八年級上學(xué)期期中考試模擬卷（解析版）

八年級上學(xué)期期中考試模擬卷滿分：100分 考試范圍：八上1—3章一．選擇題（共8小題，滿分16分，每小題2分）1．漢字是世界上最美的文字，形美如畫、有的漢字是軸對稱圖形，下面四個漢字中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；B、不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；C、是軸對稱圖形，故本選項符合題意；D、不是軸對稱圖形，故本選項不合題意．故選：C．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．到三角形三個頂點的距離都相等的點是（）A．兩條中線的交點 B．兩條高的交點 C．兩條角平分線的交點 D．兩條邊的垂直平分線的交點【分析】根據(jù)線段垂直分線的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等，∴到三角形三個頂點的距離都相等的點是兩條邊的垂直平分線的交點．故選：D．【點評】本題考查了線段垂直分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．3．下列圖形中，△A'B'C'與△ABC關(guān)于直線MN成軸對稱的是（）A． B． C． D．【分析】認(rèn)真觀察各選項給出的圖形，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，對稱軸垂直平分線對應(yīng)點的連線進(jìn)行判斷．【解答】解：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，結(jié)合四個選項，只有B選項中對應(yīng)點的連線被對稱軸MN垂直平分，所以B是符合要求的．故選：B．【點評】本題考查軸對稱的性質(zhì)；應(yīng)用對應(yīng)點的連線與對稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分解題是正確解答本題的關(guān)鍵．4．以下列各組數(shù)為邊長的三角形中，不能構(gòu)成直角三角形的一組是（）A．3、4、5 B．5、12、13 C．6、10、14 D．9、40、41【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．【解答】解：A、32+42＝52，故是直角三角形，故此選項不符合題意；B、52+122＝132，故是直角三角形，故此選項不符合題意；C、62+102≠142，故是直角三角形，故此選項符合題意；D、92+402＝412，故不是直角三角形，故此選項符合題意．故選：C．【點評】本題考查勾股定理的逆定理．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．5．如圖，已知OC平分∠AOB，P是OC上一點，PH⊥OB于點H，Q是射線OA上的一個動點，如PH＝5，則PQ長的最小值為（）A．10 B．5 C．3 D．2.5【分析】當(dāng)PQ⊥OA時，PQ有最小值，利用角平分線的性質(zhì)可得PH＝PQ＝5，即可解答．【解答】解：如圖：當(dāng)PQ⊥OA時，PQ有最小值，∵OC平分∠AOB，PH⊥OB，PQ⊥OA，∴PH＝PQ＝5，∴PQ長的最小值為5，故選：B．【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，垂線段最短，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝55°，P是邊上AB的一個動點（不與頂點A重合），則∠BPC的度數(shù)可能是（）A．55° B．70° C．110° D．130°【分析】只要證明70°＜∠BPC＜130°即可解決問題．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝55°，∴∠A＝180°﹣110°＝70°，∵∠BPC＝∠A+∠ACP，∴∠BPC＞70°，∵∠B+∠BPC+∠PCB＝180°，∴∠BPC＜125°，∴70°＜∠BPC＜125°，故選：C．【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．7．如圖，若△ABC≌△DEF，則根據(jù)圖中提供的信息，可得出x的值為（）A．10cm B．8cm C．7cm D．5cm【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴EF＝BC＝8cm，即x＝8cm；故選：B．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟知全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在△ABC中，AB＝BC，點O為AC的中點，連接BO，在BO上取一點E，使得AE＝BE，若AB＝10，AC＝12，則BE的長為（）A．