數(shù)學(xué)必修二學(xué)案第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系23231

2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1直線與平面垂直的判定目標(biāo)定位1.理解直線與平面垂直的定義.2.掌握直線與平面垂直的判定定理.3.理解直線與平面所成的角的概念，并能解決簡(jiǎn)單的線面角問題.自主預(yù)習(xí)1.直線與平面垂直的有關(guān)概念(1)定義：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α.(2)相關(guān)概念：若直線l與平面α垂直，其中直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足.(3)圖形語言：(畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與平面的平行四邊形的一邊垂直)如圖所示.(4)符號(hào)語言：任意a?α，都有l(wèi)⊥a?l⊥α.其中“任意直線”等同于“所有直線”.2.直線和平面垂直的判定定理(1)文字語言：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.(2)圖形語言：如圖所示.(3)符號(hào)語言：a?α，b?α，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b?l⊥α.3.直線和平面所成的角平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是0°.綜上，直線與平面所成的角的范圍[0°，90°].即時(shí)自測(cè)1.判斷題(1)若直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則l⊥α.(×)(2)若直線l與平面α內(nèi)任意一條直線垂直，則l⊥α.(√)(3)若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線.(×)(4)過一點(diǎn)和已知平面垂直的直線有且只有一條.(√)提示(1)當(dāng)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直時(shí)，l與α不一定垂直.(3)當(dāng)l與α不垂直時(shí)，l可能與α內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直.2.長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，下列不是平面ABCD的垂線的是()A.AA1 B.BB1C.CC1 D.AD1解析由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知AD1不垂直于平面ABCD.答案D3.下列條件中，能判定直線l⊥平面α的是()A.l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直B.l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直C.l與平面α內(nèi)的某一條直線垂直D.l與平面α內(nèi)的任意一條直線垂直解析根據(jù)線面垂直的定義，可知l垂直于α內(nèi)的所有直線時(shí)，l⊥α.答案D4.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線AB1與平面ABCD所成的角等于________.解析BB1⊥平面ABCD，∴∠BAB1即為直線AB1與平面ABCD所成的角，且∠BAB1＝45°.答案45°類型一直線和平面垂直的定義【例1】下列命題中，正確的序號(hào)是________.①若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α；②若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線；③若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直；④若平面α內(nèi)有一條直線與直線l不垂直，則直線l與平面α不垂直.解析當(dāng)l與α內(nèi)的一條直線垂直時(shí)，不能保證l與平面α垂直，所以①不正確；當(dāng)l與α不垂直時(shí)，l可能與α內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直，所以②不正確，③正確；根據(jù)線面垂直的定義，若l⊥α則l與α的所有直線都垂直，所以④正確.答案③④規(guī)律方法1.直線和平面垂直的定義是描述性定義，對(duì)直線的任意性要注意理解.實(shí)際上，“任何一條”與“所有”表達(dá)相同的含義.當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，該直線就垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何直線.由此可知，如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個(gè)平面垂直.2.由定義可得線面垂直?線線垂直，即若a⊥α，b?α，則a⊥b.【訓(xùn)練1】設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面，則下列命題正確的是()A.若l⊥m，m?α，l⊥αB.若l⊥α，l∥m，則m⊥αC.若l∥α，m?α，則l∥mD.若l∥α，m∥α，則l∥m解析對(duì)于A，直線l⊥m，m并不代表平面α內(nèi)任意一條直線，所以不能判定線面垂直；對(duì)于B，因l⊥α，則l垂直α內(nèi)任意一條直線，又l∥m，由異面直線所成角的定義知，m與平面α內(nèi)任意一條直線所成的角都是90°，即m⊥α，故B正確；對(duì)于C，也有可能是l，m異面；對(duì)于D，l，m還可能相交或異面.答案B類型二線面垂直的判定【例2】如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D為BB1的中點(diǎn).求證：AD⊥平面A1DC1.證明∵AA1⊥底面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC，∴AA1⊥平面A1B1C1，顯然A1C1?平面A1B1C1，∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1＝90°，∴A1C1⊥A1B1而A1B1∩AA1＝A1，∴A1C1⊥平面AA1B1B，AD?平面AA1B1B，∴A1C1⊥AD.由已知計(jì)算得AD＝eq\r(2)，A1D＝eq\r(2)，AA1＝2.