的中位數約為2.1③該市有40萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3的人數為6萬；④根據這100位居民的用水量，采用樣本量按比例分配的分層隨機抽樣的方法，抽取了容量為20人的樣本，則在用水量區(qū)間中應抽取3人A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】由頻率分布直方圖求頻率判斷①，結合直方圖中位數的求法計算中位數，即可判斷②；用頻率估計總體即可判斷③，結合分層抽樣的概念即可判斷④.【詳解】由頻率分布直方圖可知，居民月均用水量低于的概率，故①正確，三組的頻率之和為，而前四組頻率之和為，故中位數位于，由，②正確估計萬居民中月均用水量不低于3的人數為，③正確根據用水量對這100位居民進行分層，用分層抽樣的方法抽取20人，則用水量在中應抽取人，④錯誤，故選：C9.已知圓臺的上、下底面半徑分別為，，側面積等于，若存在一個在圓臺內部可以任意轉動的正方體，那么該正方體的體積取最大值時，正方體的棱長為（）A.16 B. C. D.8【答案】D【解析】【分析】根據題意，可得該圓臺軸截面的內切圓即為其軸截面所在正三角形的內切圓，從而求得圓臺的內切球半徑為，再結合正方體的外接球半徑與棱長的關系即可求得.【詳解】設圓臺的高為，母線長為，正方體的棱長為.由題意可得，解得，則，易得圓臺的母線與下底面所成角為，所以可以將該圓臺的軸截面補形為邊長為的正三角形.設該正三角形的內切圓半徑為，則根據等面積法可得，解得,又，該內切圓也為此圓臺軸截面內切圓，圓臺的內切球半徑為.該正方體可以在圓臺內部任意轉動，，解得，所以當正方體的體積取最大值時，正方體的棱長為.故選：.【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵在于，理解正方體在圓臺內部可以任意轉動，即正方體在圓臺的內切球內，從而得解.第Ⅱ卷（非選擇題共73分）注意事項：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.2．本卷共10小題，共73分.二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分.試題中包含兩個空的，答對1個的給2分，全部答對的給4分）10.設向量，，若與夾角為鈍角，則實數x的取值范圍為_________．【答案】【解析】【分析】根據向量數量積的坐標表示及平行坐標公式判斷鈍角即可求出參數范圍.【詳解】因為與夾角為鈍角，可以得出,且不平行，則即且.即得.故答案為：11.三名運動員練習射擊，甲、乙、丙三人的中靶概率分別為0.8，0.4，0.5，若三人各射擊一次，則甲、乙、丙三人都中靶的概率為_________；至少有兩人中靶的概率為_________．【答案】①0.16##②.0.6##【解析】【分析】第一空，直接利用獨立事件的概率公式求解即可，第二空，根據獨立事件和互斥事件的概率公式求解即可【詳解】甲、乙、丙三人的中靶概率分別為0.8，0.4，0.5，則甲、乙、丙三人都中靶的概率為，至少有兩人中靶的概率為，故答案為：12.已知，是夾角為的兩個單位向量，若向量在上的投影向量為，則實數_________．【答案】【解析】【分析】由題意可得，進而可得，求解即可.【詳解】向量在上的投影向量為，則，于是，所以，所以，解得.故答案為：.13.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若的面積為，，則該三角形的外接圓直徑_________．【答案】【解析】【分析】由余弦定理及三角形面積公式得出角C，再由正弦定理求外接圓直徑即可.【詳解】由,所以,即,由,所以,所以,所以.故答案為：.14.如圖，正三棱柱的所有棱長均相等，點M，P，N分別是棱，，的中點，則二面角的正弦值為_________，異面直線與所成的角的余弦值為_________．【答案】①.##②.##【解析】【分析】建立如圖所示空間直角坐標系，根據平面法向量夾角求二面角，根據直線方向向量的夾角求線線角.【詳解】取中點，連接，則在正三棱柱中，平面，四邊形為矩形，以為坐標原點，以的方向分別為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示坐標系，平面的一個法向量為，不妨設正三棱柱的棱長為，則，設平面的一個法向量為，則，即，取，則，，，，所以二面角的正弦值為；，，異面直線與所成的角的余弦值為.故答案：，.15.已知平面四邊形中，，是的中點，，與相交于點，若，，則的長為_________．【答案】【解析】【分析】將用向量和表示，結合即可求的長度.【詳解】設,則,設,則,所以，解得，所以,由得，，化解得,所以.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題考查用基底表示平面向量，解題關鍵是將用向量和表示.三、解答題（本大題共5小題，共49分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.已知，，且向量與的夾角為.（1）求與的值；（2）若向量與互相垂直，求實數k的值.【答案】（1），（2）或【解析】【分析】（1）運用向量數量積的定義和線性運算求解即可.（2）利用向量垂直的定義建立方程，求解參數即可.【小問1詳解】由已知得，所以．【小問2詳解】已知與互相垂直，向量，即，，所以或．17.在△中，角，，所對的邊分別為，，，且．（1）求角的大?。唬?）若，，求的值．【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）根據正弦定理化簡即可；（2）結合（1），利用余弦定理即可解得.【小問1詳解】因為，所以，又由正弦定理，所以有，因為，，所以，因為，所以有或．【小問2詳解】當時，由余弦定理得，解得.當時，由余弦定理得，解得．所以的值為或．18.已知i為虛數單位，復數為純虛數，是實數，復數z的共軛復數為.（1）求；（2）若復數在復平面內表示的點在第三象限，求實數m的取值范圍.【答案】（1）5（2）【解析】【分析】（1）運用復數的乘法法則，由復數概念可得，，即，再由共軛復數的概念得，最后應用模長公式即可.（2）把代入化簡，根據復數的幾何意義列出關于的不等式，解不等式即