254 B．252 C．253 【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出AO＝6，BO⊥AC，再根據(jù)勾股定理求出BO的長度，設(shè)BE＝x，最后在Rt△AEO中，根據(jù)勾股定理建立有關(guān)x的方程即可得到答案．【解答】解：∵AB＝BC，點O為AC的中點，AC＝12，∴BO⊥AC，AO=12AC＝∵AB＝10，∴BO=8，設(shè)BE＝x，則EO＝BO﹣BE＝8﹣x，∵AE＝BE，∴AE＝x，在Rt△AEO中，∵AO2+OE2＝AE2，∴62+（8﹣x）2＝x2，解得：x=25故選：A．【點評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理建立方程式．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）9．如圖，在△ABC中，點D是BC的中點，作射線AD，在線段AD及其延長線上分別取點E、F，連接CE、BF．添加一個條件，使得△BDF≌△CDE，你添加的條件是DF＝DE．（不添加輔助線）【分析】由已知可證BD＝CD，又∠EDC＝∠FDB，因為三角形全等條件中必須是三個元素．故添加的條件是：DE＝DF（或CE∥BF或∠ECD＝∠DBF或∠DEC＝∠DFB等）；【解答】解：添加的條件是：DF＝DE（或CE∥BF或∠ECD＝∠DBF或∠DEC＝∠DFB等）．理由如下：∵點D是BC的中點，∴BD＝CD．在△BDF和△CDE中，∵BD=∴△BDF≌△CDE（SAS）．故答案可以是：DF＝DE．【點評】考查了三角形全等的判定．三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．10．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝32°，點D、E、F分別在邊BC、AB、AC上，如果BD＝CF，BE＝CD，那么∠EDF＝74°．【分析】根據(jù)題意證△BDE≌△CFD得∠BDE＝∠CFD，則可得出答案．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝32°，∴∠B在△BDE和△CFD中，BD=∴△BDE≌△CFD（SAS），∴∠BDE＝∠CFD，∵∠CFD+∠CDF＝180°﹣∠C＝106°，∴∠BDE+∠CDF＝106°，∴∠EDF＝180°﹣（∠BDE+∠CDF）＝74°，故答案為：74°．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識點，根據(jù)題意證△BDE≌△CFD得∠BDE＝∠CFD是解題關(guān)鍵．11．如圖，△ABC中，∠ABC的平分線BD與AC邊的中垂線ED交于點D，過點D作BC邊的垂線，垂足為F，已知BC＝2AB＝12，則線段CF的長度為3．【分析】連接AD，CD，過點D作DM⊥AB于點M，根據(jù)角平分線的性質(zhì)與線段垂直平分線的性質(zhì)，易得DF＝DM，CD＝AD，根據(jù)HL證明Rt△BDM≌Rt△BDF，可得BM＝BF，再根據(jù)HL證得Rt△ADM≌Rt△CDF，可得AM＝CF，繼而可求得答案．【解答】解：如圖，連接AD，CD，過點D作DM⊥AB于點M，∵BD是∠ABC的平分線，DF⊥BC，DM⊥AB，∴DF＝DM，∠M＝∠DFC＝∠DFB＝90°，在Rt△BDM和Rt△BDF中，BD=∴Rt△BDM≌Rt△BDF（HL），∴BM＝BF，∵DE是AC的垂直平分線，∴CD＝AD，在Rt△ADM和Rt△CDF中，AD=∴Rt△ADM≌Rt△CDF（HL），∴AM＝CF，∴BC＝BF+CF＝BM+CF＝AB+AM+CF＝AB+2CF，∵BC＝2AB＝12，∴AB＝6，∴CF＝3．故答案為：3．【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．12．如圖△ABC中，D是AC邊的中點，過D作直線交AB于點E，交BC的延長線于點F，且AE＝CF．若BC＝6，CF＝5，則AB＝16．【分析】過點A作AH∥BF交FE的延長線于點H，由“AAS”可證△ADH≌△CDF，可得AH＝CF＝AE，可得∠H＝∠AEH＝∠F＝∠FEB，可得BE＝BF＝11，即可求解．【解答】解：如圖，過點A作AH∥BF交FE的延長線于點H，∴∠H＝∠F，且AD＝DC，∠ADH＝∠CDF，∴△ADH≌△CDF（AAS）∴AH＝CF，∵AE＝CF＝5，∴AH＝AE＝5，∴∠H＝∠AEH，∴∠AEH＝∠F＝∠FEB，∴BE＝BF＝BC+CF＝11，∴AB＝AE+BE+5+11＝16，故答案為：16．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．13．如圖，在等腰三角形△ABC中，AD是BC邊上的高，BC＝2，AD＝4，點E、F是AD上的兩點，則圖中陰影部分的面積是2．