∴AD2＋A1D2＝AAeq\o\al(2,1)，∴A1D⊥AD.∵A1C1∩A1D＝A1，∴AD⊥平面A1DC1.規(guī)律方法證線面垂直的方法有三類(1)線線垂直證明線面垂直：①定義法(不常用，但由線面垂直可得出線線垂直)；②判定定理最常用：要著力尋找平面內(nèi)哪兩條相交直線(有時(shí)作輔助線)；結(jié)合平面圖形的性質(zhì)(如勾股定理逆定理、等腰三角形底邊中線等)及一條直線與平行線中一條垂直也與另一條垂直等結(jié)論來論證線線垂直.(2)平行轉(zhuǎn)化法(利用推論)：①a∥b，a⊥α?b⊥α；②α∥β，a⊥α?a⊥β.【訓(xùn)練2】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點(diǎn)，O是底面ABCD的中心，求證：EF⊥平面BB1O.證明∵ABCD為正方形，∴AC⊥BO.又∵BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥BB1，又∵BO∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1O，又EF是△ABC的中位線，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.類型三直線與平面所成的角(互動(dòng)探究)【例3】如圖所示，三棱錐A－SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直線AS與平面SBC所成的角.[思路探究]探究點(diǎn)一直線與平面所成角的范圍是什么？提示直線和平面垂直時(shí)，直線與平面所成的角是直角，為90°；直線與平面平行或直線在平面內(nèi)時(shí)，直線與平面所成角為0°；直線是平面的斜線時(shí)，直線與平面所成的角是銳角，范圍(0°，90°).所以直線與平面所成角的范圍是[0°，90°].探究點(diǎn)二求斜線與平面所成角的步驟是什么？提示求斜線與平面所成角的步驟：一作，找出射影，作出角；二證，證明作出的角即為所求；三算，在三角形中求角；四答，作答.解因?yàn)椤螦SB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB與△SAC都是等邊三角形.因此AB＝AC.如圖所示，取BC的中點(diǎn)D，連接AD，SD，則AD⊥BC.設(shè)SA＝a，則在Rt△SBC中，BC＝eq\r(2)a，CD＝SD＝eq\f(\r(2),2)a.在Rt△ADC中，AD＝eq\r(AC2－CD2)＝eq\f(\r(2),2)a.則AD2＋SD2＝SA2，所以AD⊥SD.又BC∩SD＝D，所以AD⊥平面SBC.因此∠ASD即為直線AS與平面SBC所成的角.在Rt△ASD中，SD＝AD＝eq\f(\r(2),2)a，所以∠ASD＝45°，即直線AS與平面SBC所成的角為45°.規(guī)律方法1.求直線和平面所成角的步驟：(1)尋找過斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；(2)連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角即為所求的角；(3)把該角歸結(jié)在某個(gè)三角形中，通過解三角形，求出該角.2.在上述步驟中，作角是關(guān)鍵，而確定斜線在平面內(nèi)的射影是作角的關(guān)鍵，幾何圖形的特征是找射影的依據(jù)，圖形中的特殊點(diǎn)是突破口.【訓(xùn)練3】如圖所示，Rt△BMC中，斜邊BM＝5，它在平面ABC上的射影AB長(zhǎng)為4，∠MBC＝60°，求MC與平面CAB所成角的正弦值.解由題意知，A是M在平面ABC內(nèi)的射影，∴MA⊥平面ABC，∴MC在平面CAB內(nèi)的射影為AC.∴∠MCA即為直線MC與平面CAB所成的角.又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，∴MC＝BMsin∠MBC＝5sin60°＝5×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(5\r(3),2).在Rt△MAB中，MA＝eq\r(MB2－AB2)＝eq\r(52－42)＝3.在Rt△MAC中，sin∠MCA＝eq\f(MA,MC)＝eq\f(3,\f(5\r(3),2))＝eq\f(2\r(3),5).即MC與平面CAB所成角的正弦值為eq\f(2\r(3),5).[課堂小結(jié)]1.直線和平面垂直的判定方法：(1)利用線面垂直的定義；(2)利用線面垂直的判定定理；(3)利用下面兩個(gè)結(jié)論：①若a∥b，a⊥α，則b⊥α；②若α∥β，a⊥α，則a⊥β.2.線線垂直的判定方法：(1)異面直線所成的角是90°；(2)線面垂直，則線線垂直.3.求線面角的常用方法：(1)直接法(一作(或找)二證(或說)三計(jì)算)；(2)轉(zhuǎn)移法(找過點(diǎn)與面平行的線或面)；(3)等積法(三棱錐變換頂點(diǎn)，屬間接求法).1.一條直線和三角形的兩邊同時(shí)垂直，則這條直線和三角形的第三邊的位置關(guān)系是()A.平行 B.垂直C.相交不垂直 D.不確定解析由題意可知，該直線垂直于三角形所確定的平面，故這條直線和三角形的第三邊也垂直.答案B2.如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的下列各種情況，能保證該直線與平面垂直的是()①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊.A.①③ B.② C.②④ D.①②④解析由線面垂直的判定定理知，直線垂直于①③圖形所在的平面，對(duì)于②④圖形中的兩邊不一定是相交直線，所以該直線與它們所在的平面不一定垂直.答案A3.矩形ABCD中，AB＝1，BC＝eq\r(2)，PA⊥平面ABCD，PA＝1，則PC與平面ABCD所成的角是________.解析tan∠PCA＝eq\f(PA,AC)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠PCA＝30°.答案30°4.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求證：AC⊥平面BDD1B1.證明∵在正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1⊥平面AC，又AC?平面AC，∴BB1⊥AC.∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC.∵BD?平面BDD1B1，BB1?平面BDD1B1，BB1∩BD＝B，∴AC⊥平面BDD1B1.基礎(chǔ)過關(guān)1.如圖所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA與BD的位置關(guān)系是()A.