計(jì)算專訓(xùn)：有理數(shù)、代數(shù)式中的規(guī)律計(jì)算題

有理數(shù)、代數(shù)式中的規(guī)律計(jì)算題1．觀察下列等式，，，，，……(1)根據(jù)式子的規(guī)律，寫出第n個等式，并說明第n個等式的成立；(2)根據(jù)上述規(guī)律計(jì)算：①；②．2．（1）知識探究：，，，……，上述括號按順序填寫為_____、______、_____；（2）發(fā)現(xiàn)規(guī)律：試寫出第n個等式，并證明此等式成立；（3）拓展應(yīng)用：計(jì)算．3．探究發(fā)現(xiàn)：(1)填空：①______，______；②______，______；(2)根據(jù)上面的計(jì)算，你肯定能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，請利用你的發(fā)現(xiàn)來計(jì)算：．4．新定義一種新運(yùn)算“”，認(rèn)真觀察，尋找規(guī)律：，，，，(1)直接寫出新定義運(yùn)算律：______；(2)新運(yùn)算“”是否滿足交換律？請說明理由；(3)先化簡，再求值：，其中5．觀察下列等式：第1個等式：第2個等式：第3個等式：第4個等式：…請解答下列問題：(1)按以上規(guī)律列出第5個等式：_____；(2)求的值；6．觀察下列各式：；；；；；(1)探索式子的規(guī)律，試寫出第個等式；(2)運(yùn)用上面的規(guī)律，計(jì)算；(3)計(jì)算：．7．（1）填空：；；；（2）探尋（1）中式子的規(guī)律，試寫出第個等式，并說明第個等式成立；（3）計(jì)算．8．觀察下面的點(diǎn)陣圖和相應(yīng)的等式，探究其中的規(guī)律：(1)在④后面的橫線上寫出相應(yīng)的等式：①；②；③；④______；⑤；…(2)請寫出第個等式：______；(3)利用（2）中的等式，計(jì)算：．9．閱讀理解題：【材料一】我們知道，根據(jù)乘方的意義：，，．（1）計(jì)算：①______；②______．（2）通過以上計(jì)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得到______．【材料二】我們把從1開始至n的n個連續(xù)自然數(shù)的立方和記作，那么有：；；；…觀察上面式子的規(guī)律，完成下面各題．（3）猜想出______（用n表示）．（4）依規(guī)律，直接求出的值為______．（5）根據(jù)材料一，材料二的規(guī)律，可得的值為______．10．請你觀察：，，；…；；以上方法稱為“裂項(xiàng)相消求和法”．請類比完成：(1)猜想并寫出：______；(2)規(guī)律應(yīng)用：計(jì)算：；(3)拓展提高：計(jì)算：．

參考答案1．觀察下列等式，，，，，……(1)根據(jù)式子的規(guī)律，寫出第n個等式，并說明第n個等式的成立；(2)根據(jù)上述規(guī)律計(jì)算：①；②．【答案】(1)，理由見解析(2)①；②3【分析】本題考查了與數(shù)字運(yùn)算有關(guān)的規(guī)律題，仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）利用已知等式找出規(guī)律可得，將變形為即可證明；（2）①結(jié)合（1）中結(jié)論，利用裂項(xiàng)相消法求解；②結(jié)合（1）中結(jié)論，利用裂項(xiàng)相消法求解．【詳解】（1）解：根據(jù)已知等式可得第n個等式為：，理由如下：；（2）解：①；②．2．（1）知識探究：，，，……，上述括號按順序填寫為_____、______、_____；（2）發(fā)現(xiàn)規(guī)律：試寫出第n個等式，并證明此等式成立；（3）拓展應(yīng)用：計(jì)算．【答案】（1）0，1，2；（2），證明見解析；（3）．【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．（1）計(jì)算出各個式子的值即可；（2）根據(jù)（1）中式子的特點(diǎn)，可以寫出第個等式，然后再計(jì)算，即可說明第個等式成立；（3）先設(shè)，則，然后錯位相減，即可得到所求式子的值．【詳解】解：（1），，，，故答案為：0，1，2；（2）第個等式是，理由：，第個等式是；（3）設(shè)，則，，即．3．探究發(fā)現(xiàn)：(1)填空：①______，______；②______，______；(2)根據(jù)上面的計(jì)算，你肯定能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，請利用你的發(fā)現(xiàn)來計(jì)算：．【答案】(1)①；；②；(2)【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的乘方計(jì)算法則和有理數(shù)的加法計(jì)算法則求解即可‘（2）根據(jù)（1）計(jì)算的結(jié)果可得規(guī)律，據(jù)此先求出的結(jié)果，再由進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：①，，故答案為：；；②，，故答案為：；；（2）解：由（1）可得，，又，∴以此類推可知，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的乘方計(jì)算，數(shù)字類的規(guī)律探索，熟知有理數(shù)的乘方計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．4．