【分析】依據(jù)圖中陰影部分的面積等于等腰三角形△ABC的面積的一半，即可得到結(jié)果．【解答】解：∵等腰三角形△ABC中，AD是BC邊上的高，BC＝2，AD＝4，∴S△ABC=12BC×AD=12×2×4＝4∵AD⊥BC且BD＝CD，∴△BEF與△CEF同底等高，∴△BEF與△CEF面積相等，∴圖中陰影部分的面積是12S△ABC=12×故答案為：2．【點評】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，即等邊三角形底邊上的高、垂直平分線及頂角的角平分線三線合一．14．一個等腰三角形的周長是17，已知它的一邊長是5，則另外兩邊的長分別是6，6或5，7．【分析】由于已知長度的邊沒有指明是等腰三角形的底邊還是腰，因此要分類討論，最后要根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理判斷求出的結(jié)果是否符合題意．【解答】解：①當(dāng)?shù)妊切蔚牡组L為5時，腰長＝（17﹣5）÷2＝6；則等腰三角形的三邊長為5、6、6，能構(gòu)成三角形．②當(dāng)?shù)妊切蔚难L為5時，底長＝17﹣2×5＝7；則等腰三角形的三邊長為5、5、7，能構(gòu)成三角形．故等腰三角形另外兩邊的長為6，6或5，7．故答案為：6，6或5，7．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題．15．如圖，在△ABC中CD⊥AB于點D，E是AC的中點，若AD＝9cm，DE＝7.5cm，則CD的長是12cm．【分析】根據(jù)題意得AC的長度，利用勾股定理即可求得答案．【解答】解：∵CD⊥AB于D，E是AC的中點，∴DE＝AE＝EC，∵AD＝9cm，DE＝7.5cm，∴AC＝15cm，在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，即DC2＝AC2﹣AD2＝225﹣81＝144，則DC＝12cm，故答案為：12cm．【點評】本題主要考查勾股定理和直角三角形斜邊上的中線，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．16．如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E，且DE＝3cm，AB＝4cm，AC＝6cm．則△ABC的面積為15cm2．【分析】作DF⊥AC，根據(jù)角平分線性質(zhì)可得ED＝FD＝3cm，利用S△ABC＝S△ABD+S△ADC代入數(shù)據(jù)計算即可．【解答】解：如圖，作DF⊥AC，垂足為C，∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ED＝FD＝3cm，∴S△ABC＝S△ABD+S△ADC=12×4×3+12故答案為：15．【點評】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，關(guān)鍵是由角平分線的性質(zhì)得到DF＝DE．17．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3．直線BE∥AC，D是BE上一動點．則AD+CD的最小值是5．【分析】延長CB到E，使CB＝BE，則E與B關(guān)于直線BE對稱，連接AE，則當(dāng)A、D、E共線時，AD+CD＝AE最小，根據(jù)勾股定理可得結(jié)論．【解答】解：∵∠ACB＝90°，BE∥AC，∴CB⊥BE，延長CB到E，使CB＝BE，則E與B關(guān)于直線BE對稱，連接AE，交BE于E，此時CD＝DE，則AD+CD＝AD+DE＝AE，AD+CD的值最小Rt△ACE中，AC＝3，CE＝4，∴AE=5，∴AD+CD的最小值是5，故答案為：5．【點評】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，平行線的性質(zhì)，勾股定理，明確兩點之間線段最短是解題的關(guān)鍵，并利用了數(shù)形結(jié)合的思想．18．如圖，在△ABC中，BC＝5，AC＝3，AB＝4，分別以AB，AC，BC為邊作等邊三角形，則四邊形AFED的面積是6．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，可以得到AD的長，然后再根據(jù)題目中的條件，可以得到四邊形AFED是平行四邊形，然后計算即可．【解答】解：由題意可得，BE＝BC，BD＝BA，∠DBE+∠EBA＝∠ABC+∠EBA＝60°，∴∠DBE＝∠ABC，在△DBE和△ABC中，BD=∴△DBE≌△ABC（SAS），∴∠BDE＝∠BAC，DE＝AC，同理可證：△BAC≌△ECF，∴EF＝BA，AC＝FC，∴AD＝EF，DE＝AF，∴四邊形AFED是平行四邊形，∵BC＝5，AC＝3，AB＝4，∴AC2+AB2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∴∠BDE＝90°，∵∠BDA＝60°，∴∠ADE＝30°，作EG⊥DA于點G，∵DE＝AC＝3，∴EG=3∵AD＝AB＝4，∴平行四邊形AFED的面積是：AD?EG＝4×32故答案為：6．