平行 B.垂直相交C.垂直但不相交 D.相交但不垂直解析連接AC，因?yàn)锳BCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，則BD⊥MC.因?yàn)锳C∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA?平面AMC，所以MA⊥BD.顯然直線MA與直線BD不共面，因此直線MA與BD的位置關(guān)系是垂直但不相交.答案C2.下列表述正確的個(gè)數(shù)為()①若直線a∥平面α，直線a⊥b，則b⊥α；②若直線a?平面α，b?α，且a⊥b，則a⊥α；③若直線a平行于平面α內(nèi)的兩條直線，則a∥α；④若直線a垂直于平面α內(nèi)的兩條直線，則a⊥α.A.0 B.1 C.2 D.3解析①中b與α還可能平行、斜交或b在平面α內(nèi)；②中a與α還可能平行或斜交；③中a還可能在平面α內(nèi)；由直線與平面垂直的判定定理知④錯(cuò).答案A3.線段AB的長(zhǎng)等于它在平面α內(nèi)的射影長(zhǎng)的2倍，則AB所在直線與平面α所成的角為()A.30° B.45° C.60° D.120°解析如圖，AC⊥α，AB∩α＝B，則BC是AB在平面α內(nèi)的射影，則BC＝eq\f(1,2)AB，所以∠ABC＝60°，它是AB與平面α所成的角.答案C4.已知△ABC所在平面外一點(diǎn)P到△ABC三頂點(diǎn)的距離都相等，則點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影是△ABC的________(填“重心”、“外心”、“內(nèi)心”、“垂心”).解析P到△ABC三頂點(diǎn)的距離都相等，則點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影到△ABC三頂點(diǎn)的距離都相等，所以是外心.答案外心5.如圖所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)有________.解析eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABC,BC?平面ABC))?eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥BC,AC⊥BC,PA∩AC＝A))?BC⊥平面PAC?BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.答案46.如圖，四棱錐P－ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，PD⊥BC，PD＝1，PC＝eq\r(2).求證：PD⊥平面ABCD.證明∵PD＝DC＝1，PC＝eq\r(2)，∴PD2＋DC2＝PC2，∴PD⊥CD.又∵PD⊥BC，BC∩CD＝C，且BC?平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD.7.如圖，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點(diǎn)，AN⊥PM，N為垂足.(1)求證：AN⊥平面PBM.(2)若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB.證明(1)∵AB為⊙O的直徑，∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，BM?平面ABM.∴PA⊥BM.又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.又AN?平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平PBM，PB?平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ.又NQ?平面ANQ，∴PB⊥NQ.能力提升8.空間四邊形ABCD的四邊相等，則它的兩對(duì)角線AC、BD的關(guān)系是()A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交解析取BD中點(diǎn)O，連接AO，CO，則BD⊥AO，BD⊥CO，且AO∩CO＝O，∴BD⊥面AOC，又AC?平面AOC，∴BD⊥AC，又BD、AC異面，∴選C.答案C9.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為()A.eq\f(\r(6),3) B.eq\f(2\r(6),5) C.eq\f(\r(15),5) D.eq\f(\r(10),5)解析如右圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，連接A1C1、B1D1，交于O點(diǎn)，連接OB，由已知A1B1C1D1是正方形，∴A1C1⊥B1D1.又∵BB1⊥平面A1B1C1D1，OC1?平面A1B1C1D1，∴OC1⊥BB1.而BB1∩B1D1＝B1，∴OC1⊥平面BB1D1D.∴OB是BC1在平面BB1D1D內(nèi)的射影.∴∠C1BO是BC1與平面BB1D1D所成的角.在正方形A1B1C1D1中，OC1＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(1,2)eq\r(22＋22)＝eq\r(2).在矩形BB1C1C中，BC1＝eq\r(BC2＋CCeq\o\al(2,1))＝eq\r(4＋1)＝eq\r(5).∴sin∠C1BO＝eq\f(OC1,BC1)＝eq\f(\r(2),\r(5))＝eq\f(\r(10),5).答案D10.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為A1B1的中點(diǎn)，則AE與平面ABC1D1所成角的正弦值為________.解析如圖，取CD的中點(diǎn)F，連接EF交平面ABC1D1于O，連接AO.由已知正方體易知EO⊥平面ABC1D1，所以∠EAO為AE與平面ABC1D1所成的角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，在Rt△EOA中，EO＝eq\f(1,2)EF＝eq\f(1,2)A1D＝eq\f(\r(2),2)，AE＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋12)＝eq\f(\r(5),2)，sin∠EAO＝eq\f(EO,AE)＝eq\f(\r(10),5).所以直線AE與平面ABC1D1所成的角的正弦值為eq\f(\r(10),5).答案eq\f(\r(10),5)11.如圖，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M