新定義一種新運(yùn)算“”，認(rèn)真觀察，尋找規(guī)律：，，，，(1)直接寫出新定義運(yùn)算律：______；(2)新運(yùn)算“”是否滿足交換律？請說明理由；(3)先化簡，再求值：，其中【答案】(1)(2)新運(yùn)算“”不滿足交換律，見解析(3)，【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，規(guī)律型：數(shù)字的變化類，理解定義的新運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．（1）從數(shù)字找規(guī)律進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）利用（1）的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（3）按照定義的新運(yùn)算先進(jìn)行化簡，然后把a(bǔ)，b的值代入化簡后的式子進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】（1）解：新定義運(yùn)算律：，故答案為：；（2）解：新運(yùn)算“”不滿足交換律，理由：∵，，∴；（3）解：，當(dāng)時，原式．5．觀察下列等式：第1個等式：第2個等式：第3個等式：第4個等式：…請解答下列問題：(1)按以上規(guī)律列出第5個等式：_____；(2)求的值；【答案】(1)；(2)．【分析】（1）本題考查對題干運(yùn)算規(guī)律的理解，根據(jù)題意得出，利用其規(guī)律表示出即可解題．（2）本題考查對題干運(yùn)算規(guī)律的理解，根據(jù)（1）中規(guī)律，將、、、、，代入式子中計(jì)算，即可解題．【詳解】（1）解：由題可知，，，故答案為：．（2）解：由（1）中規(guī)律可知，．6．觀察下列各式：；；；；；(1)探索式子的規(guī)律，試寫出第個等式；(2)運(yùn)用上面的規(guī)律，計(jì)算；(3)計(jì)算：．【答案】(1)(2)(3)【分析】（）根據(jù)式子的規(guī)律，可得；（）利用（）的結(jié)論遞推，得出答案即可；（）把式子乘遞推得出答案即可；本題考查了數(shù)字類變化規(guī)律，得出數(shù)字次數(shù)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵；；；；，∴第個等式為；（2）解：，，；（3）解：，，．7．（1）填空：；；；（2）探尋（1）中式子的規(guī)律，試寫出第個等式，并說明第個等式成立；（3）計(jì)算．【答案】（1），，；（2），驗(yàn)證見解析；（3）【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算、數(shù)字類規(guī)律探索，熟練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．（1）各式計(jì)算即可得出結(jié)果；（2）歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，驗(yàn)證即可；（3）利用一般性規(guī)律將原式變形后，計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：（1），，，故答案為：，，；（2），驗(yàn)證：左邊右邊，；（3），．8．觀察下面的點(diǎn)陣圖和相應(yīng)的等式，探究其中的規(guī)律：(1)在④后面的橫線上寫出相應(yīng)的等式：①；②；③；④______；⑤；…(2)請寫出第個等式：______；(3)利用（2）中的等式，計(jì)算：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了規(guī)律型—圖形的變化類；（1）由圖可知，第4個等式為從1開始連續(xù)4個奇數(shù)的和等于4的平方；（2）由圖得出規(guī)律，第n個等式為從1開始連續(xù)n個奇數(shù)的和等于奇數(shù)個數(shù)的平方，由此可得答案；（3）首先將原式改寫成，然后利用規(guī)律計(jì)算即可．【詳解】（1）解：由題意知，第4個等式為，故答案為：；（2）第個等式為：，故答案為：；（3）．9．閱讀理解題：【材料一】我們知道，根據(jù)乘方的意義：，，．（1）計(jì)算：①______；②______．（2）通過以上計(jì)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得到______．【材料二】我們把從1開始至n的n個連續(xù)自然數(shù)的立方和記作，那么有：；；；…觀察上面式子的規(guī)律，完成下面各題．（3）猜想出______（用n表示）．（4）依規(guī)律，直接求出的值為______．（5）根據(jù)材料一，材料二的規(guī)律，可得的值為______．【答案】（1）①；②；（2）；（3）；（4）；（5）【分析】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律探索：（1）①根據(jù)乘方的意義可知；②仿照題意進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)題意可得；（3）觀察可知；（4）根據(jù)（3）的規(guī)律代值計(jì)算即可；（5）根據(jù)題意把所求式子變形為，進(jìn)一步得到，據(jù)此計(jì)算即可．【詳解】解：（1）①，故答案為：；②，故答案為：；（2），故答案為：；（3）；；；……，以此類推．，故答案為：；（4）；（5）．10．請你觀察：，，；…；；以上方法稱為“裂項(xiàng)相消求和法”．請類比完成：(1)猜想并寫出：______；(2)規(guī)律應(yīng)