【點評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理、等邊三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．三．解答題（共8小題，滿分64分）19．（6分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點稱為格點．如圖點A、B、C、D均為格點．請用無刻度的直尺完成下列作圖．（1）圖中的△ACD中，AD＝5．（2）在圖中找一格點E，使CA平分∠BCE（保留作圖痕跡）．【分析】（1）利用勾股定理計算即可．（2）以AD，CD為邊作菱形ADCE，即可得格點E．【解答】解：（1）由勾股定理得，AD=32故答案為：5．（2）如圖，以AD，CD為邊作菱形ADCE，則CA平分∠BCE，則點E即為所求．【點評】本題考查作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖、勾股定理、角平分線的定義，熟練掌握勾股定理、角平分線的定義是解答本題的關(guān)鍵．20．（8分）如圖，M是線段AB上的一點，ED是過點M的一條線段，連接AE、BD，過點B作BF∥AE交ED于點F，且EM＝FM．（1）求證：AE＝BF．（2）連接AC，若∠AEC＝90°，∠CAE＝∠DBF，CD＝4，求EM的長．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EAM＝∠FBM，結(jié)合對頂角相等即可利用AAS證明△AME≌△BMF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解；（2）結(jié)合（1）利用ASA證明△AEC≌△BFD，利用全等三角形的性質(zhì)即可得解．【解答】（1）證明：∵BF∥AE，∴∠EAM＝∠FBM，在△AME和△BMF中，∠EAM∴△AME≌△BMF（AAS），∴AE＝BF；（2）解：∵△AME≌△BMF，∴AE＝BF，EM＝FM，∠BFM＝∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠BFD＝90°，在△AEC和△BFD中，∠AEC∴△AEC≌△BFD（ASA），∴EC＝FD，∴EC﹣CF＝FD﹣CF，即EF＝CD＝4，∴EM=12EF＝【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記全等三角形的判定與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．21．（8分）如圖，把長方形紙片ABCD沿EF折疊后，點D與點B重合，點C落在點C′的位置．（1）若∠1＝60°，求∠2，∠3的度數(shù)；（2）若AB＝4，AD＝8，求四邊形ABFE的面積．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠2，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠BEF＝∠2＝60°，根據(jù)平角的概念計算；（2）由折疊的性質(zhì)得出BE＝DE，∠DEF＝∠BEF，設(shè)AE＝x，則DE＝BE＝8﹣x，由勾股定理得出x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，由梯形的面積公式可得出答案．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠2＝∠1＝60°，由折疊的性質(zhì)可知，∠BEF＝∠2＝60°，∴∠3＝180°﹣60°﹣60°＝60°；（2）∵長方形紙片ABCD沿EF折疊，∴BE＝DE，∠DEF＝∠BEF，設(shè)AE＝x，則DE＝BE＝8﹣x，∵AE2+AB2＝BE2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴AE＝3，BE＝5，由（1）知∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF＝5，∴S四邊形ABFE=12【點評】本題考查的是矩形的性質(zhì)，勾股定理，翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握翻轉(zhuǎn)變換是一種對稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．22．（8分）在數(shù)學(xué)探究活動課上，老師給出一道關(guān)于尺規(guī)作圖的問題；如圖1，AB∥CD，要求用尺規(guī)作圖法，在射線CD上找一點P，使射線AP平分∠BAC．小明的作法如圖1所示：①以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交射線AC，AB于點E，F(xiàn)．②分別以E，F(xiàn)為圓心，大于12EF的長為半徑畫弧，兩弧在∠CAB內(nèi)部交于點G③作射線AG，交CD于點P，則射線AP為∠BAC的平分線．小芳的作法如圖2所示：以C為圓心，CA的長為半徑畫弧，交射線CD于點P，畫射線AP，則AP為∠BAC的平分線．（1）小明的作法中蘊(yùn)含著幾何的證明過程．由圖1可知，AE＝AF，EG＝FG，AG＝AG，∴△AEG≌△AFG（依據(jù)：SSS），∴∠EAG＝∠FAG（全等三角形對應(yīng)角相等），即AP就是所求作的∠CAB的平分線，（2）由圖2小芳的作法可知，CA＝CP，則∠CAP＝∠CPA，又∵AB∥CD，∴∠CPA＝∠PAB，∴∠CAP＝∠PAB，即AP就是所求作的∠CAB的平分線．【分析】（1）利用作法得到AE＝AF，EG＝FG，AG＝AG，則可根據(jù)“SSS”判斷△AEG≌△AFG，從而得到∠EAG＝∠FAG；（2）利用作法得到CA＝CP，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAP＝∠CPA，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CPA＝∠PAB，所以∠CAP＝∠PAB．【解答】解：（1）如圖，連接EG，F(xiàn)G，小明的作法中蘊(yùn)含著幾何的證明過程．由圖1可知，AE＝AF，EG＝FG，AG＝AG，∴△AEG≌△AFG（SSS），∴∠EAG＝∠FAG（全等三角形對應(yīng)角相等），即AP就是所求作的∠CAB的平分線，故答案為：△AEG，△AFG，SSS；（2）由圖2小芳的作法可知，CA＝CP，則∠CAP＝∠CPA，又∵AB∥CD，∴∠CPA＝∠PAB，∴∠CAP＝∠PAB，即AP就是所求作的∠CAB的平分線．故答案為：∠CAP＝∠CPA，∠CPA＝∠PAB．【點評】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．23．（8分）如圖，在△ABC中∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，連接CE，交AD于點F．（1）求證：AD是線段CE的垂直平分線；（2）若∠BAC＝60°，AD＝16，求DF的長．【分析】（1）根據(jù)垂直定義可得∠AED＝90°，從而可得∠AED＝∠ACB＝90°，再利用角平分線的定義可得∠DAE＝∠DAC，然后利用AAS可證△AED≌△ACD，從而利用全等三角形的性質(zhì)可得AE＝AC，DE＝DC，再利用線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理即可解答；（2）利用角平分線的定義可得∠EAD＝30°，然后在Rt△ADE中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得DE=12AD＝5，∠ADE＝60°，再利用（1）的結(jié)論可得∠DFE＝90°，從而可得∠DEF＝30°，最后在Rt△DEF中，利用含【解答】（1）證明：∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠AED＝∠ACB＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAC，在△AED和△ACD中，∠AED∴△AED≌△ACD（AAS），∴AE＝AC，DE＝DC，∴AD是線段CE的垂直平分線；（2）解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠EAD=12∠BAC＝在Rt△ADE中，∠EAD＝30°，AD＝16，∴DE=12AD＝8，∠ADE＝90°﹣∠EAD＝∵AD是線段CE的垂直平分線，∴∠DFE＝90°，∴∠DEF＝90°﹣∠ADE＝30°，∴DF=12DE＝∴DF的長為4．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（8分）我們知道：在實數(shù)體系中，一個實數(shù)的平方不可能為負(fù)數(shù)，即a2≥0，但是，在復(fù)數(shù)體系中，我們規(guī)定：i2＝﹣1，這個數(shù)i叫做虛數(shù)單位，形如a+bi（a，b為實數(shù)）的數(shù)就叫做復(fù)數(shù)，a叫這個復(fù)數(shù)的實部，b叫這個復(fù)數(shù)的虛部．請閱讀以下材料，解決問題．它有如下特點：①它的加，減，乘法運算與整式的加，減，乘法運算類似．例如：i2＝i×i＝﹣1；i3＝i×i×i＝﹣1×i＝﹣i；又如：（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣i；再如：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i．②若它們的實部和虛部分別相等，則稱這兩個復(fù)數(shù)相等；若它們的實部相等，虛部互為相反數(shù)，則稱這兩個復(fù)數(shù)共軛，如1+2i的共軛復(fù)數(shù)為1﹣2i．根據(jù)材料回答：（1）填空：i4＝1，i2+i3+i4+i5＝0，3﹣2i的共軛復(fù)數(shù)為3+2i；（2）（a+bi）2的運算符合實數(shù)運算中的完全平方公式，求（2+3i）2的值；（3）已知（a+i）（b+i）＝2﹣5i，求（a2+b2）（i2+i3+i4+…i2023）的值．【分析】（1）根據(jù)i2＝﹣1及運算法則計算；根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求解；（2）根據(jù)完全平方公式計算，出現(xiàn)i2，化簡為﹣1計算；（3）把原式化簡后，根據(jù)實部對應(yīng)實部，虛部對應(yīng)虛部列出方程，求得a，b的值，再代入計算即可求解．【解答】解：（1）填空：i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，i2+i3+i4+i5＝﹣1﹣i+1+i＝0，3﹣2i的共軛復(fù)數(shù)為3+2i．故答案為：1，0，3+2i；（2）（2+3i）2＝22+12i+9i2＝4+12i﹣9＝﹣5+12i；（3）∵（a+i）（b+i）＝ab﹣1+（a+b）i＝2﹣5i，∴ab﹣1＝2，即ab＝3，a+b＝﹣5，（a2+b2）（i2+i3+i4+…i2023）＝[（a+b）2﹣2ab]（i2+i3+i4+…i2023）＝[（﹣5）2﹣2×3]（﹣1+i）＝﹣19+19i．【點評】本題考查了定義新運算，讀懂定義及其運算法則是解題的關(guān)鍵，本題的計算較為復(fù)雜．25．（8分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，AB＝20cm．動點P以每秒2cm的速度從點A出發(fā)，沿A→C→B→A的路徑運動回到A點結(jié)束，設(shè)點P運動的時間為t秒．（1）當(dāng)t＝4時，求△BPC的面積；（2）若AP平分∠CAB，求t的值；（3）若點P運動到邊AB上，且使得CP＝AC，求t的值．【分析】（1）依題意得t＝4秒時，運動的路程AP＝8cm，此時點P在AC邊上，則PC＝4cm，由勾股定理求出BC＝16cm，進(jìn)而可得△BPC的面積；（2）當(dāng)AP平分∠CAB時，點P在BC邊上，過點P作PD⊥AD于D，設(shè)CP＝a，證△ACP和△ADP全等得AC＝AD＝12，CP＝DP＝a，則BD＝8cm，PB＝（16﹣a）cm，在Rt△BPD中由勾股定理求出a＝6，進(jìn)而得AC+CP＝18cm，據(jù)此可得t的值；（3）過點C作CE⊥AB于E，先利用三角形的面積公式求出CE＝9.6cm，再利用勾股定理求出AE＝7.2cm，進(jìn)而得AP＝14.4cm，則BP＝5.6cm，據(jù)此得AC+BC+BP＝33.6cm，由此可得t的值．【解答】解：（1）∵AC＝12cm，點P以每秒2cm的速度從點A出發(fā)，沿A→C→B→A的路徑運動回到A點結(jié)束，∴當(dāng)運動的時間t＝4秒時，運動的路程AP＝4×2＝8（cm），此時點P在AC邊上，如圖1所示：∴PC＝AC﹣AP＝12﹣8＝4（cm），在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，AB＝20cm，由勾股定理得：BC=AB2-∴S△BPC=12BC?PC=12×16×4＝（2）當(dāng)AP平分∠CAB時，點P在BC邊上，過點P作PD⊥AD于D，設(shè)CP＝a，如圖2所示：∵∠C＝90°，PD⊥AD，∴∠C＝∠ADP＝90°，∵AP平分∠CAB，∠CAP＝∠DAP，在△ACP和△ADP中，∠CAP∴△ACP≌△ADP（AAS），∴AC＝AD＝12，CP＝DP＝a，∵AB＝20cm，BC＝16cm，∴BD＝AB﹣AD＝20﹣12＝8（cm），PB＝BC﹣CP＝（16﹣a）cm，在Rt△BPD中，由勾股定理得：DP2+BD2＝PB2，即a2+82＝（16﹣a）2，解得：a＝6，∴CP＝a＝6cm，∴AC+CP＝12+6＝18（cm），∴t＝18÷2＝9（秒），即當(dāng)AP平分∠CAB，t的值為9秒；（3）過點C作CE⊥AB于E，如圖3所示：由三角形的面積公式得：S△ABC=12AB?CE=12∴CE=AC?BCAB在Rt△ACE中，AC＝12cm，CE＝9.6cm，由勾股定理得：AE=7.2（cm）∵CP＝AC＝12cm，CE⊥AB于E，∴AE＝PE＝7.2cm，∴AP＝AE+PE＝14.4（cm），∴BP＝AB﹣AP＝20﹣14.4＝5.6（cm），∴AC+BC+BP＝12+16+5.6＝33.6（cm），∴t＝33.6÷2＝16.8（秒）．∴點P運動到邊AB上，且使得CP＝AC，t的值為16.8秒．【點評】此題主要考查了直角三角